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第五章
5.5 二元一次方程组的应用
里程碑上的数学
北师大版 八年级上册
教材分析
本节课的教学内容是义务教育课程标准北师大版八年级数学上次第5章第5节内容，在请两节的基础上，进一步让学生体会列方程解决实际问题的一般步骤。里程碑上的数学既是一个数字问题，又是形成问题。为此教材通过填空的形式进行分解，教学时应鼓励有难度的问题分解几个小问题，从而逐步找到解决问题的关键所在；找等量关系，学会用方程组刻画现实世界，进一步培养学生应用数学的能力。
教学目标
1、用二元一次方程式组解决“里程碑上的数”这一有趣场景中的数字问题和行程问题。
2、归纳出用二元一次方程组解决实际问题的一般步骤。
3、让学生进一步经历和体验列方程组解决实际问题的过程，体会方程（组）是刻画现实世界的有效数学模型，让学生学会列方程组解决实际问题的一般步骤。
4、让学生体验把复杂问题化为简单问题的同时，培养学生克服困难的意志和勇气，鼓励学生合作交流，培养学生的团队精神。
交流预习
（1）一个两位数，十位上的数是6，个位上的数是4，这个两位数是______.
（2）一个两位数，个位数字是a，十位数字是b，则这个两位数用代数式表示为 ，若交换个位和十位上的数字，得到一个新的两位数用代数式表示为 ．
（3）23，45是两个两位数，把较大的两位数写在较小的两位数的左边，则得到一个四位数，那么这个四位数是________.
（4）有两个两位数a和b ，如果将a放在b的左边，就得到一个四位数，那么这个四位数用代数式表示为 ；如果将a放在b的右边，将得到一个新的四位数，那么这个四位数用代数式可表示为 ．
64
10b+a
10a+b
4523
100a+b
100b+a
互助探究一
新知讲解
小明爸爸骑着摩托车带着小明在公路上匀速行驶，下图是小明每隔1小时看到的里程情况，你能确定小明在１２：００时看到的里程碑上的数吗？
新知讲解
如果设小明在12：00时看到的数的十位数字是x ，个位数字是y ，那么
时刻 百位数字 十位数字 个位数字 代数式
12:00
13:00
14:00
x
y
10x+y
y
x
10y+x
x
0
y
100x+y
(1)12：00～13：00间摩托车行驶的路程是 ；
(2) 13：00～14：00间摩托车行驶的路程是 ；
(3)12：00~13：00与13：00~14：00两段时间内摩托车的行驶路程有什么关系？ .
（10y+x）-（10x+y）
（100x+y）-（10y+x）
相等
新知讲解
解：如果设小明在12:00时看到的数的十位数字是x，个位数字是y，那么根据以上分析，得方程组：
解这个方程组，得
答：12:00时看到的里程碑上的数是16．
典例精讲
例1: 两个两位数的和为68,在较大的两位数的右边接着写较小的两位数,得到一个四位数;在较大的两位数的左边接着写上较小的两位数,也得到一个四位数.已知前一个四位数比后一个四位数大2178,求这两个两位数.
分析：设较大的两位数为x，较小的两位数为y,
在较大的数的右边接着写较小的数，所写的数可表示为____________________。
在较大的数的左边写上较小的数，所写的数可表示为_____________________。
100x+y
100y+x
典例精讲
解：设较大的两位数为x，较小的两位数为y，则
整理得
解得
答:这两个两位数分别是45和23.
典例分析
例2: 甲、乙两人相距42km,如果两人同时从两地相向而行，2小时后相遇,如果两人同时从两地同向而行,14小时后乙追上甲,求二人的速度
分析: 1
甲
乙
相遇
S甲+S乙=42
2
甲
乙
追上
S乙- S甲=42
解:设甲乙二人的速度分别为每小时x千米,每小时y千米,根据题意得:
整理得
解得
答:甲乙二人的速度分别为9千米/小时, 12千米/小时.
典例分析
议一议
列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤
是什么？
1、审清题意；
2、找等量关系；
3、设未知量；
4、列出方程并组成方程组；
5、解这个方程组；
6、检验这个解是否正确，并看它是否符合题意；
7、写出答案，包括单位名称；
课堂练习
【知识技能类作业】必做题
有一个两位数， 已知甲、乙两数的和为13，乙数比甲数少5，则甲数是_______，乙数是_______.
个位数比十位数大5，如果把这两个数的位置对换，那么所得的新数与原数的和是143.这个两位数是________
3. 小亮和小明做加法游戏，小明在第一个加数的后面多写一个0，所得和是242；小亮在另一个加数的后面多写一个0，所得和是341，原来的两个加数分别是
9
4
49
【21和32。】
4. 甲、乙两人相距42km，如果两人从两地相向而行，2小时 后相遇，如果二人同时从两地出发，同向而行，14小时后乙追上甲，求二人的速度。
解：设甲速度为xkm/h，乙速度为ykm/h,则
解得：
答：甲、乙二人的速度分别是9km/h和12km/h。
【知识技能类作业】必做题
课堂练习
课堂练习
【知识技能类作业】必做题
5.汽车在上坡时速度为28km/h，下坡时速度42km/h，从甲地到乙地用了4小时30分，返回时用了4小时40分，从甲地到乙地上、下坡路各是多少千米？
解：设从甲地到乙地上坡路有x千米，下坡路有y千米,则
解得：
答：从甲地到乙地上、下坡路各是70千米和84千米。
课堂练习
【知识技能类作业 选做题】
6.某铁路桥长1000米，一列火车从桥上通过，从上桥到离开桥共用1分钟，整列火车全在桥上的时间为40秒，求火车的长度和速度．
注意：路程不止有1000米哟！
解：设火车长为x m，速度为y m/s，根据题意，得
解得
答：火车长为200m，速度为20m/s.
课堂练习
【知识技能类作业 选做题】
7.一个两位数，减去它的各位数字之和的3倍，结果是23；这个两位数除以它的各位数字之和，商是5，余数是1.这个两位数是多少？
解：设这个两位数的十位数字为x，个位数字为y,则
解得：
答：这个两位数分别是 5和 6。
课堂练习
【综合实践类作业】
8.下表是某一周甲、乙两种股票每天每股的收盘价（收盘价：股票每天交易结束时的价格）：
星期一 星期二 星期三 星期四 星期五
甲 12元 12.5元 12.9元 12.45元 12.75元
乙 13.5元 13.3元 13.9元 13.4元 13.75元
某人在这周内持有若干甲、乙两种股票，若按照两种股票每天的收盘价计算（不计手续费、税费等），则他账户上星期二比星期一增加200元，星期三比星期二增加1300元.这个人持有甲、乙股票各多少股？
通过理解题意可知本题的等量关系，“星期二比星期一获利200元”“星期三比星期二获利1300元”，根据等量关系列出方程组解答．
课堂练习
解：设此人持有A，B两种股票分别为x股，y股，
依题意得方程组
(12.5 12)x+(13.3 13.5)y=200
(12.9 12.5)x+(13.9 13.3)y=1 300，
解得 x=1000
y=1500.
答：该人持有A，B两种股票分别为1000股和1500股
课堂总结
1.关于数字问题的应用题，一般情况下要设间接未知数（设各个数位上的数字），用这些未知数表示相关数量，再根据等量关系列出方程(组)。
2.对较复杂的问题可以通过列表格的方法或画线段图理清题中的未知量，已知量，找出等量关系。
作业布置
【知识技能类作业 必做题】
1. A、B两地相距36千米，甲从A地步行到B地，乙从B地步行到A地，两人同时相向出发，4小时后两人相遇，6小时后，甲剩余的路程是乙剩余路程的2倍，求二人的速度？
解：设甲速度为xkm/h，乙速度为ykm/h,则
解得：
答：甲、乙二人的速度分别是4km/h和5km/h。
【知识技能类作业 必做题】
作业布置
2. 端午节是中国传统节日，人们有吃粽子的习俗．某商场从6月12日起开始打折促销，肉粽六折，白粽七折，打折前购买4盒肉粽和5盒白粽需350元，打折后购买5盒肉粽和10盒白粽需360元．轩轩同学想在今天中考结束后，为敬老院送肉粽和白粽各5盒，则他6月13日购买的花费比在打折前购买节省 元．
3. 某酒店客房部有三人间普通客房，双人间普通客房，收费标准为：三人间150元/间，双人间140元/间．为吸引游客，酒店实行团体入住五折优惠措施，一个46人的旅游团，优惠期间到该酒店入住，住了一些三人间普通客房和双人间普通客房，若每间客房正好住满，且一天共花去住宿费1310元，则该旅游团住了三人间普通客房和双人间普通客房共 间．
145
18
【知识技能类作业 必做题】
作业布置
4.将8个一样大小的长方形，恰好可以拼成一个大的长方形如图1，将这8个一样大小的长方形改变拼成了如图2那样的正方形，中间还留下了一个洞，恰好是边长为3m的小正方形，则每个小长方形的面积为（ ）
A 120m2 B．135m2
C．108m2 D．96m2
B
5.小文原本计划使用甲、乙两台影印机于10：00开始一起印制文件并持续到下午，但10：00时有人正在使用乙，于是他先使用甲印制，于10：05才开始使用乙一起印制，且到10：15时乙印制的总张数与甲相同，到10：45时甲、乙印制的总张数合计为2100张．若甲、乙的印制张数与印制时间皆成正比，则依照小文原本的计划，甲、乙印制的总张数会在哪个时间达到2100张？（ ）
A．10：40 B．10：41
C．10：42 D．10：43
C
作业布置
【知识技能类作业 选做题】
6.儿子问父亲今年多大，父亲笑着对儿子说：“我像你这么大时，你才1岁；当你像我这么大时，我已经 67岁了！”你知道父子俩今年各多少岁吗？你有几种解决问题的方法？
解法一：设儿子今年x岁，父亲今年y岁，如图所示，则
解得：
答：父子俩今年分别是23岁和45岁。
解法二：如图所示，无论是哪一年，父子年龄差不变。
故年龄差=（67-1）÷3=22（岁）
所以，22+1=23（岁）………儿子
22+23=45（岁）………父亲
儿子问父亲今年多大，父亲笑着对儿子说：“我像你这么大时，你才1岁；当你像我这么大时，我已经 67岁了！”你知道父子俩今年各多少岁吗？你有几种解决问题的方法？
【知识技能类作业 选做题】
作业布置
解法三：设父子的年龄差为x岁，则儿子今年（x+1）岁，
父亲今年（2x+1）岁,父亲x年后67岁,则
2x+1+x=67, x=22. ∴ x+1=23, 2x+1=45
答：父子俩今年分别是23岁和45岁。
作业布置
【综合实践类作业】
7．为了提倡节约用水，某市制定了两种收费方式：当每户每月用水量不超过12m3时，按一级单价收费；当每户每月用水量超过12m3时，超过部分按二级单价收费．已知李阿姨家五月份用水量为10m3，缴纳水费32元．七月份因孩子放假在家，用水量为14m3，缴纳水费51.4元．
（1）问该市一级水费，二级水费的单价分别是多少？
（2）某户某月缴纳水费为64.4元时，用水量为多少？
解：（1）设该市一级水费的单价为x元，二级水费的单价为y元，
依题意得：
解得：
答：该市一级水费的单价为3.2元，二级水费的单价为6.5元．
（2）∵3.2×12＝38.4（元），38.4＜64.4，
∴用水量超过12立方米．
设用水量为a立方米，
依题意得：38.4+6.5（a﹣12）＝64.4，
解得：a＝16．
答：当缴纳水费为64.4元时，用水量16立方米
板书设计
列方程解应用题步骤
1·审题 (找等量关系）
2·设未知数 3·列方程 4·解方程 5·检验·作答
关键：找等量关系. 列方程
谢谢
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分课时教学设计
第一课时《二元一次方程组的运用--里程碑上的数学》教学设计
课型 新授课口 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 本节课的教学内容是义务教育课程标准北师大版八年级数学上次第5章第5节内容，在请两节的基础上，进一步让学生体会列方程解决实际问题的一般步骤。里程碑上的数学既是一个数字问题，又是形成问题。为此教材通过填空的形式进行分解，教学时应鼓励有难度的问题分解几个小问题，从而逐步找到解决问题的关键所在；找等量关系，学会用方程组刻画现实世界，进一步培养学生应用数学的能力。
学习者分析 学生在本节前已经学习了二元一次方程组的解法，通过学习了鸡兔同笼、增收节支。学生已经初步体会到列方程解决问题的一般步骤，学生初步具有应用数学的能力
教学目标 1、用二元一次方程式组解决“里程碑上的数”这一有趣场景中的数字问题和行程问题。 2、归纳出用二元一次方程组解决实际问题的一般步骤。 3、让学生进一步经历和体验列方程组解决实际问题的过程，体会方程（组）是刻画现实世界的有效数学模型，让学生学会列方程组解决实际问题的一般步骤。 4、让学生体验把复杂问题化为简单问题的同时，培养学生克服困难的意志和 勇气，鼓励学生合作交流，培养学生的团队精神。
教学重点 用二元一次方程组刻画学问题和行程问题，初步体会列方程组解决实际问题的步骤。
教学难点 将实际问题转化成二元一次方程组的数学模型。
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：预习交流 教师活动1： （1）一个两位数，十位上的数是6，个位上的数是4，这个两位数是 64 . （2）一个两位数，个位数字是a，十位数字是b，则这个两位数用代数式表示为 10b+a ，若交换个位和十位上的数字，得到一个新的两位数用代数式表示为 10a+b ． （3）23，45是两个两位数，把较大的两位数写在较小的两位数的左边，则得到一个四位数，那么这个四位数是 4523 . （4）有两个两位数a和b ，如果将a放在b的左边，就得到一个四位数，那么这个四位数用代数式表示为 100a+b ；如果将a放在b的右边，将得到一个新的四位数，那么这个四位数用代数式可表示为 100b+a ． 学生活动1： 完成预习题，从而激发兴趣，进入新课活动意图说明： 通过四个问题的分析，让学生掌握，已知一个数各个数位的数字，怎样用代数式表示这个数，为后续教学奠基。环节二：互动探究里程碑上的数学教师活动2： 小明爸爸骑着摩托车带着小明在公路上匀速行驶，下图是小明每隔1小时看到的里程情况，你能确定小明在１２：００时看到的里程碑上的数吗？ 如果设小明在12：00时看到的数的十位数字是x ，个位数字是y ，那么 (1)12：00～13：00间摩托车行驶的路程是（10y+x）-（10x+y）； (2) 13：00～14：00间摩托车行驶的路程是 （100x+y）-（10y+x）； (3)12：00~13：00与13：00~14：00两段时间内摩托车的行驶路程有什么关系？相等 . 解：如果设小明在12:00时看到的数的十位数字是x，个位数字是y，那么根据以上分析，得方程组： 解这个方程组，得 答：12:00时看到的里程碑上的数是16． 学生活动2： 1分析题意，完成表格和填空 找出等量关系。 试着用方程解决问题活动意图说明： 创设情境，激发学生兴趣，体会将一个复杂问题分解成几个简单问题的思维方法。环节三：典例精析教师活动3： 例1: 两个两位数的和为68,在较大的两位数的右边接着写较小的两位数,得到一个四位数;在较大的两位数的左边接着写上较小的两位数,也得到一个四位数.已知前一个四位数比后一个四位数大2178,求这两个两位数. 分析：设较大的两位数为x，较小的两位数为y, 在较大的数的右边接着写较小的数，所写的数可表示为 100x+y。 在较大的数的左边写上较小的数，所写的数可表示为100y+x。 解：设较大的两位数为x，较小的两位数为y，则 整理得 解得 答:这两个两位数分别是45和23. 例2: 甲、乙两人相距42km,如果两人同时从两地相向而行，2小时后相遇,如果两人同时从两地同向而行,14小时后乙追上甲,求二人的速度 解:设甲乙二人的速度分别为每小时x千米,每小时y千米,根据题意得: 整理得 解得 答:甲乙二人的速度分别为9千米/小时, 12千米/小时 小结：列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤是什么？ 1、审清题意； 2、找等量关系； 3、设未知量； 4、列出方程并组成方程组； 5、解这个方程组； 6、检验这个解是否正确，并看它是否符合题意； 7、写出答案，包括单位名称；学生活动3： 1弄清题意并填空。 2试着用方程解决问题。 3，小组讨论总结、归纳列方程解决问题的一般步骤活动意图说明： 让学生再次体验列方程解决问题的过程，体会方程是刻画现实世界有效的数学模型， 通过交流和总结，培养学生口头表达能力，增强反思总结的意识。
板书设计 列方程解应用题步骤 1·审题 (找等量关系） 2·设未知数 3·列方程 4·解方程 5·检验·作答 关键：找等量关系. 列方程
课堂练习 【知识技能类作业】 必做题： 1、有一个两位数， 已知甲、乙两数的和为13，乙数比甲数少5，则甲数是 9 ，乙数是 4 . 2、个位数比十位数大5，如果把这两个数的位置对换，那么所得的新数与原数的和是143.这个两位数是 49 3. 小亮和小明做加法游戏，小明在第一个加数的后面多写一个0，所得和是242；小亮在另一个加数的后面多写一个0，所得和是341，原来的两个加数分别是21和32 4、 甲、乙两人相距42km，如果两人从两地相向而行，2小时 后相遇，如果二人同时从两地出发，同向而行，14小时后乙追上甲，求二人的速度。 解：设甲速度为xkm/h，乙速度为ykm/h,则 解得： 答：甲、乙二人的速度分别是9km/h和12km/h。 5.汽车在上坡时速度为28km/h，下坡时速度42km/h，从甲地到乙地用了4小时30分，返回时用了4小时40分，从甲地到乙地上、下坡路各是多少千米？ 解：设从甲地到乙地上坡路有x千米，下坡路有y千米,则 解得： 答：从甲地到乙地上、下坡路各是70千米和84千米。 选做题： 6.某铁路桥长1000米，一列火车从桥上通过，从上桥到离开桥共用1分钟，整列火车全在桥上的时间为40秒，求火车的长度和速度． 解：设火车长为x m，速度为y m/s，根据题意，得 解得 答：火车长为200m，速度为20m/s. 7.一个两位数，减去它的各位数字之和的3倍，结果是23；这个两位数除以它的各位数字之和，商是5，余数是1.这个两位数是多少？ 解：设这个两位数的十位数字为x，个位数字为y,则 解得： 答：这个两位数分别是 5和 6。 【综合拓展类作业】 8.下表是某一周甲、乙两种股票每天每股的收盘价（收盘价：股票每天交易结束时的价格）： 某人在这周内持有若干甲、乙两种股票，若按照两种股票每天的收盘价计算（不计手续费、税费等），则他账户上星期二比星期一增加200元，星期三比星期二增加1300元.这个人持有甲、乙股票各多少股？ 通过理解题意可知本题的等量关系，“星期二比星期一获利200元”“星期三比星期二获利1300元”，根据等量关系列出方程组解答． 解：设此人持有A，B两种股票分别为x股，y股， 依题意得方程组 (12.5 12)x+(13.3 13.5)y=200 (12.9 12.5)x+(13.9 13.3)y=1 300， 解得 x=1000 y=1500. 答：该人持有A，B两种股票分别为1000股和1500股
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1. A、B两地相距36千米，甲从A地步行到B地，乙从B地步行到A地，两人同时相向出发，4小时后两人相遇，6小时后，甲剩余的路程是乙剩余路程的2倍，求二人的速度？ 解：设甲速度为xkm/h，乙速度为ykm/h,则 解得： 答：甲、乙二人的速度分别是4km/h和5km/h。 2. 端午节是中国传统节日，人们有吃粽子的习俗．某商场从6月12日起开始打折促销，肉粽六折，白粽七折，打折前购买4盒肉粽和5盒白粽需350元，打折后购买5盒肉粽和10盒白粽需360元．轩轩同学想在今天中考结束后，为敬老院送肉粽和白粽各5盒，则他6月13日购买的花费比在打折前购买节省 145 元． 3. 某酒店客房部有三人间普通客房，双人间普通客房，收费标准为：三人间150元/间，双人间140元/间．为吸引游客，酒店实行团体入住五折优惠措施，一个46人的旅游团，优惠期间到该酒店入住，住了一些三人间普通客房和双人间普通客房，若每间客房正好住满，且一天共花去住宿费1310元，则该旅游团住了三人间普通客房和双人间普通客房共 18 间． 4.将8个一样大小的长方形，恰好可以拼成一个大的长方形如图1，将这8个一样大小的长方形改变拼成了如图2那样的正方形，中间还留下了一个洞，恰好是边长为3m的小正方形，则每个小长方形的面积为（ B ） A 120m2 B．135m2 C．108m2 D．96m2 5.小文原本计划使用甲、乙两台影印机于10：00开始一起印制文件并持续到下午，但10：00时有人正在使用乙，于是他先使用甲印制，于10：05才开始使用乙一起印制，且到10：15时乙印制的总张数与甲相同，到10：45时甲、乙印制的总张数合计为2100张．若甲、乙的印制张数与印制时间皆成正比，则依照小文原本的计划，甲、乙印制的总张数会在哪个时间达到2100张？（ C ） A．10：40 B．10：41 C．10：42 D．10：43 选做题： 儿子问父亲今年多大，父亲笑着对儿子说：“我像你这么大时，你才1岁；当你像我这么大时，我已经 67岁了！”你知道父子俩今年各多少岁吗？你有几种解决问题的方法？ 解法一：设儿子今年x岁，父亲今年y岁，如图所示，则 解得： 答：父子俩今年分别是23岁和45岁。 解法二：如图所示，无论是哪一年，父子年龄差不变。 故年龄差=（67-1）÷3=22（岁） 所以，22+1=23（岁）………儿子 22+23=45（岁）………父亲 解法三：设父子的年龄差为x岁，则儿子今年（x+1）岁， 父亲今年（2x+1）岁,父亲x年后67岁,则 2x+1+x=67, x=22. ∴ x+1=23, 2x+1=45 答：父子俩今年分别是23岁和45岁。 【综合拓展类作业】 7．为了提倡节约用水，某市制定了两种收费方式：当每户每月用水量不超过12m3时，按一级单价收费；当每户每月用水量超过12m3时，超过部分按二级单价收费．已知李阿姨家五月份用水量为10m3，缴纳水费32元．七月份因孩子放假在家，用水量为14m3，缴纳水费51.4元． （1）问该市一级水费，二级水费的单价分别是多少？ （2）某户某月缴纳水费为64.4元时，用水量为多少？ 解：（1）设该市一级水费的单价为x元，二级水费的单价为y元，依题意得： 解得： 答：该市一级水费的单价为3.2元，二级水费的单价为6.5元． （2）∵3.2×12＝38.4（元），38.4＜64.4， ∴用水量超过12立方米． 设用水量为a立方米， 依题意得：38.4+6.5（a﹣12）＝64.4， 解得：a＝16． 答：当缴纳水费为64.4元时，用水量为16立方米
教学反思
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学 科 数学 年 级 八年级 设计者 尹坚
教材版本 北师大版 册、章 上册第五章
课标要求 二元一次方程组是方程中最基本、最简单的类型，可以说是承前启后的作用。它为现实生活中涉及多个未知数的问题建立了数学模型，是一元一次方程的发展，是线性方程学习的基础，它对于解决多个未知数很有效。通过对二元一次方程组的学习，不但可以了解一元问题，而且可以提高对多元问题的认识。课标对二元一次方程组的具体要求如下。1、了解二元一次方程组的及其相关概念，会解简单的二元一次方程组。能灵活运用代入消元、加减消元解二元一次方程组，将方程组转化为一元一次方程。体会“消元”的思想和复杂问题转化为简单问题的化归思想。了解三元一次方程组及其解法，进一步体会消元思想。根据三元一次方程组的形式选择适当的解法。能设二个或三个未知数列方程组表示实际问题中的两个或三个相关的等量关系，能根据实际问题检查结果是否合理。以含有多个未知数的实际问题为背景，经历分析数量关系、设未知数、列方程组、解方程组、检测结果是否合理等过程，体会方程组是现实生活中含有多个为未知数问题的数学模型。
内容分析 二元一次方程组是中学数学的重要内容，它是数学解决问题的基本工具，是刻画现实世界的一个最有效的数学模型和重要手段，是一元一次方程的继续和发展，也是学习线性方程和平面几何的基础，同时与一次函数存在密切的联系。它也是学习数学乃至无理化学和其他学科的重要基础。把握好本章学习，有利于激发学生的自主创新、积极探索的热情，培养学生分析问题解决问题的能力。本章教学内容分为三大块;从问题到方程组。选择含有两个未知量的情景，引出二元一次方程组，展现二元一次方程组是刻画现实世界的有效的数学模型，让学生体会数学来源于生活有服务于生活。解方程组，通过学生尝试、比较、探索等方法发现解二元一次方程组的方法（代入法、消元法），体会消元思想。用方程组解决问题，设置具有一定挑战性的问题和思考下的现实问题，用二元一次方程组解决这些丰富多彩具有现实意义的实际问题，既培养学生的方程组的数学模型思想，有培养学生的自主探究解决问题的能力。
学情分析 学生学习了一元一次方程的解法，初步感受了方程的模型思想，积累了用方程解决实际问题的经验。在此基础上，学生进一步研究二元一次方程组的概念、解法和运用。引导学生从熟悉的一元一次方程入手，探究二元一次方程组的概念个解法以及用二元一次方程组解决实际问题，使学生进一步体会方程的模型思想，感受代数解决问题的优越性，同时也将有助于巩固有理数、整式的运算、一元一次方程等知识。
单元目标 教学目标1、以分析实际问题中的等量关系并求解其中未知数为背景，认识二元二次方程(组)及其有关概念。 2、根据化归思想，抓住“消元”这一基本策略，熟练掌握二元二次方程组的基本解法：代入消元法和加减消元法。3、经历分析和解决问题的过程，体会二元二次方程(组)的教学模型作用，进一步提高运用方程(组)解决实际问题的基本能力。（二）教学重点、难点重点：二元一次方程组的解法和运用难点：利用方程组解决实际问题。
单元知识结构框架及课时安排 （二）课时安排课时编号单元主要内容课时数1认识二元一次方程组12代入消元解二元一次方程组13加减消元解二元一次方程组14二元一次方程组的应用--鸡兔同笼15二元一次方程组的应用--增收节支16二元一次方程组的应用--里程碑上的数学17二元一次方程与一次函数18用二元一次方程确定一次函数表达式19三元一次方程组110回顾与反思1
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务认识二元一次方程组1、了解二元一次方程、二元一次方程组及其解等有关概念，并会判断一组数是不是某个二元一次方程组的解。2、通过讨论和练习，进一步培养学生的观察、比较、分析的能力。3、通过对实际问题的分析，使学生进一步体会方程是刻画现实世界的有效数学模型，培养学生良好的数学应用意识。1、学生练习，对学困生适当点拨。2、学生独立对问题一、二列出相应的方程。3、通过观察、比较，小组活动得出二元一次方程的含义4、根据方程解得意义，学生对二元一次方程、二元一次方程组的解作出正确判断环节一：复习旧知环节二：探究二元一次方程的意义。环节三：探究二元一次方程组的意义环节四：二元一次方程组的解解二元一次方程（代入消元法）1、使学生掌握用代入消元法解二元一次方程组的步骤。 2、学会用代入消元法解二元一次方程组。3、让学生经历二元一次方程组解法的探究过程，进一步体会消元的思想，化归的思想。 4、培养学生探索、观察、分析化归获得数学思想的能力；培养学生转化独立获取知识的方法并解决问题的能力，培养学生学会与他人合作，与人交流思维过程的习惯。1、回顾知识，唤醒记忆。2、根据情景，学生列出一元一次方程和二元一次方程，3、小组讨论列出的一元一次方程和二元一次方程的区别和联系。4、总结归纳解二元一次方程组的步骤。5、学生自学例题1并对例题1写出检验过程。6、根据“变、代、求、写”的步骤，说一说。7、小组讨论归纳总结出代入消元法。环节一：知识回顾。环节二：解二元一次方程组。环节三：典例分析，拓展提高。解二元一次方程（加减消元法）1、使学生掌握用加减法解二元一次方程组的步骤。 2、学会用加减消元法解二元一次方程组。 3、让学生经历二元一次方程组解法的探究过程，进一步体会消元的思想，化归的思想。 4、培养学生学会自主探索，与他人合作， 与人交流思维过程的习惯。1、学生回顾知识，尝试用多种方法解二元一次方程。2、引导学生提出问题、分析问题并解决问题。从而使学生掌握用加减消元的必备条件。3、自学例题4，学生小组讨论；当未知数的系数不相等时怎样变成未知数系数的绝对值相等？变换根据是什么？如何使用加法或减法消元。环节一：知识回顾环节二：探究加减消元法解二元一次方程组(系数相同）环节三：探究加减消元法解二元一次方程组(系数不相同）二元一次方程的应用--鸡兔同笼1、会用二元一次方程组解决实际问题。2、在解决实际问题的过程中，用方程组这样的数学模型刻画现实世界3、经历和体验方程组解决实际问题的过程，体会方程（组）刻画现实世界数量关系的有效数学模型，发展模型思想和应用意识，培养学生的解决问题的能力。1、学生抢答：回顾小学解决鸡兔同笼的几种方法。2、通过小组交流合作,同学之间相互提问、相互补充,用二元一次方程解决鸡兔同笼问题，并由两名学生代表板书解析过程，通过互相评价激发学生学习热情.3、小组活动：分别用一根绳子根据题意做具体演示，学生很有兴趣，直观、明了，4、.通过交流合作，学生参与、讨论、质疑、补充，进一步提高学生列方程组解决实际问题的能力.学生代表板书解析过程，学生评价，相互学习相互促进环节一：激情导入。环节二： 应用二元一次方程组解古算题。环节三： 古题今解二元一次方程的应用--增收节支1．会用列表的方式分析题中已知量与未知量的关系，列出相应的二元一次方程组。2．继续熟练二元一次方程组的解法和基本思路。3．让学生进一步经历和体验列方程组解决实际问题的过程，体会方程(组)是刻画现实世界的有效数学模型，培养学生数学的应用能力。4．通过列方程组解决实际问题培养应用数学意识，提高学习数学的趣味性、现实性、科学性。1、回顾知识，正确写出公式；2、让学生独立完成3个问题。4、读题，画出关键语句.5、思考已知量、未知量分别是什么？如何设未知数？题目中有哪些等量关系？6、写出解方程的过程。7、小组合作：在关键语句中找到3个相关量、2个研究对象建立表格8、尝试用表格的方法分析和解答问题，体验和巩固用表格分析问题的方法。环节一：知识回顾环节二：合作探究环节三：典例分析二元一次方程的应用--里程碑上的数学1、用二元一次方程式组解决“里程碑上的数”这一有趣场景中的数字问题和行程问题。2、归纳出用二元一次方程组解决实际问题的一般步骤。3、让学生进一步经历和体验列方程组解决实际问题的过程，体会方程（组）是刻画现实世界的有效数学模型，让学生学会列方程组解决实际问题的一般步骤。4、让学生体验把复杂问题化为简单问题的同时，培养学生克服困难的意志和勇气，鼓励学生合作交流，培养学生的团队精神。完成预习题，从而激发兴趣，进入新课。2、分析题意，完成表格和填空3、找出等量关系。4、试着用方程解决问题.5、弄清题意并填空。6、试着用方程解决问题。7、小组讨论总结、归纳列方程解决问题的一般步骤环节一：预习交流。环节二：互动探究里程碑上的数学。环节三：典例精析二元一次方程与一次函数1.初步理解二元一次方程与一次函数的关系，能根据一次函数的图象求二元一次方程组的解.2.通过思考和操作，建立“数”与“形”之间的对应，培养学生初步的数形结合的意识和能力.3.通过自主探索，揭示方程和图象之间的对应关系，培养学生严谨的科学态度和勇于探索的科学精神，进一步激发学生学习数学的兴趣.1、独立完成填空题1-4题。2、思考问题1、2、3.3、完成习题1、2、3.4、解二元一次方程组。5、画一次函数图像6、小组讨论方程组的解就是两直线的交点，当两直线平行（不相交）方程组无解环节一：知识回顾。环节二：探究二元一次方程与一次函数的关系。环节三：探究用图像法解二元一次方程组。用二元一次方程确定一次函数表达式1、掌握利用二元一次方程组确定一次函数的表达式2、理解作函数图像的方法与代数方法各自的特点。3、进一步理解方程与函数的联系，体会知识之间的普遍联系和知识之间的相互转化。4、通过对本节课的探究，在探究中培养学生的观察能力、识图能力以及语言表达能力。独立完成求解析式。用图像解方程组。理解方程组与一次函数之间的关系。根据情景分析题中的已知条件和所求问题。分析讨论三种解法的优点和缺陷。学生用待定系数法求出一次函数的表达式并归纳待定系数法的方法和步骤。环节一：知识回顾。环节二： 自主探究，解决问题。环节三： 典例分析。三元一次方程组1、了解三元一次方程组的概念.2、会用消元法把“三元”化为“二元”、进而化为“一元”的思想来解三元一次方程组.能根据三元一次方程组的具体特点选择适当的解法.3、通过类比、化归、合作讨论等思想方法，让学生认识三元一次方程组的求解关键在于“消元”，进一步熟练掌握“代入”“加减”消元的方法.4、让学生感受把未知转化为已知、把不会的问题转化为学过的问题、把难度大的问题转化为难度较小的问题这一化归思想，体会数学学习的方法.1、学生回顾旧知，激发兴趣2分析思考三个问题列出三个三元一次方程。归纳三元一次方程组的概念，并正确作出判断4、学生分别用代入法、加减法解三元一次方程5、学生独立思考，然后在学生充分思考进行小组讨论，在此基础上由学生代表回答，老师适时地引导与补充，力求通过学生观察、思考与讨论后能得出以下的一些要点）节一：知识回顾。环节二： 自主探究，三元一次方程组的概念。环节三： 解三元一次方程组回顾与反思1．梳理本章知识，建立知识体系，进一步体会方程是刻画现实世界的有效数学模型； 2．通过解二元一次方程组，熟练其解法，体会 “化未知为已知”的化归思想；3．通过逆向编题，提高学习效率，促进良好的学习方法和习惯的养成。1、以小组为单位，完成知识结构图，说明制作本图的亮点。2、学生在反思和交流的基础上构建合理的知识体系环节一：思维导图。环节二： 知识梳理
《二元一次方程组》单元教学设计
活动2：探究二元一次方程的意义
活动1：复习旧知
活动3：探究二元一次方程组的意义
任务一：认识二元一次方程组
活动4：二元一次方程组的解
二元一次方程组
活动1：知识回顾
活动2：解二元一次方程组
活动3：典例分析
任务二：代入消元法解
二元一次方程组
活动4：整体代入思想的渗透
活动1：知识回顾
活动2：探究加减消元法解二元一次方程组(系数相同）
任务三：加减消元法
解二元一次方程组
活动3：探究加减消元法解二元一次方程组(系数不相同
活动1：激情导入。
活动2：应用二元一次方程组解古算题。
任务四：二元一次方程组的应用--鸡兔同笼
活动3：古题今解。
活动1：知识回顾。
活动2：合作探究
任务五：二元一次方程组的应用--增收节支
二元一次方程组
活动3：典例精析。
活动1：预习交流
任务六：二元一次方程组的应用---里程碑上的数学
活动2：互助探究
活动3：典例精析。
活动1：知识回顾
活动2：探究二元一次方程与一次函数的关系
任务7：二元一次方程和一次函数
活动3：探究用图像法解二元一次方程组
活动1：知识回顾
任务8：用二元一次方程确定一次函数表达式
活动2：自主探究，解决问题
活动3：典例分析
活动1：知识回顾
活动2：三元一次方程组的概念
任务9：三元一次方程组
活动3：解三元一次方程组
二元一次方程组
活动1：思维导图
任务10：回顾与反思
活动2：知识梳理
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