《22.1二次函数的图象与性质》同步练习题（含解析）2023-2024学年人教版九年级数学上册

2023-2024学年人教版九年级数学上册《22.1二次函数的图象与性质》同步练习题（附答案）
一．选择题
1．下列函数中是二次函数的为（　　）
A．y＝3x﹣1 B．y＝3x2﹣1
C．y＝（x+1）2﹣x2 D．y＝x3+2x﹣3
2．二次函数y＝2（x﹣4）2+5的开口方向、对称轴、顶点坐标分别是（　　）
A．向下、直线x＝﹣4、（﹣4，5） B．向上、直线x＝﹣4、（﹣4，5）
C．向上、直线x＝4、（4，﹣5） D．向上、直线x＝4、（4，5）
3．若抛物线y＝（x﹣m）2+（m+1）的顶点在第一象限，则m的取值范围为（　　）
A．m＞1 B．m＞0 C．m＞﹣1 D．﹣1＜m＜0
4．对于二次函数yx2+x﹣4，下列说法正确的是（　　）
A．当x＞0时，y随x的增大而增大
B．当x＝2时，y有最大值﹣3
C．图象的顶点坐标为（﹣2，﹣7）
D．图象与x轴有两个交点
5．已知抛物线y＝ax2+2x+（a﹣2），a是常数，且a＜0，下列选项中可能是它大致图象的是（　　）
A．B．C．D．
6．二次函数y＝x2﹣2x﹣3的图象如图所示．当y＞0时，自变量x的取值范围是（　　）
A．﹣1＜x＜3 B．x＜﹣1 C．x＞3 D．x＜﹣1或x＞3
7．已知二次函数y＝x2﹣1图象上三点：（﹣1，y1），（2，y2），（3，y3），比较y1，y2，y3的大小（　　）
A．y1＜y3＜y2 B．y1＜y2＜y3 C．y2＜y1＜y3 D．y3＜y2＜y1
8．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴是直线x＝1，下列结论：
①ab＜0；②b2＞4ac；③a﹣b+c＞0；④2a+b＝0．其中正确的是（　　）
A．①③④ B．②③④ C．①②③ D．①②③④
二．填空题（共8小题）
9．将y＝x2﹣2x+3化成y＝a（x﹣h）2+k的形式，则y＝　 　．
10．如果函数y＝（k﹣3）kx+1是二次函数，则k的值是　 　．
11．已知二次函数y＝﹣2x2﹣4x+5，当函数值y随x值的增大而增大时，x的取值范围是 　 　．
12．二次函数y＝﹣2（x+1）2+3的最大值为 　 　．
13．抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣3，0），对称轴是直线x＝﹣1，则a+b+c＝　 　．
14．已知二次函数y＝x2﹣2hx+h，当自变量x的取值在﹣1≤x≤1的范围中时，函数有最小值n，则n的最大值是　 　．
15．如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A（1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，3），则二次函数的图象的顶点坐标是　 　．
16．如图是二次函数y1＝ax2+bx+c和一次函数y2＝mx+n的图象，观察图象写出y2≥y1时，x的取值范围 　 　．
三．解答题
17．已知二次函数的图象以A（﹣1，4）为顶点，且过点B（2，﹣5），求该二次函数关系式．
18．已知二次函数y＝x2﹣4x+c的图象经过点（3，0）．
（1）求该二次函数的表达式．
（2）点P（4，n）向上平移2个单位得到点P'，若点P′落在该二次函数图象上，求n的值．
19．如图二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过A、B、C三点．
（1）观察图象，写出A、B、C三点的坐标，并求出抛物线解析式；
（2）求此抛物线的顶点坐标和对称轴；
（3）观察图象，当x取何值时，y＜0，y＝0，y＞0．
20．如图，抛物线的顶点为A（﹣3，﹣3），此抛物线交x轴于O、B两点．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）求△AOB的面积；
（3）若抛物线上另一点P满足S△POB＝S△AOB，请求出点P的坐标．
21．如图，抛物线y＝ax2+bx+3过A（﹣2，0）、B （6，0）两点，交y轴于点C，对称轴交x轴于点E，点D是其顶点，点H为x轴上一动点，连接CD、CH、DH．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）当点H与点B重合时，求△CDH的面积；
（3）当DH⊥CD时，求点H的坐标．
参考答案
一．选择题
1．解：A、y＝3x﹣1是一次函数，故A错误；
B、y＝3x2﹣1是二次函数，故B正确；
C、y＝（x+1）2﹣x2不含二次项，故C错误；
D、y＝x3+2x﹣3是三次函数，故D错误；
故选：B．
2．解：二次函数y＝2（x﹣4）2+5的开口方向向下；
对称轴是直线x＝4；
顶点坐标是（4，5）．
故选：D．
3．解：由y＝（x﹣m）2+（m+1）可知为顶点（m，m+1），
由顶点在第一象限得m＞0且m+1＞0，
解得m＞0．
故选：B．
4．解：∵二次函数yx﹣4可化为y（x﹣2）2﹣3，
又∵a0
∴当x＝2时，二次函数yx2+x﹣4的最大值为﹣3．
故选：B．
5．解：∵抛物线y＝ax2+2x+（a﹣2），a是常数且a＜0，
∴图象开口向下，a﹣2＜0，
∴图象与y轴交于负半轴，
∵a＜0，b＝2，
∴抛物线对称轴在y轴右侧．
故选：D．
6．解：当y＝0时，x2﹣2x﹣3＝0，
解得x1＝﹣1，x2＝3．
结合图象可见，x＜﹣1或x＞3时，y＞0．
故选：D．
7．解：将点（﹣1，y1），（2，y2），（3，y3）分别代入y＝x2﹣1得，
y1＝1﹣1＝0，
y2＝4﹣1＝3，
y3＝9﹣1＝8．
可见y1＜y2＜y3．
故选：B．
8．解：∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵抛物线对称轴为直线x1，
∴b＝﹣2a＜0，
∴2a+b＝0，④正确；
∴ab＜0，①正确；
∵抛物线与x轴有两个交点，
∴b2﹣4ac＞0，
∴b2＞4ac，②正确；
由图象可得x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＞0，
∴③正确．
故选：D．
二．填空题
9．解：y＝x2﹣2x+3＝（x﹣1）2+2．
故答案为（x﹣1）2+2．
10．解：由题意得：k2﹣3k+2＝2，且k﹣3≠0，
解得：k＝0，
故答案为：0．
11．解：∵二次函数y＝﹣2x2﹣4x+5的对称轴为：，
又∵a＝﹣2＜0，
∴当x＜﹣1时，y随x的增大而增大．
故答案为：x＜﹣1．
12．解：∵y＝﹣2（x+1）2+3中a＝﹣2＜0，
∴此函数的顶点坐标是（﹣1，3），有最大值3，
即当x＝﹣1时，函数有最大值3．
故答案为：3．
13．解：∵抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣3，0），对称轴是直线x＝﹣1，
∴y＝ax2+bx+c与x轴的另一交点为（1，0），
∴a+b+c＝0．
故答案为：0．
14．解：二次函数y＝x2﹣2hx+h图象的对称轴为直线x＝h．
当h≤﹣1时，x＝﹣1时y取最小值，此时n＝1+2h+h＝1+3h≤﹣2；
当﹣1＜h＜1时，x＝h时y取最小值，此时n＝h2﹣2h2+h＝﹣h2+h＝﹣（h）2；
当h≥1时，x＝1时y取最小值，此时n＝1﹣2h+h＝1﹣h≤0．
综上所述：n的最大值为．
故答案为：．
15．解：设解析式为：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a≠0），即y＝a（x﹣1）（x﹣3）
把点C（0，3），代入得a＝1．则y＝（x﹣1）（x﹣3）＝x2﹣4x+3．
所以图象的顶点坐标是（2，﹣1）．
16．解：∵y1与y2的两交点横坐标为﹣2，1，
当y2≥y1时，y2的图象应在y1的图象上面，
即两图象交点之间的部分，
∴此时x的取值范围是﹣2≤x≤1．
三．解答题
17．解：设抛物线顶点式y＝a（x+1）2+4
将B（2，﹣5）代入得：a＝﹣1
∴该函数的解析式为：y＝﹣（x+1）2+4＝﹣x2﹣2x+3．
18．解：（1）把点（3，0）代入y＝x2﹣4x+c得：9﹣12+c＝0，
解得c＝3，
所以该二次函数的解析式为y＝x2﹣4x+3；
（2）点P（4，n）向上平移2个单位得到点P'（4，n+2），
把点P′代入y＝x2﹣4x+3中可得n+2＝16﹣16+3，
解得n＝1．
19．解：（1）A（﹣1，0），B（0，﹣3），C（4，5），
设解析式为y＝ax2+bx+c，
代入可得：，
解得：．
故解析式为：y＝x2﹣2x﹣3；
（2）y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
故顶点坐标为：（1，﹣4），对称轴为直线x＝1；
（3）观察图象可得：当x＜﹣1或x＞3时，y＞0，
当x＝﹣1或x＝3时，y＝0，
当﹣1＜x＜3时，y＜0．
20．解：（1）如图，连接AB、OA．设抛物线的解析式为y＝a（x+3）2﹣3，
把（0，0）代入得a×32﹣3＝0，解得a，
所以此抛物线的解析式为y（x+3）2﹣3；
（2）∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣3，
∴B点坐标为（﹣6，0），
∴△AOB的面积6×3＝9；
（3）设P点坐标为（x，y），
∵S△POB＝S△AOB，
∴|y|×6＝9，
解得y＝3或y＝﹣3（舍去），
∴（x+3）2﹣3＝3，
解得x1＝33，x2＝﹣33，
∴P点坐标为（33，3），（﹣33，3）．
21．解：（1）抛物线y＝ax2+bx+3过A（﹣2，0）、B （6，0）两点，
∴，
解得，
∴抛物线为yx2+x+3；
（2）当x＝0时，y＝3，
解C（0，3），
设直线BC的解析式为y＝kx+c，
把B（6，0）、C（0，3）代入得，解得，
∴直线BC的解析式为y3，
设对称轴DE交BC于点F，则F（2，2），
∵D（2，4），
∴DF＝2，
∴S△CDH6；
（3）如图，过D作DM⊥y轴于M，过H点作HN⊥DM于N，则∠CMD＝∠DNH＝90°，
∵DH⊥CD，
∴∠MCD+∠MDC＝∠MDC+∠NDH＝90°，
∴∠MCD＝∠NDH，
∵D（2，4），C（0，3），
∴DM＝2，MC＝1，HN＝4，
∴，解得DN＝2，
∴OH＝MN＝4，
∴H（4，0）．