24.1.1圆的有关性质（3） 课件（29张PPT）

(共29张PPT)
24.1.3 弧、弦、圆心角
人教版九年级上册
知识回顾
连接圆上任意两点的线段叫做弦.
圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．
以A、B为端点的弧记作 ，读作“圆弧AB”或“弧AB”．
1.弦的概念：
2.弧的概念：
教学目标
1.理解圆心角的概念，掌握圆的中心对称性和旋转不变性.
2.探索圆心角、弧、弦之间关系定理并利用其解决相关问题.
3.理解圆心角、弧、弦之间关系定理中的“在同圆或等圆”条件的意义.
新知导入
1．你能举出生活中的圆形商标的实例吗？
把这些圆形图案绕圆心旋转一定的角度，你有什么发现？
旋转前后圆中的弧、弦会有变化吗？
图案绕圆心旋转一定的角度后能与自身重合，旋转前后圆中的弧、弦不会有变化．
新知探究
圆是中心对称图形，圆具有旋转不变性.
.
O
A
B
问题1：将圆绕圆心旋转180°后，得到的图形与原图形重合吗？由此你得到什么结论呢？
圆是中心对称图形吗？对称中心是什么？
新知探究
问题2：把圆绕圆心旋转任意一个角度呢？仍与原来的圆重合吗？
O
圆是旋转对称图形，具有旋转对称性.
·
新知探究
·
O
B
A
O
B
A
思考：观察在⊙O中，这些角有什么共同特点？
A
B
O
新知探究
O
A
B
1.顶点在圆心的角，叫圆心角，如∠AOB .
3.圆心角 ∠AOB所对的弦为AB.
任意给圆心角，对应出现三个量：
圆心角
弧
2.圆心角 ∠AOB所对的弧为 AB.
⌒
弦
一条弧所对的圆心角只有一个 .
新知探究
在⊙O中，如果∠AOB= ∠COD，那么，AB与CD，弦AB与弦CD有怎样的数量关系呢？
(
(
C
·
O
A
B
D
由圆的旋转不变性，我们发现：
在⊙O中，如果∠AOB= ∠COD，
那么， ，弦AB=弦CD
若∠AOB和∠A′OB′分别在两个相等的圆中，上述等量关系还存在吗？
新知探究
·
O
A
B
如图，在等圆中，如果∠AOB＝∠A ′ O ′ B ′ ，你发现的等量关系是否依然成立？为什么？
【结论】通过平移和旋转将两个等圆变成同一个圆，我们发现：如果∠AOB=∠COD，那么，AB=CD，弦AB=弦CD.
⌒
⌒
·
O′
A′
B′
新知探究
【结论】由圆的旋转不变性，我们发现：
在⊙O中，如果∠AOB= ∠COD，
那么， ，弦AB=弦CD
【结论】通过平移和旋转将两个等圆变成同一个圆，我们发现：如果∠AOB=∠COD，那么，AB=CD，弦AB=弦CD.
⌒
⌒
在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角、所对的弦有什么关系？
如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角、所对的弧有什么关系？
新知小结
1．顶点在 的角叫做圆心角，能够重合的圆叫做 ；能够 的弧叫做等弧；圆绕其圆心旋转任意角度都能够与原来的的图形重合，这就是圆的 性．
O
A
B
任意给圆心角，对应出现三个量：
圆心角
弧
弦
圆心
等圆
重合
旋转不变
圆心角∠AOB所对的弦为AB.
圆心角∠AOB 所对的弧为AB.
⌒
新知小结
在同一个圆中，如果圆心角相等，那么它们所对的弧相等，所对的弦相等．
①∠AOB=∠COD
②AB=CD
⌒ ⌒
③AB=CD
A
B
O
D
C
弧、弦与圆心角的关系定理
新知小结
在同一个圆中，如果弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等．
弧、弦与圆心角关系定理的推论
在同一个圆中，如果弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧相等．
A
B
O
D
C
新知小结
如果弧相等
那么
弧所对的圆心角相等
弧所对的弦相等
如果弦相等
那么
弦所对应的圆心角相等
弦所对应的优弧相等
弦所对应的劣弧相等
如果圆心角相等
那么
圆心角所对的弧相等
圆心角所对的弦相等
在同圆或等圆中
题设
结论
新知探究
定理“在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等”中，可否把条件“在同圆或等圆中”去掉？为什么？
A
B
O
D
C
新知典例
证明：
∴ AB=AC．△ABC是等腰三角形.
又∠ACB=60°，
∴ △ABC是等边三角形 , AB=BC=CA.
∴ ∠AOB＝∠BOC＝∠AOC.
如图，在⊙O中， AB=AC ，∠ACB=60°，求证∠AOB=∠BOC=∠AOC.
A
B
C
O
⌒ ⌒
∵AB=AC，
⌒ ⌒
例1
新知练习
1.如图，C，D是以AB为直径的圆O上的两点，且OD//BC.求证：AD=DC.
解：如图，连接OC.
∵OD// BC，
∴∠1=∠B，∠2=∠3,
∵OB=OC，∴∠B=∠3,
∴∠1=∠2，∴ AD=DC.
新知探究
下列说法正确吗？为什么？
例2
(1)如图，因为∠AOB＝∠A′OB′，所以
(2)在⊙O和⊙O′中，如果弦AB＝A′B′，那么
同圆或等圆
新知典例
（2） ， ；
　如图，在⊙O中，AB是直径，C，D，E三点分别在⊙O上，则：
(1)OC OD OE；
例3
(3)弦CD所对的弧有 .
=
=
＜
=
新知练习
解：
∵ ,
·
A
O
B
C
D
E
2.如图，AB是⊙O 的直径，，∠COD=35°，求∠AOE 的度数．
新知探究
3.如图，AB、CD是⊙O的两条弦．
（1）如果AB=CD，那么___________，________________．
（2）如果 ，那么_________________，_____________．
（3）如果∠AOB=∠COD，那么_____________，_________．
·
C
A
B
D
E
F
O
AB=CD
AB=CD
AB=CD
(
(
∠AOB= ∠COD
∠AOB= ∠COD
AB=CD
(
(
AB=CD
(
(
课堂练习
（4）如果AB=CD，OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，OE与OF相等吗？为什么？
·
C
A
B
D
E
F
O
解：OE=OF.
理由如下：
课堂总结
1.圆具有旋转不变性
2.弧、弦、圆心角定理
在同圆或等圆中，两条弧、两条弦、两个圆心角中如果有一组量相等，则他们所对的其余两组量也相等.
课堂练习
D
B
课堂练习
3．如图，在⊙O中，已知弦AB＝DE，OC⊥AB，OF⊥DE，垂足分别为C，F，则下列说法中正确的有(　　)
①∠DOE＝∠AOB；②AB＝DE；③OF＝OC；④AC＝EF
A．1个　　　 　B．2个　　　 　C．3个　　　　D．4个
(
(
D
课堂练习
B
60°
∠BOD、∠BOE、∠DOE
第4题
第5题
谢谢
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