数学人教A版（2019）必修第二册8.6.3平面与平面垂直课件（共42张ppt）

(共42张PPT)
8.6.3 平面与平面垂直（1）
第八章 立体几何初步
引 入
1. 直线与平面垂直的定义
如果直线 l 与平面α内的任意一条直线都垂直，则称直线 l 和平面α互相垂直.
2. 直线和平面垂直的判定定理
如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直.
垂直于同一个平面的两条直线平行．
a⊥α
b⊥α
a//b
3. 直线与平面垂直的性质定理
在平面几何中，我们先定义了角的概念，利用角刻画两条相交直线的位置关系，进而研究直线与直线互相垂直这种特殊情况.
引 入
二面角
在日常生活中，有很多平面与平面相交的例子．
类似地，我们需要先引进二面角的概念，用以刻画两个相交平面的位置关系，进而研究两个平面互相垂直.
探究新知
直线上的一点将直线分割成两部分，每一部分都叫做射线．
射线
射线
半平面
半平面
1. 二面角
①半平面：平面上的一条直线将平面分割成两部分，每一部分叫半平面．
②二面角的定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角. 这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面.
l
A
B
β
α
．P
．Q
③二面角的记法：
记作二面角α-AB-β；
二面角P-AB-Q；
二面角α-l-β或P-l-Q．
棱
面
探究新知
④二面角的画法
Ⅰ平卧式：
A
B


l
A
B
l


A
B
C
D
Ⅱ直立式：
A
B


A
B


l
探究新知
问题1 那么该如何定量地刻画两平面的位置关系呢？根据前面研究异面直线所成的角和直线与平面所成的角的经验，我们可以
虽然都是平面与平面相交，但在直观感觉上，两平面的“开合程度”并不一样．比如日常生活中，常说“把门开大一些”，这说明门与墙面所形成的角度有不同的状态．
用一个平面角来度量二面
角的大小．这样的平面角该如何建构呢？
问题3 在二面角的棱上任取一点，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线形成的角度是唯一确定的吗？为什么？
探究新知
P
A
B
不能. 因为角的大小会由于所作射线的位置不一样而不同，而度量一个量的基本要求是“唯一性”．
是唯一确定的．根据等角定理.
问题2在二面角的棱上任取一点，从该点出发，分别在两个半平面内任作一条射线，可得一个平面角，这样的平面角能用来刻画二面角的大小吗？为什么？
O
A
B
探究新知
2. 二面角的平面角
在二面角α-l-β的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角.
问题3 在二面角的平面角的定义中O点是在棱上任取的，那么∠AOB的大小与点O在棱上的位置有关系吗？无关.根据等角定理.
二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度.
注意：(1)大小与点O的位置无关.
(2)二面角的平面角两边一定要垂直于棱.
问题4 二面角的平面角θ的取值范围是什么？
探究新知
直二面角的定义：我们把平面角是直角的二面角叫做直二面角．
锐二面角
直二面角
钝二面角
注意区分各种角的取值范围：
异面直线所成角：___________，线面角：____________.
(0°, 90°]
[0°, 90°]
α(β)
l
A(B)
O
α
β
l
A
B
O
θ=0o
二面角的取值范围：二面角的平面角θ的取值范围为
θ =180o
0o≤θ≤180o．
探究新知
教室里的墙面所在平面与地面所在平面相交，它们所成的二面角是直二面角，我们常说墙面直立于地面上.
问题5 教室相邻的两个墙面与地面可以构成几个二面角 分别指出构成这些二面角的面、棱、平面角及其度数．
二面角C-AO-B
二面角A-BO-C
二面角A-CO-B
探究新知
如图画两个互相垂直的平面时，通常把表示平面的两个平行四边形的一组边画成垂直．
一般地， 两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．平面α与β垂直，记作α⊥β．
3. 两平面垂直的定义
探究新知
在明确了两个平面互相垂直的定义的基础上，我们研究两个平面垂直的判定和性质.先研究平面与平面垂直的判定．
　这种方法告诉我们，如果墙面经过地面的垂线，那么墙面与地面垂直.
问题6 建筑工人在砌墙时，常用铅锤来检测所砌的墙面与地面是否垂直．如果系有铅锤的细线紧贴墙面，就认为墙面垂直于地面．这种方法说明了什么道理？
类似结论也可以在长方体中发现．如图，在长方体ABCD-A'B'C'D'中，平面ADD'A'经过平面ABCD的一条垂线AA'，此时，平面ADD'A'垂直于平面ABCD．
探究新知
如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直.
这个定理说明了，可以由直线与平面垂直证明平面与平面垂直.
4. 平面与平面垂直的判定定理
线面垂直 面面垂直
图形语言：
符号语言：
β
a
A
α
例题讲解
【例7】如图，在正方体ABCD-A'B'C'D'中，求证平面A'BD⊥平面ACC'A'．
例题讲解
【例8】如图所示，AB是圆O的直径，PA垂直于圆O所在的平面，C是圆周上不同于A，B的任意一点．求证：平面PAC⊥平面PBC．
课堂练习
【练习】(1)在四面体A-BCD中，AB⊥平面BCD，BC ⊥CD，你能在图中发现哪些平面互相垂直，为什么？
由AB⊥平面BCD可知：
平面ABC⊥平面BCD，平面ABD⊥平面BCD．
易证：CD⊥平面ABC，故：平面ACD⊥平面ABC．
教科书第158页的例8以及练习的第3题中出现的四面体在中国古代被称为“鳖臑”，即四个面都是直角三角形的三棱锥．“鳖臑”是用来展示空间垂直关系的经典素材，值得我们关注．
探究新知
四个面都是直角三角形的四面体称之为“鳖臑”；
将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为“阳马”；
底面是直角形的直三棱柱称之为“堑堵”．
堑堵
阳马
鳖臑
两个堑堵组成一个长方体
一个阳马和一个鳖臑组成一个堑堵
两个鳖臑组成一个阳马
课堂练习
【练习】(1)在四面体A-BCD中，AB⊥平面BCD，BC ⊥CD，你能在图中发现哪些平面互相垂直，为什么？
平面ABC⊥平面BCD，平面ABD⊥平面BCD．
平面ACD⊥平面ABC．
(2)已知PA⊥矩形ABCD所在的平面，哪些平面互相垂直
平面PAD⊥平面ABCD，
平面PAB⊥平面ABCD，
平面PBC⊥平面PAB，
平面PAB⊥平面PAD，
平面PDC⊥平面PAD，
课堂小结
1.知识点：
2.方法：转化思想.
3.易错点：二面角的平面角的取值范围与线与线，线与面所成交的范围混淆.
平面与平面垂直的概念
平面与平面垂直的判定定理
二面角及其平面角的概念
布置作业
（1）教材P163:7,8
（2）手工作业：用硬纸板制作一个阳马和一个鳖臑.
8.6.3 平面与平面垂直（2）
第八章 立体几何初步
引 入
2、平面与平面垂直的定义
两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，这两个平面互相垂直.
1、什么是二面角？怎么找到二面角的平面角？
从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．
引 入
3、平面与平面垂直的判定定理
如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直.
b
符号表示：
下面我们研究平面与平面垂直的性质，也就是在两个平面互相垂直的条件下，能推出哪些结论．
如果两个平面互相垂直，根据已有的研究经验，我们可以先研究其中一个平面内的直线与另一个平面具有什么位置关系．
线面垂直 面面垂直
引 入
问题1 如图，已知平面α⊥平面β， α∩β=a，则β内异于a的直线b与a是什么位置关系？相应地，b与α是什么位置关系？
因为b与a在同一平面内，故可能平行，也可能相交
b//a → b//α
b与a相交 → b与α相交
问题2 教室内的黑板所在的平面与地面所在的平面垂直,在黑板上任意画一条直线与地面垂直吗 怎样画才能保证所画直线与地面垂直
探究新知
两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直.
符号语言：
1. 平面与平面垂直的性质定理
面面垂直 线面垂直
例题讲解
例1 定理辨析.
已知平面α⊥平面β，α∩ β＝l下列命题.
（2）垂直于交线l的直线必垂直于平面β（ ）
（3）过平面α内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于平面β（ ）
（1）平面α内的任意一条直线必垂直于平面β（ ）
√
×
×
l
探究新知
问题3 设α⊥β，点P在平面α内，过点P作平面β的垂线a,直线a与平面α具有什么位置关系
如下图，过点P在α内作直线b⊥c，则b⊥β.
因为过一点有且只有一条直线与β垂直，所以直线a与直线b重合，因此a α.
a α
例题讲解
例2 如图，已知平面α⊥平面β，不在平面α内的直线a⊥β，判断a与α的位置关系．
解：在α内作垂直于α与β的交线的直线b．
∵α⊥β
∴b⊥β
∵a⊥β
∴a∥b
∵a
∴a∥α，即直线a与平面α平行
例题讲解
例3　如图，已知PA⊥平面ABC，平面PAB ⊥平面PBC．
求证：BC⊥平面PAB．
P
A
B
C
证明：过点A作AE⊥PB，垂足为E．
∵平面PAB⊥平面PBC，
平面PAB∩平面PBC＝PB，
∴AE⊥平面PBC．
∵BC 平面PBC，∴AE⊥BC．
又∵PA⊥平面ABC，BC 平面ABC，
∴PA⊥BC．
又PA∩AE＝A，∴BC⊥平面PAB．
课堂练习
练习1 如图，四棱锥V ABCD的底面是矩形，侧面VAB⊥底面ABCD，又VB⊥平面VAD.
求证：平面VBC⊥平面VAC.
课堂练习
练习2 判断下列结论
( )
( )
( )
( )
( )
√
√
×
√
( )
×
√
探究新知
直线与直线垂直
直线与平面垂直
平面与平面垂直
判定
性质
判定
定义
课堂练习
练习1 如图，四棱锥V ABCD的底面是矩形，侧面VAB⊥底面ABCD，又VB⊥平面VAD.
求证：平面VBC⊥平面VAC.
课堂练习
练习2 如图，棱柱ABC A1B1C1的侧面BCC1B1是菱形，B1C⊥A1B.
证明：平面AB1C⊥平面A1BC1.
课堂练习
练习3 如图，在四棱锥P ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是直角梯形，AB⊥AD，CD⊥AD.
求证：平面PDC⊥平面PAD.
课堂练习
练习3 如图所示，在正方体ABCD-A'B'C'D'中，E为棱CC'中点， 求二面角A'-BD-E的大小．
探究新知
求二面角的一般步骤：
1．作：在棱上选择恰当的一个点，在两半平面内分别作与棱垂直的射线，
两射线组成的角，即为二面角的平面角；
2．证：证明(1)中所作出的角就是二面角的平面角；
（注：关键证明线线垂直）
3．求：通过解三角形，求出(1)中所作的角的大小．
课堂练习
练习4
探究新知
用三垂法作二面角的平面角的一般步骤：
1．在其中一个半平面内取恰当的一点P，
过点P作另一个平面的垂线，垂足设为Q；
2．过点Q作棱l的垂线，垂足为O，连接OP；
3．易知，l垂直OP，所以∠POQ即为二面角
的平面角.
课堂练习
练习5 如图，四棱锥P-ABCD的底面是正方形，且平面PAB⊥平面ABCD．
PA=PB=AB=2，求二面角P-AC-B的余弦值．
三垂法作二面角的平面角
课堂小结
平面与平面垂直
二面角
面面垂直的定义
面面垂直的判定定理
面面垂直的性质定理
布置作业
（1）教材
（2）同步作业