24.4弧长和扇形面积 同步训练（含解析）人教版数学九年级上册

24.4弧长及扇形面积
一、单选题
1．如图，在矩形中，，以的中点为圆心，以长为半径画弧与相切于点，则阴影部分的面积为（　　）
A． B． C． D．
2．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，半径为6，则这个正六边形的边心距OM和的长分别为（　　）
A．4， B．3，π C．2， D．3，2π
3．如图，是半圆的直径，是半圆上两点，且满足，则的长为（　　）
A． B． C． D．
4．如图，已知的半径为6，，是的弦，若，则的长是（　　）
A． B．10π C． D．12π
5．如图，在中，为的直径，和相切于点E，和相交于点F，已知，，则的长为（　　）
A． B． C． D．2
6．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=1，将Rt△ABC绕点A逆时针旋转30°后得到Rt△ADE，点B经过的路径为，则图中阴影部分的面积是（　　）（提示：圆心角为n°的扇形的面积为，R为扇形所在的圆的半径）
A． B． C． D．
7．如图，边长为2的正方形ABCD的对称中心是坐标原点O，且轴，轴，双曲线y=，经过正方形ABCD的四个顶点，且与以2为半径的⊙O相交，则阴影部分的面积是（　　）
A． B． C． D．
8．如图， 是 的直径，弦 ， ， ，则阴影部分图形的面积为（）
A． B． C． D．
二、填空题
9．如图，六边形ABCDEF是半径为6的圆内接正六边形，则的长为　 　．
10．已知一个扇形的圆心角为，面积为，则此扇形的弧长为　 　.
11．如图，AB为⊙O的切线，切点为B，连接AO，AO与⊙O交于点C，BD为⊙O的直径，连接CD，若∠A＝30°，⊙O的半径为2，则图中阴影部分的面积为　 　（结果保留π）
12．小张同学准备用矩形纸片做一个圆锥形帽子．如图，在矩形纸片中，取的中点O，以O为圆心，长为半径作弧，分别交于点E，于点F，得到扇形纸片（阴影部分），发现点E、F分别是边、的中点，则此扇形纸片围成圆锥形帽子的底面圆的周长为　 　（结果含）．
三、解答题
13．如图，已知扇形AOB的圆心角为120°，半径OA为6cm．求扇形AOB的弧长和面积．
14．已知：如图，C，D是以为直径的半圆周的三等分点，.求阴影部分的面积？
15．如图，在中，以为直径的⊙O交于点D，点E是上一点，连结、，．
（1）判断所在直线与⊙O的位置关系，并说明理由．
（2）若，⊙O的半径为6，求的长．（结果保留）
16．如图，半径为6的⊙O与Rt△ABC的边AB相切于点A，交边BC于点C，D，∠B=90°，连接OD，AD.
（1）若∠ACB=20°，求的长（结果保留）.
（2）求证：AD平分∠BDO.
17．如图，已知是半圆O的直径，，点D是线段延长线上的一个动点，直线垂直于射线于点D，在直线上选取一点C（点C在点D的上方），使，将射线绕点D逆时针旋转，旋转角为．
（1）若，求点C与点O之间距离的最小值；
（2）当射线与相切于点C时，求劣弧的长度；
18．如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系内，的三个顶点坐标分别为A（2，－4），B（4，－4），C（1，－1）．
（1）画出关于y轴对称的；
（2）画出绕点C逆时针旋转90°后的；
（3）在（2）的条件下，求线段BC扫过的面积（结果保留）．
19．如图，在矩形ABCD中，点E在边CB延长线上，AG⊥AE，交BC延长线于点G，边AG，DC交于点F，CF＝BE，以AD为半径的⊙D交边BG于点P，Q，交AG于点M，延长DM交边QG于点N．
（1）求证：CG＝AB．
（2）若AD＝6，∠E＝70°，求扇形ADM的面积．
（3）延长DC交⊙D于点H，且CH＝NG，记AB＝x，四边形AECF的面积为S，求S关于x的函数表达式．
答案解析部分
1．【答案】D
【解析】【解答】解：∵以长为半径画弧与相切于点，，
∴OA=OD=AB=4，
∴，
故答案为：D.
【分析】先根据切线的性质即可得到OA=OD=AB=4，再根据结合题意即可求解。
2．【答案】D
【解析】【解答】解：连接OC、OB，
六边形ABCDEF为正六边形，
，
，
为等边三角形，
，
，
，
的长为.
故答案为：D.
【分析】连接OC、OB，根据正六边形的性质可得∠BOC=60°，结合OB=OC可得△BOC为等边三角形，则BC=OB=6，BM=BC=3，利用勾股定理求出OM，然后根据弧长公式进行计算.
3．【答案】A
【解析】【解答】解：如图，连接OC
∵∠ADC=120°，
∴∠ABC=60°，
∵OB=OC，
∴∠OCB=∠OBC=∠B=60°，
OB=OC=BC=1，
∴的长为 ，
故答案为：A.
【分析】连接OC，由圆内接四边形的对角互补可得∠ABC=60°，由等边对等角得∠OCB=∠OBC=∠B，则OB=OC=BC，然后根据弧长公式l=可求解.
4．【答案】C
【解析】【解答】解：∵，是的弦，，
∴，
∵的半径为6，
∴，
故答案为：C．
【分析】先求出，再根据的半径为6，最后根据弧长公式计算求解即可。
5．【答案】C
【解析】【解答】解：如图：连接OE、OF，
∵CD是⊙O的切线，
∴OE⊥CD，
∴∠OED=90°，
∵四边形ABCD是平行四边形，∠C=60°，
∴∠A=∠C=60°，∠D=120°，
∵OA=OF，
∴∠A=∠OFA=60°，
∴∠DFO=120°，
∴∠EOF=360°-∠D-∠DFO-∠DEO=30°，
∴的长．
故答案为：C.
【分析】连接OE、OF，根据切线的性质可得∠OED=90°，根据平行四边形的性质可得∠A=∠C=60°，∠D=120°，由等腰三角形的性质可得∠A=∠OFA=60°，结合邻补角的性质可得∠DFO=120°，根据四边形内角和为360°可得∠EOF=30°，接下来结合弧长公式进行计算.
6．【答案】A
【解析】【解答】解：∵∠ACB=90°，AC=BC=1，
∴AB=，
∴S扇形ABD=．
又∵Rt△ABC绕A点逆时针旋转30°后得到Rt△ADE，
∴Rt△ADE≌Rt△ACB，
∴S阴影部分=S△ADE+S扇形ABD-S△ABC=S扇形ABD=．
故答案为：A．
【分析】利用旋转的性质证出阴影部分的面积为扇形ABD的面积，再利用扇形面积公式求解即可。
7．【答案】A
【解析】【解答】解：根据反比例函数的对称性可得阴影部分的面积和正好是圆的面积的，
阴影部分的面积为：，
故答案为：A．
【分析】先利用反比例函数的对称性证出阴影部分的面积和正好是圆的面积的，再利用圆的面积公式求解即可。
8．【答案】D
【解析】【解答】解：连接OD．
∵CD⊥AB，
∴ （垂径定理），
∴S△OCE=S△ODE，
∴阴影部分的面积等于扇形OBD的面积，
又∵∠CDB=30°，
∴∠COB=60°（圆周角定理），
∴OC=2，
∴ ，
∴阴影部分的面积为 ．
故答案为：D．
【分析】连接OD，先证明S△OCE=S△ODE，即可得到阴影部分的面积等于扇形OBD的面积，再利用扇形的面积公式可得。
9．【答案】
【解析】【解答】解：连接OC、OD，
∵六边形ABCDEF为正六边形，
∴∠COD＝360°×＝60°，
∵OD＝2，
∴的长为．
故答案为：．
【分析】连接OC和OD，先求出∠COD的度数，再利用弧长公式求解即可。
10．【答案】
【解析】【解答】解：设扇形的半径为r，
由题意：，
解得：，（舍去）
∴扇形的弧长.
故答案为：.
【分析】设扇形的半径为r，根据扇形的面积公式S=可求出r的值，然后利用弧长公式进行计算.
11．【答案】π
【解析】【解答】解：过O点作OE⊥CD于E
∵AB为O的切线
∴∠ABO=90°
∵∠A=30°
∴∠AOB=60°
∴∠COD=120°，∠OCD=∠ODC=30°
∵⊙O的半径为2
∴OE=1，CE=DE=
∴CD=2
∴图中阴影部分的面积为：×120×π×22 ×2×1=π ．
故答案为：π .
【分析】过O点作OE⊥CD于E，根据切线的性质可得∠ABO=90°，结合∠A的度数可得∠AOB=60°，根据邻补角的性质可得∠COD=120°，根据等腰三角形的性质以及内角和定理可得∠OCD=∠ODC=30°，根据含30°角的直角三角形的性质可得OE=1，利用勾股定理可得CE=DE=，则CD=2，然后根据S阴影=S扇形OCD-S△OCD进行计算.
12．【答案】
【解析】【解答】解：圆锥帽子底面圆周长，即为在⊙O中大小为度数的圆心角所对应的弧长l．
由题意可知，，．
在中，
，
∴．
同理可得．
∴．
∴．
故答案为：．
【分析】根据题意可知，圆锥帽子底面圆周长，即为在⊙O中大小为度数的圆心角所对应的弧长l；在中，利用锐角三角函数，可求得，进而求得；根据弧长公式，可求得弧长l，即为圆锥帽子底面圆周长．
13．【答案】解：由弧长公式，得众： =4π
由扇形面积公式，得S扇形AOB= =12π（cm2）．
【解析】【分析】根据弧长公式l=，将圆心角及半径值代入公式即可求出弧长；再根据扇形面积公式s=，将圆心角及半径值代入公式即可求出扇形的面积.
14．【答案】解：如图，连接、.
∵，是以为直径的半圆周的三等分点，
∴，
又∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴.
即：阴影部分的面积为.
【解析】【分析】连接OC、OD，根据等弧所对的圆心角相等及平角的定义得∠AOC=∠COD=∠DOB=60°，可判断出△OCD是等边三角形，根据等边三角形性质可得∠OCD=∠AOC=60°，则CD∥AB，根据同底等高三角形面积相等得S△ACD=S△OCD，则S阴影=S扇形OCD，进而利用扇形面积计算公式即可算出答案.
15．【答案】（1）解：所在直线与相切，理由如下：
如图，连结，
∵为的直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∵点D在上，
∴所在直线与相切；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴的长为．
【解析】【分析】（1） 相切，理由：连结，由为的直径可得，有平角的定义可得 ，由等腰三角形的性质可得，结合已知可求 ∴， 即得∠ODE=，根据切线的判定定理即证；
（2）由等腰三角形的性质可得， 利用三角形内角和求出∠BOD=180°-∠OBD-∠ODB=80°，然后利用弧长公式计算即可.
16．【答案】（1）解：连接OA，
∵∠ACB＝20°，
∴∠AOD＝40°，
∴，
.
（2）证明：，
，
切于点，
，
，
，
，
，
平分.
【解析】【分析】（1）连接OA，利用一条弧所对的圆周角等于圆心角的一半，可求出∠AOD的度数，再利用弧长公式求出弧AD的长.
（2）利用等边对等角可证得∠OAD=∠ODA，利用切线的性质，可证得OA⊥AB，即可推出AO∥BC，再利用平行线的性质∠OAD=∠ADB，由此可证得∠ADB=∠ODA，利用角平分线的定义可证得结论.
17．【答案】（1）解：如图，当点C在线段上时，点C与点O之间的距离最小，
∵，
∴，
即点C与点O之间距离的最小值为；
（2）解：如图，连接，
∵
∴，
∴，
∵是的切线，
∴，
∴，
∴劣弧的长度为．
【解析】【分析】（1）由题可知：当点C在线段上时，点C与点O之间的距离最小， 求出OC即可；
（2） 连接， 根据等要三角形的性质和切线的性质可得，利用弧长公式求解即可。
18．【答案】（1）解：如图所示，即为所求
（2）解：如图所示，即为所求；
（3）解：∵C点坐标为（1，-1），B点坐标为（4，-4），
∴，
∴△ABC旋转时BC线段扫过的面积．
【解析】【分析】（1）根据关于y轴对称的点坐标的特征找出点A、B、C的对应点，再连接即可；
（2）根据旋转的性质找出点A、B、C的对应点，再连接即可；
（3）先利用两点之间的距离公式求出BC的长，再利用扇形的面积公式求出BC扫过的面积。
19．【答案】（1）证明：∵AG⊥AE，
∴∠EAG＝90°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝∠BCD＝90°，
∴∠ABE＝∠FCG＝90°，
∴∠BAG+∠G＝∠BAG+∠BAE＝90°，
∴∠G＝∠BAE，
∵CF＝BE，
∴△ABE≌△GCF（AAS），
∴CG＝AB；
（2）解：∵∠DAB＝∠EAG＝90°，
∴∠DAF＝∠BAE，
在Rt△ABE中，∵∠E＝70°，
∴∠BAE＝20°，
∴∠DAF＝20°，
∴AD＝DM＝6，
∴∠DAF＝∠DMA＝20°，
∴∠ADM＝140°，
∴扇形ADM的面积＝ ＝14π；
（3）解：∵△ABE≌△GCF，
∴S△ABE＝S△GCF，AB＝CG＝x，
∴S＝S△ABG，
∵AD＝DM，
∴∠DAM＝∠DMA，
∵AD∥CE，
∴∠G＝∠DAM，
∵∠NMG＝∠AMD，
∴∠G＝∠NMG，
∴MN＝NG，
设CH＝NG＝y，
∵AB＝CD＝x，
∴CN＝x﹣y，DH＝AD＝BC＝x+y，DN＝DM+MN＝DH+NG＝x+y+y＝x+2y，
∵DC2+CN2＝DN2，
∴x2+（x﹣y）2＝（x+2y）2，
∴y1＝（﹣1+ ）x，y2＝﹣1﹣ （舍），
∴S＝ AB BG
＝ x （x+x+ x﹣x）
＝ （1+ ）x2
＝ x2．
【解析】【分析】（1）根据垂直的概念可得∠EAG＝90°，根据矩形的性质可得∠ABC＝∠BCD＝90°，由同角的余角相等可得∠G＝∠BAE，结合CF＝BE，利用AAS证明△ABE≌△GCF，据此可得结论；
（2）由同角的余角相等可得∠DAF＝∠BAE，由三角形的内角和定理得∠BAE＝20°，由等腰三角形的性质可得∠DAF＝∠DMA＝20°，由内角和定理可得∠ADM＝140°，然后根据扇形的面积公式进行计算；
（3）根据全等三角形的性质可得S△ABE＝S△GCF，AB＝CG＝x，则S＝S△ABG，由等腰三角形的性质以及平行线的性质可推出MN＝NG，设CH＝NG＝y，则CN＝x-y，DH＝AD＝BC＝x+y，DN＝x+2y，根据勾股定理可得DC2+CN2＝DN2，代入并化简可表示出y，然后根据三角形的面积公式可得S关于x的函数表达式.