江苏省苏州市工业园区东湖实验中学2023-2024学年九年级上学期开学数学试卷（有答案）

江苏省苏州市工业园区东湖实验中学2023-2024学年九年级上学期开学数学试卷（解析版）
一、选择题：本大题共8小题，每小题2分，共16分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请将选择题的答案用2B铅笔涂在答题卷相应位置上．
1．（2分）下列图案中是中心对称图形但不是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2分）若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（　　）
A．x≤3 B．x≥3 C．x＜3 D．x≠3
3．（2分）袋子里有8个红球，m个白球，3个黑球，从中任意摸出一个球，若摸到红球的可能性最大（　　）
A．1 B．3 C．5 D．10
4．（2分）反比例函数y＝与正比例函数y＝2x一个交点为（1，2），则另一个交点是（　　）
A．（﹣1，﹣2） B．（﹣2，﹣1） C．（1，2） D．（2，1）
5．（2分）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点．若∠BOC＝66°（　　）
A．66° B．33° C．24° D．30°
6．（2分）已知二次函数y＝﹣3（x﹣2）2﹣3，下列说法正确的是（　　）
A．对称轴为x＝﹣2 B．顶点坐标为（2，3）
C．函数的最大值是﹣3 D．函数的最小值是﹣3
7．（2分）《梦溪笔谈》是我国古代科技著作，其中它记录了计算圆弧长度的“会圆术”．如图，是以点O为圆心、OA为半径的圆弧的弧长l的近似值计算公式：l＝AB+．当OA＝4，则l的值为（　　）
A．11﹣2 B．11﹣4 C．8﹣2 D．8﹣4
8．（2分）如图，在平面直角坐标系中，点A（5，0）（8，4）．若将线段AB绕点O逆时针旋转得到线段A′B′，当点B′恰好落在y轴正半轴上时（　　）
A．（，） B．（，） C．（2，） D．（3，5）
二、填空题：本大题共8小题，每小题2分，共16分．把答案直接填在答题卷相应位置上．
9．（2分）计算：＝　 　．
10．（2分）若关于x的方程（a﹣1）x2+4x﹣3＝0是一元二次方程，则a的取值范围是 　 　．
11．（2分）如图，小明用长为2.5m的竹竿CD做测量工具，测量学校旗杆AB的高度，使竹竿、旗杆的顶端的影子恰好落在地面的同一点O．此时，竹竿与这一点O相距6m、与旗杆相距12m　 　m．
12．（2分）如果a是方程x2﹣2x﹣2＝0的一个实数根，则2a2﹣4a﹣1的值为 　 　．
13．（2分）已知二次函数y＝﹣ax2+2ax+3（a＞0），若点P（m，3）在该函数的图象上，则m的值为 　 　．
14．（2分）如图，AC是⊙O的切线，B为切点，OC．若∠A＝30°，∠C＝37°，则OC的长度是 　 　．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）
15．（2分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，以A为圆心，分别交AB，AC于点M，N，N为圆心，大于，两弧交于点P，画射线AP，F分别是AB，AD的中点　 　．
16．（2分）如图，矩形ABCD中，，点E在BC边上，DF⊥AE于点F，连接DE，BF的延长线交DE于点O，交CD于点G，则＝　 　．

三、解答题：本大题共11小题，共68分．把解答过程写在答题卷相应位置上，解答时应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明．作图时用2B铅笔或黑色墨水签字笔．
17．（4分）计算：．
18．（6分）解下列方程：
（1）（x﹣2）2＝4；
（2）x2﹣3x+2＝0．
19．（6分）化简求值：1，其中a＝﹣2．
20．（6分）今年4月23日是第28个“世界读书日”．某校围绕学生日人均阅读时间这一问题，对本校学生进行随机抽样调查，如图是根据调查结果绘制成的统计图（不完整）

（1）本次抽样调查的样本容量是多少？
（2）请将条形统计图补充完整；
（3）在扇形统计图中，计算出日人均阅读时间在1～1.5小时对应的圆心角度数；
（4）根据本次抽样调查，试估计该校1200名学生中日均阅读时间不少于1小时的有多少人．
21．（6分）一只不透明的袋子中装有4个小球，分别标有编号1，2，3，4，这些小球除编号外都相同．
（1）搅匀后从中任意摸出1个球，这个球的编号是2的概率为 　 　；
（2）搅匀后从中任意摸出1个球，记录球的编号后放回、搅匀，再从中任意摸出1个球．求第2次摸到的小球编号比第1次摸到的小球编号大1的概率是多少？（用画树状图或列表的方法说明）
22．（6分）如图，四边形ABCD中，对角线AC，点E，F分别在线段OA，且OB＝OD，∠1＝∠2
23．（6分）如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数（x＞0）的图象交于点A（2n﹣1，6）（3，3n﹣1），与x轴交于点C．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）连接OA，OB，求△AOB的面积；
（3）直接写出关于x的不等式：的解集．
24．（6分）已知关于x的一元二次方程：x2﹣（2k+1）x+4（k﹣）＝0．
（1）求证：这个方程总有两个实数根；
（2）若等腰△ABC的一边长a＝4，另两边长b、c恰好是这个方程的两个实数根，求△ABC的周长．
25．（6分）如图，在△ABC中，AB＝8cm，动点P从点A开始沿AB边运动，速度为2cm/s，速度为4cm/s；如果P、Q两动点同时运动
26．（8分）某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售，商场采取了降价措施．假设在一定范围内，衬衫的单价每降1元，设衬衫的单价降了x元．
（1）完成如表（用含x的整式填空）；
每天的销售量 每件衬衫的利润 总利润
降价前 20 40 800
降价后 　 　 　 　 1250
（2）求衬衫的单价降了多少元？
27．（8分）问题提出 如图（1），E是菱形ABCD边BC上一点，△AEF是等腰三角形，∠AEF＝∠ABC＝α （α≥90°），AF交CD于点G
问题探究  （1）先将问题特殊化，如图（2），直接写出∠GCF的大小；
（2）再探究一般情形，如图（1），求∠GCF与α的数量关系．
问题拓展 将图（1）特殊化，如图（3），若，求的值．
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共8小题，每小题2分，共16分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请将选择题的答案用2B铅笔涂在答题卷相应位置上．
1．（2分）下列图案中是中心对称图形但不是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】直接根据中心对称图形和轴对称图形的定义逐项分析．
【解答】解：A．原图既是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B．原图不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C．原图是中心对称图形，故此选项符合题意；
D．原图不是中心对称图形，故此选项不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查了中心对称图形和轴对称图形的定义．在平面内，一个图形经过中心对称能与原来的图形重合，这个图形叫做叫做中心对称图形；一个图形的一部分，以某条直线为对称轴，经过轴对称能与图形的另一部分重合，这样的图形叫做轴对称图形．
2．（2分）若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（　　）
A．x≤3 B．x≥3 C．x＜3 D．x≠3
【分析】根据二次根式有意义的条件可得2x﹣6≥0，再解不等式即可．
【解答】解：由题意得：2x﹣6≥5，
解得：x≥3，
故选：B．
【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数．
3．（2分）袋子里有8个红球，m个白球，3个黑球，从中任意摸出一个球，若摸到红球的可能性最大（　　）
A．1 B．3 C．5 D．10
【分析】摸到红球的可能性最大，即白球的个数比红球的少．
【解答】解：袋子里有8个红球，m个白球，若摸到红球的可能性最大．观察选项．
故选：D．
【点评】本题考查的是可能性大小的判断，解决这类题目要注意具体情况具体对待．可能性大小的比较：只要总情况数目相同，谁包含的情况数目多，谁的可能性就大；反之也成立；若包含的情况相当，那么它们的可能性就相等．
4．（2分）反比例函数y＝与正比例函数y＝2x一个交点为（1，2），则另一个交点是（　　）
A．（﹣1，﹣2） B．（﹣2，﹣1） C．（1，2） D．（2，1）
【分析】根据反比例函数的关于原点对称的性质知，反比例函数y＝与正比例函数y＝2x的另一个交点与点（1，2）关于原点对称．
【解答】解：∵反比例函数y＝与正比例函数y＝2x一个交点为（3，
∴另一个交点与点（1，2）关于原点对称，
∴另一个交点是（﹣8，﹣2）．
故选：A．
【点评】本题考查了反比例函数图象的对称性．关于原点对称的两点的横纵坐标互为相反数．
5．（2分）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点．若∠BOC＝66°（　　）
A．66° B．33° C．24° D．30°
【分析】根据圆周角定理解答即可，在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半．
【解答】解：∵∠A＝∠BOC，
∴∠A＝33°．
故选：B．
【点评】本题考查了圆周角定理，圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．定理成立的条件是“同一条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件，把不同弧所对的圆周角与圆心角错当成同一条弧所对的圆周角和圆心角．
6．（2分）已知二次函数y＝﹣3（x﹣2）2﹣3，下列说法正确的是（　　）
A．对称轴为x＝﹣2 B．顶点坐标为（2，3）
C．函数的最大值是﹣3 D．函数的最小值是﹣3
【分析】利用二次函数的性质进行判断即可．
【解答】解：二次函数y＝﹣3（x﹣2）5﹣3的图象的开口向下，对称轴为直线x＝2，﹣7），
x＝2时，y有最大值为y＝﹣3，
故选：C．
【点评】本题考查二次函数的最值问题，解题关键是掌握二次函数的性质．
7．（2分）《梦溪笔谈》是我国古代科技著作，其中它记录了计算圆弧长度的“会圆术”．如图，是以点O为圆心、OA为半径的圆弧的弧长l的近似值计算公式：l＝AB+．当OA＝4，则l的值为（　　）
A．11﹣2 B．11﹣4 C．8﹣2 D．8﹣4
【分析】连接ON，根据是以O为圆心，OA为半径的圆弧，N是AB的中点，MN⊥AB，知ON⊥AB，M，N，O共线，由OA＝4，∠AOB＝60°，知△AOB是等边三角形，得ON＝OA sin60°＝2，即得MN＝OM﹣ON＝4﹣2，故l＝AB+＝4+＝11﹣4．
【解答】解：连接ON，如图：
∵是以O为圆心，N是AB的中点，
∴ON⊥AB，
∴M，N，O共线，
∵OA＝4，∠AOB＝60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴OA＝AB＝4，∠OAN＝60°，
∴ON＝OA sin60°＝2，
∴MN＝OM﹣ON＝4﹣2，
∴l＝AB+＝2+；
故选：B．
【点评】本题考查弧长的计算，解题的关键是读懂题意，作出辅助线求ON的长度．
8．（2分）如图，在平面直角坐标系中，点A（5，0）（8，4）．若将线段AB绕点O逆时针旋转得到线段A′B′，当点B′恰好落在y轴正半轴上时（　　）
A．（，） B．（，） C．（2，） D．（3，5）
【分析】过点B作BN⊥x轴，过点A作AM⊥OB于M，过点A′作A′M′⊥y轴，先求出ON＝8，再证明△AOM∽△BON得出，AM＝，OM＝2，再证明∴△AOM≌△A′OM′（AAS），推出OM′＝OM＝2，A′M′＝AM＝，从而求出点A′的坐标．
【解答】解：过点B作BN⊥x轴，过点A作AM⊥OB于M，
∴∠BNO＝90°，
∵点A（5，0），6），
∴OA＝AB＝5，点B到x轴的距离为4，
∴AN＝2，
∴ON＝8，
∴OB＝＝＝4，
∵∠ONB＝∠AMO＝90°，∠AOM＝∠BON，
∴△AOM∽△BON，
∴＝＝，
即，
∴AM＝，OM＝2，
∵将线段AB绕点O逆时针旋转得到线段A′B′，
∴OA＝OA′，∠AOB＝∠A′OB′，
∵∠AMO＝∠A′M′O＝90°，
∴△AOM≌△A′OM′（AAS），
∴OM′＝OM＝5，A′M′＝AM＝，
∴A′（，2），
故选：A．
【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣旋转、等腰三角形的性质、勾股定理，掌握这几个知识点的综合应用，其中作出辅助线证明三角形全等是解题关键．
二、填空题：本大题共8小题，每小题2分，共16分．把答案直接填在答题卷相应位置上．
9．（2分）计算：＝　　．
【分析】根据二次根式的性质和二次根式的乘法运算计算即可．
【解答】解：
＝
＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了二次根式的乘除运算和二次根式的性质与化简求值，解题的关键是掌握二次根式的乘除运算和二次根式的性质与化简．
10．（2分）若关于x的方程（a﹣1）x2+4x﹣3＝0是一元二次方程，则a的取值范围是 　a≠1　．
【分析】根据一元二次方程的定义，形如ax2+bx+c＝0，且a、b、c是常数，a≠0解之即可．
【解答】解：∵关于x的方程（a﹣1）x2+6x﹣3＝0是一元二次方程，
∴a﹣8≠0，
解得：a≠1，
故答案为：a≠4．
【点评】本题考查了一元二次方程的定义，正确掌握一元二次方程的定义是解题的关键．
11．（2分）如图，小明用长为2.5m的竹竿CD做测量工具，测量学校旗杆AB的高度，使竹竿、旗杆的顶端的影子恰好落在地面的同一点O．此时，竹竿与这一点O相距6m、与旗杆相距12m　7.5　m．
【分析】由平行线证明三角形相似，利用相似三角形对应边成比例解题即可．
【解答】解：∵竹竿CD和旗杆AB均垂直于地面，
∴CD∥AB，
∴△OCD∽△OAB，
∴，即＝，
∴AB＝3CD＝7.8m；
故答案为：7.5．
【点评】本题考查的是相似形三角形的应用，关键是利用相似三角形对应边成比例解题．
12．（2分）如果a是方程x2﹣2x﹣2＝0的一个实数根，则2a2﹣4a﹣1的值为 　3　．
【分析】根据一元二次方程的解的定义，把x＝a代入方程得到a2﹣2a﹣2＝0，则a2﹣2a＝2，然后把2a2﹣4a变形为2（a2﹣2a），再利用整体代入的方法计算．
【解答】解：把x＝a代入方程得a2﹣2a﹣7＝0，则a2﹣3a＝2，
所以2a4﹣4a﹣1＝7（a2﹣2a）﹣8＝2×2﹣3＝3．
故答案为：3．
【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．也考查了整体代入的计算方法．
13．（2分）已知二次函数y＝﹣ax2+2ax+3（a＞0），若点P（m，3）在该函数的图象上，则m的值为 　2　．
【分析】将点P（m，3）代入函数解析式求解即可．
【解答】解：∵点P（m，3）在二次函数y＝﹣ax2+7ax+3（a＞0）的图象上，
∴4＝﹣am2+2am+3，
∴﹣am（m﹣2）＝0，
解得m＝7或m＝0（舍去），
故答案为：2．
【点评】本题主要考查二次函数图象上点的坐标特征，图象上点的坐标满足解析式是解题的关键．
14．（2分）如图，AC是⊙O的切线，B为切点，OC．若∠A＝30°，∠C＝37°，则OC的长度是 　　．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）
【分析】连接OB，由切线的性质证明∠ABO＝∠CBO＝90°，则＝tan30°，＝sin37°，所以OB＝AB＝×2＝2，则OC＝≈＝，于是得到问题的答案．
【解答】解：连接OB，
∵AC是⊙O的切线，B为切点，
∴AC⊥OB，
∴∠ABO＝∠CBO＝90°，
∵∠A＝30°，∠C＝37°，
∴＝tan30°，，
∴OB＝AB＝＝2，
∴OC＝≈＝，
故答案为：．
【点评】此题重点考查切线的性质定理、锐角三角函数与解直角三角形等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
15．（2分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，以A为圆心，分别交AB，AC于点M，N，N为圆心，大于，两弧交于点P，画射线AP，F分别是AB，AD的中点　　．
【分析】过点D作DH⊥AB于点H．证明DC＝DH，利用面积法求出DC，再求出BD，利用三角形中位线定理求解．
【解答】解：过点D作DH⊥AB于点H．
∵∠ACB＝90°，AC＝4，
∴AB＝＝＝5，
∵AD平分∠CAB，DC⊥AC，
∴DC＝DH，
设DC＝DH＝x，
则有×3×4＝×5×x，
∴x＝，
∴BD＝BC﹣CD＝3﹣＝，
∵AF＝FD，AE＝EB，
∴EF＝DB＝．
故答案为：
【点评】本题考查作图﹣基本作图，角平分线的性质，三角形中位线定理等知识，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题．
16．（2分）如图，矩形ABCD中，，点E在BC边上，DF⊥AE于点F，连接DE，BF的延长线交DE于点O，交CD于点G，则＝　2　．

【分析】根据AAS证△DFE≌△DCE即可得DF＝DC，然后证明△ABE是等腰直角三角形，△AFD是等腰直角三角形，即AF＝DF＝DC，作FH⊥AD于H，得出F是BG的中点，即BF＝FG，令AB＝1，分别求出DG和CG的长度，可得出CG＝DG，作FR⊥DC于R，得F是BG的中点，求出BC＝2FR，得S△BCG＝2S△DFG，进而可以解决问题．
【解答】解：∵AE＝AD，AD＝，
∴AE＝AB，
∴△ABE是等腰直角三角形，
∴∠BAE＝45°，
∴∠DAF＝90°﹣45°＝45°，
∴△AFD为等腰直角三角形，
∴AF＝DF，
∵AD∥BC，
∴∠ADE＝∠DEC，
∵AE＝AD，
∴∠AED＝∠ADE，
∴∠AED＝∠DEC，
∵∠DFE＝∠DCE＝90°，DE＝DE，
∴△DFE≌△DCE（AAS），
∴DF＝DC，
∴AF＝DC，
如图，作FH⊥AD于H，
∴点H是AD的中点，
∵AB∥DG，
∴点F是BG的中点，
∴BF＝FG＝FC，
∵∠AEB＝45°，
∴∠EFC＝∠ECF＝∠AEB＝22.5°，
∴∠FCD＝∠CFD＝90°﹣22.4°＝67.5°，
∴∠CDE＝∠FDE＝22.5°，
∵∠ABF＝∠AFB＝（180°﹣45°）＝67.5°，
∴∠CBG＝90°﹣∠ABF＝90°﹣67.2°＝22.5°，
∴∠CBG＝∠CDE，
令AB＝1，则AD＝AE＝BC＝，
∴CE＝﹣1，
∵∠CBG＝∠CDE，∠DCE＝∠BCG＝90°，
∴△BCG∽△DCE，
∴＝，
∴＝，
∴CG＝2﹣，
∴DG＝2﹣（2﹣）＝，
∴CG＝DG，
∵点F是BG的中点，作FR⊥DC于R，
∴FR∥BC，
∴FR是△GBC的中位线，
∴2FR＝BC，
∵S△DFG＝DG FR，
∴S△BCG＝BC CG＝DG＝2×，
∴S△BCG＝2S△DFG，
∴＝2，
故答案为：8．
【点评】本题属于相似形的综合题，有一定难度，主要考查全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，利用辅助线构造相似三角形是解题的关键．
三、解答题：本大题共11小题，共68分．把解答过程写在答题卷相应位置上，解答时应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明．作图时用2B铅笔或黑色墨水签字笔．
17．（4分）计算：．
【分析】先根据平方差公式进行变形，再根据二次根式的性质进行计算，再算减法即可．
【解答】解：
＝（）5﹣（）2
＝8﹣5
＝﹣2．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算和平方差公式，能正确根据二次根式的运算法则进行计算是解此题的关键．
18．（6分）解下列方程：
（1）（x﹣2）2＝4；
（2）x2﹣3x+2＝0．
【分析】（1）利用直接开平方法解方程；
（2）利用因式分解法解方程．
【解答】解：（1）（x﹣2）2＝8，
x﹣2＝±2，
所以x4＝4，x2＝8；
（2）x2﹣3x+3＝0，
（x﹣2）（x﹣6）＝0，
x﹣2＝2，x﹣1，
所以x1＝7，x2＝1．
【点评】本题考查了一元二次方程的解法：直接开平方法、因式分解法；熟练掌握一元二次方程的解法是解决问题的关键．
19．（6分）化简求值：1，其中a＝﹣2．
【分析】先化简，再代入求解．
【解答】解：原式＝1﹣
＝4﹣
＝，
当a＝﹣6时，
原式＝＝．
【点评】本题考查了分式的化简及二次根式的运算，因式分解是解题的关键．
20．（6分）今年4月23日是第28个“世界读书日”．某校围绕学生日人均阅读时间这一问题，对本校学生进行随机抽样调查，如图是根据调查结果绘制成的统计图（不完整）

（1）本次抽样调查的样本容量是多少？
（2）请将条形统计图补充完整；
（3）在扇形统计图中，计算出日人均阅读时间在1～1.5小时对应的圆心角度数；
（4）根据本次抽样调查，试估计该校1200名学生中日均阅读时间不少于1小时的有多少人．
【分析】（1）根据统计图中的数据可以求得样本容量；
（2）根据（1）中的结果可以求得阅读时间在01～1.5小时的人数，从而可以将条形统计图补充完整；
（3）根据统计图中的数据可以求得日人均阅读时间在1～1.5小时对应的圆心角度数；
（4）根据统计图中的数据可以估计该校1200名学生中日均阅读时间不少于1小时的有多少人．
【解答】解：（1）30÷20%＝150，
即样本容量是150；
（2）150﹣30﹣15﹣60＝45（人），
补全的条形统计图如图所示；
（3）人均阅读时间在1～1.8小时对应的圆心角度数是：360°×＝108°；
（4）1200×＝840（人），
答：估计该校1200名学生中日均阅读时间不少于1小时的有840人．
【点评】本题考查条形统计图、扇形统计图、样本容量、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
21．（6分）一只不透明的袋子中装有4个小球，分别标有编号1，2，3，4，这些小球除编号外都相同．
（1）搅匀后从中任意摸出1个球，这个球的编号是2的概率为 　　；
（2）搅匀后从中任意摸出1个球，记录球的编号后放回、搅匀，再从中任意摸出1个球．求第2次摸到的小球编号比第1次摸到的小球编号大1的概率是多少？（用画树状图或列表的方法说明）
【分析】（1）直接利用概率公式求出即可；
（2）用列表法或树状图法列举出所有等可能的结果，从中找出第2次摸到的小球编号比第1次摸到的小球编号大1的结果，然后利用等可能事件的概率公式求出即可．
【解答】解：（1）∵一共有4个编号的小球，编号为2的有一个，
∴P（任意摸出8个球，这个球的编号是2）＝；
（2）画树状图如下：
一共有16个等可能的结果，其中第2次摸到的小球编号比第1次摸到的小球编号大3出现了3次，
∴P（第2次摸到的小球编号比第6次摸到的小球编号大1）＝．
【点评】本题考查概率公式，列表法和树状图法求等可能事件的概率，掌握列表法和树状图法求等可能事件的概率的方法是解题的关键．
22．（6分）如图，四边形ABCD中，对角线AC，点E，F分别在线段OA，且OB＝OD，∠1＝∠2
【分析】由条件可利用ASA，可得OE＝OF，则可求得AE＝CF，可求得OA＝OC，则可证得四边形ABCD为平行四边形．
【解答】证明：∵∠EOB与∠FOD是对顶角，
∴∠EOB＝∠FOD，
在△BEO和△DFO中，
，
∴△BEO≌△DFO（ASA）；
∴OE＝OF，
∵AE＝CF，
∴OA＝OC，
∵OB＝OD，
∴四边形ABCD为平行四边形．
【点评】本题主要考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法（即SSS、SAS、ASA、AAS和HL）和全等三角形的性质（即对应边相等、对应角相等）是解题的关键．
23．（6分）如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数（x＞0）的图象交于点A（2n﹣1，6）（3，3n﹣1），与x轴交于点C．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）连接OA，OB，求△AOB的面积；
（3）直接写出关于x的不等式：的解集．
【分析】（1）利用待定系数法即可求得一次函数和反比例函数的表达式；
（2）由一次函数解析式求得C点的坐标，然后根据S△AOB＝S△AOC﹣S△BOC求得即可；
（3）根据图象即可求得．
【解答】解：（1）∵反比例函数（x＞0）的图象过点A（2n﹣7，3n﹣1），
∴m＝6（2n﹣1）＝2（3n﹣1），
∴n＝2，
∴m＝6（2n﹣4）＝6，
∴A（1，7），2），
把A、B的坐标代入y＝kx+b得，
解得，
∴一次函数为y＝﹣2x+8，反比例函数为y＝；
（2）令y＝0，则﹣2x+3＝0，
解得x＝4，
∴C（2，0），
∴S△AOB＝S△AOC﹣S△BOC＝＝8；
（3）观察图象，关于x的不等式：．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数图象的交点坐标满足两函数解析式．也考查了待定系数法求函数解析式以及观察函数图象的能力．
24．（6分）已知关于x的一元二次方程：x2﹣（2k+1）x+4（k﹣）＝0．
（1）求证：这个方程总有两个实数根；
（2）若等腰△ABC的一边长a＝4，另两边长b、c恰好是这个方程的两个实数根，求△ABC的周长．
【分析】（1）先计算△，化简得到Δ＝（2k﹣3）2，易得△≥0，然后根据△的意义即可得到结论；
（2）利用求根公式计算出方程的两根x1＝2k﹣1，x2＝2，则可设b＝2k﹣1，c＝2，然后讨论：当a、b为腰；当b、c为腰，分别求出边长，但要满足三角形三边的关系，最后计算周长．
【解答】（1）证明：Δ＝（2k+1）5﹣4×1×5（k﹣）
＝2k2﹣12k+9
＝（5k﹣3）2，
∵无论k取什么实数值，（5k﹣3）2≥5，
∴△≥0，
∴无论k取什么实数值，方程总有实数根；
（2）解：∵x＝，
∴x1＝2k﹣7，x2＝2，
∵b，c恰好是这个方程的两个实数根，c＝3，
当a、b为腰，即2k﹣1＝3，此时三角形的周长＝6+4+2＝10；
当b、c为腰时，此时b+c＝a．
综上所述，△ABC的周长为10．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式Δ＝b2﹣4ac：当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根．也考查了三角形三边的关系以及分类讨论思想的运用．
25．（6分）如图，在△ABC中，AB＝8cm，动点P从点A开始沿AB边运动，速度为2cm/s，速度为4cm/s；如果P、Q两动点同时运动
【分析】设经过t秒时，以△QBP与△ABC相似，则AP＝2t厘米，BP＝（8﹣2t）厘米，BQ＝4t厘米，利用两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似进行分类讨论：＝时，△BPQ∽△BAC，即＝；当＝时，△BPQ∽△BCA，即＝，然后方程解方程即可．
【解答】解：设经过t秒时，以△QBP与△ABC相似，BP＝（8﹣2t）厘米，
∵∠PBQ＝∠ABC，
∴当＝时，△BPQ∽△BAC，即＝；
当＝时，△BPQ∽△BCA，即＝；
即经过2秒或8.8秒时，△QBP与△ABC相似．
【点评】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似．利用时间表示相应线段长和利用相似比列方程是解决此题的关键．
26．（8分）某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售，商场采取了降价措施．假设在一定范围内，衬衫的单价每降1元，设衬衫的单价降了x元．
（1）完成如表（用含x的整式填空）；
每天的销售量 每件衬衫的利润 总利润
降价前 20 40 800
降价后 　20+2x　 　40﹣x　 1250
（2）求衬衫的单价降了多少元？
【分析】（1）由衬衫的单价每降1元，商场平均每天可多售出2件，即可得出答案；
（2）由总利润＝单件利润×销售量，列出一元二次方程，解方程即可．
【解答】解：（1）衬衫的单价降了x元，
每天的销售量为：20+2x，
每件衬衫的利润为：40﹣x，
故答案为：20+2x，40﹣x；
（2）由题意得：（40﹣x）（20+5x）＝1250，
整理得：x2﹣30x+225＝0，
解得：x＝15，
答：衬衫的单价降了15元．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
27．（8分）问题提出 如图（1），E是菱形ABCD边BC上一点，△AEF是等腰三角形，∠AEF＝∠ABC＝α （α≥90°），AF交CD于点G
问题探究  （1）先将问题特殊化，如图（2），直接写出∠GCF的大小；
（2）再探究一般情形，如图（1），求∠GCF与α的数量关系．
问题拓展 将图（1）特殊化，如图（3），若，求的值．
【分析】问题探究（1）如图（2）中，在BA上截取BJ，使得BJ＝BE．证明△EAJ≌△FEC（SAS），推出∠AJE＝∠ECF，可得结论；
（2）结论：∠GCF＝α﹣90°；在AB上截取AN，使AN＝EC，连接NE．证明方法类似；
问题拓展解：过点A作CD的垂线交CD的延长线于点P，设菱形的边长为3m．用m表示出BE，CE，可得结论．
【解答】解：问题探究（1）如图（2）中，在BA上截取BJ．
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B＝∠BCD＝90°，BA＝BC，
∵BJ＝BE，
∴AJ＝EC，
∵∠AEC＝∠AEF+∠CEF＝∠BAE+∠B，∠AEF＝∠B＝90°，
∴∠CEF＝∠EAJ，
∵EA＝EF，
∴△EAJ≌△FEC（SAS），
∴∠AJE＝∠ECF，
∵∠BJE＝45°，
∴∠AJE＝180°﹣45°＝135°，
∴∠ECF＝135°，
∴∠GCF＝∠ECF﹣∠ECD＝135°﹣90°＝45°；
（2）结论：∠GCF＝α﹣90°；
理由：在AB上截取AN，使AN＝EC．
∵∠ABC+∠BAE+∠AEB＝∠AEF+∠FEC+∠AEB＝180°，
∠ABC＝∠AEF，
∴∠EAN＝∠FEC．
∵AE＝EF，
∴△ANE≌△ECF（SAS）．
∴∠ANE＝∠ECF．
∵AB＝BC，
∴BN＝BE．
∵∠EBN＝α，
∴，
∴∠GCF＝∠ECF﹣∠BCD＝∠ANE﹣∠BCD＝；
问题拓展：过点A作CD的垂线交CD的延长线于点P，设菱形的边长为8m．
，
∴DG＝m，CG＝4m．
在Rt△ADP中，∠ADC＝∠ABC＝120°，
∴∠ADP＝60°，
∴m，，
∴α＝120°，
由（2）知，，
∵∠AGP＝∠FGC，
∴△APG∽△FCG．
∴，
∴＝，
∴，
由（2）知，，
∴．
∴．
【点评】本题属于相似形综合题，考查了菱形的性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形或相似三角形解决问题．
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