第22章 二次函数 单元达标测试题（含解析）2023-2024学年人教版九年级数学上册

2023-2024学年人教版九年级数学上册《第22章二次函数》单元达标测试题（附答案）
一、单选题（满分32分）
1．下列函数属于二次函数的是( )
A． B． C． D．
2．关于二次函数的图象与性质，下列结论错误的是（ ）
A．抛物线开口方向向下 B．当时，函数有最大值
C．当时，随的增大而减小 D．该抛物线可由经过平移得到
3．在平面直角坐标系中，抛物线向左平移3个单位，再向下平移3个单位，所得新的抛物线的顶点坐标为（ ）
A． B． C． D．
4．将二次函数化为的形式，结果为（　　）
A． B．
C． D．
5．向空中发射一枚炮弹，经x秒后的高度为y米，且时间与高度的关系为、若此炮弹在第8秒与第16秒时的高度相等，则在下列时间中炮弹所在高度最高的是（　　）
A．第8秒 B．第10秒 C．第12秒 D．第15秒
6．抛物线：与抛物线：关于x轴对称，则抛物线的表达式是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，抛物线的对称轴为直线，如果关于x的方程的一个根为，那么该方程的另一个根为( )
A．-2 B．-1 C．0 D．3
8．如图，抛物线与直线相交于，两点，则当时，自变量x的取值范围是（ ）．

A． B．
C．或 D．或
二、填空题（满分32分）
9．抛物线的对称轴是直线 ．
10．已知抛物线 与x轴交于点、两点，则B点的横坐标＝ ．
11．已知关于x的二次函数的图像与x轴总有交点，则m的取值范围是 ．
12．将抛物线向下平移1个单位长度，再向右平移 个单位长度后，得到的新抛物线经过原点．
13．如图，用长为的篱笆，一边利用墙（墙足够长）围成一个长方形花园，设花园的宽为，围成的花圃面积为，则y关于x的函数表达式为 ．
14．如图，一名学生推铅球，铅球行进高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的关系是，则铅球推出的距离 m．

15．已知抛物线与直线分别交于A，C两点，直线与直线关于抛物线的对称轴对称，且直线与抛物线分别交于B，D两点，其中A，D两点在x轴上方，B，C两点在x轴下方．若，则m的值为 ．
16．如图，二次函数的图象的顶点坐标为，则以下五个结论中：①，②，③，④，⑤方程有两个不相等的实数根．其中正确的结论有： （写序号）．

三、解答题（满分56分）
17．已知抛物线过点、两点，且以直线为对称轴，求此抛物线的解析式．
18．已知二次函数的图象经过点，）、（，）、（，），且与轴交于、两点．
(1)试确定该二次函数的解析式；
(2)判定点 ，是否在这个图象上，并说明理由；
(3)求的面积．
19．某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映，如果调整商品售价，每降价1元，每星期可多卖出15件．设每件商品降价x元后，每星期售出商品的总销售额为y元，
(1)请列出y与x的关系式；
(2)试求当商品降价多少元时，该商品每星期的总销售额为22500元？
(3)试求当商品售价为多少元时，该商品每星期的总销售额最高，最高为多少元？
20．如图所示，已知抛物线（）与轴交于点和点，与轴交点．

(1)求抛物线的解折式；
(2)点是线段上异于，的动点，过点作轴于点，交抛物线于点．当为直角三角形时，请直接写出点的坐标．
21．某公司生产A型活动板房的成本是每个3500元．图1表示A型活动板房的一面墙，它由长方形和抛物线构成，长方形的长，宽，抛物线的最高点E到的距离为．

(1)按图1中所示的平面直角坐标系，求该抛物线的函数表达式；
(2)现将A型活动板房改造成为B型活动板房．如图2，在抛物线与之间的区域内加装一扇长方形窗户，点G、M在上，点F、N在抛物线上，窗户的成本为150元/．已知，求每个B型活动板房的成本．（每个B型活动板房的成本＝每个A型活动板房的成本＋一扇窗户的成本）
22．如图①，抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C，连接AC，BC.点P是x轴上任意一点．
(1)求抛物线的表达式；
(2)点Q在抛物线上，若以点A，C，P，Q为顶点，AC为一边的四边形为平行四边形时，求点Q的坐标；
(3)如图②，当点从点A出发沿x轴向点B运动时（点P与点A，B不重合），自点P分别作，交AC于点E，作，垂足为点D．当m为何值时，面积最大，并求出最大值．
参考答案
1．解：A、是一次函数，不是二次函数，故本选项不符合题意；
B、符合二次函数的定义，故本选项符合题意；
C、，是一次函数，不是二次函数，故本选项不符合题意；
D、的右边是分式，不是二次函数，故本选项不符合题意；
故选：B．
2．解：∵二次函数解析式为中，，
∴二次函数开口向下，对称轴为直线，故A结论正确，不符合题意；
∴当时，函数有最大值，当时，随的增大而减小，故B结论错误，符合题意，C结论正确，不符合题意；
抛物线向左移动3个单位长度，向下移动2个单位长度得到抛物线，故D结论正确，不符合题意；
故选B．
3．解：将抛物线顶点坐标为，向左平移3个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式是将抛物线，
故平移后的顶点坐标为．
故选：B．
4．解： ，
故选：A．
5．解：∵此炮弹在第8秒与第16秒时的高度相等，
∴抛物线的对称轴是：，
∴炮弹所在高度最高的是第12秒．
故选：C．
6．解：抛物线的顶点坐标为，而关于x轴对称的点的坐标为，所以所求抛物线的解析式为
故选：A
7．解：∵关于x的方程有一个根为4，
∴抛物线与x轴的一个交点为，
抛物线的对称轴为直线
抛物线的对称轴也是，
∴抛物线与x轴的另一个交点为
∴方程的另一个根为
故选：A．
8．解：由图象可知，当时，自变量x的取值范围是，
故选：A．
9．解：方法1：利用公式法
的顶点坐标公式为，代入数值求得对称轴是直线；
方法2：利用配方法
，故对称轴是直线．
故答案为：．
10．解：对称轴为直线，
抛物线与x轴交于点、两点，
点，
B点的横坐标．
故答案为：．
11．解：∵二次函数的图像与x轴总有交点，
∴且，
解得且，
故答案为：且．
12．解：抛物线向下平移1个单位长度后的解析式为，
令，则，
解得，，
∴抛物线与的交点坐标为和，
∴将抛物线向右平移2个单位或4个单位后，新抛物线经过原点．
故答案为：2或4．
13．解：由题意可知花圃的长为，
则，
故答案为：．
14．解：令，则，
解得：，，
∴，
故答案为：．
15．解：∵
∴抛物线开口向上，对称轴为：，
∵直线与直线关于抛物线的对称轴对称，
∴两点关于直线对称，两点关于直线对称，
∴，
∵，
∴，
设，，则，，
∴，
由解析式联立可得：，
∴，
由根与系数的关系可得，，
∴，即
∴
解得：
故答案为：
16．解：①抛物线开口方向向下，则，
抛物线对称轴位于轴右侧，则异号，即，
抛物线与轴交于正半轴，则，
，故①错误；
②抛物线对称轴为直线，
，即，故②正确；
③由交点的位置可得：，
，
，
，
，
，
，故③错误；
④由图象可知，当时，，
此时点在第三象限，
，
，
，故④正确；
⑤方程有两个相等的实数根，
，
，
方程为，
，
方程为有两个不相等的实数根，故⑤正确；
综上所述，正确的为②④⑤，
故答案为：②④⑤．
17．解：函数以直线为对称轴，
设二次函数解析式为，
把点、代入，可得，
，即．
18．解：（1）设二次函数为，把，、 ，、， 代入二次函数解析式，
得：，
解得．
∴二次函数的解析式为：；
（2）把代入解析式，可得：，所以点 ，在函数图象上．
（3）当，，
解得：，
∴，
又 ，，
∴．
19．（1）解：由题意可得：
；
（2）解：由题意可得：，
解得，，
当商品降价30元或10元时，该商品每星期的总销售额为22500元；
（3）解：配方可得：，
因为，
所以当时，y有最大值，最大值是24000元．
答：当商品售价为20元，y有最大值，最大值是24000元．
20．（1）解：∵（）与轴交于点和点，
∴，解得：，
∴抛物线为：；
（2）如图，过作于，

由抛物线，当，则，
∴，而，
∴，
∴，而轴，
当，
∴
∴，
∵，，
设直线为，
∴，
解得：，
∴直线为，
设，则
∴，，
∴，
解得：，（不符合题意舍去）
∴，
当时，如图，

则关于抛物线的对称轴对称，，
∴，
解得：，（不符合题意舍去）
∴，
综上：或．
21．解：（1）∵长方形的长，宽，抛物线的最高点E到的距离为，
∴，
∴，
∴，
设该抛物线的函数表达式为，
把代入，得，
解得，
∴该抛物线的函数表达式为；
（2）∵，
∴，
当时，，
∴，，
∴，
∴（元），
所以，每个B型活动板房的成本为3725元．
22．解：（1）将，代入，得
，解得
∴抛物线解析式为：
（2）二次函数，当时，
∴点
设点，点，
当为边，为对角线时，
∵四边形为平行四边形，
∴，互相平分
∴解得，（舍去）或
点Q坐标；
当为边，为对角线时，
同理得，
解得，或，
∴
∴点Q坐标或
综上，点Q坐标，或或；
（3）如图，过点D作，过点E作，垂足为G，F，
∵，
∴
∴
∵
∴，同理可得
设直线的解析式为：
则，解得
∴直线：
同理由点，，可求得直线 ：
设点，，
则，，，
中，，
∴，
中，
∴，解得，
∴
∵
∴；
中，
∴，解得，
∴
∵
∴
∴，
即．
∵
∴时，，有最大值，最大值为．