北师大版八年级数学上册 1.3勾股定理的应用同步练习题（含解析）

2023-2024学年北师大版八年级数学上册《1.3勾股定理的应用》同步练习题
一．选择题
1．下列四组数据，不是勾股数的是（　　）
A．3，4，5 B．5，6，7 C．6，8，10 D．9，40，41
2．下列各组数中，能构成直角三角形的一组是（　　）
A．1，2，3 B．1，1， C．2，3，4 D．7，15，17
3．一个圆桶底面直径为7cm，高24cm，则桶内所能容下的最长木棒为（　　）
A．20cm B．25cm C．26cm D．30cm
4．将一根24cm的筷子，置于底面直径为15cm，高8cm的装满水的无盖圆柱形水杯中，设筷子浸没在杯子里面的长度为hcm，则h的取值范围是（　　）
A．h≤15cm B．h≥8cm C．8cm≤h≤17cm D．7cm≤h≤16cm
5．如图，高速公路上有A、B两点相距10km，C、D为两村庄，已知DA＝4km，CB＝6km．DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，现要在AB上建一个服务站E，使得C、D两村庄到E站的距离相等，则EA的长是（　　）km．
A．4 B．5 C．6 D．
6．在一块平地上，张大爷家屋前9米远处有一棵大树．在一次强风中，这棵大树从离地面6米处折断倒下，量得倒下部分的长是10米．出门在外的张大爷担心自己的房子被倒下的大树砸到．大树倒下时能砸到张大爷的房子吗？（　　）
A．一定不会 B．可能会
C．一定会 D．以上答案都不对
7．如图，有一个绳索拉直的木马秋千，绳索AB的长度为5米，若将它往水平方向向前推进3米（即DE＝3米），且绳索保持拉直的状态，则此时木马上升的高度为（　　）
A．1米 B．米 C．2米 D．4米
8．如图，为了测算出学校旗杆的高度，小明将升旗的绳子拉到旗杆底端，并在与旗杆等长的地方打了一个结，然后将绳子底端拉到离旗杆底端5米的地面某处，发现此时绳子底端距离打结处约1米，则旗杆的高度是（　　）
A．12 B．13 C．15 D．24
二．填空题
9．一个三角形三个内角的比是1：1：2，它的面积是12，则它的周长是　 　．
10．两个大小不同的等腰直角三角板按如图方式摆放，使得A，B，P三点在同一直线上，连接CD．若AB＝5，CD＝8，则△CDP的面积为　 　．
11．如图所示的是正方形网格，则∠MDC﹣∠MAB＝　 　°（点A，B，C，D，M．网格线交点）．
12．在四边形ABCD中，∠C＝90°，CD＝8，BC＝6，AB＝24，AD＝26，则四边形ABCD面积为　 　．
13．如图所示，BC是新建快速公路，长度为10km，∠A＝90°，AB＝6km，AC＝8km，一小镇位于点A，现在该小镇要修一条公路到达快速公路，则修这条公路最短长度为　 　km．
14．如图，一个池塘，其底面是边长为10尺的正方形，一棵芦苇AB生长在它的中央，高出水面的部分BC为1尺．如果把这根芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，芦苇的顶部B恰好碰到岸边的B'，则这根芦苇的长度是 　 　尺．
15．如图，要测量小河两岸相对的两点P、A的距离，可以在小河边取PA的垂线PQ上的一点G，测得PG＝50米，∠PGA＝30°，则小河宽PA为　 　米．
16．如图，在离水面高度为8米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC的长为17米，几分钟后船到达点D的位置，此时绳子CD的长为10米，问船向岸边移动了　 　米．
三．解答题
17．小明想知道学校旗杆的高度，他发现旗杆上的绳子垂到地面时还多1m，当他把绳子的下端拉开5m后，发现绳子的下端刚好接触到地面，求旗杆的高．
18．如图，有一块四边形的绿地ABCD，已知：AB＝3m，BC＝4m，∠B＝90°，CD＝12m，AD＝13m，求这块绿地ABCD的面积．
19．如图，铁路上A、B两点相距25km，C、D为两村庄，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，已知DA＝15km，CB＝10km，现在要在铁路AB上建一个土特产品收购站E，使得C、D两村到E站的距离相等，则：
（1）E站应建在距A站多少千米处？
（2）DE和EC垂直吗？说明理由．
20．如图，某工厂A到直线公路l的距离AB为3千米，与该公路上车站D的距离为5千米，现要在公路边上建一个物品中转站C，使CA＝CD，求物品中转站与车站之间的距离．
21．为了绿化环境，我县某中学有一块四边形的空地ABCD，如图所示，学校计划在空地上种植草皮，经测量，∠ADC＝90°，CD＝3米，AD＝4米，AB＝13米，BC＝12米．
（1）求出空地ABCD的面积．
（2）若每种植1平方米草皮需要300元，问总共需投入多少元？
22．如图是一个滑梯示意图，左边是楼梯，右边是滑道，已知滑道AC与AE的长度一样，滑梯的高度BC＝4m，BE＝1m．求滑道AC的长度．
23．如图，公路MN和公路PQ在点P处交汇，且∠QPN＝30°，点A处有一所中学，AP＝160m，假设拖拉机行驶时，周围100m以内会受到噪音的影响，那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时，学校是否会受到噪声影响？请说明理由，如果受影响，已知拖拉机的速度为18km/h，那么学校受影响的时间为多少秒？
24．《九章算术》是我国古代数学的经典著作．书中有一个“折竹抵地”问题：“今有竹高丈，末折抵地，问折者高几何？”意思是：一根竹子，原来高一丈（一丈为十尺），虫伤有病，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离原竹子根部三尺远，问：原处还有多高的竹子？
25．《城市交通管理条例》规定：小汽车在城市街路上的行驶速度不得超过70千米/时．如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到车速检测仪A正前方30米的C处，过了2秒后，小汽车行驶至B处，若小汽车与观测点间的距离AB为50米，请通过计算说明：这辆小汽车是否超速？
参考答案
一．选择题
1．解：A、因为32+42＝52，属于勾股数；
B、因为52+62≠72，不属于勾股数；
C、因为62+82＝102，属于勾股数；
D、因为92+402＝412，属于勾股数；
故选：B．
2．解：A．∵12+22≠32，
∴以1，2，3为边不能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
B．∵12+12＝（）2，
∴以1，1，为边能组成直角三角形，故本选项符合题意；
C．∵22+32≠42，
∴以2，3，4为边不能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
D．∵72+152≠172，
∴以7，15，17为边不能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
故选：B．
3．解：如图，AC为圆桶底面直径，CB是桶高，
∴AC＝7cm，CB＝24cm，
∴线段AB的长度就是桶内所能容下的最长木棒的长度，
∴AB＝＝＝25（cm）．
故桶内所能容下的最长木棒的长度为25cm．
故选：B．
4．解：如图，当筷子的底端在D点时，筷子浸没在杯子里面的长度最短，
∴h＝BD＝8（cm）；
当筷子的底端在A点时，筷子浸没在杯子里面的长度最长，
在Rt△ABD中，AD＝15cm，BD＝8cm，
∴AB＝＝17（cm），
所以h的取值范围是：8cm≤h≤17cm．
故选：C．
5．解：设BE＝x，则AE＝（10﹣x）km，
由勾股定理得：
在Rt△ADE中，
DE2＝AD2+AE2＝42+（10﹣x）2，
在Rt△BCE中，
CE2＝BC2+BE2＝62+x2，
由题意可知：DE＝CE，
所以：62+x2＝42+（10﹣x）2，
解得：x＝4km．
所以，EB的长是4km．
所以，EA＝10﹣4＝6（km）．
故选：C．
6．解：如图
由题意画出大树倒下的示意图，大树从点B刮断，绕点B倒下，树梢的轨迹为，
根据题意得，AB＝6，BC＝10，AF＝9，
过点F作AB的平行线交于D，E（D在E上面），
∴BE＝BC＝10，∠F＝90°，
过点B作BG⊥DF于G，
∴∠BGF＝90°，
∵∠A＝90°，
∴∠A＝∠F＝∠BGF＝90°，
∴四边形ABGF是矩形，
∴FG＝AB＝6，BG＝AG＝9，
在Rt△BGF中，根据勾股定理得，EG＝＝＝，
∴EF＝FG﹣EG＝6﹣≈6﹣4.36＝1.64米，
而房屋一般高度为2.8到3米，
∴1.64＜2.8，
即：大树倒下时肯定能砸到张大爷的房屋，
但树不向张大爷房子的方向倒下时，一定不会砸到张大爷的房屋，
故选：B．
解：过点C作CF⊥AB于点F，
根据题意得：AB＝AC＝5，CF＝DE＝3，
由勾股定理可得AF2+CF2＝AC2，
∴AF＝，
∴BF＝AB﹣AF＝5﹣4＝1，
∴此时木马上升的高度为1米，
故选：A．
解：如图，
设旗杆的高度为xm，则AC＝xm，AB＝（x+1）m，BC＝5m，
在Rt△ABC中，52+x2＝（x+1）2，解得x＝12，
答：旗杆的高度是12m．
故选：A．
二．填空题
9．解：∵三角形三个内角的比是1：1：2，
∴这个三角形是等腰直角三角形，
设腰为a，则 a2＝12，
∴a＝2或﹣2．
∴斜边的长＝a＝4，
∴这个三角形的周长＝4+4，
故答案为：4+4．
10．解：设AP＝a，BP＝b，
∵AB＝5，
∴a+b＝5，
∵△BPC与△APD为等腰直角三角形，
∴PC2＝2b2，PD2＝2a2，且∠BPC＝∠APD＝45°，
∴∠CPD＝90°，
∴PC2+PD2＝CD2，
∴2a2+2b2＝64，
即a2+b2＝32，
由a+b＝5，得：a2+2ab+b2＝50，
∴ab＝，
由梯形面积公式得，，
∴S△PCD＝S梯形ABCD﹣S△BPC﹣S△APD
＝
＝ab
＝9，
故答案为：9．
11．解：连接ME、DE，
由图可知，∠MAB＝∠EDF，
∴∠MDC﹣∠MAB＝∠MDC﹣∠EDF＝∠EDM，
∵ME＝＝，MD＝＝，DE＝＝，
∴ME2+MD2＝DE2，
∴△END是直角三角形，
∵ME＝ME，
∴∠MDE＝45°，
即∠MDC﹣∠MAB＝45°，
故答案为：45．
12．解：如图，连接BD，
∵∠C＝90°，
∴BD＝＝10，
∵BD2+AB2＝102+242＝262＝AD2，
∴∠ABD＝90°，
∴四边形ABCD的面积＝S△ABD+S△BCD＝＝144．
故答案为：144
13．解：过A作AD⊥BC于D，
∵∠A＝90°，AB＝6km，AC＝8km，BC＝10km，
∴AD＝（km），
故答案为：4.8．
14．解：设芦苇长AB＝AB′＝x尺，则水深AC＝（x﹣1）尺，
因为边长为10尺的正方形，所以B'C＝5尺
在Rt△AB'C中，52+（x﹣1）2＝x2，
解之得x＝13，
即芦苇长13尺．
故答案为：13．
15．解：如图，PG＝50米，∠PGA＝30°，则AG＝2PA，
由勾股定理得到：AG2＝PA2+PG2，即4PA2＝PA2+（50）2．
解得PA＝50米．
故答案为：50．
16．解：在Rt△ABC中：
∵∠CAB＝90°，BC＝17米，AC＝8米，
∴AB＝＝＝15（米），
∵CD＝10（米），
∴AD＝＝6（米），
∴BD＝AB﹣AD＝15﹣6＝9（米），
答：船向岸边移动了9米，
故答案为：9．
三．解答题
17．解：设旗杆的高为xm，则绳子的长为（x+1）m，
根据勾股定理得：x2+52＝（x+1）2，
解得：x＝12，
答：旗杆的高为12m．
18．解：在Rt△ABC中，AB＝3m，BC＝4m，∠B＝90°，
由勾股定理得AB2+BC2＝AC2，
∴AC＝5m，
在△ADC中，AC＝5m，DC＝12m，AD＝13m，
∴AC2+DC2＝169，AD2＝169，
∴AC2+DC2＝AD2，
∴∠ACD＝90°，
四边形的面积＝SRt△ABC+SRt△ADC＝36（m2），
答：这块草坪的面积是36m2．
19．解：（1）∵使得C，D两村到E站的距离相等．
∴DE＝CE，
∵DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，
∴∠A＝∠B＝90°，
∴AE2+AD2＝DE2，BE2+BC2＝EC2，
∴AE2+AD2＝BE2+BC2，
设AE＝x，则BE＝AB﹣AE＝（25﹣x），
∵DA＝15km，CB＝10km，
∴x2+152＝（25﹣x）2+102，
解得：x＝10，
∴AE＝10km．
∴BE＝15km．
（2）DE和EC垂直，理由如下：
在△DAE与△EBC中，
，
∴△DAE≌△EBC（SAS），
∴∠DEA＝∠ECB，∠ADE＝∠CEB，
∠DEA+∠D＝90°，
∴∠DEA+∠CEB＝90°，
∴∠DEC＝90°，
即DE⊥EC．
20．解：∵AB⊥l于B，AB＝3千米，AD＝5千米．
∴BD＝＝＝4（千米）．
设CD＝x千米，则CB＝（4﹣x）千米，
x2＝（4﹣x）2+32，
x2＝16+x2﹣8x+32，
解得：x＝3.125．
答：物品中转站与车站之间的距离为3.125千米．
21．解：（1）连接AC，
在Rt△ACD中，AC2＝CD2+AD2＝32+42＝52，
在△ABC中，AB2＝132，BC2＝122，
而52+122＝132，
即AC2+BC2＝AB2，
∴∠ACB＝90°，
S四边形ABCD＝S△ACB﹣S△ACD＝AC BC﹣AD CD
＝×5×12﹣×4×3＝24（m2）．
（2）需费用24×300＝7200（元），
答：总共需投入7200元．
22．解：设AC＝xm，则AE＝AC＝xm，AB＝AE﹣BE＝（x﹣1）m，
由题意得：∠ABC＝90°，
在Rt△ABC中，AB2+BC2＝AC2，（x﹣1）2+42＝x2
解得x＝8.5
∴AC＝8.5m．
23．解：学校会受到噪声影响．
理由：作AH⊥MN于H，如图，
在Rt△APH中，
∵∠HPA＝30°，
∴AH＝AP＝×160°＝80（m），
而80＜100，
∴拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时学校会受到影响；
以A为圆心，100为半径画弧交MN于B、C，如图，则AB＝AC＝100m，
而AH⊥BC，
∴BH＝CH，
在Rt△ABH中，BH＝＝60（m），
∴BC＝2BH＝120（m），
∵拖拉机的速度＝18km/h＝5m/s，
∴学校受到的影响的时间＝＝24（秒）．
24．解：设竹子折断处离地面x尺，则斜边为（10﹣x）尺，
根据勾股定理得：x2+32＝（10﹣x）2，
解得：x＝4.55．
答：原处还有4.55尺高的竹子．
25．解：∵∠ACB＝90°
∴由勾股定理可得：BC＝＝40，
40米＝0.04千米，
2秒＝小时．
0.04÷＝72＞70．
所以超速了．