12.3角平分线的性质 同步练习题（含答案）2023-2024学年人教版八年级数学上册

2023-2024学年人教版八年级数学上册《12.3角平分线的性质》同步练习题（附答案）
一、单选题
1．用尺规作一个角的平分线的示意图如图，能说明的依据是（ ）
A． B．
C． D．角平分线上的点到角两边的距离相等
2．如图，AD平分，于点E，，，，则AB的长是（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
3．三条公路将A、B、C三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果要在三角形区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场可选的位置有（ ）
A．1处 B．2处 C．3处 D．4处
4．如图，在中，，平分，，点D到的距离为5，则等于（ ）
A．5 B．10 C．15 D．20
5．如图，中，是的角平分线，，F是中点，连接，若，，，则为（ ）
A． B．12 C．15 D．30
6．如图，O是内一点，且点O到三边的距离相等，即，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
7．如图所示，若，分别平分和于E，且，则与之间的距离为（ ）
A．3cm B．6cm C．9cm D．12cm
8．如图，在中，，的两条角平分线和相交于点，连接，下列结论：①；②平分；③点到边，，的距离相等；④；错误的结论个数是（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
二、填空题
9．已知，平分，，则 ．
10．如图，在四边形中，，连接，，，．若是边上一动点，则长的最小值为 ．
11．如图，已知的周长是，和的角平分线交于点O，于点D，若，则的面积是 ．
12．在四边形中，平分，，若，则 ．
13．如图，、是四边形的对角线，平分，，已知，则 ．
14．如图，在中，，，，以点A为圆心，适当长为半径画弧，交于点M，交于点N，分别以点M，N为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点G，画射线，交于点D，点F在边上，且，连接，则的周长为 ．
15．如图，，和分别平分和，过点O，且． 若，则点O到的距离是 ．
16．如图，在和中，，，，．连接，交于点，连接．下列结论：①，②，③平分，④平分．其中正确的结论有 ．（填序号）
三、解答题
17．如图，已知，．
(1)按下列要求作图（尺规作图，保留作图痕迹）；
①作的平分线，与AC相交于点D；
②在边上取一点E，使；
③连接并延长与的延长线相交于点F．
(2)根据所作图形，证明．
18．如图，在四边形中，，是的平分线，，连接，求证：是的平分线．
19．如图，于点E，于点F，若．
(1)求证：平分；
(2)已知，，求的长．
20．已知，平分，点在射线上，点在射线上，点在直线上，连接，，且．
(1)如图1，当时，与的数量关系是______．
(2)如图2，当是钝角时，（1）中的结论是否成立？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由；
(3)当时，若，，请直接写出与的面积的比值．
21．在四边形中，平分，并且．
(1)如图1，当时，求证：；
(2)如图2，当是钝角时，（1）中的结论是否仍然成立？请证明你的判断；
(3)如图3，在（2）的条件下，过点D作于点E，若，，的面积为，求的长．
参考答案
1．解：如图所示，连接，
由作图方法可知，
又∵，
∴，
∴，即，
故选A．
2．解：作于，
，，
，
，
，
平分，，，
，
．
故选： B．
3．解：在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，根据角平分线上的点到角两边的距离相等，集贸市场应建在、、的角平分线的交点处，
故这个集贸市场可选的位置只有1处，
故选：A．
4．解：如图所示，过点D作于点E，
点D到的距离为5，
，
，平分，，
，
又，
，
，
故选：C．
5．解：如图，过点D作于点G，
∵是的角平分线，，，
∴，
∴，
∵F是中点，
∴．
故选：A
6．解：，
，
由题意得：
，，，
，
平分，平分，
，，
．
故选：A．
7．解：如图，过点P作于M，作于N，
∵分别平分和，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴M、P、N三点共线，
∴与之间的距离．
故选：B．
8．解：①，
，
平分，平分，
，，
，
，
故①不符合题意；
过点作于点，于点，于点，在上截取，连接，如图所示：
②平分，，，
．
同理可得，
．
，，
平分，
故②不符合题意；
③由②知：，
故③不符合题意；
④在和中，
，
，
，，
，
，，
．
，
，，
，
，
在和中，
，
，
，，
，，
在和中，
，
，
，
，
故④不符合题意，
综上所述，错误的有0个，
故选：A．
9．解：根据题意画出图形如图所示：
∵，平分，
∴．
①在的内部，
∵，
∴．
②在的外部，图中的，
∵，
∴．
综上所述，是5°或45°．
故答案为：5°或45°．
10．解：由垂线段最短得，时最小，
，，
，，
，
，
角平分线上的点到角两边的距离相等．
故答案为：．
11．解：过点O作于点E，过点O作于点F，连接，如图所示：
∵点O为与的平分线的交点，且，
∴，
∵，的周长是，，
∴
=
=
=
=；
故答案为：．
12．解：如图所示：
过C点分别作，，
∴，
又∵平分，
∴
在和中，
，
∴，
∴，
又∵，
∴．
如图所示：
过C点分别作，，
∴，
又∵平分，
∴
在和中，
，
∴，
∴，
又∵，
∴．
∴．
故答案为：或．
13．解：如图所示，过D作于E，于F，于G，
∵平分，，，
∴，
∵，，
∴，
∴平分，
又∵，，
∴，
∴，
又∵，，
∴平分，
∵，
∴，，
∵是的外角，是的外角，
∴
故答案为：47°．
14．解：∵，，，
，
由作图方法可得：平分，
，
在和中
，
，
，
的周长为：．
故答案为：．
15．解：过点O作于E．
，，
．
平分，，，
．
平分，，，
．
．
，
．
即点O到BC的距离是3．
故答案为：3．
16．解：∵，
∴，
即，
在和中，
，
∴ ，
∴，，故②正确；
同时，
由三角形的外角性质得：
，
∴，故①正确；
作于G，于H，如图所示，
则，
∵，
∴，
∴平分，故④正确；
假设平分，则，
在与中，
，
∴ ，
∴，
∵，
∴，
而，故③错误；
正确的个数有3个，
故答案为：①②④．
17．（1）解：如下图：
操作步骤：
①用圆规以点B为圆心，任意长为半径画，再以弧与角两边的交点为圆心，大于其连线的一半为半径画弧，两弧的交于一点，连接B于此交点并延长，就是所求的角平分线；
②以点B为圆心，在上作出；
③连接并延长与的延长线相交于点F．
（2）证明：是的角平分线
和中，
，
，
，
在和中，
，
，
．
18．证明：∵是的平分线
∴，
又，BF＝BF，
∴ ，
∴，
∴，
又，
∴，
∴，
∴是的平分线．
19．（1）证明：∵于点E，于点F，
∴，
在和中，
∴，
∴，
∵，，
∴平分．
（2）解：在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
20．解：（1）如图1，过点作于，于，
四边形为矩形，
，
，
，
，
，
，
平分，，，
，
在和中，
，
，
，
故答案为．
（2）解：成立，理由如下：如图2，
证明：过点分别作于点，作于点．
∴
∵平分，
∴
∵在四边形中，
∴
又∵
∴
在和中，
∴
∴．
（3）解：如图3，过点分别作于点，作于点．
平分，，
与的面积的比值为2。
如图4，过点作于，于，则
与的面积的比值为4，
综上所述： 与的面积的比值为2比4．
21．（1）证明：在四边形中，
，，
，
,，
平分，
；
（2）成立，
如图，过D作,交于E,,交延长线于F，
，
平分，
，
，
，
，
在与中，
，
；
（3）如图由（2）可知，
，
，
，
在与中，
，
，
，
，
，
解得：．