数学人教A版（2019）选择性必修第一册1.1.1空间向量及其线性运算课件（共36张ppt）

(共36张PPT)
1.1.1空间向量及其线性运算
新知探究
2
新知引入
教学目标：
（1）经历向量及其运算由平面向空间推广的过程，了解空间向量的概念，发展
数学抽象素养；
（2）掌握空间向量的加法、减法、数乘运算及其表示；
（3）掌握空间向量加法、减法、数乘的运算律；
（4）借助向量的线性运算的学习，提升数学运算素养.
教学重点：空间向量的概念和线性运算及其应用
教学难点：空间向量的线性运算及其应用
1、定义：
平面内既有大小又有方向的量。
几何表示法:用有向线段表示
字母表示法：
用小写字母表示，或者用表示向量的
有向线段的起点和终点字母表示。
相等向量：长度相等且方向相同的向量
A
B
C
D
2、表示法：
回顾
向量加法的三角形法则
a
b
向量加法的平行四边形法则
b
a
向量减法的三角形法则
a
b
a －
b
a ＋
b
a (k>0)
k
a (k<0)
k
向量的数乘
a
首尾相接,首尾连
共起点,对角线
共起点,连终点,指向被减向量
回顾
加法交换律：
加法结合律：
数乘分配律：
回顾
（1）首尾相接的若干向量之和，等于由起始
向量的起点指向末尾向量的终点的向量；
（2）首尾相接的若干向量若构成一个封闭图
形，则它们的和为零向量。
回顾
章头图展示的是一个做滑翔伞运动的场景，可以想象在滑翔过程中，飞行员会受到来自不同方向大小各异的力，用图示法表示这些力
资料
起点
终点
探究新知
在空间中,具有大小和方向的量.
1).空间向量：
探究 空间向量的概念及表示
2)零向量
3)单位向量
当有向线段的起点A与终点B重合时，
4)相反向量
5)相等向量
思考1：空间中任意两个向量共面吗？
共面
如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量.

6)共线向量（平行向量）
问题 平面向量与空间向量有什么区别与联系？
（1）区别：平面向量研究的是二维平面的向量，空间向量研究的是三维空间的向量.
（2）联系：空间向量的定义、表示方法及零向量、单位向量、相反向量、相等向量和共线向量（平行向量）的概念都与平面向量相同.
问题探究
数学中，引进一种量后，一个很自然的问题就是要研究它们的运算. 那么在学习了空间向量的概念之后，空间向量如何进行线性运算呢？
复习回顾·平面向量的线性运算
(1)加减运算
三角形法则:
首尾相连
平行四边形法则：
共起点
减法法则：
共起点，
连终点，
指被减
复习回顾·平面向量的线性运算
(2)数乘运算
实数λ与平面向量a的积是一个向量，记作λa，其长度和方向规定如下：
① |λa|＝|λ||a|；
②若λ > 0，λa与a的方向相同；
若λ < 0，λa与a的方向相反；
若λ＝0，λa＝0.
O
A
Q
P
M
N
a
λa
(λ>0)
λa
(λ<0)
问题探究
如何进行空间向量的线性运算？
a
b
.
O
α
转化
平面向量的线性运算
空间向量的线性运算
空间向量的线性运算
(1)加减运算：
(2)数乘运算：
三角形法则、平行四边形法则
实数λ与空间向量a的积是一个向量，记作λa，其长度和方向规定如下：
① |λa|＝|λ||a|；
②若λ > 0，λa与a的方向相同；
若λ < 0，λa与a的方向相反；
若λ＝0，λa＝0.
空间向量线性运算的运算律
①交换律： a + b＝b + a；
②结合律： a + (b + c)
＝(a + b) + c，
λ(μa)＝(λμ)a；
③分配律： (λ+μ)a＝λa + μa，
λ(a+b)＝λa + λb.
问题 如图1.1-6，在平行六面体 中，分别标出 ， 表示的向量.从中体会向量加法运算的交换律和结合律.一般地，三个不共面的向量的和与这三个向量有什么关系？
探究 共线向量及方向向量
问题 对任意两个空间向量 a 与 b，如果 ，a与 b有什么位置关系？反过来，a 与 b 有什么位置关系时，？
类似于平面向量共线的充要条件，对任意两个空间向量 a，b
，的充要条件是存在实数 λ ，使 .（共线向量定理）
如图1.1-7，O 是直线 l 上一点，在直线l上取非零向量 a ，则对于直线 l 上任意一点 P ，由数乘向量的定义及向量共线的充要条件可知，存在实数 λ ，使得 .
与向量 a 平行的非零向量称为直线 l 的方向向量.
方向向量
这样，直线 l 上任意一点都可以由直线l上的一点和它的方向向量表示。
思考：给定一点和一个方向向量可以确定一条直线吗？
如图，如果表示向量a的有向线段 所在的直线OA与直线l平行或重合，那么称向量a平行于直线l.
如果直线OA平行于平面α或在平面α内，那么称向量a平行于平面α.平行于同一平面的向量，叫做共面向量.
探究新知
α
a
a
l
a
O
A
思考：我们知道，任意两个空间向量总是共面的，但三个空间向量既可能是共面的，也可能是不共面的.那么，什么情况下三个空间向量共面呢？
探究新知
探究：对平面内任意两个不共线向量a,b，由平面向量基本定理可知，这个平面内的任意一个向量p可以写成p=xa+yb，其中(x, y)是唯一确定的有序实数对.对两个不共线的空间向量a,b，如果p=xa+yb，那么向量p与向量a,b有什么位置关系 反过来，向量p与向量a,b有什么位置关系时，p=xa+yb
发现：
如果两个向量a,b不共线，那么向量p与向量a,b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x, y)，使p=xa+yb.　　　　　
类型向量共面问题例 如图，已知平行四边形ABCD,从平
面AC外一点O引向量　 　　 ,　　　 ,
, ,
求证：
⑴四点E、F、G、H共面；
⑵平面EG//平面AC.
　
例题讲评
证明：
∵四边形ABCD为
①
∴
（﹡）
（﹡）代入
所以 E、F、G、H共面。
例: 已知 ABCD ，从平面AC外一点O引向量
求证：①四点E、F、G、H共面；
②平面AC//平面EG。
证明：
由面面平行判定定理的推论得：
②
由①知
A
B
C
D
A1
B1
C1
D1
例：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1，
求满足下列各式的x的值。
例题讲评
A
B
C
D
A1
B1
C1
D1
例：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1，
求满足下列各式的x的值。
A
B
C
D
A1
B1
C1
D1
例题讲评
A
B
C
D
A1
B1
C1
D1
例：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1，求满足下列各式的x的值。
例题讲评
A
B
C
D
A1
B1
C1
D1
例：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1，求满足下列各式的x的值。
例题讲评
1.如图，E,F分别是长方体ABCD-A'B'C'D'的棱AB,CD的中点，化简下列表达式，并在图中标出化简结果的向量：
(1) ; (2) ;
(3) ; (4) .
巩固练习
A
B
D
C
A'
B'
D'
C'
E
F
解：(1)
(2)
(3)
(4)
2.如图平行六面体ABCD-A'B'C'D'，用 表示 及 .
巩固练习
A
B
C'
B'
A'
D
C
D'
解：
3.如图，已知正方体ABCD-A'B'C'D'，E,F分别是上底面A'C'和侧面CD'的中心，求下列各式中x, y的值：
巩固练习
B
C
A
D
B'
C'
A'
D'
E
F
(2)
(1)
(3)
解：(1)
(2)
(3)
课堂小结
1.知识清单：
(1)向量的概念.(2)向量的线性运算(加法、减法和数乘).(3)向量的线性运算的运算律.
(4)空间向量共线的充要条件，直线的方向向量.(5)空间向量共面的充要条件.
2.方法归纳：
三角形法则、平行四边形法则、数形结合思想、转化化归思想.
3.常见误区：
（1）对空间向量的理解应抓住向量的“大小”和“方向”两个要素，并注意它是一个“量”，而不是一个数.
（2）混淆向量共线与线段共线、点共线.
谢 谢！