第三章 圆
§3.1 车轮为什么做成圆形
学习目标:
经历形成圆的概念的过程，经历探索点与圆位置关系的过程；理解圆的概念，理解点与圆的位置关系．
学习重点:
圆及其有关概念，点与圆的位置关系．
学习难点:
用集合的观念描述圆．
学习方法:
指导探索法.
学习过程:
一、例题讲解：
【例1】如图，Rt△ABC的两条直角边BC=3，AC=4，斜边AB上的高为CD，若以C为圆心，分别以r1=2cm，r2=2．4cm，r3=3cm为半径作圆，试判断D点与这三个圆的位置关系．
【例2】如何在操场上画出一个很大的圆？说一说你的方法．
【例3】 已知：如图，OA、OB、OC是⊙O的三条半径，∠AOC=∠BOC，M、N分别为OA、OB的中点．求证：MC=NC．
【例4】 设⊙O的半径为2，点P到圆心的距离OP=m，且m使关于x的方程2x2－2x＋m－1=0有实数根，试确定点P的位置．
【例5】 城市规划建设中，某超市需要拆迁．爆破时，导火索的燃烧速度与每秒0．9厘米，点导火索的人需要跑到离爆破点120米以外的安全区域，这个导火索的长度为18厘米，那么点导火索的人每秒跑6．5米是否安全？
【例6】 由于过渡采伐森林和破坏植被，使我国某些地区多次受到沙尘暴的侵袭．近来A市气象局测得沙尘暴中心在A市正东方向400km的B处，正在向西北方向移动（如图3-1-5），距沙尘暴中心300km的范围内将受到影响，问A市是否会受到这次沙尘暴的影响？
二、随堂练习
1．已知圆的半径等于5cm，根据下列点P到圆心的距离：（1）4cm；（2）5cm；（3）6cm，判定点P与圆的位置关系，并说明理由．
2．点A在以O为圆心，3cm为半径的⊙O内，则点A到圆心O的距离d的范围是 ．
三、课后练习
1．P为⊙O内与O不重合的一点，则下列说法正确的是（ ）
A．点P到⊙O上任一点的距离都小于⊙O的半径
B．⊙O上有两点到点P的距离等于⊙O的半径
C．⊙O上有两点到点P的距离最小
D．⊙O上有两点到点P的距离最大
2．若⊙A的半径为5，点A的坐标为（3，4），点P的坐标为（5，8），则点P的位置为（ ）
A．在⊙A内 B．在⊙A上 C．在⊙A外 D．不确定
3．两个圆心为O的甲、乙两圆，半径分别为r1和r2，且r1＜OA＜r2，那么点A在（ ）
A．甲圆内 B．乙圆外 C．甲圆外，乙圆内 D．甲圆内，乙圆外
4．以已知点O为圆心作圆，可以作（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个
5．以已知点O为圆心，已知线段a为半径作圆，可以作（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个
6．已知⊙O的半径为3．6cm，线段OA=cm，则点A与⊙O的位置关系是（ ）
A．A点在圆外 B．A点在⊙O上 C．A点在⊙O内 D． 不能确定
7．⊙O的半径为5，圆心O的坐标为（0，0），点P的坐标为（4，2），则点P与⊙O的位置关系是（ ）
A．点P在⊙O内 B．点P在⊙O上
C．点P在⊙O外 D．点P在⊙O上或⊙O外
8．在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=4cm，D是AB边的中点，以C为圆心，4cm长为半径作圆，则A、B、C、D四点中在圆内的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=2cm，BC=4cm，CM为中线，以C为圆心，cm为半径作圆，则A、B、C、M四点在圆外的有 ，在圆上的有 ，在圆内的有 ．
10．一点和⊙O上的最近点距离为4cm，最远距离为9cm，则这圆的半径是 cm．
11．圆上各点到圆心的距离都等于 ，到圆心的距离等于半径的点都在 ．
12．在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=15cm，BC=10cm，以A为圆心，12cm为半径作圆，则点C与⊙A的位置关系是 ．
13．⊙O的半径是3cm，P是⊙O内一点，PO=1cm，则点P到⊙O上各点的最小距离是 ．
14．作图说明：到已知点A的距离大于或等于1cm，且小于或等于2cm的所有点组成的图形．
15．菱形的四边中点是否在同一个圆上？如果在同一圆上，请找出它的圆心和半径．
16．在Rt△ABC中，BC=3cm，AC=4cm，AB=5cm，D、E分别是AB和AC的中点．以B为圆心，以BC为半径作⊙B，点A、C、D、E分别与⊙B有怎样的位置关系？
17．已知：如图，矩形ABCD中，AB=3cm，AD=4cm．若以A为圆心作圆，使B、C、D三点中至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外，求⊙A的半径r的取值范围．
18．如图，公路MN和公路PQ在P处交汇，且∠QPN=30°，点A处有一所中学，AP=160m．假设拖拉机行驶时，周围100m以内会受到噪声的影响，那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时，学校是否会受到噪声影响？请说明理由；如果受影响，已知拖拉机的速度为18km/时，那么学样受影响的时间为多少秒？
19．在等腰三角形ABC中，B、C为定点，且AC=AB，D为BC的中点，以BC为直径作⊙D，问：（1）顶角A等于多少度时，点A在⊙D上？（2）顶角A等于多少度时，点A在⊙D内部？（3）顶角A等于多少度时，点A在⊙D外部？
20．如图，点C在以AB为直径的半圆上，∠BAC=20°，∠BOC等于（ ）
A．20° B．30° C．40° D．50°
21．如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD=4，BC=9，AB=12，M为AB的中点，以CD为直径画圆P，判断点M与⊙P的位置关系．
22．生活中许多物品的形状都是圆柱形的．如水桶、热水瓶、罐头、茶杯、工厂里用的油桶、贮气罐以及地下各种管道等等．你知道这是为什么吗？尽你所知，请说出一些道理．
§3.2 圆的对称性（第一课时）
学习目标:
经历探索圆的对称性及相关性质的过程．理解圆的对称性及相关知识．理解并掌握垂径定理．
学习重点:
垂径定理及其应用．
学习难点:
垂径定理及其应用．
学习方法:
指导探索与自主探索相结合。
学习过程:
一、举例：
【例1】判断正误：
（1）直径是圆的对称轴．
（2）平分弦的直径垂直于弦．
【例2】若⊙O的半径为5，弦AB长为8，求拱高．
【例3】如图，⊙O的直径AB和弦CD相交于点E，已知AE=6cm，EB=2cm，∠CEA=30°，求CD的长．
【例4】如图，在⊙O中，弦AB=8cm，OC⊥AB于C，OC=3cm，求⊙O的半径长．
【例5】如图1，AB是⊙O的直径，CD是弦，AE⊥CD，垂足为E，BF⊥CD，垂足为F，EC和DF相等吗？说明理由．
如图2，若直线EF平移到与直径AB相交于点P（P不与A、B重合），在其他条件不变的情况下，原结论是否改变？为什么？
如图3，当EF∥AB时，情况又怎样？
如图4，CD为弦，EC⊥CD，FD⊥CD，EC、FD分别交直径AB于E、F两点，你能说明AE和BF为什么相等吗？
二、课内练习：
1、判断：
⑴垂直于弦的直线平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧.（ ）
⑵平分弦所对的一条弧的直径一定平分这条弦所对的另一条弧.（ ）
⑶经过弦的中点的直径一定垂直于弦.（ ）
⑷圆的两条弦所夹的弧相等，则这两条弦平行. （ ）
⑸弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧. （ ）
2、已知：如图,⊙O 中,弦AB∥CD,AB＜CD,
直径MN⊥AB,垂足为E,交弦CD于点F.
图中相等的线段有 .
图中相等的劣弧有 .
3、已知：如图，⊙O 中， AB为 弦，C 为 AB 的中点，OC交AB 于D ，AB = 6cm ，CD = 1cm. 求⊙O 的半径OA.
4.如图,圆O与矩形ABCD交于E、F、G、H,EF=10,HG=6,AH=4.求BE的长.
5．储油罐的截面如图3-2-12所示，装入一些油后，若油面宽AB=600mm，求油的最大深度．
6． “五段彩虹展翅飞”，我省利用国债资金修建的，横跨南渡江的琼州大桥（如图3-2-16）已于今年5月12日正式通车，该桥的两边均有五个红色的圆拱，如图（1）．最高的圆拱的跨度为110米，拱高为22米，如图（2）那么这个圆拱所在圆的直径为 米．
三、课后练习：
1、已知，如图在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D两点，求证：AC＝BD
2、已知AB、CD为⊙O的弦,且AB⊥CD，AB将CD分成3cm和7cm两部分，求：圆心O到弦AB的距离
3、已知：⊙O弦AB∥CD 求证：
4、已知：⊙O半径为6cm，弦AB与直径CD垂直，且将CD分成1∶3两部分,求：弦AB的长．
5、已知：AB为⊙O的直径，CD为弦，CE⊥CD交AB于E DF⊥CD交AB于F求证：AE＝BF
6、已知：△ABC内接于⊙O，边AB过圆心O，OE是BC的垂直平分线，交⊙O于E、D两点，求证，
7、已知：AB为⊙O的直径，CD是弦，BE⊥CD于E，AF⊥CD于F，连结OE，OF求证：⑴OE＝OF ⑵ CE＝DF
8、在⊙O中，弦AB∥EF，连结OE、OF交AB于C、D求证：AC＝DB
9、已知如图等腰三角形ABC中，AB＝AC，半径OB＝5cm，圆心O到BC的距离为3cm，求ABC的长
10、已知：⊙O与⊙O＇相交于P、Q，过P点作直线交⊙O于A，交⊙O＇于B使OO＇与AB平行求证：AB＝2OO＇
11、已知：AB为⊙O的直径，CD为弦，AE⊥CD于E，BF⊥CD于F求证：EC＝DF
§3.2 圆的对称性（第二课时）
学习目标:
圆的旋转不变性，圆心角、弧、弦之间相等关系定理．
学习重点:
圆心角、弧、弦之间关系定理．
学习难点:
“圆心角、弧、弦之间关系定理”中的“在同圆或等圆”条件的理解及定理的证明．
学习方法:
指导探索法.
学习过程:
一、例题讲解：
【例1】已知A,B是⊙O上的两点,∠AOB=1200,C是 的中点,试确定四边形OACB的形状,并说明理由.
【例2】如图，AB、CD、EF都是⊙O的直径，且∠1=∠2=∠3，弦AC、EB、DF是否相等？为什么？
【例3】如图，弦DC、FE的延长线交于⊙O外一点P，直线PAB经过圆心O，请你根据现有圆形，添加一个适当的条件： ，使∠1=∠2．
二、课内练习：
1、判断题
（1）相等的圆心角所对弦相等 （ ）
（2）相等的弦所对的弧相等 （ ）
2、填空题
⊙O中，弦AB的长恰等于半径，则弦AB所对圆心角是________度．
3、选择题
如图，O为两个同圆的圆心，大圆的弦AB交小圆于C、D两点，OE⊥AB，垂足为E，若AC＝2.5 cm，ED＝1.5 cm，OA＝5 cm，则AB长度是___________．
A、6 cm B、8 cm C、7 cm D、7.5 cm
4、选择填空题
如图2，过⊙O内一点P引两条弦AB、CD，使AB＝CD，
求证：OP平分∠BPD．
证明：过O作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N．
A OM⊥PB B OM⊥AB C ON⊥CD D ON⊥PD
三、课后练习：
1．下列命题中，正确的有（ ）
A．圆只有一条对称轴
B．圆的对称轴不止一条，但只有有限条
C．圆有无数条对称轴，每条直径都是它的对称轴
D．圆有无数条对称轴，经过圆心的每条直线都是它的对称轴
2．下列说法中，正确的是（ ）
A．等弦所对的弧相等 B．等弧所对的弦相等
C．圆心角相等，所对的弦相等 D．弦相等所对的圆心角相等
3．下列命题中，不正确的是（ ）
A．圆是轴对称图形 B．圆是中心对称图形
C．圆既是轴对称图形，又是中心对称图形 D．以上都不对
4．半径为R的圆中，垂直平分半径的弦长等于（ ）
A．R B．R C．R D．2R
5．如图1，半圆的直径AB=4，O为圆心，半径OE⊥AB，F为OE的中点，CD∥AB，则弦CD的长为（ ）
A．2 B． C． D．2
6．已知：如图2，⊙O的直径CD垂直于弦AB，垂足为P，且AP=4cm，PD=2cm，则⊙O的半径为（ ）
A．4cm B．5cm C．4cm D．2cm
7．如图3，同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D，已知AB=4，CD=2，AB的弦心距等于1，那么两个同心圆的半径之比为（ ）
A．3：2 B．：2 C．： D．5：4
8．半径为R的⊙O中，弦AB=2R，弦CD=R，若两弦的弦心距分别为OE、OF，则OE：OF=（ ）
A．2：1 B．3：2 C．2：3 D．0
9．在⊙O中，圆心角∠AOB=90°，点O到弦AB的距离为4，则⊙O的直径的长为（ ）
A．4 B．8 C．24 D．16
10．如果两条弦相等，那么（ ）
A．这两条弦所对的弧相等 B．这两条弦所对的圆心角相等
C．这两条弦的弦心距相等 D．以上答案都不对
11．⊙O中若直径为25cm，弦AB的弦心距为10cm，则弦AB的长为 ．
12．若圆的半径为2cm，圆中的一条弦长2cm，则此弦中点到此弦所对劣弧的中点的距离为 ．
13．AB为圆O的直径，弦CD⊥AB于E，且CD=6cm，OE=4cm，则AB= ．
14．半径为5的⊙O内有一点P，且OP=4，则过点P的最短的弦长是 ，最长的弦长是 ．
15．弓形的弦长6cm，高为1cm，则弓形所在圆的半径为 cm．
16．在半径为6cm的圆中，垂直平分半径的弦长为 cm．
17．一条弦把圆分成1：3两部分，则弦所对的圆心角为 ．
18．弦心距是弦的一半时，弦与直径的比是 ，弦所对的圆心角是 ．
19．如图4，AB、CD是⊙O的直径OE⊥AB，OF⊥CD，则∠EOD ∠BOF， ，AC AE．
20．如图5，AB为⊙O的弦，P是AB上一点，AB=10cm，OP=5cm，PA=4cm，求⊙O的半径．
21．如图6，已知以点O为公共圆心的两个同心圆，大圆的弦AB交小圆于C、D．
（1）求证：AC=DB；
（2）如果AB=6cm，CD=4cm，求圆环的面积．
22．⊙O的直径为50cm，弦AB∥CD，且AB=40cm，CD=48cm，求弦AB和CD之间的距离．
23．如果圆的两条弦互相平行，那么这两条弦所夹的弧相等吗？为什么？
24．已知一弓形的弦长为4，弓形所在的圆的半径为7，求弓形的高．
25．如图，已知⊙O1和⊙O2是等圆，直线CF顺次交这两个圆于C、D、E、F，且CF交O1O2于点M，，O1M和O2M相等吗？为什么？
§3.3 圆周角和圆心角的关系（第一课时）
学习目标:
（1）理解圆周角的概念,掌握圆周角的两个特征、定理的内容及简单应用；
（2）继续培养学生观察、分析、想象、归纳和逻辑推理的能力；
（3）渗透由“特殊到一般”，由“一般到特殊”的数学思想方法．
学习重点:
圆周角的概念和圆周角定理
学习难点:
圆周角定理的证明中由“一般到特殊”的数学思想方法和完全归纳法的数学思想．
学习方法:
指导探索法.
学习过程:
一、举例：
1、已知⊙O中的弦AB长等于半径，求弦AB所对的圆周角和圆心角的度数．
2、如图，OA、OB、OC都是圆O的半径，∠AOB=2∠BOC．求证：∠ACB=2∠BAC
3、如图，已知圆心角∠AOB=100°，求圆周角∠ACB、∠ADB的度数？
4、一条弦分圆为1：4两部分，求这弦所对的圆周角的度数？
5、已知AB为⊙O的直径，AC和AD为弦，AB=2，AC=，AD=1，求∠CAD的度数．
6、如图，A、B、C、D、E是⊙O上的五个点，则图中共有 个圆周角，分别是 ．
7、如图，已知△ABC是等边三角形，以BC为直径的⊙O交AB、AC于D、E．（1）求证：△DOE是等边三角形；（2）如图3-3-14，若∠A=60°，AB≠AC，则①中结论是否成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由？
8、已知等圆⊙O1和⊙O2相交于A、B两点，⊙O1经过O2，点C是上任一点（不与A、O2、B重合），连接BC并延长交⊙O2于D，连接AC、AD．求证： ．
（1）操作测量：图a）供操作测量用，测量时可使用刻度尺或圆规将图（a）补充完整，并观察和度量AC、CD、AD三条线段的长短，通过观察或度量说出三条线段之间存在怎样的关系？
（2）猜想结论（求证部分），并证明你的猜想；（在补充完整的图（a）中进行证明）
（3）如图b），若C点是的中点，AC与O1O2相交于E点，连接O1C，O2C．求证：CE2=O1O2·EO2．
二、课外练习：
1、⊙O的弦AB等于半径，那么弦AB所对的圆周角一定是（ ）．
（A）30° （B）150° （C）30°或150° （D）)60°
2、△ABC中，∠B＝90°，以BC为直径作圆交AC于E，若BC=12，AB=12 ，则 的度数为（ ）．
（A）60° （B）80° （C）100° （D）)120°
3、如图，△ABC是⊙O的内接等边三角形，D是AB上一点，AB与CD交于E点，则图中60°的角共有( )个．
（A）3 （B）4 （C）5 （D）6
4、如图，△ABC内接于⊙O，∠OBC=25°，则∠A的度数为（ ）
（A）70° （B）65° （C）60° （D）)50°
5、圆内接三角形三个内角所对的弧长为3:4:5，那么这个三角形内角的度数分别为__________．
6、如图，AB是⊙O的直径，CD⊥AB于D，AD=9cm，DB=4cm，求CD和AC的长．
7、已知：如图，△ABC是⊙O的内接三角形，⊙O的直径BD交AC于E，AF⊥BD于F，延长AF交BC于G．求证：
§3.3 圆周角和圆心角的关系（第二课时）
学习目标:
掌握圆周角定理几个推论的内容,会熟练运用推论解决问题.
学习重点:
圆周角定理几个推论的应用.
学习难点:
理解几个推论的”题设”和”结论”．
学习方法:
指导探索法.
学习过程:
一、举例：
【例1】用直角钢尺检查某一工件是否恰好是半圆环形，根据图形3-3-19所表示的情形，四个工件哪一个肯定是半圆环形？
【例2】如图，已知⊙O中，AB为直径，AB=10cm，弦AC=6cm，∠ACB的平分线交⊙O于D，求BC、AD和BD的长．
【例3】如图所示，已知AB为⊙O的直径，AC为弦，OD∥BC，交AC于D，BC=4cm．
（1）求证：AC⊥OD；
（2）求OD的长；
（3）若2sinA－1=0，求⊙O的直径．
【例4】四边形ABCD中，AB∥DC，BC=b，AB=AC=AD=a，如图3-3-15，求BD的长．
【例5】如图1，AB是半⊙O的直径，过A、B两点作半⊙O的弦，当两弦交点恰好落在半⊙O上C点时，则有AC·AC＋BC·BC=AB2．
（1）如图2，若两弦交于点P在半⊙O内，则AP·AC＋BP·BD=AB2是否成立？请说明理由．
（2）如图3，若两弦AC、BD的延长线交于P点，则AB2= ．参照（1）填写相应结论，并证明你填写结论的正确性．
二、练习：
1．在⊙O中，同弦所对的圆周角（ ）
A．相等 B．互补 C．相等或互补 D．都不对
2．如图，在⊙O中，弦AD=弦DC，则图中相等的圆周角的对数是（ ）
A．5对 B．6对 C．7对 D．8对
3．下列说法正确的是（ ）
A．顶点在圆上的角是圆周角
B．两边都和圆相交的角是圆周角
C．圆心角是圆周角的2倍
D．圆周角度数等于它所对圆心角度数的一半
4．下列说法错误的是（ ）
A．等弧所对圆周角相等 B．同弧所对圆周角相等
C．同圆中，相等的圆周角所对弧也相等． D．同圆中，等弦所对的圆周角相等
5．如图4，AB是⊙O的直径，∠AOD是圆心角，∠BCD是圆周角．若∠BCD=25°，则∠AOD= ．
6．如图5，⊙O直径MN⊥AB于P，∠BMN=30°，则∠AON= ．
7．如图6，AB是⊙O的直径，=，∠A=25°，则∠BOD= ．
8．如图7，A、B、C是⊙O上三点，∠BAC的平分线AM交BC于点D，交⊙O于点M．若∠BAC=60°，∠ABC=50°，则∠CBM= ，∠AMB= ．
9．⊙O中，若弦AB长2cm，弦心距为cm，则此弦所对的圆周角等于 ．
10．如图8，⊙O中，两条弦AB⊥BC，AB=6，BC=8，求⊙O的半径．
11．如图9，AB是⊙O的直径，FB交⊙O于点G，FD⊥AB，垂足为D，FD交AG于E．求证：EF·DE=AE·EG．
12．如图，AB是半圆的直径，AC为弦，OD⊥AB，交AC于点D，垂足为O，⊙O的半径为4，OD=3，求CD的长．
13．如图，⊙O的弦AD⊥BC，垂足为E，∠BAD=∠α，∠CAD=∠β，且sinα=，cosβ=，AC=2，求（1）EC的长；（2）AD的长．
14．如图，在圆内接△ABC中，AB=AC，D是BC边上一点．
（1）求证：AB2=AD·AE；
（2）当D为BC延长线上一点时，第（1）小题的结论还成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由．
15．如图，已知BC为半圆的直径，O为圆心，D是的中点，四边形ABCD对角线AC、BD交于点E．
（1）求证：△ABE∽△DBC；
（2）已知BC=，CD=，求sin∠AEB的值；
（3）在（2）的条件下，求弦AB的长．
16．如图，以△ABC的BC边为直径的半圆交AB于D，交AC于E，过E点作EF⊥BC，垂足为F，且BF：FC=5：1，AB=8，AE=2，求EC的长．
§3.4 确定圆的条件
学习目标:
通过经历不在同一直线上的三个点确定一个圆的探索，了解不在同一直线上的三个点确定一个圆，掌握过不在同一直线上的三个点作圆的方法，了解三角形的外接圆、三角形的外心，圆的内接三角形的概念，进一步体会解决数学问题的策略．
学习重点:
1．定理：不在同一直线上的三个点确定一个圆．定理中“不在同一直线”这个条件不可忽略，“确定”一词应理解为“有且只有” ．
2．通过三角形各顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心为三角形的外心，这个三角形叫圆的内接三角形．只要三角形确定，那么它的外心和外接圆半径也随之确定了．
学习难点:
分析作圆的方法，实质是设法找圆心．过已知点作圆的问题，就是对圆心和半径的探讨．
学习方法:
教师指导学生自主探索交流法.
学习过程:
一、举例：
【例1】 下面四个命题中真命题的个数是（ ）
①经过三点一定可以做圆；
②任意一个三角形一定有一个外接圆，而且只有一个外接圆；
③任意一个圆一定有一个内接三角形，而且只有一个内接三角形；
④三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等．
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【例2】 在△ABC中，BC=24cm，外心O到BC的距离为6cm，求△ABC的外接圆半径．
【例3】 如图，点A、B、C表示三个村庄，现要建一座深水井泵站，向三个村庄分别送水，为使三条输水管线长度相同，水泵站应建在何处？请画出图，并说明理由．
【例4】 阅读下面材料：对于平面图形A，如果存在一个圆，使图形A上的任意一点到圆心的距离都不大于这个圆的半径，则称图形A被这个圆所覆盖．
如图3-4-5中的三角形被一个圆所覆盖，图3-4-6中的四边形被两个圆所覆盖．
回答下列问题：
（1）边长为1cm的正方形被一个半径为r的圆所覆盖，r的最小值是 cm．
（2）边长为1cm的等边三角形被一个半径为r的圆所覆盖，r的最小值是 cm．
（3）边长为2cm，1cm的矩形被两个半径都为r的图所覆盖，r的最小值是 cm，这两个圆的圆心距是 cm．
【例5】 已知Rt△ABC的两直角边为a和b，且a，b是方程x2－3x＋1=0的两根，求Rt△ABC的外接圆面积．
【例6】 如图，有一个圆形铁片，用圆规和直尺将它分成面积相等的两部分．
二、随堂练习
一、填空题
1．经过平面上一点可以画 个圆；经过平面上两点A、B可以作 个圆，这些圆的圆心在 ．
2．经过平面上不在同一直线上的三点可以作 个圆．
3．锐角三角形的外心在 ；直角三角形的外心在 ；钝角三角形的外心在 ．
二、选择题
4．下列说法正确的是（ ）
A．三点确定一个圆 B．三角形有且只有一个外接圆
C．四边形都有一个外接圆 D．圆有且只有一个内接三角形
5．下列命题中的假命题是（ ）
A．三角形的外心到三角形各顶点的距离相等
B．三角形的外心到三角形三边的距离相等
C．三角形的外心一定在三角形一边的中垂线上
D．三角形任意两边的中垂线的交点，是这个三角形的外心
6．下列图形一定有外接圆的是（ ）
A．三角形 B．平行四边形 C．梯形 D．菱形
三、课后练习
1．下列说法正确的是（ ）
A．过一点A的圆的圆心可以是平面上任意点
B．过两点A、B的圆的圆心在一条直线上
C．过三点A、B、C的圆的圆心有且只有一点
D．过四点A、B、C、D的圆不存在
2．已知a、b、c是△ABC三边长，外接圆的圆心在△ABC一条边上的是（ ）
A．a=15，b=12，c=1 B．a=5，b=12，c=12
C．a=5，b=12，c=13 D．a=5，b=12，c=14
3．一个三角形的外心在其内部，则这个三角形是（ ）
A．任意三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形
4．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm，则它的外心与顶点C的距离为（ ）
A．5cm B．6cm C．7cm D．8cm
5．等边三角形的外接圆的半径等于边长的（ ）倍．
A． B． C． D．
6．已知圆内一点到圆周上的点的最大距离是7，最小距离是5，则该圆的半径是（ ）
A．2 B．6 C．12 D．7
7．三角形的外心具有的性质是（ ）
A．到三边距离相等 B．到三个顶点距离相等
C．外心在三角形外 D．外心在三角形内
8．对于三角形的外心，下列说法错误的是（ ）
A．它到三角形三个顶点的距离相等
B．它与三角形三个顶点的连线平分三内角
C．它到任一顶点的距离等于这三角形的外接圆半径
D．以它为圆心，它到三角形一顶点的距离为半径作圆，必通过另外两个顶点
9．下列说法错误的是（ ）
A．过直线上两点和直线外一点，可以确定一个圆
B．任意一个圆都有无数个内接三角形
C．任意一个三角形都有无数个外接圆
D．同一圆的内接三角形的外心都在同一个点上
10．在一个圆中任意引两条直径，顺次连接它们的四个端点组成一个四边形，则这个四边形一定是（ ）
A．菱形 B．等腰梯形 C．矩形 D．正方形
11．若AB=4cm，则过点A、B且半径为3cm的圆有 个．
12．直角三角形三个顶点都在以 为圆心，以 为半径的圆上，直角三角形的外心是 ．
13．若Rt△ABC的斜边是AB，它的外接圆面积是121πcm2，则AB= ．
14．△ABC的三边3，2，，设其三条高的交点为H，外心为O，则OH= ．
15．在△ABC中，∠C=90°，AB=6，则其外心与垂心的距离为 ．
16．外心不在三角形的外部，这三角形的形状是 ．
17．锐角△ABC中，当∠A逐渐增大时，其外心向 边移动，∠A=90°，外心位置是 ．
18．△ABC的外心是它的两条中线交点，则△ABC的形状为 ．
19．如图是一块破碎的圆形木盖，试确定它的圆心．
20．求边长是6cm的等边三角形的外接圆的半径．
21．已知线段a、b、c．求作：（1）△ABC，使BC=a，AC=b，AB=c；（2）⊙O使它经过点B、C，且圆心O在AB上．（作⊙O不要求写作法，但要保留作图痕迹）
22．已知点P在圆周上的点的最小距离为5cm，最大距离为15cm，求该圆的半径．
23．如图，有一个圆形的盖水桶的铁片，部分边沿由于水生锈残缺了一些，很不美观．为了废物利用，将铁片剪去一些使其成为圆形的，应找到圆心，并找到合理的半径，在铁片上画出圆，沿圆剪下即可，问应怎样找到圆心半径？
§3.5 直线和圆的位置关系（第一课时）
学习目标:
经历探索直线和圆位置关系的过程，理解直线与圆有相交、相切、相离三种位置关系，了解切线的概念，探索切线与过切点的直径之间的关系。
学习重点:
直线和圆的三种位置关系，切线的概念和性质．
学习难点:
探索切线的性质．
学习方法:
教师指导学生探索法.
学习过程:
1、 举例：
【例1】在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，以C为圆心，r为半径的圆与AB有何位置关系？（1）r=2cm；（2）r=2．4cm（3）r=3cm．
【例2】已知：如图，△ABC中，内切圆I和边BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，若∠FDE=70°，求∠A的度数．
【例3】小红家的锅盖坏了，为了配一个锅盖，需要测量锅的直径（铅沿所形成的圆的直径），而小红家只有一把长20cm的直尺，根本不够长，怎么办呢？小红想了想，采取了以下办法：如图，首先把锅平放到墙根，锅沿刚好靠到两墙，用直尺紧贴墙面量得MA的长，即可求出锅的直径．请你利用图说明她这样做的理由．
【例4】如图3-5-9，已知，求作：（1）确定的圆心；（2）过点A且与⊙O相切的直线．（注：作图要求利用直尺和圆规，不写作法，但要求保留作图痕迹）
【例5】 东海某小岛上有一灯塔A，已知A塔附近方圆25海里范围内有暗礁，我110舰在O点处测得A塔在其北偏西60°方向，向正西方向航行20海里到达B处，测得A在其西北方向．如果该舰继续航行，是否有触礁的危险？请说明理由．（提示=1．414，=1．732）
二、课内练习：
1．下列直线是圆的切线的是（ ）
A．与圆有公共点的直线 B．到圆心的距离等于半径的直线
C．到圆心距离大于半径的直线 D．到圆心的距离小于半径的直线
2．⊙O的半径为R，直线ι和⊙O有公共点，若圆心到直线ι的距离是d，则d与R的大小关系是（ ）
A．d＞R B．d＜R C．d≥R D．d≤R
3．当直线和圆有惟一公共点时，直线和圆的位置关系是 ，圆心到直线的距离d与圆的半径r之间的关系为 ．
4．已知⊙O的直径为6，P为直线ι上一点，OP=3，那么直线与⊙O的位置关系
5．已知圆的直径为13cm，圆心到直线ι的距离为6cm，那么直线ι和这个圆的公共点的个数是 ．
三、练习：
1．圆的一条弦与直径相交成300角，且分直径长1cm和5cm两段，则这条弦的弦心距为_______ ，弦长_______ 。
2．如图1，AB是⊙O的弦，AD是⊙O的切线，C为弧AB上任一点，∠ACB=1080，∠BAD=__________。
3．如图2，AB是⊙O的直径，BC切⊙O于B，CD切⊙O于D，交BA的延长线于E，若BC= 6，EB=8，则EA= 。
4．如图3，在Rt△ABC中，∠C=900，AC=4，BC=3，E，D分别是AB，BC的中点，过E，D作⊙O，且与AB相切于E，那么⊙O的半径OE的长为 。
5．如图4，已知AB是⊙O的直径，BC是和⊙O相切于点B的切线，⊙O的弦AD平行于OC，若OA＝2，且AD+OC=6，则CD=______________。
6．如图5，PT是⊙O的切线，切点是T，M是⊙O内一点，PM及PM的延长线交⊙O于B，C，BM=BP＝2，PT＝，OM=3，那么⊙O的半径为__________。
7．如图6，△ABC的三边AB、BC、CA分别切⊙O于D、E、F，AB=7，AC=5，AD=2，则BC=_______。
8．如图7，AB、CD是两条互相垂直的直径，E是OD中点，延长AE交圆于F，AO=4厘米，则EF=_______厘米。
图5 图6 图7
9．如果圆心O到直线l的距离等于半径R，则直线l与圆的位置关系是（ ）
（A）相交 （B）相切 （C）相离 （D）相切或相交
10．如图，⊙O的外切梯形ABCD中，若AD∥BC，那么
∠DOC的度数为（ ）
A、700 B、900 C、600 D、450
11．如图，PA为⊙O的切线，A为切点，割线PBC过圆心O，∠ACP=300，OC=1cm，则PA的长为（ ）
（A）cm （B）cm （C）2cm （D）3cm
12．如图，PA切⊙O于点A，PBC是⊙O的割线，如果PB=2，PC＝8，那么PA的长为（ ）
（A）2 （B）4 （C）6 （D）
13．如图，已知A、B、C三点在⊙O上，且∠AOB＝1000，则∠ACB的度数为（ ）
（A） 2000 （B） 1000 （C）600 （D） 500
14．已知：如图，AB、AC分别切⊙O于B、C，D是⊙O上一点，∠D=400，则∠A的度数等于 （ ）
（A）1400 （B）1200 （C） 1000 （D） 800
15．如图，直线MN切⊙O于A，AB是⊙O的弦，∠MAB的平分线交⊙O于C，连结CB并延长交MN于N，如果AN=6，NB=4，那么弦AB的长是 （ ）
（A） （B）3 （C） 5 （D）
16．⊙O是△ABC的内切圆，∠ACB=900，∠BOC=1050，BC=20cm，则AC=（ ）
（A） 20cm (B) 20 (C)40cm (D) 15cm
三、如图，已知：P为⊙O外一点，过P作⊙O的两条割线，分别交⊙O于A、B和C，D，且AB是⊙O的直径，弧AC=弧DC，连结BD，AC，OC。
（1）求证：OC∥BD；
（2）如果PA=AO＝4，延长AC与BD的延长线交于E，求DE的长。
§3.5 直线和圆的位置关系（第二课时）
学习目标:
能判定一条直线是否为圆的切线，会过圆上一点画圆的切线，会作三角形的内切圆．
学习重点:
切线的判定和画法．
学习难点:
探索圆的切线的判定方法，作三角形内切圆的方法
学习方法:
师生共同探索法.
学习过程:
一、举例：
【例1】 如图，已知⊙O中，AB是直径，过B点作⊙O的切线BC，连结CO．若AD∥OC交⊙O于D．求证：CD是⊙O的切线．
【例2】 已知：如图，同心圆O，大圆的弦AB=CD，且AB是小圆的切线，切点为E．求证：CD是小圆的切线．
【例3】 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5，BC=12，⊙O的半径为3．
（1）当圆心O与C重合时，⊙O与AB的位置关系怎样？
（2）若点O沿CA移动时，当OC为多少时？⊙C与AB相切？
【例4】 如图，直角梯形ABCD中，∠A=∠B=90°，AD∥BC，E为AB上一点，DE平分∠ADC，CE平分∠BCD，以AB为直径的圆与边CD有怎样的位置关系？
【例5】 有一块锐角三角形木板，现在要用它截成一个最大面积的圆形木板，问怎样才能使圆形木板面积最大？
【例6】 设直线ι到⊙O的圆心的距离为d，半径为R，并使x2－2x＋R=0，试由关于x的一元二次方程根的情况讨论ι与⊙O的位置关系．
【例7】 如图3-5-15，AB是⊙O直径，⊙O过AC的中点D，DE⊥BC，垂足为E．
（1）由这些条件，你能得出哪些结论？（要求：不准标其他字母，找结论过程中所连的辅助线不能出现在结论中，不写推理过程，写出4个结论即可）
（2）若∠ABC为直角，其他条件不变，除上述结论外你还能推出哪些新的正确结论？并画出图形．（要求：写出6个结论即可，其他要求同（1））
二、练习：
1．若∠OAB=30°，OA=10cm，则以O为圆心，6cm为半径的圆与射线AB的位置关系是（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定
2．Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=6，以C为圆心作⊙C和AB相切，则⊙C的半径长为（ ）
A．8 B．4 C．9．6 D．4．8
3．⊙O内最长弦长为m，直线ι与⊙O相离，设点O到ι的距离为d，则d与m的关系是（ ）
A．d=m B．d＞m C．d＞ D．d＜
4．以三角形的一边长为直径的圆切三角形的另一边，则该三角形为（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形
5．菱形对角线的交点为O，以O为圆心，以O到菱形一边的距离为半径的圆与其他几边的关系为（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定
6．⊙O的半径为6，⊙O的一条弦AB为6，以3为半径的同心圆与直线AB的位置关系是（ ）
A．相离 B．相交 C．相切 D．不能确定
7．下列四边形中一定有内切圆的是（ ）
A．直角梯形 B．等腰梯形 C．矩形 D．菱形
8．已知△ABC的内切圆O与各边相切于D、E、F，那么点O是△DEF的（ ）
A．三条中线交点 B．三条高的交点
C．三条角平分线交点 D．三条边的垂直平分线的交点
9．给出下列命题：
①任一个三角形一定有一个外接圆，并且只有一个外接圆；
②任一个圆一定有一个内接三角形，并且只有一个内接三角形；
③任一个三角形一定有一个内切圆，并且只有一个内切圆；
④任一个圆一定有一个外切三角形，并且只有一个外切三角形．
其中真命题共有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4．若以C为圆心，R为半径所作的圆与斜边AB只有一个公共点，则R的取值范围是多少？
11．如图，有一块锐角三角形木板，现在要把它截成半圆形板块（圆心在BC上），问怎样截取才能使截出的半圆形面积最大？（要求说明理由）
12．如图，直线ι1、ι2、ι3表示相互交叉的公路．现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可选择的地址有几处？
13．如图，一艘轮船以20海里/时的速度由西向东航行，途中接到台风警报，台风中心正以40海里/时的速度由南向北移动，距离台风中心20海里的圆形区域（包括边界）都属台风区．当轮船到A处时，测得台风中心移到位于点A正南方向的B处，且AB=100海里．
（1）若这艘轮船自A处按原速度继续航行，在途中会不会遇到台风？若会，试求轮船初遇台风的时间；若不，请说明理由．
（2）现轮船自A处立即提高船速，向位于北偏东60°方向，相距60海里的D港驶去，为使台风到来之前到达D港，问般速至少应提高多少？（提高的船速取整数，=3．6）
14、如图3-5-25，等边三角形的面积为S，⊙O是它的外接圆，点P是的中点．
（1）试判断过C所作的⊙O的切线与直线AB是否相交，并证明你的结论；
（2）设直线CP与AB相交于点D，过点B作BE⊥CD垂足为E，证明BE是⊙O的切线，并求△BDE的面积．
§3.6 圆和圆的位置关系
学习目标:
经历探索两个圆位置关系的过程，理解圆与圆之间的位置关系，了解两圆外切、内切与两圆圆心距d，半径R和r的数量关系的联系．
学习重点:
两圆的位置关系，相切两圆的性质．两圆的五种位置关系的描述性定义，要注意数学语言的严谨性和准确性，必须注意讲清关键性词语（如谁在谁的外部、内部、惟一公共点等）．圆与圆的位置关系也可以与点和圆、直线和圆的位置关系类比记忆，每种位置关系可归纳为相离、相交、相切三类．相切两圆的性质是由圆的对称性决定的，两个圆组成的图形也是轴对称的，对称轴是连心线．
学习难点:
相切两圆位置关系的性质的理解．
学习方法:
教师讲解与学生合作交流探索法.
学习过程:
一、例题讲解：
【例1】 已知⊙A、⊙B相切，圆心距为10cm，其中⊙A的半径为4cm，求⊙B的半径．
【例2】 定圆O的半径是4cm，动圆P的半径是1cm．当两圆相切时，点P与点O的距离是多少？点P可以在什么样的线上移动？
【例3】 已知两个圆互相内切，圆心距是2cm，如果一个圆的半径是3cm，那么另一个圆的半径是多少？
【例4】 已知⊙O1和⊙O2的半径分别为1和5，圆心距为3，则两圆的位置关系是（ ）
A．相交 B．内含 C．内切 D．外切
【例5】 如图，施工工地的水平地面上，有三根外径都是1m的水泥管，两两相切地堆放在一起，其最高点到地面的距离是 ．
【例6】 一个等腰梯形的高恰好等于这个梯形的中位线．若分别以这个梯形的上底和下底为直径作圆，这两个圆的位置关系是（ ）
A．相离 B．相交 C．外切 D．内切
【例7】 两圆的圆心坐标分别是（，0）和（0，1），它们的半径分别是3和5，则这两个圆的位置关系是（ ）
A．相离 B．相交 C．外切 D．内切
【例8】 两枚如图3-6-4同样大小的硬币，其中一个固定，另一个沿其周围滚动，滚动时两枚硬币总是保持有一点相接触（相外切），当滚动的硬币沿固定的硬币周围滚动一圈，回到原来的位置时，滚动的那个硬币自转的周数是多少？
【例9】 ⊙O1、⊙O2、⊙O3两两外切，切点为A、B、C，它们的半径为r1、r2、r3．
（1）若△O1O2O3是直角三角形，r2：r3=2：3，用r2表示r1；
（2）若△O1O2O3与以A、B、C为顶点的三角形相似，则r1、r2、r3必须满足什么条件？
二、课内练习：
1．已知半径为1厘米的两圆外切，半径为2厘米且和这两圆都相切的圆共有 个．
2．三角形三边长分别为5厘米、12厘米、13厘米，以三角形三个顶点为圆心的三个圆两两外切，则此三个圆的半径分别为 ．
三、课后练习：
1．以平面直角坐标系中的两点O1（0，3）和O2（4，0）为圆心，以8和3为半径的两圆的位置关系是（ ）
A．内切 B．外切 C．相离 D．相交
2．两圆半径之比为3：2，当此两圆外切时，圆心距是10cm，那么，当此两圆内切时，其圆心距为（ ）
A．大于2cm且小于6cm B．小于2cm
C．等于2cm D．非以上取值范围
3．已知⊙O1、⊙O2的半径分别为6和3，O1、O2的坐标分别是（5，0）和（0，6），则两圆的位置关系是（ ）
A．相交 B．外切 C．内切 D．外离
4．R、r是两圆的半径（R＞r），d是两圆的圆心距，若方程x2－2Rx＋r2=d（2r－d）有等根，则以R、r为半径的两圆的位置关系是（ ）
A．外切 B．内切 C．外离 D．相交
5．已知半径分别为r和2r的两圆相交，则这两圆的圆心距d的取值范围是（ ）
A．0＜d＜3r B．r＜d＜3r C．r＜d＜2r D．r≤d≤3r
6．下列说法正确的是（ ）
A．没有公共点的两圆叫两圆外离 B．相切两圆的圆心距必须经过切点
C．相交两圆的交点关于连心线对称
D．若⊙O1、⊙O2的半径为R、r，圆心距为d，当两圆同心时，R－r＞d
7．已知两个等圆⊙O1和⊙O2相交于A、B两点，且⊙O1经过O2，则四边形O1AO2B是（ ）
A．平行四边形 B．菱形 C．矩形 D．正方形
8．半径分别为1、2、3的三圆两两外切，则以这三个圆的圆心为顶点的三角形的形状为（ ）
A．钝角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．直角三角形
9．半径分别为1cm和2cm的两圆外切，那么与这两个圆都相切且半径为3cm的圆的个数是（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
10．两圆的半径分别是方程x2－12x＋27=0的两个根，圆心距为9，则两圆的位置关系一定是 ．
11．已知两圆外离，圆心距等于12，大圆的半径是7，那么小圆的半径所可能取的整数值是 ．
12．已知两圆半径的比为3：5，当两圆内切时，圆心距为4cm，那么当此两圆外切时，圆心距应为 ．
13．平面上两圆的位置关系可以归纳为三类，即 、 和 ．
14．已知两圆直径为3＋r，3－r，若它们圆心距为r，则两圆的位置关系是 ．
15．两个半径分别为6cm的圆，它们的圆心分别在另一个圆上，则其公弦的长是 ．
16．已知⊙O1和⊙O2相内切，且⊙O1的半径6，两圆的圆心距为3，则⊙O2的半径为 ．
17．两圆的半径之比是5：3，外切时圆心距是32，那么当这两个圆内切时，圆心距为 ．
18．在直角坐标系中，分别以点A（0，3）与点B（4，0）为圆心，以8与3为半径作⊙A和⊙B，则这两个圆的位置关系为 ．
19．（1）如图1两个半径为r的等圆⊙O1与⊙O2外切于点P．将三角板的直角顶点放在点P，再将三角板绕点P旋转，使三角板的两直角边中的一边PA与⊙O1相交于A，另一边PB与⊙O2相交于点B（转动中直角边与两圆都不相切），在转动过程中线段AB的长与半径r之间有什么关系？请回答并证明你得到的结论；
（2）如图2，设⊙O1和⊙O2外切于点P，半径分别为r1、r2（r1＞r2），重复（1）中的操作过程，观察线段AB的长度与r1、r2之间有怎样的关系，并说明理由．
§3.7 弧长及扇形的面积
学习目标:
经历探索弧长计算公式及扇形面积计算公式的过程，了解弧长计算公式及扇形面积的计算公式，并会应用公式解决问题．
学习重点:
弧长计算公式及理解，弧长公式ι=，其中R为圆的半径，n为圆弧所对的圆心角的度数，不带单位．由于整个圆周可看作360°的弧，而360°的圆心角所对的弧长为圆周长C=2πR，所以1°的圆心角所对的弧长是×2πR，即，可得半径为R的圆中，n°的圆心角所对的弧长ι=．
圆心角是1°的扇形的面积等于圆面积的，所以圆心角是n°的扇形面积是S扇形=πR2．要注意扇形面积公式与弧长公式的区别与联系（扇形面积公式中半径R带平方，分母为360；而弧长公式中半径R不带平方，分母是180）．已知S扇形、ι、n、R四量中任意两个量，都可以求出另外两个量．
扇形面积公式S扇=ιR，与三角形的面积公式有些类似．只要把扇形看成一个曲边三角形，把弧长看作底，R看作高就比较容易记了．
学习难点:
利用弧长公式时应注意的问题及扇形面积公式的灵活运用．
学习方法:
学生互相交流探索法.
学习过程:
一、例题讲解：
【例1】 一圆弧的圆心角为300°，它所对的弧长等于半径为6cm的圆的周长，求该圆弧所在圆的半径．
【例2】 如图，在半径为3的⊙O和半径为1的⊙O′中，它们外切于B，∠AOB=40°．AO∥CO′，求曲线ABC的长．
【例3】 扇形面积为300π，圆心角为30°，求扇形半径．
【例4】 如图，正三角形ABC内接于⊙O，边长为4cm，求图中阴影部分的面积．
【例5】 如图，等腰直角三角形ABC的斜边AB=4，O是AB的中点，以O为圆心的半圆分别与两直角边相切于点D、E，求图中阴影部分的面积．
【例6】 半径为3cm，圆心角为120°的扇形的面积为（ ）
A．6πcm2 B．5πcm2 C．4πcm2 D．3πcm2
【例7】 如图，在两个同心圆中，两圆半径分别为2，1，
∠AOB=120°，则阴影部分面积是（ ）
A．4π B．2π C．π D．π
【例8】 如图，已知⊙O的直径BD=6，AE与⊙O相切于E点，过B点作BC⊥AE，垂足为C，连接BE、DE．
（1）求证：∠1=∠2；
（2）若BC=4．5，求图中阴影部分的面积．（结果可保留π与根号）
【例9】 如图，△ABC是正三角形，曲线CDEF…叫做“正三角形的渐开线”，其中、、的圆心依次按A、B、C循环，它们依次相连接．如果AB=1，求曲线CDEF的长．
【例10】 如图，⊙A、⊙B、⊙C、⊙D、⊙E相互外离，它们的半径都是1，顺次连接五个圆心得五边形ABCDE，求图中五个扇形的面积之和（阴影部分）．
【例11】 如图是赛跑跑道的一部分，它由两条直线和中间半圆形弯道组成的．若内外两条跑道的终点在一直线上，则外跑道起点往前移，才能使两跑道有相同的长度，如果跑道宽1．22米，则外跑道的起点应前移 米．（π取3．14，结果精确到0．01米）
二、课后练习
1．在半径为12的⊙O中，150°的圆心角所对的弧长等于（ ）
A．24πcm B．12πcm C．10πcm D．5πcm
2．如果一条弧长等于ι，它的半径等于R，这条弧所对的圆心角增加1°，则它的弧长增加（ ）
A． B． C． D．
3．已知扇形的圆心角为60°，半径为5，则扇形有周长为（ ）
A．π B．π＋10 C．π D．π＋10
4．圆环的外圆周长为250cm，内圆周长为150cm，则圆环的宽度为（ ）
A．100cm B． C． D．
5．弧长等于半径的圆弧所对应的圆心角是（ ）
A． B． C． D．60°
6．正三角形ABC内接于半径为2cm的圆，则AB所对弧的长为（ ）
A． B． C． D．或
7．已知圆的周长是6π，那么60°的圆心角所对的弧长是（ ）
A．3 B． C． D．π
8．如图1，正方形的边长为1cm，以CD为直径在正方形内画半圆，再以C为圆心，1cm为半径画弧，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．cm2 B．cm2 C．cm2 D．cm2
9．如图2，以边长为a的正三角形的三个顶点为圆心，以边长一半为半径画弧，则三弧所围成的阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．
10．等边三角形的外接圆面积是内切圆面积的（ ）
A．2倍 B．3倍 C．4倍 D．5倍
11．如图3，一纸扇完全打开后，外侧两竹条AB、AC的夹角为120°，AB长30cm，贴纸部分BD长为20cm，贴纸部分的面积为（ ）
A．πcm2 B．cm2 C．800πcm2 D．500πcm2
12．一条弧所对的圆心角为120°，半径为3，那么这条弧长为 ．（结果用π表示）
13．已知的长为20πcm，所对的圆心角为150°，那么的半径是 ．
14．半径为R的圆弧的长为，则所对的圆心角为 ，弦AB的长为 ．
15．如图，⊙O1的半径O1A是⊙O2的直径，⊙O1的半径O1C交⊙O2于点B，则和的长度的大小关系为 ．
16．已知扇形的圆心角是150°，弧长为20πcm，则扇形的面积为 ．
17．已知弓形的弦长等于半径R，则此弓形的面积为 ．（劣弧为弓形的弧）
18．如图，一块边长为10cm的正方形木板ABCD在水平桌面上绕点D按顺时针方向旋转到A′B′C′D的位置时，顶点B从开始到结束所经过的路径长为（ ）
A．20cm B．20cm C．10πcm D．5πcm
19如图，五个半圆，邻近的两半圆相切，两只小虫同时出发，以相同的速度从点A到点B，甲虫沿着、、、路线爬行，乙虫沿着Unit 12 My favorite subject is science曹毅.doc路线爬行，则下列结论正确的是（ ）
A．甲先到B点 B．乙先到B点 C．甲乙同时到达 D．无法确定
§3.8 圆锥的侧面积
学习目标:
经历探索圆锥侧面积计算公式的过程，了解圆锥的侧面积计算公式，并会应用公式解决问题．
学习重点:
圆锥的侧面展开图及侧面积的计算．圆锥的侧面展开图是扇形，其半径等于母线长，弧长等于圆锥底面圆的周长．设圆锥的底面半径为r，母线长为ι，则它的侧面积：S侧=πrι，S全=S侧＋S底=πr（ι＋r）．
学习难点:
对圆锥的理解认识．圆锥是一个底面和一个侧面围成的，它可以看作是由一个直角三角形绕一条直角边所在直线旋转而成的图形．
学习方法:
观察——想象——实践——总结法.
学习过程:
一、例题讲解：
【例1】 已知圆锥的底面积为4πcm2，母线长为3cm，求它的侧面展开图的圆心角．
【例2】 若圆锥的底面直线为6cm，母线长为5cm，则它的侧面积为 cm．（结果保留π）
【例3】 在Rt△ABC中，已知AB=6，AC=8，∠A=90°．如果把Rt△ABC绕直线AC旋转一周得到一个圆锥，其全面积为S1；把Rt△ABC绕直线AB旋转一周得到另一个圆锥，其全面积为S2．那么S1：S2等于（ ）
A．2：3 B．3：4 C．4：9 D．5：12
【例4】 圆锥的侧面积是18π，它的侧面展开图是一个半圆，求这个圆锥的高和锥角．
【例5】 一个圆锥的高为3cm，侧面展开图是半圆，求：（1）圆锥母线与底面半径的比；（2）锥角的大小；（3）圆锥的全面积．
二、随堂练习
1．已知圆锥的底面直径为4，母线长为6，则它的侧面积为 ．
2．粮仓的顶部是圆锥形，这个圆锥的底面直径是4m，母线长3m，为防雨需在粮仓的顶部铺上油毡，那么这块油毡的面积至少为（ ）
A．6m2 B．6πm2 C．12m2 D．12πm2
3．若圆锥的侧面展开图是一个半径为a的半圆，则圆锥的高为（ ）
A．a B．a C．a D．a
三、课后练习：
1．一圆锥的侧面展开图的圆心角为120°，该圆锥的侧面积与全面积之比值为（ ）
A． B． C． D．
2．若圆锥经过轴的剖面是正三角形，则它的侧面积与底面积之比为（ ）
A．3：2 B．3：1 C．2：1 D．5：3
3．如图，将半径为2的圆形纸片沿半径OA、OB将其截成1：3两部分，用所得的扇形围成圆锥的侧面，则圆锥的底面半径为（ ）
A． B．1 C．1或3 D．或
4．如图，将三角形绕直线ι旋转一周，可以得到图所示的立体图形的是（ ）
5．在△ABC中，∠C=90°，AB=4cm，BC=3cm．若△ABC绕直线AC旋转一周得到一个几何体，则此几何体的侧面积是（ ）
A．6πcm2 B．12πcm2 C．18πcm2 D．24πcm2
6．将一个半径为8cm，面积为32πcm2的扇形铁皮围成一个圆锥形容器（不计接缝），那么这个圆锥形容器的高为（ ）
A．4 B．4 C．4 D．2
7．已知圆锥的母线长是10cm，侧面展开图的面积是60πcm2，则这个圆锥的底面半径是 cm．
8．已知圆锥的底面半径是2cm，母线长是5cm，则它的侧面积是 ．
9．圆锥的轴截面是一个等边三角形，则这个圆锥的底面积、侧面积、全面积的比是 ．
10．一个扇形，半径为30cm，圆心角为120°，用它做成一个圆锥的侧面，那么这个圆锥的底面半径为 ．
11．一个扇形，半径为30cm，圆心角为120°，用它做成一个圆锥的侧面，那么这个圆锥的全面积为 ．
12．一个圆锥形的烟囱帽的侧面积为2000πcm2，母线长为50cm，那么这个烟囱帽的底面直径为（ ）
A．80cm B．100cm C．40cm D．5cm
13．圆锥的高为3cm，底面半径为4cm，求它的侧面积和侧面展开图的圆心角．
14．以斜边长为a的等腰直角三角形的斜边为轴，旋转一周，求所得图形的表面积．
15．已知两个圆锥的锥角相等，底面面积的比为9：25，其中底面较小的圆锥的底面半径为6cm，求另一个圆锥的底面积的大小．
16．轴截面是顶角为120°的等腰三角形的圆锥侧面积和底面积的比是多少？
17．如图，已知圆锥的母线SB=6，底面半径r=2，求圆锥的侧面展开图扇形的圆心角α．
18．一个圆锥的底面半径为10cm，母线长20cm，求：
（1）圆锥的全面积；
（2）圆锥的高；
（3）轴与一条母线所夹的角；
（4）侧面展开图扇形的圆心角．
19．一个扇形如图，半径为30cm，圆心角为120°，用它做成一个圆锥的侧面，求圆锥底面半径和锥角．
20．一个圆锥的轴截面是等边三角形，它的高是2cm．
（1）求圆锥的侧面积和全面积；
（2）画出圆锥的侧面展开图．
21．若△ABC为等腰直角三角形，其中∠ABC=90°，AB=BC=5cm，求将等腰直角三角形绕直线AC旋转一周所得到图形的面积．
22．用一块圆心角为300°的扇形铁皮做一个圆锥形烟囱帽，圆锥的底面直径为1m，求这个扇形铁皮的半径．
23．如图，粮仓的顶部是圆锥形，这个圆锥的底面周长为36m，母线长为8m，为防雨需在粮仓顶部铺上油毡，如果按用料的10%计接头重合部分，那么这座粮仓实际需用油毡的面积是多少？
24．如图，有一直径是1m的圆形铁皮，要从中剪出一个最大的圆心角是90°的扇形ABC，求：
（1）被剪掉的阴影部分的面积；
（2）用所留的扇形铁皮围成一个圆锥，该圆锥的底面圆半径是多少？（结果可用根号表示）
25．小明要在半径为1m，圆心角为60°的扇形铁皮上剪取一块面积尽可能大的正方形铁皮．小明在扇形铁皮上设计了如图3-8-11的甲、乙两种方案剪取所得的正方形的面积，并计算哪个正方形的面积较大？（估算时取1．73，结果保留两个有效数字）
26．要将一块直径为2m的半圆形铁皮加工成一个圆柱的两个底面和一个圆锥的底面．
操作：方案一：在图3-8-14中，设计一个使圆锥底面最大，半圆形铁皮得以最充分利用的方案（要求：画出示意图）．
方案二：在图3-8-15中，设计一个使圆柱两个底面最大，半圆形铁皮得以最充分利用的方案（要求：画出示意图）．
探究：（1）求方案一中圆锥底面的半径；
（2）求方案二中圆锥底面及圆柱底面半径；
（3）设方案二中半圆圆心为O，圆柱两个底面的圆心为O1、O2，圆锥底面的圆心为O3，试判断以O1、O2、O3、O为顶点的四边形是什么样的特殊四边形，并加以证明．
第三章回顾与思考
一．选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案
1．已知⊙O的半径为2cm,弦AB长为cm,则圆心到这条弦的距离为 （ ）
A . 1 B. 2 C. 3 D. 4
2．在Rt△ABC中，∠C = 90°，AC = 9，BC = 12，则其外接圆的半径为 （ ）
A．15 B． 7.5 C．6 D. 3
3．⊙O经过△ABC的三个顶点，则 （ ）
A．△ABC是⊙O的外接三角形，⊙O是△ABC的内接圆
B．△ABC是⊙O的外接三角形，⊙O是△ABC的外接圆
C．△ABC是⊙O的内接三角形，⊙O是△ABC的内接圆
D．△ABC是⊙O的内接三角形，⊙O是△ABC的外接圆
4．下列说法：①直径是弦 ②弦是直径 ③半圆是弧，但弧不一定是半圆 ④长度相等的两条弧是等弧中，正确的命题有 （ ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
5．如图，已知∠AOB＝30°，M为OB上一点，且OM＝5cm，以M为圆心，以r为半径作圆，则当r＝4cm时，圆M与直线OA的位置关系是（ ）
A.相交 B.相切 C.相离 D.无法判断
6．已知扇形的圆心角为120°，弧长等于半径为5cm的圆周长，则扇形的面积为（ ）
A.75 cm2 B.75πcm2 C.150 cm2 D.150π cm2
7．设⊙O的半径为3, 点O到直线的距离为,若直线与⊙O至少有一个公共点,则应满足的条件是
A． B. C. D.
8．在半径为R的圆中，垂直平分半径的弦长等于（ ）
A. B. C. D. R
9.如图，AB是半圆的直径，E是AB的中点，弦CD∥AB且平分OE，连结AD，则∠BAD的度数是（ ）
A．45 B. 30 C. 15 D. 10
10.已知两圆的半径之和为12 cm，半径之差为4 cm，圆心距为4 cm，则两圆的位置关系是（ ）
A.外离 B.外切 C.相交 D.内切
二.填空题(将正确答案填写在横线上)
11. 已知⊙O的半径,O到直线的距离OA=3,点B,C,D在直线上,且AB=2,AC=4,AD=5,则点B在⊙O ,点C在⊙O ,点D在⊙O .
12. △ABC的三个顶点在⊙O上,且AB=AC=2,∠BAC=120 ,则⊙O的半径= ,BC= .
13．若两圆外切，圆心距为16 cm，且两圆的半径之比为5：3，则大圆的半径为 ，小圆的半径为 .
14. 圆中一弦的长是半径的倍,则此弦所对的圆周角的度数是 .
15.已知一圆锥的母线长为4cm，其底面半径是2cm,则这个圆锥的侧面积是 .
16.在半径为12cm的圆中,一条弧长为cm,此弧所对的圆周角是 .
17.两圆圆心距，两圆半径的长分别是方程的两个根，则这两圆的位置关系是 .
18.若三角形的三边长是3、4、5，则其外接圆的半径是____________.
19.已知扇形的弧长为20cm，半径为5cm，则扇形的面积为 .
20.如图，Rt△ABC中，∠BAC是直角，AB=AC=2，以AB为直径的圆交BC于D，图中阴影部分的面积为 .
三．解答题.（,写出必要的步骤,直接写出答案不得分）
21. 如图，破残的圆形轮片上，弦AB的垂直平分线交弧AB于点C，交弦AB于点D.已知：AB, CD.
(1) 求作此残片所在的圆（不写作法，保留作图痕迹）；
(2).求（1）中所作圆的半径.
22.已知：如图，在⊙O中，弦AB=CD.
求证：(1)弧AC=弧BD；(2)∠AOC=∠BOD
23.如图所示，等腰△ABC的顶角∠A = 120°，BC = 12 cm，求它的外接圆的直径．
24. 圆锥的底面半径为3cm,侧面展开图是圆心角为120 的扇形,求圆锥的侧面积.
25.如图,已知⊙Ｏ的半径为2,弦AB的长为2,点C与点D分别是劣弧与优弧上的任一点（点C、D均不与A、B重合）．
(1)求∠ACB；
(2)求△ABD的最大面积．
26.如图，已知PAB是⊙O的割线，AB为⊙O的直径，PC为⊙O的切线，C为切点，BD⊥PC于点D，交⊙O于点E，PA＝AO＝OB＝1.
(1)求∠P的度数；
(2)求DE的长.
27. 如图，以Rt△ABC的直角边AB为直径的半圆O，与斜边AC交于D，E是BC边上的中点，连结DE.
(1).DE与半圆O相切吗？若相切，请给出证明；若不相切，请说明理由；
(2).若AD、AB的长是方程的两个根，求直角边BC的长。
20题书馆 图图三
A
C
D
B
PAGE
69第四章 统计与概率
§4.1 50年的变化（二课时）
学习目标:
经历数据的收集、整理，描述与分析的过程，进一步发展统计意识和数据处理能力．通过具体情境，认识一些人为的数据及其表示方式可能给人造成一些误导，提高学生对数据的认识，判断和应用能力．
学习重点、难点:
把握统计图的特点，尤其是折线统计图，其为对应点的连线，数值与点有关，条形统计图两个比较时，单位长度要一致等，便可掌握本节的要求．扇形统计图只能知道各部分所占的比例．
学习方法:
活动——交流.
学习过程:
一、例题分析：
【例1】 一文具店老板购进了一批不同价格的书包，它们的售价分别为10元、20元、30元、40元、50元；7天中各种规格书包的销售量依次为6个、17个、15个、9个、3个．这批书包售价的平均数、众数和中位数分别是多少？
【例2】 2002年8月，某书店各类图书销售情况如图1．
（1）8月份书店售出各类图书的众数是 ．
（2）这个月数学书与自然科学书销售量的比是多少？
（3）数学、自然科学、文化艺术、社会百科各类图书的频数大约是 ．
【例3】 甲、乙两人在相同条件下各射靶10次，每次射靶的成绩情况如图2所示．
（1）请填写下表：
平均数 方差 中位数 命中9环以上次数
甲 7 1．2 1
乙 5．4
（2）请从下列四个不同的角度对这次测试结果进行分析：
①从平均数和方差相结合看；
②从平均数和中位数相结合看；（分析谁的成绩好些）
③从平均数和命中9环以上的次数相结合看；（分析谁的成绩好些）
④从折线图上两人射击命中环数的走势看．（分析谁更有潜力）
【例4】 如图3是某晚报“百姓热线”一周内接到热线电话的统计图，其中有关环境保护问题的电话最多，共60个．请回答下列问题：
（1）本周“百姓热线”共接到热线电话多少个？
（2）有关道路交通问题的电话有多少个？
【例5】 华山鞋厂为了了解初中学生穿鞋的鞋号情况，对永红中学初二（1）班的20名男生所穿鞋号统计如下表：
鞋号 23．5 24 24．5 25 25．5 26
人数 3 4 4 7 1 1
那么这20名男生鞋号数据的平均数是 ，中位数是 ；在平均数、中位数和众数中，鞋厂最感兴趣的是 ．
【例6】 某校初二年级全体320名学生在电脑培训前后各参加了一次水平相同的考试，考分都以同一标准划分成“不合格”、“合格”、“优秀”三个等级．为了了解电脑培训的效果，用抽签方式得到其中32名学生的两次考试考分等级，所绘制的统计图如图4所示．试结合图示信息回答下列问题：
（1）这32名学生培训前考分的中位数所在的等级是 ，培训后考分的中位数所在的等级是 ．
（2）这32名学生经过培训，考分等级“不合格”的百分比由 下降到 ．
（3）估计该校整个初二年级中，培训后考分等级为“合格”与“优秀”的学生共有 名．
（4）你认为上述估计合理吗？理由是什么？
【例7】 为估计一次性木质筷子的用量，1999年从某县共600家高、中、低档饭店中抽取10家作样本，这些饭店每天消耗的一次性筷子盒数分别为：0．6，3．7，2．2，1．5，2．8，1．7，1．2，2．1，3．2，1．0．
（1）通过对样本的计算，估计该县1999年消耗多少盒一次性筷子；（每年按350个营业日计算）
（2）2001年又对该县一次性木质筷子的用量以同样的方式作了抽样调查，调查的结果是10个样本饭店每个饭店平均每天使用一次性筷子2．42盒，求该县1999年、2001年这两年一次性木质筷子用量平均每年增长的百分率；（2001年该县饭店数、全年营业天数均与1999年相同）
（3）在（2）的条件下，若生产一套中小学生桌椅需木材0．07m3，求该县2001年使用一次性筷子的木材可以生产多少套学生桌椅；（计算中需要的有关数据为：每盒筷子100双，每双筷子的质量为5克，所用木板的密度为0．5×103千克/m3）
（4）假如让你统计你所在省一年使用一次性筷子所消耗的木材量，如何利用统计知识去做，简要地用文字表述出来．
二、课内练习：
1．某餐厅共有7名员工，所有员工的工资情况如下表：
人员 经理 厨师 会计 服务员
人数 1 2 1 3
工资额 1600 600 520 340
则餐厅所有员工工资的众数、中位数是（ ）
A．340，520 B．520，340 C．340，560 D．560，340
2．小明将他的8次英语测验成绩按顺序绘成了2张统计图（图5），来观察近期自己的学习情况和成绩进步情况．
（1）甲图和乙图给人造成的感觉各是什么？
（2）若小明想向他的父母说明他英语成绩在努力后的提高情况，他将向父母展示哪一个统计图，为什么？
三、课后练习：
1．若某同学想反映统计数据中各数据的变化规律，他应选用 统计图．此外，我们还学过 、 统计图．它们的特点分别是 ．
2．某厂家统计了两种不同规格的汽车近两年销售量的变化情况，为了较为直观地比较两个统计量的变化速度，在绘制折线统计图时，我们应注意 ．
3．小明连续几次数学考试成绩为3次70分、2次80分、1次90分，则他的平均成绩约为 ；如果他想告诉妈妈较好成绩，则他可选用 数．
4．2002年世界杯足球赛时，中国队首场比赛的首发阵容名单和他们的身高如下表所示：
姓名 江津 李玮峰 范志毅 吴承瑛 孙继海 李铁 马明宇 李小鹏 徐云龙 杨晨 郝海东
身高（m） 1.98 1.82 1.83 1.83 1.83 1.83 1.76 1.82 1.81 1.85 1.80
则这些运动员的身高的众数和中位数分别是 、 ．
5．图6是小瑛和小鹏零花钱中用于买书上的花费情况．你能从中判断出谁在买书上的花费多吗？若不能，你还需的数据有 ．
6．2003年，在我国内地发生了“非典型肺炎”疫情，在党和政府的正确领导下，较快地疫情得到有效控制．图7是2003年5月1日至5月14日的内地新增确诊病例数据走势图（数据来源：卫生部每日疫情通报）．从图中，可知道：
注：上图中从左到右的点依次表示数据：
187 176 181 163 160 138 159 148 118 85 69 75 80 55
（1）5月6日新增确诊病例人数为 人；
（2）在5月9日至5月11日三天中，共新增确诊病例人数为 人；
（3）从图上可看出，5月上半月新增确诊病例总体呈 趋势．
7．为了调查某一路口某时段的汽车流量，记录了15天同一时段通过该路口的汽车辆数，其中2天是142辆，2天是145辆，6天156辆，5天157辆，那么这15天在该时段通过该路口的汽车平均辆数为（ ）
A．146 B．150 C．153 D．600
8．某公司销售部有营销人员15人，销售部为了制定某种商品的月销售总额，统计了这15人某月的销售量如下表：
每人销售件数 1800 510 250 210 150 120
人数 1 1 3 5 3 2
经计算，这15位营销员该月销售量的平均数是320（件），中位是210（件），众数是210件．假设销售部负责人把每位销售人员的月销售额定为320件，你认为是否合理，为什么？
9．阅读下列材料：
图8表示我国农村居民的小康生活水平实现程度．
地处西部某贫困县，农村人口约50万，2002年农村小康生活的综合实现程度才达到68%，即没有达到小康程度的人口约为（1－68%）×50万=16万．
解答下列问题：
（1）假设该县计划在2002年的基础上，到2004年度，使没有达到小康程度的16万农村人口降至10．24万，那么平均每年降低的百分率是多少？
（2）如果该计划实现，2004年底该县农村小康进程接近图4-1-12中哪一年的水平．（假设该县人口2年内不变）
10．恩格尔系数表示家庭日常饮食开支占家庭经济总收入的比例，它反映了居民家庭的实际生活水平、各种类的恩格尔系数如下表所示：
家庭类型 贫困家庭 温饱家庭 小康家庭 发达国家家庭 最富裕国家家庭
恩格尔系数n 75%以上 50%～75% 40%～49% 20%～30% 30以下
则用n的不等式表示小康家庭的恩格尔系数为 ．
11．改革开放以来，我国国民经济保持良好发展势头，国内生产总值持续较快增长，图9是1998年～2002年国内生产总值统计图．根据图中信息，解答下列问题：
（1）1999年国内生产总值是 ；
（2）已知2002年国内生产总值比2000年增加12956亿元，2001年比2000年增加6491亿元，求2002年国内生产总值比2001年增长的百分率．（结果保留两个有效数字）
12．据信息产业部2003年4月公布的数字显示，我国固定电话和移动电话用户近年来都有大幅度增加，移动电话用户已接近固定电话用户．根据图10所示，我国固定电话从 年至 年的年增加量最大；移动电话从 年至 年的年增加量最大．
13．图11是某报纸公布的我国“五九”期间国内生产总值的统计图，那么“九五”期间我国国内生产总值平均每年比上一年增长（ ）
A．0．575万亿元 B．0．46万亿元 C．9．725万亿元 D．7．78万亿元
14．某公司的33名职工的月工资如下：
职务 董事长 副董事长 董事 总经理 经理 管理员 职员
人数/人 1 1 2 1 5 3 20
工资/元 5500 5000 3500 3000 2500 2000 1500
（1）请你选择一个统计量（平均数、中位数或众数）来代表这个公司员工的工资水平；
（2）假设副董事长的工资从5000元提升到20000元，董事长的工资从5500元提升到30000元，那么新的平均数、中位数、众数又是什么？
（3）你认为哪个统计量更能反映这个公司员工的工资水平？简要地说明理由．
15．图12是根据某市1999年至2003年工业生产总值绘制的折线统计图．观察统计图可得：增长幅度最大的年份是 年，比它的前一年增加 亿元．
16．小明把自己一周的支出情况，用图13所示的统计图来表示，下面说法正确的是（ ）
A．从图中可以直接看出具体消费数额
B．从图中可以直接看出总消费数额
C．从图中可以直接看出各顶消费数额占总消费数额的百分比
D．从图中可以看接看出各顶消费数额在一周中的具体变化情况
17．在某旅游景区上山的一条小路上，有一些断断续续的台阶．图14是其中的甲、乙两段台阶路的示意图．
注：图中的数字表示每一级台阶的高度（单位：cm）．并且数据15，16，16，14，14，15的方差S=，数据11，15，18，17，10，19的方差S=．
请你用所学过的有关统计知识（平均数、中位数、方差和极差）回答下列问题：
（1）两段台阶路有哪些相同点和不同点？
（2）哪段台阶路走起来更舒服？为什么？
（3）为方便游客行走，需要重新整修上山的小路，对于这两段台阶路，在台阶数不变的情况下，请你提出合理的整修建议．
18．贵阳市是我国西部的一个多民族城市，总人口数为370万（2000年普查统计），图15、图16是2000年该市各民族人口统计图．请你根据图15、图16提供的信息回答下列问题：
（1）2000年贵阳市少数民族总人口数是多少？
（2）2000年贵阳市总人口中苗族占的百分比是多少？
（3）2002年贵阳市参加中考的学生约40000人，请你估计2002年贵阳市参加中考的少数民族学生人数．
§4.2 哪种方式更合算
学习目标:
发展合作交流的意识和能力，体会如何评判某件事情是否合理，并学会利用它对现实生活中的一些现象进行评判．
学习重点:
学会对某些事情做出评判，这是学习概率的目的．学习是为了应用，帮助人们解决生活中的问题，这有很好的现实应用价值．在学习中注意从实验中积累经验，寻找方法，获得体验，从而提炼出数学上的理论解释．
学习难点：
理解掌握“转盘平均获益”的理论计算方法，对此也可以联想加权平均数的算法，转盘转出各种颜色的概率是可以直接得到的结论，而与对应的金额的乘积的和，与其获益，其不同概率的大小，可理解为权，金额为数据，计算平均数．
学习方法:
实验——引导法.
学习过程:
一、例题分析：
【例1】 某商场为了吸引顾客，设立了一个可以自由转动的转盘（如图4-2-2），并规定：顾客每购买100元的商品，就能获得一次转动转盘的机会．如果转盘停止后，指针正好对准红色、黄色、绿色区域，那么顾客就可以分别获得100元、50元、20元的购物券，凭购物券可以在该商场继续购物．顾客每转动一次转盘可平均获利多少元？
【例2】 某商店举办有奖销售活动，办法如下：凡购货满100元者得奖券一张，多购多得，每10000张奖券为一个开奖单位，设特等奖1个，一等奖50个，二等奖100个，那么买100元商品的中奖概率应该是（ ）
A． B． C． D．
【例3】 某电视台综艺节目接到热线电话3000个，现要从中抽取“幸运观众”10名，张华同学打通了一次热线电话，那么他成为“幸运观众”的概率为 ．
【例4】 有一个屋的地面是用黑、白、红三种颜色的地转镶嵌而成，其中三种地砖镶嵌的面积比是7：25：1，现在屋内顶棚上有一鸟，随意飞行，若小鸟飞落在地面上，则落在每种地砖上的概率各是多少？
【例5】 某福利彩票中心发行200000张福利彩票，每张价值2元，其中特等奖1名，一等奖10名，二等奖100名，三等奖500名，小明购买了三张彩票，中奖的概率是多少？
二、课堂练习：
1．从一副扑克牌中，随机抽出一张牌，得到“A”或大小王的概率是 ．
2．某人连续掷硬币10次，其中正面朝上的次数为9次，则第10次正面朝上的概率为 ．
3．三人排队抓阄，其中一个是有物之阄，另外两个是白阄，则第一个人抓到有物之阄的概率是 ，第三个人抓到有物之阄的概率是 ．
三、课后练习：
1．300名小学生，250名初中生，200名高中生中任意选取一名联欢会节目主持人，这个主持人恰好是初中生的概率为 ．
2．一个人的生日是星期天的概率为 ．
3．掷一枚均匀的骰子两次，出现点数和为2的概率为 ，点数和为12的概率为 ．
4．某游戏组织者设计如图4-2-3所示一可以自由转动的转盘，玩此转盘只需付5角，就可以转动一次，转盘停止后游戏者可分别获得1元、5角、0元、－5角的资金．游戏组织者平均每次可获利 元．
5．小东、小伟参加智力竞赛，共有10道题目，其中选择题6道，判断题4道，小东和小伟两人依次各抽取一题，则小东抽到选择题及小东抽到了选择题后，小伟抽到判断题的概率分别是（ ）
A．， B．， C．， D．，
6．从一个不透明的口袋中摸出红球数的概率为，已知口袋中的红球是3个，则袋中共有球的个数是（ ）
A．5个 B．8个 C．10个 D．15个
7．小明、小强做游戏，扔掷两枚均匀的硬币，若出现朝上的两个面相同时，小明赢，否则小强赢，请问游戏公平吗？为什么？
8．某校高三学生甲、乙两人在4月份～5月份进行的8次模拟考试中，成绩如下：（单位：分）
甲：531，529，545，561，552，528，560，541；
乙：521，528，545，530，549，551，561，562．
（1）求甲、乙两名学生模拟考试的平均成绩；
（2）给出折线统计图，说明甲、乙两名学生谁的潜力大；
（3）若预测6月份的高考本科录取分数线为540分，试估计甲、乙两人考取大学本科的概率各是多少？
9．某商场为了吸引顾客规定，凡购买200元以上物品的顾客均可获奖，可以直接获得购物券10元，也可以参加摸奖．摸奖的具体方法是：从一个装有100个彩球的盒子中任取一球，摸到红球可获100元的购物券，摸到黄、蓝球，可分别获得50元，20元的购物券，而摸到白球，不能获奖．已知100个球中，5个红球，10个黄球，20个蓝球，其余均为白球．现有一名顾客可以直接获购物券10元，也可参加摸奖一次，请你帮他选择哪种方式更合算．
10．一次射击比赛用靶如图4-2-4所示，比赛规定，射到阴影区域（非黑色区域），得相应扇形标出的分数，射到黑色部分可得相应扇形分数的2倍，其中阴影部分外圆半径为20cm，黑色圆环部分的内径为6cm，外径为8cm，且四个扇形面积相等．小华最后一个射击，目前得分为150分，其他选手得分如下：
选手 小强 小亮 小祥
分数 195 185 170
若小华最后随机击中得分区，请问他得第一、二、三名（包括并列）的概率各是多少？
11．某班的联欢会上，设有一个摇奖节目，奖品为钢笔、图书和糖果，标于一个转盘的相应区域上（转盘被均匀等分为四个区域，如图4-2-5）．转盘可以自由转动，参与者转动转盘，当转盘停止时，指针落在哪一区域，就获得哪种奖品，则获得钢笔的概率为 ．
12．从哈尔滨开往A市的特殊列车，途中要停靠两个站点，如果任意两站间的票价都不同，那么有（ ）种不同的票价．
A．4 B．6 C．10 D．12
13．小明知识竞赛获得一等奖，主持人告诉他，奖品分三个等级，但具体是什么奖品事先不能告诉他，小明只能任选其一，而奖品的名称已分别写在三张卡片的背面．小明取得奖品的方法是：任翻开其中的一张卡片，若选中该卡片标出的奖品，则其余两张卡片不再翻动．若选不中已翻开卡片标出的奖品，可任意翻开第二张卡片，此时，第一次翻出的奖品不能再选．若第二次翻出的奖品仍选不中，则只能获得第三张卡片标出的奖品．试问是否存在一种方案，使他获得最高等奖的概率最大？
§4.3 游戏公平吗
学习目标:
体会如何评判某件事情是否“合算”，并学会对一些游戏活动的公平性作出评判．
学习重点:
本节重点是不仅对一些游戏活动的公平性作出评判，还要会合理的设计得分规则，使游戏公平．在生活中我们不仅要会评判事件，还要做出决策，对事件进行合理的设计，因而有很好的实用价值，也是我们在概率学习内容中的一个重要方面．对此只要能计算出双方获胜的概率，合理设计分数即可．
学习难点：
本节中，游戏获胜的概率可通过列表方法求得，如何设计得分规则是本节的难点．只要计算出双方的概率，如双方获胜概率为，，则得分规则只需满足a=·b即可，即其获胜后的得分分别为a、b，则游戏公平．
学习方法:
实验——引导法.
学习过程:
一、例题分析：
【例1】 某一家庭有两个孩子，请问这两个孩子是一个男孩一个女孩的概率是多少？你是怎样知道的．
【例2】 在掷骰子的游戏中，当两枚骰子的和为质数时，小明得1分，否则小刚得1分．你认为该游戏对谁有利？如果当两枚骰子的点数之和大于7时，小刚得1分，否则小明得1分呢？
【例3】 乘火车从A站出发，沿途经过3个车站方可到达B站，那么在A、B两站之间需要安排 种不同的车票．
【例4】 某班53名学生右眼视力（裸视）的检查结果如下表所示：
视力 0．1 0．2 0．3 0．4 0．5 0．6 0．7 0．8 1．0 1．2 1．5
人数 1 1 2 5 2 4 6 6 8 11 7
则该班学生右眼视力的中位数是 ．如果右眼视力在0．6以下（不含0．6）的同学都戴着眼镜，那么从中任意抽取1名学生戴着眼镜的概率为 ．
【例5】 小刚考试得了第一名，老师决定以精美的书作为奖励．现有3本书，老题告诉他，这三本书事先已给予了编号1，2，3（该编号只有老师知道），小刚可以从3本书中任挑一本；也可以把这三本书给以排序，自左向右的排列序号与书的编号一致的书，小明均可得到，但若排列号与书的编号没有一致的，则一本书也得不到．小刚当然想多得到几本书，他该如何选择呢？请你帮他出个主意．
二、课内练习：
1．小东和小明设计了两个掷骰子的游戏，每个游戏每次都是掷两枚骰子．
游戏一：和为7或者8，则小东得1分；和是其他数字，小明得1分．
游戏二：和能够被3整除，小东得3分；和不能被3整除，小明得1分．
这两个游戏公平吗？说说你的理由；若不公平，你能将它们改为公平吗？
2．小明和小芳用如下转盘图进行配紫色游戏，分别转动两个转盘，若配成紫色则小明得1分，否则小芳得1分，这个游戏对双方公平吗？如果你认为不公平，如何修改得分规则才能使游戏对双方公平？
三、课后练习：
1．从一幅扑克牌中任取一张，是梅花的概率为 ．
2．连续掷硬币两次，其中两次结果相同的概率为 ，两次正面朝上的概率为 ．
3．用图两个转盘进行“配紫色”游戏，配成紫色的概率是 ．
4．一个人的生日是周日的概率为 ，两个人的生日都是星期日的概率为 ，两个人的生日是一周中同一天的概率为 ．
5．将身高不同的三名同学任意排序，结果恰好是按身高由低到高排的概率为 ．
6．某校初三（1）班有61名学生，其中男生32名，女生29名，体检时发现男生身高在1．70米以上的有23人，那么任意从这个班中抽取一名同学，是男生且身高在1．70米以上的概率为 ．
7．小红小兰进行摸球游戏．在一个不透明的袋子里装有3个白球，3个黑球和1个红球，游戏规定两个每次可任意从口袋中摸出一个球（不再放回），谁先摸到红球谁获胜，若小红先摸球，她摸到红球的概率为 ；若小红摸出一球后发现是白球，则小兰继续摸球时，摸到红球的概率为 ．
8．小明和小强进行掷骰子游戏，他们规定同时掷两枚骰子．若出现的点数之和为2的倍数时，小明得1分；若出现点数之和为3或5的倍数时，小强得1分．这个游戏对双方公平吗？如果你认为不公平，如何修改得分规则才能使该游戏对双方公平？
9．若=3，=5，则=8的概率是多少？
10．在一次数学竞赛中的单项选择题规定，选对者得4分，选错者扣1分，不选者不得分也不扣分，每道题都有四个备选答案．假如有一道题你不会做，你是猜一个答案写上去，还是放弃呢？请说明理由．
11．小明和小刚正在玩掷骰子游戏，两人各掷一枚骰子，则两枚骰子的点数之和为奇数的概率为 ，两枚骰子的点数之积为奇数的概率为 ．
12．依据闯关游戏规则，请你探索闯关游戏的奥秘：
（1）用列表的方法表示所有可能的闯关情况；（2）求出闯关成功的概率．
闯关游戏规则
如图所示的面板上，有左右两组开关按钮，每组中的两个按钮均分别控制一个灯泡和一个发音装置．同时按下两组中各一个按钮：当两个灯泡都亮时闯关成功；当按错一个按钮时，发音装置就会发出“闯关失败”的声音．
13．某市民政部门今年元宵节期间举行了“即开式社会福利彩票”销售活动，设置彩票3000万张（每张彩票2元）．在这些彩票中，设置了如下奖项：
资金（万元） 50 15 8 4 ……
数量（个） 20 20 20 180 ……
如果花2元钱购买1张彩票，那么能得到8万元以上（包括8万元）大奖的概率是 ．
14．李勇的爸爸出差回来，向他讲了这样一件事情，在一个地方有一种“摸彩”活动．一个人手提一个袋子，身边立着一块牌子，边指边说：“我这口袋里有10个红球10个白球，哪位愿意来摸球做游戏，一次交10元，但不白交．请你不要看，从口袋里摸出10个球，按牌子上的结果安排：
10个都是红球退还10元外再送你10元线；
9个红球1个白球退还10元外再送你8元；
8个红球2个白球退还10元外再送你6元；
7个红球3个白球退还10元外再送你4元；
6个红球4个白球退还10元不再送了；
5个红球5个白球算你运气不好，不退还了；
4个红球6个白球退还10元不再送了；
3个红球7个白球退还10元外再送你4元；
2个红球8个白球退还10元外再送你6元；
1个红球9个白球退还10元外再送你8元；
10个都是白球退还10元外再送你10元．
共十一种可能，八种可能让你赢钱，只有一种可能输，这么便宜的事，谁来试试啊？李勇的爸爸亲眼看见有几个青年人掏钱试了试，结果都输了，且谁摸的次数越多，谁就输得越多．爸爸让李勇利用所学的概率统计知识计算一下，这是为什么？请你也计算一下，找出其中的原因．
第四章回顾与思考
一、填空题
1、小红、小芳、小明在一起做游戏时需要确定作游戏的先后顺序，他们约定用“锤子、剪刀、布”的方式确定。请问在一个回合中三个人都出“布”的概率是 ；
2、一个口袋中装有4个白色球，1个红色球，7个黄色球，搅匀后随机从袋中摸出1个球是白色球的概率是 ；
3、中央电视台“幸运52”栏目中的“百宝箱”互动环节，是一种竞猜游戏，游戏规则如下：在20个商标牌中，有5个商标牌的背面注明一定的奖金额，其余商标牌的背面是一张哭脸，若翻到哭脸，就不能得奖，参与这个游戏的观众有三次翻牌机会（翻过的牌不能再翻）.某观众前两次翻牌均获得若干奖金，那么他第三次翻牌获奖的概率是 ；
4、在一个不透明的袋中装有除颜色外其余都相同的3个小球，其中一个红色球、两个黄色球.如果第一次先从袋中摸出一个球后不再放回，第二次再从袋中摸出一个，那么两次都摸到黄色球的概率是 ；
5、图中所示的两个圆盘中,指针落在每一个数上的机会均等,则两个指针同时落在偶数上的概率是 ；
6、小华买了一套科普读物，有上、中、下三册，要整齐的摆放在书架上，有哪几种摆法？其中恰好摆成“上、中、下”顺序的概率是 ；
7、某学校的初一（1）班，有男生20人，女生23人。其中男生有18人住宿，女生有20人住宿。现随机抽一名学生，则：①抽到一名男生的概率是 ；②抽到一名住宿男生的概率是 ；③抽到一名走读女生的概率是 ；
8、一个家庭有3个小孩。（1）这个家庭有3个男孩的概率是 ；（2）这个家庭有2男1女孩的概率是 ；（3）这个家庭至少有1个男孩的概率是 。
二、解答题
9、有两组卡片，第一组三张卡片上都写着A、B、B，第二组五张卡片上都写着A、B、B、D、E。试用列表法求出从每组卡片中各抽取一张，两张都是B的概率。
10、一布袋中有红、黄、白三种颜色的球各一个，它们除颜色外其它都一样。小亮从布袋中摸出一个球后放回去摇匀，再摸出一个球。请你利用列举法（列表或画树状图）分析并求出小亮两次都能摸到白球的概率。
11、将分别标有数字1，2，3 的三张卡片洗匀后，背面朝上放在桌上。
（1） 随机抽取一张，求抽到奇数的概率；
（2） 随机抽取一张作为十位上的数字（不放回），再抽取一张作为个位上的数字，能组成哪些两位数？恰好是32的概率是多少？
12、有一个转盘游戏，转盘平均分成10份（如图），分别标有1、2、……、10这10个数字，转盘上有固定的指针，转动转盘，当转盘停止转动时，指针指向的数字即为转出的数字．两人进行游戏，一人转动转盘，另一人猜数，如果猜的数与转出的数情况相符，则猜数的人获胜，否则转盘的人获胜．猜数的方法为下列三种中的一种：
（1） 猜奇数或偶数；
（2） 猜是3的倍数或不是3的倍数；
（3） 猜大于4的数或不大于4的数．
如果你是猜数的游戏者，为了尽可能取胜，你选哪种猜法？怎样猜？
13、小明和小红正在玩一个游戏：每人掷一个骰子。小明掷的是标准的正方体骰子。而小红用的是均匀的四面体的骰子（标了1，2，3，4）每人掷两次，骰子着地一面是几，就向前走几格。现在两人离开终点目标都是7格。请问谁最有可能先达到终点？请用概率的知识加以分析。
三、学以致用
14、某池塘里养了鱼苗10万条，根据这几年的经验知道，鱼苗成活率为95%，一段时间准备打捞出售，第一网捞出40条，称得平均每条鱼重2.5千克，第二网捞出25条，称的平均每条鱼重2.2千克，第三网捞出35条，称的平均每条鱼重2.8千克，试估计这池塘中鱼的重量。
15、依据闯关游戏规则，请你探究“闯关游戏”的奥秘：
（1）用列表的方法表示有可能的闯关情况；
（2）求出闯关成功的概率.
16、设计一个利用实验法来估计30个人中有2人生日相同的概率的方案。
17、请你为班会活动设计（1）使用一个转盘时中奖率为（2）使用两个转盘中奖率为。
四、公平与否
18、小英和小丽用两个转盘做“配紫色”游戏，配成紫色小英得1分，否则小丽得1分，这个游戏对双方公平吗？（红色+蓝色=紫色，配成紫色者胜）
19、袋中有黄、白、黑球各1个。任意摸一个后放进去，再摸一次。如果两次摸到的都是同一种颜色，则甲获胜，否则乙获胜。这个游戏对双方公平吗？为什么？
20、如图，有两个可以自由转动的转盘A、B，转盘A被均匀分成4等份，每份标上数字1、2、3、4四个数字；转盘B被均匀分成6等份，每份标上数字1、2、3、4、5、6六个数字。有人为甲乙两人设计了一个游戏，其规则如下：
（1） 同时转动转盘A与B；
（2） 转盘停止后，指针各指向一个数字（如果指针恰好指在分割线上，那么重转一次，直到指针指向一个数字为止），用所指的两个数字作乘积，如果所得的积是偶数，那么甲胜；如果所得的积是奇数，那么乙胜。
你认为这样的规则是否公平？请你说明理由；如果不公平，请你设计一个公平的规则，并说明理由。
在左图
开关
红
黄
蓝
蓝
红
红
黄
1
4
3
2
A
1
2
3
4
5
6
B
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117第一章 直角三角形的边角关系
§1.1 从梯子的倾斜程度谈起（第一课时）
学习目标:
1.经历探索直角三角形中边角关系的过程.理解正切的意义和与现实生活的联系.
2.能够用tanA表示直角三角形中两边的比，表示生活中物体的倾斜程度、坡度等，外能够用正切进行简单的计算.
学习重点:
1.从现实情境中探索直角三角形的边角关系.
2.理解正切、倾斜程度、坡度的数学意义，密切数学与生活的联系.
学习难点:
理解正切的意义，并用它来表示两边的比.
学习方法:
引导—探索法.
学习过程:
一、生活中的数学问题:
1、你能比较两个梯子哪个更陡吗？你有哪些办法？
2、生活问题数学化：
⑴如图：梯子AB和EF哪个更陡？你是怎样判断的？
⑵以下三组中，梯子AB和EF哪个更陡？你是怎样判断的？
二、直角三角形的边与角的关系（如图，回答下列问题）
⑴Rt△AB1C1和Rt△AB2C2有什么关系
⑵
⑵有什么关系？
⑶如果改变B2在梯子上的位置(如B3C3)呢
⑷由此你得出什么结论
三、例题：
例1、如图是甲，乙两个自动扶梯，哪一个自动扶梯比较陡
例2、在△ABC中，∠C=90°，BC=12cm，AB=20cm，求tanA和tanB的值.
四、随堂练习：
1、如图，△ABC是等腰直角三角形，你能根据图中所给数据求出tanC吗
2、如图，某人从山脚下的点A走了200m后到达山顶的点B，已知点B到山脚的垂直距离为55m，求山的坡度.(结果精确到0.001)
3、若某人沿坡度i＝3：4的斜坡前进10米，则他所在的位置比原来的位置升高________米.
4、菱形的两条对角线分别是16和12.较长的一条对角线与菱形的一边的夹角为θ，则tanθ＝______.
5、如图，Rt△ABC是一防洪堤背水坡的横截面图，斜坡AB的长为12 m，它的坡角为45°，为了提高该堤的防洪能力，现将背水坡改造成坡比为1：1.5的斜坡AD，求DB的长.(结果保留根号)
五、课后练习：
1、在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=3,BC=1,则tanA= _______.
2、在△ABC中,AB=10,AC=8,BC=6,则tanA=_______.
3、在△ABC中,AB=AC=3,BC=4,则tanC=______.
4、在Rt△ABC中,∠C是直角,∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c,且a=24,c= 25,求tanA、tanB的值.
5、若三角形三边的比是25:24:7,求最小角的正切值.
6、如图,在菱形ABCD中,AE⊥BC于E,EC=1,tanB=, 求菱形的边长和四边形AECD的周长.
7、已知:如图,斜坡AB的倾斜角a,且tanα=,现有一小球从坡底A处以20cm/s 的速度向坡顶B处移动,则小球以多大的速度向上升高
8、探究:
⑴、a克糖水中有b克糖(a>b>0),则糖的质量与糖水质量的比为_______; 若再添加c克糖(c>0),则糖的质量与糖水的质量的比为________.生活常识告诉我们: 添加的糖完全溶解后,糖水会更甜,请根据所列式子及这个生活常识提炼出一个不等式: ____________.
⑵、我们知道山坡的坡角越大,则坡越陡,联想到课本中的结论:tanA的值越大, 则坡越陡,我们会得到一个锐角逐渐变大时,它的正切值随着这个角的变化而变化的规律,请你写出这个规律:_____________.
⑶、如图,在Rt△ABC中,∠B=90°,AB=a,BC=b(a>b),延长BA、BC,使AE=CD=c, 直线CA、DE交于点F,请运用(2) 中得到的规律并根据以上提供的几何模型证明你提炼出的不等式.
§1.1从梯子的倾斜程度谈起（第二课时）
学习目标：
1.经历探索直角三角形中边角关系的过程，理解正弦和余弦的意义.
2.能够运用sinA、cosA表示直角三角形两边的比.
3.能根据直角三角形中的边角关系，进行简单的计算.
4.理解锐角三角函数的意义.
学习重点：
1.理解锐角三角函数正弦、余弦的意义，并能举例说明.
2.能用sinA、cosA表示直角三角形两边的比.
3.能根据直角三角形的边角关系，进行简单的计算.
学习难点：
用函数的观点理解正弦、余弦和正切.
学习方法：
探索——交流法.
学习过程：
一、正弦、余弦及三角函数的定义
想一想：如图
(1)直角三角形AB1C1和直角三角形AB2C2有什么关系
(2) 有什么关系 呢
(3)如果改变A2在梯子A1B上的位置呢 你由此可得出什么结论
(4)如果改变梯子A1B的倾斜角的大小呢 你由此又可得出什么结论
请讨论后回答.
二、由图讨论梯子的倾斜程度与sinA和cosA的关系：
三、例题：
例1、如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AC＝200.sinA＝0.6，求BC的长.
例2、做一做：
如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，cosA＝，AC＝10，AB等于多少 sinB呢 cosB、sinA呢 你还能得出类似例1的结论吗 请用一般式表达.
四、随堂练习：
1、在等腰三角形ABC中，AB=AC＝5，BC=6，求sinB，cosB，tanB.
2、在△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，BC=20，求△ABC的周长和面积.
3、在△ABC中.∠C=90°，若tanA=，则sinA= .
4、已知：如图，CD是Rt△ABC的斜边AB上的高，求证：BC2＝AB·BD.(用正弦、余弦函数的定义证明)
五、课后练习：
1、在Rt△ABC中,∠ C=90°,tanA=,则sinB=_______,tanB=______.
2、在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=41,sinA=,则AC=______,BC=_______.
3、在△ABC中,AB=AC=10,sinC=,则BC=_____.
4、在△ABC中,已知AC=3,BC=4,AB=5,那么下列结论正确的是( )
A.sinA= B.cosA= C.tanA= D.cosB=
5、如图,在△ABC中,∠C=90°,sinA=,则等于( )
A. B. C. D.
6、Rt△ABC中,∠C=90°,已知cosA=,那么tanA等于( )
A. B. C. D.
7、在△ABC中，∠C=90°,BC=5,AB=13,则sinA的值是
A． B． C． D．
8、已知甲、乙两坡的坡角分别为α、β, 若甲坡比乙坡更徒些, 则下列结论正确的是( )
A.tanαcosβ
9、如图,在Rt△ABC中,CD是斜边AB上的高,则下列线段的比中不等于sinA的是( )
A. B. C. D.
10、某人沿倾斜角为β的斜坡前进100m,则他上升的最大高度是( )m
A. B.100sinβ C. D. 100cosβ
11、如图,分别求∠α,∠β的正弦,余弦,和正切.
12、在△ABC中,AB=5,BC=13,AD是BC边上的高,AD=4.求:CD,sinC.
13、在Rt△ABC中,∠BCA=90°,CD是中线,BC=8,CD=5.求sin∠ACD,cos∠ACD和tan∠ACD.
14、在Rt△ABC中,∠C=90°,sinA和cosB有什么关系
15、如图,已知四边形ABCD中,BC=CD=DB,∠ADB=90°,cos∠ABD=.
求：s△ABD：s△BCD
§1.2 30°、45°、60°角的三角函数值
学习目标：
1.经历探索30°、45°、60°角的三角函数值的过程，能够进行有关的推理.进一步体会三角函数的意义.
2.能够进行30°、45°、60°角的三角函数值的计算.
3.能够根据30°、45°、60°的三角函数值说明相应的锐角的大小.
学习重点：
1.探索30°、45°、60°角的三角函数值.
2.能够进行含30°、45°、60°角的三角函数值的计算.
3.比较锐角三角函数值的大小.
学习难点：
进一步体会三角函数的意义.
学习方法：
自主探索法
学习过程：
一、问题引入
[问题]为了测量一棵大树的高度，准备了如下测量工具：①含30°和60°两个锐角的三角尺；②皮尺.请你设计一个测量方案，能测出一棵大树的高度.
二、新课
[问题] 1、观察一副三角尺，其中有几个锐角 它们分别等于多少度
[问题] 2、sin30°等于多少呢 你是怎样得到的 与同伴交流.
[问题] 3、cos30°等于多少 tan30°呢
[问题] 4、我们求出了30°角的三个三角函数值，还有两个特殊角——45°、60°，它们的三角函数值分别是多少 你是如何得到的
结论：
三角函数角度 sinα coα tanα
30°
45°
60°
[例1]计算：
(1)sin30°+cos45°； (2)sin260°+cos260°-tan45°.
[例2]一个小孩荡秋千，秋千链子的长度为2.5 m，当秋千向两边摆动时，摆角恰好为60°，且两边的摆动角度相同，求它摆至最高位置时与其摆至最低位置时的高度之差.(结果精确到0.01 m)
三、随堂练习
1.计算：
(1)sin60°-tan45°； (2)cos60°+tan60°；
(3) sin45°+sin60°-2cos45°； ⑷；
⑸(+1)-1+2sin30°-； ⑹(1+)0-｜1-sin30°｜1+()-1；
⑺sin60°+； ⑻2-3-(+π)0-cos60°-.
2.某商场有一自动扶梯，其倾斜角为30°.高为7 m，扶梯的长度是多少
3．如图为住宅区内的两幢楼，它们的高AB＝CD=30 m，两楼问的距离AC=24 m，现需了解甲楼对乙楼的采光影响情况.当太阳光与水平线的夹角为30°时，求甲楼的影子在乙楼上有多高 (精确到0.1 m，≈1.41，≈1.73)
四、课后练习：
1、Rt△ABC中，，则；
2、在△ABC中，若,，则，面积S＝ ；
3、在△ABC中，AC：BC＝1：，AB＝6，∠B＝ ，AC＝ BC＝
4、等腰三角形底边与底边上的高的比是，则顶角为 （ ）
（A）600 （B）900 （C）1200 （D）1500
5、有一个角是的直角三角形，斜边为，则斜边上的高为 （ ）
（A） （B） （C） （D）
6、在中，，若，则tanA等于（ ）．
（A） （B） （C） （D）
7、如果∠a是等边三角形的一个内角，那么cosa的值等于（ ）．
（A） （B） （C） （D）1
8、某市在“旧城改造”中计划内一块如图所示的三角形空地上种植某种草皮以美化环境，已知这种草皮每平方米a元，则购买这种草皮至少要（ ）．
（A）450a元 （B）225a元 （C）150a元 （D）300a元
9、计算：
⑴、 ⑵、
⑶、 ⑷、
⑸、 ⑹、
⑺、·tan60° ⑻、
10、请设计一种方案计算tan15°的值。
§1.4 船有触礁的危险吗
学习目标：
1.经历探索船是否有触礁危险的过程，进一步体会三角函数在解决问题过程中的应用.
2.能够把实际问题转化为数学问题，能够借助于计算器进行有关三角函数的计算，并能对结果的意义进行说明.
学习重点：
1.经历探索船是否有触礁危险的过程，进一步体会三角函数在解决问题过程中的作用.
2.发展学生数学应用意识和解决问题的能力.
学习难点：
根据题意，了解有关术语，准确地画出示意图.
学习方法：
探索——发现法
学习过程：
一、问题引入：
海中有一个小岛A，该岛四周10海里内有暗礁.今有货轮由西向东航行，开始在A岛南偏西55°的B处，往东行驶20海里后，到达该岛的南偏西25°的C处，之后，货轮继续往东航行，你认为货轮继续向东航行途中会有触礁的危险吗 你是如何想的 与同伴进行交流.
二、解决问题：
1、如图，小明想测量塔CD的高度.他在A处仰望塔顶，测得仰角为30°，再往塔的方向前进50m至B处.测得仰角为60°.那么该塔有多高 (小明的身高忽略不计，结果精确到1 m)
2、某商场准备改善原来楼梯的安全性能，把倾角由40°减至35°，已知原楼梯长为4 m，调整后的楼梯会加长多少？楼梯多占多长一段地面 (结果精确到0.0l m)
三、随堂练习
1.如图，一灯柱AB被一钢缆CD固定，CD与地面成40°夹角，且DB＝5 m，现再在C点上方2m处加固另一条钢缆ED，那么钢缆ED的长度为多少
2.如图,水库大坝的截面是梯形ABCD.坝顶AD＝6m，坡长CD＝8m.坡底BC＝30m，∠ADC=135°.
(1)求∠ABC的大小：
(2)如果坝长100 m.那么建筑这个大坝共需多少土石料 (结果精确到0.01 m3)
3．如图，某货船以20海里／时的速度将一批重要物资由A处运往正西方向的B处，经16小时的航行到达，到达后必须立即卸货.此时.接到气象部门通知，一台风中心正以40海里／时的速度由A向北偏西60°方向移动，距台风中心200海里的圆形区域(包括边界)均受到影响.
(1)问：B处是否会受到台风的影响 请说明理由.
(2)为避免受到台风的影响，该船应在多少小时内卸完货物 (供选用数据：≈1.4，
≈1.7)
四、课后练习：
1. 有一拦水坝是等腰楼形,它的上底是6米,下底是10米,高为2米,求此拦水坝斜坡的坡度和坡角.
2.如图,太阳光线与地面成60°角,一棵大树倾斜后与地面成36°角, 这时测得大树在地面上的影长约为10米,求大树的长(精确到0.1米).
3.如图,公路MN和公路PQ在点P处交汇,且∠QPN=30°,点A处有一所学校,AP=160米,假设拖拉机行驶时,周围100米以内会受到噪声的影响,那么拖拉机在公路MN上沿PN的方向行驶时 ,学校是否会受到噪声影响 请说明理由.
4.如图,某地为响应市政府“形象重于生命”的号召,在甲建筑物上从点A到点E挂一长为30米的宣传条幅,在乙建筑物的顶部D点测得条幅顶端A点的仰角为40°,测得条幅底端E的俯角为26°,求甲、乙两建筑物的水平距离BC的长(精确到0.1米).
5.如图,小山上有一座铁塔AB,在D处测得点A的仰角为∠ADC=60°,点B的仰角为∠BDC=45°;在E处测得A的仰角为∠E=30°,并测得DE=90米, 求小山高BC 和铁塔高AB(精确到0.1米).
6.某民航飞机在大连海域失事,为调查失事原因,决定派海军潜水员打捞飞机上的黑匣子,如图所示,一潜水员在A处以每小时8海里的速度向正东方向划行,在A处测得黑匣子B在北偏东60°的方向,划行半小时后到达C处,测得黑匣子B在北偏东30 °的方向,在潜水员继续向东划行多少小时,距离黑匣子B最近,并求最近距离.
7.以申办2010年冬奥会,需改变哈尔滨市的交通状况,在大直街拓宽工程中, 要伐掉一棵树AB,在地面上事先划定以B为圆心,半径与AB等长的圆形危险区,现在某工人站在离B点3米远的D处测得树的顶点A的仰角为60°,树的底部B点的俯角为30°, 如图所示,问距离B点8米远的保护物是否在危险区内
8.如图,某学校为了改变办学条件,计划在甲教学楼的正北方21米处的一块空地上(BD=21米),再建一幢与甲教学等高的乙教学楼(甲教学楼的高AB=20米),设计要求冬至正午时,太阳光线必须照射到乙教学楼距地面5米高的二楼窗口处, 已知该地区冬至正午时太阳偏南,太阳光线与水平线夹角为30°,试判断: 计划所建的乙教学楼是否符合设计要求 并说明理由.
9.如图,两条带子,带子α的宽度为2cm,带子b的宽度为1cm,它们相交成α角,如果重叠部分的面积为4cm2,求α的度数.
1.5 测量物体的高度
1.下表是小明同学填写活动报告的部分内容:
课题 在两岸近似平行的河段上测量河宽
测量目标图示
测得数据 ∠CAD=60°,AB=30m,∠CBD=45°,∠BDC=90°
请你根据以上的条件,计算出河宽CD(结果保留根号).
2.下面是活动报告的一部分, 请填写“测得数据”和“计算”两栏中未完成的部分.
课题 测量旗杆高
测量示意图
测得数据 测量项目 第一次 第二次 平均值
BD的长 24.19m 23.97m
测倾器的高 CD=1.23m CD=1.19m
倾斜角 a=31°15′ a=30°45′ a=31°
计算 旗杆高AB(精确到0.1m)
3.学习完本节内容后, 某校九年级数学老师布置一道利用测倾器测量学校旗杆高度的活动课题,下表是小明同学填写的活动报告,请你根据有关测量数据, 求旗杆高AB(计算过程填在下表计算栏内,用计算器计算).
活动报告
课题 利用测倾器测量学校旗杆的高
测量示意图
测量数据 BD的长 BD=20.00m
测倾器的高 CD=1.21m
倾斜角 α=28°
计算 旗杆高AB的计算过程(精确到0.1m)
4.某市为促进本地经济发展,计划修建跨河大桥,需要测出河的宽度AB, 在河边一座高度为300米的山顶观测点D处测得点A,点B的俯角分别为α=30°,β=60°, 求河的宽度(精确到0.1米)
5.为了测量校园内一棵不可攀的树的高度, 学校数学应用实践小组做了如下的探索:
实践一:根据《自然科学》中光的反射定律,利用一面镜子和一根皮尺, 设计如图(1)的测量方案:把镜子放在离树(AB)8.7(米)的点E处,然后沿着直线BE 后退到点D,这时恰好在镜子里看到树梢顶点A,再用皮尺量得DE=2.7米,观察者目高CD=1.6米,请你计算 树AB的高度(精确到0.1米)
实践二:提供选用的测量工具有:①皮尺一根;②教学用三角板一副;③长为2. 5米的标杆一根;④高度为1.5米的测角仪一架,请根据你所设计的测量方案, 回答下列问题:
(1)在你设计的方案中,选用的测量工具是__________.
(2)在图(2)中画出你的测量方案示意图;
(3)你需要测得示意图中哪些数据,并分别用a,b,c,α,β等表示测得的数据____.
(4)写出求树高的算式:AB=___________.
6.在1:50000的地图上,查得A点在300m的等高线上,B点在400m的等高线上, 在地图上量得AB的长为2.5cm,若要在A、B之间建一条索道,那么缆索至少要多长 它的倾斜角是多少
(说明:地图上量得的AB的长,就是A,B两点间的水平距离AB′,由B向过A 且平行于地面的平面作垂线,垂足为B′,连接AB′,则∠A即是缆索的倾斜角.)
7、为了测量校园内一棵不可攀的树的高度，学校数学应用实践小组做了如下的探索：
实践一：根据《自然科学》中的反射定律，利用一面镜子和一根皮尺，设计如右示意图的测量方案：把镜子放在离树（AB）8.7米的点E处，然后沿着直线BE后退到点D，这是恰好在镜子里看到树梢顶点A，再用皮尺量得DE=2.7米，观察者目高CD=1.6米，请你计算树（AB）的高度．（精确到0.1米）
实践二：提供选用的测量工具有：①皮尺一根；②教学用三角板一副；③长为2.5米的标杆一根；④高度为1.5米的测角仪（能测量仰角、俯角的仪器）一架。请根据你所设计的测量方案，回答下列问题：
（1）在你设计的方案中，选用的测量工具是（用工
具的序号填写）
（2）在右图中画出你的测量方案示意图；
（3）你需要测得示意图中的哪些数据，并分别用a、b、c、α等表示测得的数据：
（4）写出求树高的算式：AB=
第一章回顾与思考
1、等腰三角形的一腰长为，底边长为，则其底角为（ ）
A B C D
2、某水库大坝的横断面是梯形，坝内斜坡的坡度，坝外斜坡的坡度，则两个坡角的和为 （ ）A B C D
3、如图，在矩形ABCD中，DE⊥AC于E，设∠ADE=，且, AB = 4, 则AD的长为（ ）．
（A）3 （B） （C） （D）
4、在课外活动上，老师让同学们做一个对角线互相垂直的等腰梯形形状的风筝，其面积为450，则对角线所用的竹条至少需（ ）．
（A） （B）30cm （C）60cm （D）
5、如果是锐角，且，那么 ．
6、如图，在坡度为1：2的山坡上种树，要求株距（相邻两树间的水平距离）是6米，斜坡上相邻两树间的坡面距离是 米．
7、如图,P是∠的边OA上一点, 且P点坐标为(3,4),则= ,=______.
8、支离旗杆20米处的地方用测角仪测得旗杆顶的仰角为，如果测角仪高为1.5米．那么旗杆的有为 米（用含的三角比表示）．
9、在Rt中∠A＜∠B，CM是斜边AB上的中线，将沿直线CM折叠，点A落在点D处，如果CD恰好与AB垂直，那么∠A等于 度．
10、如图，某公路路基横断面为等腰梯形.按工程设计要求路面宽度为10米，坡角为，路基高度为5.8米，求路基下底宽（精确到0.1米）.
11、“曙光中学”有一块三角形形状的花圃ABC，现可直接测量到AC = 40米，BC = 25米，请你求出这块花圃的面积.
12、如图，在小山的东侧A处有一热气球，以每分钟28米的速度沿着与垂直方向夹角为的方向飞行，半小时后到达C处，这时气球上的人发现，在A处的正西方向有一处着火点B，5分钟后，在D处测得着火点B的俯角是，求热气球升空点A与着火点B的距离．
13、如图，一勘测人员从B点出发，沿坡角为的坡面以5千米/时的速度行至D点，用了12分钟，然后沿坡角为的坡面以3千米/时的速度到达山顶A点，用了10分钟.求山高（即AC的长度）及A、B 两点的水平距离（即BC的长度）（精确到0.01千米）.
14、为申办2010年冬奥会，须改变哈尔滨市的交通状况。在大直街拓宽工程中，要伐掉一棵数AB，在地面上事先划定以B为圆心，半径与AB等长的圆形危险区，现在某工人站在离B点3米远的D处测得树的顶端A点的仰角为60°，树的底部B点的俯角为30°（如图）.为距离B点8米远的保护物是否在危险区内？
15、如图，MN表示某引水工程的一段设计路线，从M到N的走向为南偏东30°. 在M的南偏东60°方向上有一点A,以A为圆心、500m为半径的圆形区域为居民区.取MN上另一点B,测得BA的方向为南偏东75°.已知MB = 400m,通过计算回答,如果不改变方向,输水路线是否会穿过居民区
16、如图，北部湾海面上，一艘解放军军舰正在基地A的正东方向且距A地的正东方向且距A地40海里的B地训练.突然接到基地命令，要该军舰前往C岛，接送一名病危的渔民到基地医院救治.已知C岛在A的北偏东60°方向，且在B的北偏西45°方向，军舰从B处出发，平均每小时行驶20海里，需要多少时间才能把患病渔民送到基地医院？（精确到0.1小时）
17、如图，客轮沿折线A―B―C从A出发经B再到C匀速直线航行，将一批物品送达客轮．两船同时起航，并同时到达折线A―B―C上的某点E处．已知AB = BC =200海里，∠ABC =，客轮速度是货轮速度的2倍．
（1）选择：两船相遇之处E点（ ）
A．在线段AB上
B．在线段BC上
C．可以在线段AB上，也可以在线段BC上
（2）求货轮从出发到两船相遇共航行了多少海里？（结果保留根号）
B
A
400
350
300
A
B
太
阳
光
线
C
D
E
A
B
PAGE
1
1第二章 二次函数
§2.1 二次函数所描述的关系
学习目标:
1.探索并归纳二次函数的定义.
2.能够表示简单变量之间的二次函数关系.
学习重点:
1.经历探索二次函数关系的过程,获得用二次函数表示变量之间关系的体验.
2.能够表示简单变量之间的二次函数.
学习难点:
经历探索二次函数关系的过程,获得用二次函数表示变量之间关系的体验.
学习方法:
讨论探索法.
学习过程:
【例1】 函数y=（m＋2）x＋2x－1是二次函数，则m= ．
【例2】 下列函数中是二次函数的有（ ）
①y=x＋；②y=3（x－1）2＋2；③y=（x＋3）2－2x2；④y=＋x．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【例3】正方形的边长是5，若边长增加x，面积增加y，求y与x之间的函数表达式．
1、 已知正方形的周长为20，若其边长增加x，面积增加y，求y与x之间的表达式．
2、 已知正方形的周长是x，面积为y，求y与x之间的函数表达式．
3、已知正方形的边长为x，若边长增加5，求面积y与x的函数表达式．
【例4】如果人民币一年定期储蓄的年利率是x，一年到期后，银行将本金和利息自动按一年定期储蓄转存，到期支取时，银行将扣除利息的20%作为利息税．请你写出两年后支付时的本息和y（元）与年利率x的函数表达式．
【例5】某商场将进价为40元的某种服装按50元售出时，每天可以售出300套．据市场调查发现，这种服装每提高1元售价，销量就减少5套，如果商场将售价定为x，请你得出每天销售利润y与售价的函数表达式．
【例6】如图2-1-1，正方形ABCD的边长为4，P是BC边上一点，QP⊥AP交DC于Q，如果BP=x，△ADQ的面积为y，用含x的代数式表示y．
【例7】某高科技发展公司投资500万元，成功研制出一种市场需求量较大的高科技替代产品，并投入资金1500万元，进行批量生产．已知生产每件产品的成本为40元．在销售过程中发现，当销售单价定为100元时，年销售量为20万件；销售单价每增加10元，年销售量将减少1万件．设销售单价为x（元），年销售量为y（万件），年获利（年获利=年销售额－生产成本－投资）为z（万元）．
（1）试写出y与x之间的函数表达式（不必写出x的取值范围）；（2）试写出z与x之间的函数表达式（不必写出x的取值范围）；（3）计算销售单价为160元时的年获利，销售单价还可以定为多少元？相应的年销售量分别为多少万件？（4）公司计划：在第一年按年获利最大确定的销售单价，进行销售；第二年年获利不低于1130万元．请你借助函数的大致图象说明，第二年的销售单价x（元）应确定在什么范围内？
【例6】如图，用同样规格黑白两色的正方形瓷砖铺设矩形地面，请观察下列图形并解答有关问题：
（1）在第n个图中，第一横行共有 块瓷砖，每一竖列共有 块瓷砖（均用含n的代数式表示）；
（2）设铺设地面所用瓷砖的总块数为y，请写出y与（1）中的n的函数表达式（不要求写出自变量n的取值范围）；
（3）按上述铺设方案，铺一块这样的矩形地面共用了506块瓷砖，求此时n的值；
（4）若黑瓷砖每块4元，白瓷砖每块3元，在问题（3）中，共需花多少元购买瓷砖？
（5）是否存在黑瓷砖与白瓷砖相等的情形？请通过计算说明为什么？
课后练习:
1．已知函数y=ax2＋bx＋c（其中a，b，c是常数），当a 时，是二次函数；当a ，b 时，是一次函数；当a ，b ，c 时，是正比例函数．
2．当m 时，y=（m－2）x是二次函数．
3．已知菱形的一条对角线长为a，另一条对角线为它的倍，用表达式表示出菱形的面积S与对角线a的关系．
4．已知：一等腰直角三角形的面积为S，请写出S与其斜边长a的关系表达式，并分别求出a=1，a=，a=2时三角形的面积．
5．在物理学内容中，如果某一物体质量为m，它运动时的能量E与它的运动速度v之间的关系是E=mv2（m为定值）．
（1）若物体质量为1，填表表示物体在v取下列值时，E的取值：
v 1 2 3 4 5 6 7 8
E
（2）若物体的运动速度变为原来的2倍，则它运动时的能量E扩大为原来的多少倍？
6．下列不是二次函数的是（ ）
A．y=3x2＋4 B．y=－x2 C．y= D．y=（x＋1）（x－2）
7．函数y=（m－n）x2＋mx＋n是二次函数的条件是（ ）
A．m、n为常数，且m≠0 B．m、n为常数，且m≠n
C．m、n为常数，且n≠0 D．m、n可以为任何常数
8．半径为3的圆，如果半径增加2x，则面积S与x之间的函数表达式为（ ）
A．S=2π（x＋3）2 B．S=9π＋x C．S=4πx2＋12x＋9 D．S=4πx2＋12x＋9π
9．下列函数关系中，可以看作二次函数y=ax2＋bx＋c（a≠0）模型的是（ ）
A．在一定的距离内汽车的行驶速度与行驶时间的关系
B．我国人口年自然增长率为1%，这样我国人口总数随年份的变化关系
C．竖直向上发射的信号弹，从发射到落回地面，信号弹的高度与时间的关系（不计空气阻力）
D．圆的周长与圆的半径之间的关系．
10．下列函数中，二次函数是（ ）
A．y=6x2＋1 B．y=6x＋1 C．y=＋1 D．y=＋1
11．如图，校园要建苗圃，其形状如直角梯形，有两边借用夹角为135°的两面墙，另外两边是总长为30米的铁栅栏．（1）求梯形的面积y与高x的表达式；（2）求x的取值范围．
12．在生活中，我们知道，当导线有电流通过时，就会发热，它们满足这样一个表达式：若导线电阻为R，通过的电流强度为I，则导线在单位时间所产生的热量Q=RI2．若某段导线电阻为0．5欧姆，通过的电流为5安培，则我们可以算出这段导线单位时间产生的热量Q= ．
13．某商人如果将进货单价为8元的商品按每件10元出售，每天可销售100件．现在他采用提高售出价，减少进货量的办法增加利润，已知这种商品每提高1元，其销售量就要减少10件．若他将售出价定为x元，每天所赚利润为y元，请你写出y与x之间的函数表达式？
14．某工厂计划为一批正方体形状的产品涂上油漆，若正方体的棱长为a（m），则正方体需要涂漆的表面积S（m2）如何表示？
15．⑴已知：如图菱形ABCD中，∠A=60°，边长为a，求其面积S与边长a的函数表达式．
⑵菱形ABCD，若两对角线长a：b=1：，请你用含a的代数式表示其面积S．
⑶菱形ABCD，∠A=60°，对角线BD=a，求其面积S与a的函数表达式．
16．如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=12cm．点P从点A开始沿AB方向向点B以1cm/s的速度移动，同时，点Q从点B开始沿BC边向C以2cm/s的速度移动．如果P、Q两点分别到达B、C两点停止移动，设运动开始后第t秒钟时，五边形APQCD的面积为Scm2，写出S与t的函数表达式，并指出自变量t的取值范围．
17．已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=4，AC=8．点D在斜边AB上，分别作DE⊥AC，DF⊥BC，垂足分别为E、F，得四边形DECF．设DE=x，DF=y．
（1）AE用含y的代数式表示为：AE= ；
（2）求y与x之间的函数表达式，并求出x的取值范围；
（3）设四边形DECF的面积为S，求S与x之间的函数表达式．
§2.2 结识抛物线
学习目标:
经历探索二次函数y=x2的图象的作法和性质的过程，获得利用图象研究二次函数性质的经验．掌握利用描点法作出y=x2的图象，并能根据图象认识和理解二次函数y=x2的性质．能够作为二次函数y=－x2的图象，并比较它与y=x2图象的异同，初步建立二次函数表达式与图象之间的联系．
学习重点:
利用描点法作出y=x2的图象过程中，理解掌握二次函数y=x2的性质，这是掌握二次函数y=ax2＋bx＋c（a≠0）的基础，是二次函数图象、表达式及性质认识应用的开始，只有很好的掌握，才会把二次函数学好．只要注意图象的特点，掌握本质，就可以学好本节．
学习难点:
函数图象的画法，及由图象概括出二次函数y=x2性质，它难在由图象概括性质，结合图象记忆性质．
学习方法:
探索——总结——运用法.
学习过程:
一、作二次函数y=x的图象。
二、议一议：
1.你能描述图象的形状吗？与同伴交流。
2.图象与x轴有交点吗？如果有，交点的坐标是什么？
3.当x<0时，y随着x的增大，y的值如何变化？当x>0时呢？
4.当x取什么值时，y的值最小？
5.图象是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？请你找出几对对称点，并与同伴交流。
三、y=x的图象的性质：
三、例题：
【例1】求出函数y=x＋2与函数y=x2的图象的交点坐标．
【例2】已知a＜－1，点（a－1，y1）、（a，y2）、（a＋1，y3）都在函数y=x2的图象上，则（ ）
A．y1＜y2＜y3 B．y1＜y3＜y2 C．y3＜y2＜y1 D．y2＜y1＜y3
四、练习
1．函数y=x2的顶点坐标为 ．若点（a，4）在其图象上，则a的值是 ．
2．若点A（3，m）是抛物线y=－x2上一点，则m= ．
3．函数y=x2与y=－x2的图象关于 对称，也可以认为y=－x2，是函数y=x2的图象绕 旋转得到．
五、课后练习
1．若二次函数y=ax2（a≠0），图象过点P（2，－8），则函数表达式为 ．
2．函数y=x2的图象的对称轴为 ，与对称轴的交点为 ，是函数的顶点．
3．点A（，b）是抛物线y=x2上的一点，则b= ；点A关于y轴的对称点B是 ，它在函数 上；点A关于原点的对称点C是 ，它在函数 上．
4．求直线y=x与抛物线y=x2的交点坐标．
5．若a＞1，点（－a－1，y1）、（a，y2）、（a＋1，y3）都在函数y=x2的图象上，判断y1、y2、y3的大小关系？
6．如图，A、B分别为y=x2上两点，且线段AB⊥y轴，若AB=6，则直线AB的表达式为（ ）
A．y=3 B．y=6 C．y=9 D．y=36
§2.3 刹车距离与二次函数
学习目标:
1．经历探索二次函数y=ax2和y=ax2＋c的图象的作法和性质的过程，进一步获得将表格、表达式、图象三者联系起来的经验．
2．会作出y=ax2和y=ax2＋c的图象，并能比较它们与y=x2的异同，理解a与c对二次函数图象的影响．
3．能说出y=ax2＋c与y=ax2图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．
4．体会二次函数是某些实际问题的数学模型．
学习重点:
二次函数y=ax2、y=ax2＋c的图象和性质，因为它们的图象和性质是研究二次函数y=ax2＋bx＋c的图象和性质的基础．我们在学习时结合图象分别从开口方向、对称轴、顶点坐标、最大（小值）、函数的增减性几个方面记忆分析．
学习难点:
由函数图象概括出y=ax2、y=ax2＋c的性质．函数图象都由（1）列表，（2）描点、连线三步完成．我们可根据函数图象来联想函数性质，由性质来分析函数图象的形状和位置．
学习方法:
类比学习法。
学习过程:
一、复习：
二次函数y=x2 与y=-x2的性质：
抛物线 y=x2 y=-x2
对称轴
顶点坐标
开口方向
位置
增减性
最值
二、问题引入：
你知道两辆汽车在行驶时为什么要保持一定距离吗？
刹车距离与什么因素有关？
有研究表明:汽车在某段公路上行驶时，速度为v(km/h)汽车的刹车距离s(m)可以由公式：
晴天时：；雨天时：，请分别画出这两个函数的图像：
三、动手操作、探究：
1.在同一平面内画出函数y=2x2与y=2x2+1的图象。
2.在同一平面内画出函数y=3x2与y=3x2-1的图象。
比较它们的性质，你可以得到什么结论？
四、例题：
【例1】 已知抛物线y=（m＋1）x开口向下，求m的值．
【例2】k为何值时，y=（k＋2）x是关于x的二次函数？
【例3】在同一坐标系中，作出函数①y=－3x2，②y=3x2，③y=x2，④y=－x2的图象，并根据图象回答问题：（1）当x=2时，y=x2比y=3x2大（或小）多少？（2）当x=－2时，y=－x2比y=－3x2大（或小）多少？
【例4】已知直线y=－2x＋3与抛物线y=ax2相交于A、B两点，且A点坐标为（－3，m）．
（1）求a、m的值；
（2）求抛物线的表达式及其对称轴和顶点坐标；
（3）x取何值时，二次函数y=ax2中的y随x的增大而减小；
（4）求A、B两点及二次函数y=ax2的顶点构成的三角形的面积．
【例5】有一座抛物线形拱桥，正常水位时，桥下水面宽度为20m，拱顶距离水面4m．（1）在如图所示的直角坐标系中，求出该抛物线的表达式；（2）在正常水位的基础上，当水位上升h（m）时，桥下水面的宽度为d（m），求出将d表示为k的函数表达式；（3）设正常水位时桥下的水深为2m，为保证过往船只顺利航行，桥下水面宽度不得小于18m，求水深超过多少米时就会影响过往船只在桥下的顺利航行．
五、课后练习
1．抛物线y=－4x2－4的开口向 ，当x= 时，y有最 值，y= ．
2．当m= 时，y=（m－1）x－3m是关于x的二次函数．
3．抛物线y=－3x2上两点A（x，－27），B（2，y），则x= ，y= ．
4．当m= 时，抛物线y=（m＋1）x＋9开口向下，对称轴是 ．在对称轴左侧，y随x的增大而 ；在对称轴右侧，y随x的增大而 ．
5．抛物线y=3x2与直线y=kx＋3的交点为（2，b），则k= ，b= ．
6．已知抛物线的顶点在原点，对称轴为y轴，且经过点（－1，－2），则抛物线的表达式为 ．
7．在同一坐标系中，图象与y=2x2的图象关于x轴对称的是（ ）
A．y=x2 B．y=－x2 C．y=－2x2 D．y=－x2
8．抛物线，y=4x2，y=－2x2的图象，开口最大的是（ ）
A．y=x2 B．y=4x2 C．y=－2x2 D．无法确定
9．对于抛物线y=x2和y=－x2在同一坐标系里的位置，下列说法错误的是（ ）
A．两条抛物线关于x轴对称 B．两条抛物线关于原点对称
C．两条抛物线关于y轴对称 D．两条抛物线的交点为原点
10．二次函数y=ax2与一次函数y=ax＋a在同一坐标系中的图象大致为（ ）
11．已知函数y=ax2的图象与直线y=－x＋4在第一象限内的交点和它与直线y=x在第一象限内的交点相同，则a的值为（ ）
A．4 B．2 C． D．
12．求符合下列条件的抛物线y=ax2的表达式：
（1）y=ax2经过（1，2）；
（2）y=ax2与y=x2的开口大小相等，开口方向相反；
（3）y=ax2与直线y=x＋3交于点（2，m）．
13．如图，直线ι经过A（3，0），B（0，3）两点，且与二次函数y=x2＋1的图象，在第一象限内相交于点C．求：
（1）△AOC的面积；
（2）二次函数图象顶点与点A、B组成的三角形的面积．
14．自由落体运动是由于地球引力的作用造成的，在地球上，物体自由下落的时间t（s）和下落的距离h（m）的关系是h=4．9t 2．求：
（1）一高空下落的物体下落时间3s时下落的距离；
（2）计算物体下落10m，所需的时间．（精确到0．1s）
15．有一座抛物线型拱桥，桥下面在正常水位AB时宽20m．水位上升3m，就达到警戒线CD，这时，水面宽度为10m．
（1）在如图2-3-9所示的坐标系中求抛物线的表达式；
（2）若洪水到来时，水位以每小时0．2m的速度上升，从警戒线开始，再持续多少小时才能到拱桥顶？
§2.4 二次函数的图象（第一课时）
学习目标:
1．会用描点法画出二次函数 与 的图象；
2．能结合图象确定抛物线 与 的对称轴与顶点坐标；
3．通过比较抛物线 与 同 的相互关系，培养观察、分析、总结的能力;
学习重点:
画出形如 与形如 的二次函数的图象，能指出上述函数图象的开口方向，对称轴，顶点坐标.
学习难点:
理解函数 、 与 及其图象间的相互关系
学习方法:
探索研究法。
学习过程:
一、复习引入
提问：1．什么是二次函数？
2．我们已研究过了什么样的二次函数？
3．形如 的二次函数的开口方向，对称轴，顶点坐标各是什么？
二、新课
复习提问：用描点法画出函数 的图象，并根据图象指出：抛物线 的开口方向，对称轴与顶点坐标.
例1 在同一平面直角坐标系画出函数 、 、 的图象.
由图象思考下列问题：
（1）抛物线 的开口方向，对称轴与顶点坐标是什么？
（2）抛物线 的开口方向，对称轴与顶点坐标是什么？
（3）抛物线 ， 与 的开口方向，对称轴，顶点坐标有何异同？
（4）抛物线 与 同有什么关系？
继续回答：
①抛物线的形状相同具体是指什么？
②根据你所学过的知识能否回答：为何这三条抛物线的开口方向和开口大小都相同？
③这三条抛物线的位置有何不同？它们之间可有什么关系？
④抛物线 是由抛物线 沿y轴怎样移动了几个单位得到的？抛物线 呢？
⑤你认为是什么决定了会这样平移？
例2在同一平面直角坐标系内画出 与 的图象．
三、本节小结
本节课学习了二次函数 与 的图象的画法，主要内容如下。 填写下表：
表一：
抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标
表二：
抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标
§2.4 二次函数的图象（第二课时）
学习目标:
1．会用描点法画出二次函数 的图像；
2．知道抛物线 的对称轴与顶点坐标；
学习重点:
会画形如 的二次函数的图像，并能指出图像的开口方向、对称轴及顶点坐标。
学习难点:
确定形如 的二次函数的顶点坐标和对称轴。
学习方法:
探索研究法。
学习过程:
1、请你在同一直角坐标系内，画出函数 的图像，并指出它们的开口方向，对称轴及顶点坐标．
2、你能否在这个直角坐标系中，再画出函数 的图像？
3、你能否指出抛物线 的开口方向，对称轴，顶点坐标？将在上面练习中三条抛物线的性质填入所列的有中，如下表：
抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标
4、我们已知抛物线的开口方向是由二次函数 中的a的值决定的，你能通过上表中的特征，试着总结出抛物线的对称轴和顶点坐标是由什么决定的吗？
5、抛物线 有什么关系？
6、它们的位置有什么关系？
①抛物线 是由抛物线 怎样移动得到的？
②抛物线 是由抛物线 怎样移动得到的？
③抛物线 是由抛物线 怎样移动得到的？
④抛物线 是由抛物线 怎样移动得到的？
⑤抛物线 是由抛物线 怎样移动得到的？
总结、扩展
一般的二次函数，都可以变形成 的形式，其中：
1．a能决定什么？怎样决定的？
2．它的对称轴是什么？顶点坐标是什么？
§2.4 二次函数的图象习题课(两课时）
一、例题：
【例1】二次函数y=ax2＋bx2＋c的图象如图所示，则a 0，b 0，c 0（填“＞”或“＜”＝．）
【例2】二次函数y=ax2＋bx＋c与一次函数y=ax＋c在同一坐标系中的图象大致是图中的（ ）
【例3】在同一坐标系中，函数y=ax2＋bx与y=的图象大致是图中的（ ）
【例4】如图所示的是桥梁的两条钢缆具有相同的抛物线形状．按照图中建立的直角坐标系，左面的一条抛物线可以用y=0．0225x2＋0．9x＋10表示，而且左右两条抛物线关于y轴对称，你能写出右面钢缆的表达式吗？
【例5】图中各图是在同一直角坐标系内，二次函数y=ax2＋（a＋c）x＋c与一次函数y=ax＋c的大致图象，有且只有一个是正确的，正确的是（ ）
【例6】抛物线y=ax2＋bx＋c如图所示，则它关于y轴对称的抛物线的表达式是 ．
【例7】已知二次函数y=（m－2）x2＋（m＋3）x＋m＋2的图象过点（0，5）．
（1）求m的值，并写出二次函数的表达式；
（2）求出二次函数图象的顶点坐标、对称轴．
【例8】启明公司生产某种产品，每件产品成本是3元，售价是4元，年销售量为10万件．为了获得更好的利益，公司准备拿出一定的资金做广告．根据经验，每年投入的广告费是x（万元）时，产品的年销售量将是原销售量的y倍，且y=－＋x＋，如果把利润看作是销售总额减去成本费和广告费．
（1）试写出年利润S（万元）与广告费x（万元）的函数表达式，并计算广告费是多少万元时，公司获得的年利润最大？最大年利润是多少万元？
（2）把（1）中的最大利润留出3万元作广告，其余的资金投资新项目，现有6个项目可供选择，各项目每股投资金额和预计年收益如下表：
项目 A B C D E F
每股（万元） 5 2 6 4 6 8
收益（万元） 0．55 0．4 0．6 0．5 0．9 1
如果每个项目只能投一股，且要求所有投资项目的收益总额不得低于1．6万元，问有几种符合要求的投资方式？写出每种投资方式所选的项目．
【例9】已知抛物线y=a（x－t－1）2＋t2（a，t是常数，a≠0，t≠0）的顶点是A，抛物线y=x2－2x＋1的顶点是B（如图）．
（1）判断点A是否在抛物线y=x2－2x＋1上，为什么？
（2）如果抛物线y=a（x－t－1）2＋t2经过点B．①求a的值；②这条抛物线与x轴的两个交点和它的顶点A能否成直角三角形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由．
【例10】如图，E、F分别是边长为4的正方形ABCD的边BC、CD上的点，CE=1，CF=，直线FE交AB的延长线于G，过线段FG上的一个动点H，作HM⊥AG于M．设HM=x，矩形AMHN的面积为y．（1）求y与x之间的函数表达式，（2）当x为何值时，矩形AMHN的面积最大，最大面积是多少？
【例11】已知点A（－1，－1）在抛物线y=（k2－1）x2－2（k－2）x＋1上．
（1）求抛物线的对称轴；（2）若点B与A点关于抛物线的对称轴对称，问是否存在与抛物线只交于一点B的直线？如果存在，求符合条件的直线；如果不存在，说明理由．
【例12】如图，A、B是直线ι上的两点，AB=4cm，过ι外一点C作CD∥ι，射线BC与ι所成的锐角∠1=60°，线段BC=2cm，动点P、Q分别从B、C同时出发，P以每秒1cm的速度，沿由B向C的方向运动；Q以每秒2cm的速度，沿由C向D的方向运动．设P、Q运动的时间为t秒，当t＞2时，PA交CD于E．（1）用含t的代数式分别表示CE和QE的长；（2）求△APQ的面积S与t的函数表达式；（3）当QE恰好平分△APQ的面积时，QE的长是多少厘米？
【例13】 如图所示，有一边长为5cm的正方形ABCD和等腰三角形PQR，PQ=PR=5cm，PR=8cm，点B、C、Q、R在同一直线ι上．当CQ两点重合时，等腰△PQR以1cm/秒的速度沿直线ι按箭头所示方向开始匀速运动，t秒后，正方形ABCD与等腰△PQR重合部分的面积为Scm2．解答下列问题：
（1）当t=3秒时，求S的值；
（2）当t=5秒时，求S的值；
【例14】如图2-4-16所示，公园要建造圆形的喷水池，在水池中央垂直于水面处安装一个柱子OA，O恰在圆形水面中心，OA=1．25米．由柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向沿形状相同的抛物线的路线落下．为使水流形状较为漂亮，要求设计成水流在与高OA距离为1米处达到距水面最大高度2．25米．
（1）如果不计其他因素，那么水池的半径至少要多少米，才能使喷出的水不致落到池外？
（2）若水池喷出的抛物线形状如（1）相同，水池的半径为3．5米，要使水流不致落到池外，此时水流最大高度应达多少米？（精确到0．1米，提示：可建立如下坐标系：以OA所在的直线为y轴，过点O垂直于OA的直线为x轴，点O为原点）
【例15】某玩具厂计划生产一种玩具熊猫，每日最高产量为40只，且每日生产的产品全部售出．已知生产x只玩具熊猫的成本为R（元），每只售价为P（元），且R，P与x的表达式分别为R=500＋30x，P=170－2x．
（1）当日产量为多少时，每日获利为1750元？
（2）当日产量为多少时，可获得最大利润？最大利润是多少？
【例16】阅读材料，解答问题．
当抛物线的表达式中含有字母系数时，随着系数中的字母取值的不同，抛物线的顶点坐标出将发生变化．例如y=x2－2mx＋m2＋2m－1①，有y=（x－m）2＋2m－1②，∴抛物线的顶点坐标为（m，2m－1），即
当m的值变化时，x、y的值也随之变化，因而y值也随x值的变化而变化．
把③代入④，得y=2x－1．⑤
可见，不论m取任何实数，抛物线顶点的纵坐标y和横坐标x都满足表达式y=2x－1．
解答问题：
（1）在上述过程中，由①到②所学的数学方法是 ，其中运用了 公式，由③、④到⑤所用到的数学方法是 ．
（2）根据阅读材料提供的方法，确定抛物线y=x2－2mx＋2m2－3m＋1顶点的纵坐标y与横坐标x之间的表达式．
二、课后练习：
1．抛物线y=－2x2＋6x－1的顶点坐标为 ，对称轴为 ．
2．如图，若a＜0，b＞0，c＜0，则抛物线y=ax2＋bx＋c的大致图象为（ ）
3．已知二次函数y=x2－x＋6，当x= 时，y最小= ；当x 时，y随x的增大而减小．
4．抛物线y=2x2向左平移1个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线表达式为 ．
5．二次函数y=ax2＋bx＋c的图象如图所示，则ac 0．（填“＞”、“＜”或“=”＝）。
6．已知点（－1，y1）、（－3，y2）、（，y3）在函数y=3x2＋6x＋12的图象上，则y1、y2、y3的大小关系是（ ）
A．y1＞y2＞y3 B．y2＞y1＞y3 C．y2＞y3＞y1 D．y3＞y1＞y2
7．二次函数y=－x2＋bx＋c的图象的最高点是（－1，－3），则b、c的值是（ ）
A．b=2，c=4 B．b=2，c=－4 C．b=－2，c=4 D．b=－2，c=－4
8．如图，坐标系中抛物线是函数y=ax2＋bx＋c的图象，则下列式子能成立的是（ ）
A．abc＞0 B．a＋b＋c＜0 C．b＜a＋c D．2c＜3b
9．函数y=ax2＋bx＋c和y=ax＋b在同一坐标系中，如图所示，则正确的是（ ）
10．已知抛物线y=ax2＋bx＋c经过点A（4，2）和B（5，7）．（1）求抛物线的表达式；（2）用描点法画出这条抛物线．
11．如图，已知二次函数y=x2＋bx＋c，图象过A（－3，6），并与x轴交于B（－1，0）和点C，顶点为P．
（1）求这个二次函数表达式；
（2）设D为线段OC上的一点，且满足∠DPC=∠BAC，求D点坐标．
12．已知矩形的长大于宽的2倍，周长为12，从它的一个点作一条射线将矩形分成一个三角形和一个梯形，且这条射线与矩形一边所成的角的正切值等于．设梯形的面积为S，梯形中较短的底的长为x，试写出梯形面积关于x的函数表达式，并指出自变量x的取值范围．
13．心理学家发现，学生对概念的接受能力y与提出概念所用的时间x（单位：分）之间满足函数关系y=－0．1x2＋2．6x＋43（0≤x≤30）．y值越大，表示接受能力越强．
（1）x在什么范围内，学生的接受能力逐步增强？x在什么范围内，学生的接受能力逐渐降低？
（2）第10分时，学生的接受能力是多少？
（3）第几分时，学生的接受能力最强？
14．某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品．据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500千克；销售单位每涨1元，月销售量就减少10千克．针对这种水产品的销售情况，请解答以下问题：
（1）当销售单价定为每千克55元时，计算月销售量和月销售利润；
（2）设销售单价为每千克x元，月销售利润为y元，求y与x的函数表达式（不必写出x的取值范围）；
（3）商店想在月销售成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应定为多少？
15．欣欣日用品零售商店，从某公司批发部每月按销售合同以批发单价每把8元购进雨伞（数量至少为100把）．欣欣商店根据销售记录，这种雨伞以零售单价每把为14元出售时，月售销量为100把，如果零售单价每降低0．1元，月销售量就要增加5把．现在该公司的批发部为了扩大这种雨伞的销售量，给零售商制定如下优惠措施：如果零售商每月从批发部购进雨伞的数量超过100把，其超过100把的部分每把按原批发单价九五折（即95%）付费，但零售单价每把不能低于10元．欣欣日用品零售商店应将这种雨伞的零售单价定为每把多少元出售时，才能使这种雨伞的月销售利润最大？最大月销售利润是多少元？（销售利润=销售款额－进货款额）
16．如图2-4-24，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=10，BC=8，点D在BC上运动（不运动至B、C），DE∥CA，交AB于E．设BD=x，△ADE的面积为y．
（1）求y关于x的函数表达式及自变量x的取值范围；
（2）△ADE的面积何时最大，最大面积是多少？
（3）求当tan∠ECA=4时，△ADE的面积．
17．已知：如图2-4-25，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=4cm，AC=3cm．若△A′B′C′与△ABC完全重合，令△ABC固定不动，将△A′B′C′沿CB所在的直线向左以1cm/s的速度移动．设移动xs后，△A′B′C′与△ABC的重叠部分的面积为ycm2．求：
（1）y与x之间的函数关系；
（2）几秒钟后两个三角形重叠部分的面积等于cm2？
§2.5 用三种方式表示二次函数
学习目标:
经历三种方式表示变量之间二次函数关系的过程，体会三种方式之间的联系和各自不同点；掌握变量之间的二次函数关系，解决二次函数所表示的问题；掌握根据二次函数不同的表达方式，从不同的侧面对函数性质进行研究．
学习重点:
能够根据二次函数的不同表示方式，从不同的侧面对函数进行研究．函数的综合题目，往往是三种方式的综合应用，由三种不同方式，都能把握函数性质，才会正确解题．
学习难点:
用三种方式表示二次函数的实际问题时，忽略自变量的取值范围是常见的错误．
学习方法:
讨论式学习法。
学习过程:
一、做一做：
已知矩形周长20cm,并设它的一边长为xcm,面积为ycm2，y随x的而变化的规律是什么？你能分别用函数表达式，表格和图象表示出来吗？比较三种表示方式,你能得出什么结论 与同伴交流.
二、试一试：
两个数相差2,设其中较大的一个数为x,那么它们的积y是如何随x的变化而变化的 ？用你能分别用函数表达式,表格和图象表示这种变化吗
三、积累：
表示方法 优点 缺点
解析法
表格法
图像法
三者关系
表示方法 优点 缺点
解析法
表格法
图像法
三者关系
四、例题：
【例1】已知函数y=x2＋bx＋1的图象经过点（3，2）．
（1）求这个函数的表达式；
（2）画出它的图象，并指出图象的顶点坐标；
（3）当x＞0时，求使y≥2的x的取值范围．
【例2】 一次函数y=2x＋3，与二次函数y=ax2＋bx＋c的图象交于A（m，5）和B（3，n）两点，且当x=3时，抛物线取得最值为9．
（1）求二次函数的表达式；
（2）在同一坐标系中画出两个函数的图象；
（3）从图象上观察，x为何值时，一次函数与二次函数的值都随x的增大而增大．
（4）当x为何值时，一次函数值大于二次函数值？
【例3】 行驶中的汽车，在刹车后由于惯性的作用，还要继续向前滑动一段距离才停止，这段距离称为“刹车距离”．为了测定某种型号汽车的刹车性能（车速不超过130km/h），对这种汽车进行测试，测得数据如下表：
刹车时车速（km/h） 0 10 20 30 40 50 60 70
刹车距离（m） 0 1．1 2．4 3．9 5．6 7．5 9．6 11．9
（1）以车速为x轴，刹车距离为y轴，在下面的方格图中建立坐标系，描出这些数据所表示的点，并用平滑曲线连接这些点，得到函数的大致图象；
（2）观察图象，估计该函数的类型，并确定一个满足这些数据的函数表达式；
（3）该型号汽车在国道上发生了一次交通事故，现测得刹车距离为26．4m，问在事故发生时，汽车是超速行驶还是正常行驶，请说明理由．
【例4】 某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从二月一日起的300天内，西红柿市场售价与上市时间的关系用图①中的一条折线表示，西红柿的种植成本与上市时间关系用图②中的抛物线表示．（1）写出图①中表示的市场售价与时间的函数表达式P=f（t），写出图②中表示的种植成本与时间函数表达式Q=g（t）；
（2）认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿纯收益最大？（注：市场售价和种植成本的单位：元/102kg，时间单位：天）
【例5】 美好而难忘的初中生活即将结束了，在一次难忘同窗情的班会上，有人出了这样一道题，如果在散会后全班每两个同学之间都握一次手，那么全班同学之间共握了多少次？
为解决该问题，我们可把该班人数n与握手次数s间的关系用下面的模型来表示．
（1）若把n作为点的横坐标，s作为点的纵坐标，根据上述模型的数据，在给出的平面直角坐标系中，找出相应5个点，并用平滑的曲线连接起来．
（2）根据图象中各点的排列规律，猜一猜上述各点会不会在某一函数的图象上，如果在，写出该函数的表达式．
（3）根据（2）中的表达式，求该班56名同学间共握了多少次手？
五、随堂练习：
1．已知函数y=ax2＋bx＋c（a≠0）的图象，如图①所示，则下列关系式中成立的是（ ）
A．0＜－＜1 B．0＜－＜2 C．1＜－＜2 D．－=1
图① 图②
2．抛物线y=ax2＋bx＋c（c≠0）如图②所示，回答：
（1）这个二次函数的表达式是 ；
（2）当x= 时，y=3；
（3）根据图象回答：当x 时，y＞0．
3．已知抛物线y=－x2＋（6－2k）x＋2k－1与y轴的交点位于（0，5）上方，则k的取值范围是 ．
六、课后练习
1．若抛物线y=ax2＋b不经过第三、四象限，则抛物线y=ax2＋bx＋c（ ）
A．开口向上，对称轴是y轴 B．开口向下，对称轴是y轴
C．开口向上，对称轴平行于y轴 D．开口向下，对称轴平行于y轴
2．二次函数y=－x2＋bx＋c图象的最高点是（－1，－3），则b、c的值是（ ）
A．b=2，c=4 B．b=2，c=4 C．b=－2，c=4 D．b=－2，c=－4．
3．二次函数y= ax2＋bx＋c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①c＜0；②b＞0；③4a＋2b＋c＞0；④（a＋c）2＜b2．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．两个数的和为8，则这两个数的积最大可以为 ，若设其中一个数为x，积为y，则y与x的函数表达式为 ．
5．一根长为100m的铁丝围成一个矩形的框子，要想使铁丝框的面积最大，边长分别为 ．
6．若两个数的差为3，若其中较大的数为x，则它们的积y与x的函数表达式为 ，它有最 值，即当x= 时，y= ．
7．边长为12cm的正方形铁片，中间剪去一个边长为x的小正方形铁片，剩下的四方框铁片的面积y（cm2）与x（cm）之间的函数表达式为 ．
8．等边三角形的边长2x与面积y之间的函数表达式为 ．
9．抛物线y=x2＋kx－2k通过一个定点，这个定点的坐标为 ．
10．已知抛物线y=x2＋x＋b2经过点（a，－）和（－a，y1），则y1的值是 ．
11．如图，图①是棱长为a的小正方体，②、③是由这样的小正方体摆放而成，按照这样的方法继续摆放，由上而下分别叫第一层、第二层……第n层，第n层的小正方体的个数记为S，解答下列问题：
（1）按照要求填表：
n 1 2 3 4 …
s 1 3 6 …
（2）写出当n=10时，S= ．
（3）根据上表中的数据，把S作为纵坐标，n作为横坐标，在平面直角坐标系中描出相应的点．
（4）请你猜一猜上述各点会在某一函数图象上吗？如果在某一函数的图象上，求出该函数的表达式．
12．某公司推出了一种高效环保型洗涤用品，年初上市后，公司经历了从亏损到盈利的过程．图中二次函数图象（部分）刻画了该公司年初以来累积利润S（万元）与销售时间t（月）之间的关系（即前t个月的利润总和S与t之间的关系）．
根据图象提供的信息，解答下列问题：
（1）由已知图象上的三点坐标，求累积利润S（万元）与时间t（月）之间的函数表达式；
（2）求截止到几月末公司累积利润可达到30万元；
（3）求第8个月公司所获利润是多少万元？
§2.6 何时获得最大利润
学习目标:
体会二次函数是一类最优化问题的数学模型．了解数学的应用价值，掌握实际问题中变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识求出实际问题的最大值、最小值．
学习重点:
本节重点是应用二次函数解决实际问题中的最值．应用二次函数解决实际问题，要能正确分析和把握实际问题的数量关系，从而得到函数关系，再求最值．实际问题的最值，不仅可以帮助我们解决一些实际问题，也是中考中经常出现的一种题型．
学习难点:
本节难点在于能正确理解题意，找准数量关系．这就需要同学们在平时解答此类问题时，在平时生活中注意观察和积累，使自己具备丰富的生活和数学知识才会正确分析，正确解题．
学习方法:
在教师的引导下自主学习。
学习过程:
一、有关利润问题：
某商店经营T恤衫,已知成批购进时单价是2.5元.根据市场调查,销售量与销售单价满足如下关系:在某一时间内,单价是13.5元时,销售量是500件,而单价每降低1元,就可以多售出200件. 请你帮助分析:销售单价是多少时,可以获利最多
二、做一做：
某果园有100棵橙子树,每一棵树平均结600个橙子.现准备多种一些橙子树以提高产量,但是如果多种树,那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少.根据经验估计,每多种一棵树,平均每棵树就会少结5个橙子.
⑴利用函数表达式描述橙子的总产量与增种橙子树的棵数之间的关系.
⑵利用函数图象描述橙子的总产量与增种橙子树的棵数之间的关系.
⑶增种多少棵橙子,可以使橙子的总产量在60400个以上
三、举例：
【例1】某商场经营一批进价为2元一件的小商品，在市场营销中发现此商品的日销售单价x元与日销售量y件之间有如下关系：
x 3 5 9 11
y 18 14 6 2
（1）在所给的直角坐标系甲中：
①根据表中提供的数据描出实数对（x，y）的对应点；
②猜测并确定日销售量y件与日销售单价x元之间的函数表达式，并画出图象．
（2）设经营此商品的日销售利润（不考虑其他因素）为P元，根据日销售规律：
①试求出日销售利润P元与日销售单价x元之间的函数表达式，并求出日销售单价x为多少元时，才能获得最大日销售利润？试问日销售利润P是否存在最小值？若有，试求出；若无，请说明理由．
②在给定的直角坐标系乙中，画出日销售利润P元与日销售单价x元之间的函数图象的简图，观察图象，写出x与P的取值范围．
【例2】某化工材料经销公司购进了一种化工原料共7000kg，购进价格为30元/kg，物价部门规定其销售单价不得高于70元/kg，也不得低于30元/kg．市场调查发现，单价定为70元时，日均销售60kg；单价每降低1元，日均多售出2kg．在销售过程中，每天还要支出其他费用500元（天数不足一天时，按整天计算）．设销售单价为x元，日均获利为y元．
（1）求y关于x的二次函数表达式，并注明x的取值范围．
（2）将（1）中所求出的二次函数配方成y=a（x＋）2＋的形式，写出顶点坐标，在图所示的坐标系中画出草图．观察图象，指出单价定为多少元时日均获利最多？是多少？
（3）若将这种化工原料全部售出比较日均获利最多和销售单价最高这两种方式，哪一种获总利较多？多多少？
四、随堂练习：
1．关于二次函数y=ax2＋bx＋c的图象有下列命题：
①当c=0时，函数的图象经过原点；②当c＞0且函数图象开口向下时，方程ax2＋bx＋c=0必有两个不等实根；③当a＜0，函数的图象最高点的纵坐标是；④当b=0时，函数的图象关于y轴对称．其中正确命题的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．某类产品按质量共分为10个档次，生产最低档次产品每件利润为8元，如果每提高一个档次每件利润增加2元．用同样的工时，最低档次产品每天可生产60件，每提高一个档次将少生产3件，求生产何种档次的产品利润最大？
五、课后练习
1．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件．
（1）若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？
（2）每件衬衫降低多少元时，商场平均每天盈利最多？
2．将进货为40元的某种商品按50元一个售出时，能卖出500个．已知这时商品每涨价一元，其销售数就要减少20个．为了获得最大利益，售价应定为多少？
3．某商场销售某种品牌的纯牛奶，已知进价为每箱40元，生产厂家要求每箱售价在40元～70元之间．市场调查发现，若每箱以50元销售，平均每天可销售90箱；价格每降低1元，平均每天多销售3箱；价格每升高1元，平均每天少销售3箱．
（1）写出平均每天销售量y（箱）与每箱售价x（元）之间的函数表达式（注明范围）；
（2）求出商场平均每天销售这种年奶的利润W（元）与每箱牛奶的售价x（元）之间的二次函数表达式；（每箱利润=售价－进价）
（3）求出（2）中二次函数图象的顶点坐标，并求出当x=40，70时W的值，在直角坐标系中画出函数图象的草图；
（4）由函数图象可以看出，当牛奶售价为多少时，平均每天的利润最大？最大利润是多少？
4．某医药研究所进行某一治疗病毒新药的开发，经过大量的服用试验后知，成年人按规定的剂量服用后，每毫升血液中含药量y微克（1微克=10－3毫克）随时间x小时的变化规律与某一个二次函数y=ax2＋bx＋c（a≠0）相吻合．并测得服用时（即时间为0时）每毫升血液中含药量为0微克；服用后2小时每毫升血液中含药量为6微克；服用后3小时，每毫升血液中含药量为7．5微克．
（1）试求出含药量y（微克）与服药时间x（小时）的函数表达式，并画出0≤x≤8内的函数图象的示意图．
（2）求服药后几小时，才能使每毫升血液中含药量最大？并求出血液中的最大含药量．
（3）结合图象说明一次服药后的有效时间是多少小时？（有效时间为血液中含药量不为0的总时间）
5．有一种螃蟹，从海上捕获后不放养最多只能存活两天．如果放养在塘内，可以延长存活时间．但每天也有一定数量的蟹死去，假设放养期内蟹的个体重量基本保持不变．现有一经销商，按市场价收购了这种活蟹1000kg放养在塘内，此时市场价为30元/kg，据测算，此后1kg活蟹的市场价每天可上升1元．但是，放养一天需各种费用支出400元，且平均每天还有10kg蟹死去，假定死蟹均于当天全部售出，售价都是20元/kg．
（1）设x天后1kg活蟹的市场价为P元，写出P关于x的函数表达式；
（2）如果放养x天后将活蟹一次性出售，并记1000kg蟹的销售总额为Q元，写出Q关于x的函数表达式；
（3）该经销商将这批蟹放养多少天后出售，可获得最大利润（利润=销售总额－收购成本－费用）？最大利润是多少？
6．某公司生产的A种产品，它的成本是2元，售价是3元，年销售量为10万件．为了获得更好的效益，公司准备拿出一定的资金做广告．根据经验，每年投入的广告费是x（10万元）时，产品的年销售量将是原销售量的y倍，且y是x的二次函数，它们的关系如下表：
x（10万元） 0 1 2 …
y 1 1．5 1．8 …
（1）求y与x的函数表达式；
（2）如果把利润看作是销售总额减去成本和广告费，试写出年利润S（10万元）与广告费x（10万元）函数表达式；
（3）如果投入的广告费为10万元～30万元，问广告费在什么范围内，公司获得的年利润随广告费的增大而增大？
§2.7 最大面积是多少
学习目标:
掌握长方形和窗户透光最大面积问题，体会数学的模型思想和数学应用价值．学会分析和表示不同背景下实际问题中的变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识解决实际问题．
学习重点:
本节的重点是应用二次函数解决图形有关的最值问题，这是本书惟一的一种类型，也是二次函数综合题目中常见的一种类型．在二次函数的应用中占有重要的地位，是经常考查的题型，根据图形中的线段之间的关系，与二次函数结合，可解决此类问题．
学习难点:
由图中找到二次函数表达式是本节的难点，它常用的有三角形相似，对应线段成比例，面积公式等，应用这些等式往往可以找到二次函数的表达式．
学习方法:
教师指导学生自学法。
学习过程:
一、例题及练习：
例1、如图,在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD，其中AB和AD分别在两直角边上.
(1).设矩形的一边AB=xcm,那么AD边的长度如何表示？
(2).设矩形的面积为ym2,当x取何值时,y的最大值是多少
练习
1、如图⑴，在Rt△ABC中，AC=3cm，BC=4cm，四边形CFDE为矩形，其中CF、CE在两直角边上，设矩形的一边CF=xcm．当x取何值时，矩形ECFD的面积最大？最大是多少？
2、如图⑵，在Rt△ABC中，作一个长方形DEGF，其中FG边在斜边上，AC=3cm，BC=4cm，那么长方形OEGF的面积最大是多少？
3、如图⑶，已知△ABC，矩形GDEF的DE边在BC边上．G、F分别在AB、AC边上，BC=5cm，S△ABC为30cm2，AH为△ABC在BC边上的高，求△ABC的内接长方形的最大面积．
例2、某建筑物的窗户如图所示,它的上半部是半圆,下半部是矩形,制造窗框的材料总长(图中所有的黑线的长度和)为15m.当x等于多少时,窗户通过的光线最多(结果精确到0.01m) 此时,窗户的面积是多少
练习：某建筑物窗户如图所示，它的上半部是半圆，下半部是矩形．制造窗框的材料总长（图中所有黑线的长度和）为15m．当x等于多少时，窗户透过的光线最多（结果精确到0．01m）？此时，窗户的面积是多少？
二、课后练习：
1．如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长是8m，宽是2m，抛物线可以用y=－x2＋4表示．
（1）一辆货运卡车高4m，宽2m，它能通过该隧道吗？
（2）如果隧道内设双行道，那么这辆货运车是否可以通过？
（3）为安全起见，你认为隧道应限高多少比较适宜？为什么？
2．在一块长为30m，宽为20m的矩形地面上修建一个正方形花台．设正方形的边长为xm，除去花台后，矩形地面的剩余面积为ym2，则y与x之间的函数表达式是 ，自变量x的取值范围是 ．y有最大值或最小值吗？若有，其最大值是 ，最小值是 ，这个函数图象有何特点？
3．一养鸡专业户计划用116m长的篱笆围成如图所示的三间长方形鸡舍，门MN宽2m，门PQ和RS的宽都是1m，怎样设计才能使围成的鸡舍面积最大？
4．把3根长度均为100m的铁丝分别围成长方形、正方形和圆，哪个面积最大？为什么？
5．周长为16cm的矩形的最大面积为 ，此时矩形的边长为 ，实际上此时矩形是 ．
6．当n= 时，抛物线y=－5x2＋（n2－25）x－1的对称轴是y轴．
7．已知二次函数y=x2－6x＋m的最小值为1，则m的值是 ．
8．如果一条抛物线与抛物线y=－x2＋2的形状相同，且顶点坐标是（4，－2），则它的表达式是 ．
9．若抛物线y=3x2＋mx＋3的顶点在x轴的负半轴上，则m的值为 ．
10．将抛物线y=3x2－2向左平移2个单位，再向下平移3个单位，则所得抛物线为（ ）
A．y=3（x＋2）2＋1 B．y=3（x－2）2－1
C．y=3（x＋2）2－5 D．y=3（x－2）2－2
11．二次函数y=x2＋mx＋n，若m＋n=0，则它的图象必经过点（ ）
A．（－1，1） B．（1，－1） C．（－1，－1） D．（1，1）
12．如图是二次函数y=ax2＋bx＋c的图象，点P（a＋b，bc）是坐标平面内的点，则点P在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
13．已知：如图1，D是边长为4的正△ABC的边BC上一点，ED∥AC交AB于E，DF⊥AC交A C于F，设DF=x．
（1）求△EDF的面积y与x的函数表达式和自变量x的取值范围；
（2）当x为何值时，△EDF的面积最大？最大面积是多少；
（3）若△DCF与由E、F、D三点组成的三角形相似，求BD长．
14．如图2，有一块形状是直角梯形的铁皮ABCD，它的上底AD=3cm，下底BC=8cm，垂直于底的腰CD=6cm．现要裁成一块矩形铁皮MPCN，使它的顶点M、P、N分别在AB、BC、CD上．当MN是多长时，矩形MPCN的面积有最大值？
15．如图3，有一块铁皮，拱形边缘呈抛物线状，MN=4dm，抛物线顶点到MN的距离是4dm．要在铁皮上截下一矩形ABCD，使矩形顶点B、C落在MN上，A、D落在抛物线上，试问这样截下的矩形铁皮周长能否等于8dm？
16．如图4，在一直角三角形中建造一个内接于△ABC的矩形水池DEFN．其中DE在AB上，AC=8，BC=6．
（1）求△ABC中AB边上的高h；
（2）设DN=x，当x取何值时，水池DEFN的面积最大？
（3）实际施工时，发现在AB上距B点1．85处有一棵大树，问这棵大树是否位于最大矩形水池的边上？
§2.8 二次函数与一元二次方程
学习目标:
体会二次函数与方程之间的联系；掌握用图象法求方程的近似根；理解二次函数图象与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，及何时方程有两个不等的实根，两个相等的实根和没有实根；理解一元二次方程的根就是二次函数y=h（h是实数）图象交点的横坐标．
学习重点:
本节重点把握二次函数图象与x轴（或y=h）交点的个数与一元二次方程的根的关系．掌握此点，关键是理解二次函数y=ax2＋bx＋c图象与x轴交点，即y=0，即ax2＋bx＋c=0，从而转化为方程的根，再应用根的判别式，求根公式判断，求解即可，二次函数图象与x轴的交点是二次函数的一个重要内容，在其考查中也有重要的地位．
学习难点:
应用一元二次方程根的判别式，及求根公式，来对二次函数及其图象进行进一步的理解．此点一定要结合二次函数的图象加以记忆．
学习方法:
讨论探索法。
学习过程:
一、实例讲解：
我们已经知道,竖直上抛物体的高度h(m)与运动时间t(s)的关系可用公式h=-5t2+v0t+h0表示,其中h0(m)是抛出时的高度,v0(m/s)是抛出时的速度.一个小球从地面以40m/s的速度竖直向上抛出起,小球的高度h(m)与运动时间t(s)的关系如图所示,那么
(1).h和t的关系式是什么？
(2).小球经过多少秒后落地 你有几种求解方法 与同伴进行交流.
二、议一议：
在同一坐标系中画出二次函数y=x2+2x,y=x2-2x+1,y=x2-2x+2的图象并回答下列问题：
(1).每个图象与x轴有几个交点？
(2).一元二次方程 x2+2x=0,x2-2x+1=0有几个根 验证一下一元二次方程x2-2x+2=0有根吗
(3).二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么关系
三、例题：
【例1】已知二次函数y=kx2－7x－7的图象与x轴有两个交点，则k的取值范围为 ．
【例2】抛物线y=ax2＋bx＋c与x轴交于点A（－3，0），对称轴为x=－1，顶点C到x轴的距离为2，求此抛物线表达式．
【例5】有一个二次函数的图象，三位学生分别说出了它的一些特点：
甲：对称轴是直线x=4；
乙：与x轴两个交点的横坐标都是整数；
丙：与y轴交点的纵坐标也是整数，且以这三点为顶点的三角形面积为3．
请写出满足上述全部特点的一个二次函数表达式 ．
四、随堂练习：
1．求下列二次函数的图象与x轴交点坐标，并作草图验证．
（1）y=x2－2x；（2）y=x2－2x－3．
2．你能利用a、b、c之间的某种关系判断二次函数y=ax2＋bx＋c的图象与x轴何时有两个交点、一个交点，何时没有交点？
五、课后练习：
1．抛物线y=a（x－2）（x＋5）与x轴的交点坐标为 ．
2．已知抛物线的对称轴是x=－1，它与x轴交点的距离等于4，它在y轴上的截距是－6，则它的表达式为 ．
3．若a＞0，b＞0，c＞0，△＞0，那么抛物线y=ax2＋bx＋c经过 象限．
4．抛物线y=x2－2x＋3的顶点坐标是 ．
5．若抛物线y=2x2－（m＋3）x－m＋7的对称轴是x=1，则m= ．
6．抛物线y=2x2＋8x＋m与x轴只有一个交点，则m= ．
7．已知抛物线y=ax2＋bx＋c的系数有a－b＋c=0，则这条抛物线经过点 ．
8．二次函数y=kx2＋3x－4的图象与x轴有两个交点，则k的取值范围 ．
9．抛物线y=x2－2x＋a2的顶点在直线y=2上，则a的值是 ．
10．抛物线y=3x2＋5x与两坐标轴交点的个数为（ ）
A．3个 B．2个 C．1个 D．无
11．如图1所示，函数y=ax2－bx＋c的图象过（－1，0），则的值是（ ）
A．－3 B．3 C． D．－
12．已知二次函数y=ax2＋bx＋c的图象如图2所示，则下列关系正确的是（ ）
A．0＜－＜1 B．0＜－＜2 C．1＜－＜2 D．－=1
13．已知二次函数y=x2＋mx＋m－2．求证：无论m取何实数，抛物线总与x轴有两个交点．
14．已知二次函数y=x2－2kx＋k2＋k－2．
（1）当实数k为何值时，图象经过原点？
（2）当实数k在何范围取值时，函数图象的顶点在第四象限内？
15．已知抛物线y=mx2＋（3－2m）x＋m－2（m≠0）与x轴有两个不同的交点．
（1）求m的取值范围；
（2）判断点P（1，1）是否在抛物线上；
（3）当m=1时，求抛物线的顶点Q及P点关于抛物线的对称轴对称的点P′的坐标，并过P′、Q、P三点，画出抛物线草图．
16．已知二次函数y=x2－（m－3）x－m的图象是抛物线，如图2-8-10．
（1）试求m为何值时，抛物线与x轴的两个交点间的距离是3？
（2）当m为何值时，方程x2－（m－3）x－m=0的两个根均为负数？
（3）设抛物线的顶点为M，与x轴的交点P、Q，求当PQ最短时△MPQ的面积．
17．在平原上，一门迫击炮发射的一发炮弹飞行的高度y（m）与飞行时间x（s）的关系满足y=－x2＋10x．
（1）经过多长时间，炮弹达到它的最高点？最高点的高度是多少？
（2）经过多长时间，炮弹落在地上爆炸？
18．已知抛物线y=x2－（k＋1）x＋k．（1）试求k为何值时，抛物线与x轴只有一个公共点；（2）如图，若抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴的负半轴交于点C，试问：是否存在实数k，使△AOC与△COB相似？若存在，求出相应的k值；若不存在，请说明理由．
第二章回顾与思考
一、填空题：
⑴．抛物线的对称轴是 .这条抛物线的开口向 .
⑵.用配方法将二次函数化成的形式是 .
⑶．已知二次函数的图象的顶点的横坐标是1，则b= .
⑷. 二次函数的图象的顶点坐标是 ，在对称轴的右侧y随x的增大而
⑸．已知抛物线的顶点坐标是（-2，3），则= .
⑹．若抛物线的顶点在x轴上，则c= .
⑺. 已知二次函数的最小值是1,那么m的值是 .
⑻. 若抛物线经过原点，则m= .
⑼. 已知二次函数的图象的开口向上，顶点在第三象限，且交于y轴的负半轴，则m的取值范围是 .
⑽. 若抛物线的顶点在y轴上, 则 m的值是
二、选择题：
1． 若直线y=ax+b不经过一、三象限，则抛物线（ ）.
(A)开口向上，对称轴是y轴;
(B) 开口向下，对称轴是y轴;
(C)开口向上, 对称轴是直线x=1;
(D) 开口向下，对称轴是直线x=-1;
⑵. 抛物线的顶点坐标是( ).
(A)(-1,-3); (B)(1,3); (C)(-1,8); (D)(1,-8);
⑶. 若二次函数的图象的开口向下，顶点在第一象限，抛物线交于y轴的正半轴; 则点在（ ）.
(A) 第一象限; (B) 第二象限; (C) 第三象限; (D) 第四象限;
⑷. 对于抛物线,下列结论正确的是（ ）.
(A) 对称轴是直线x=3,有最大值为1;
(B) 对称轴是直线x=3,有最小值为-1;
(C) 对称轴是直线x=-3,有最大值为1;
(D) 对称轴是直线x=-3,有最小值为-1;
⑸．已知直线y=x+m与抛物线相交于两点，则实数m的取值范围是( ).
(A) m﹥; (B)m﹤; (C)m﹥; (D) m﹤.
⑹.若一条抛物线的顶点在第二象限，交于y轴的正半轴，与x轴有两个交点，则下列结论正确的是（ ）.
(A)a﹥0,bc﹥0; (B)a﹤0,bc﹤0; (C) a﹤0, bc﹥0; (D) a﹥0, bc﹤0
⑺. 抛物线不经过（ ）.
(A) 第一象限; (B) 第二象限; (C) 第三象限; (D) 第四象限
⑻. 已知抛物线的顶点坐标是(2,1), 且抛物线的图象经过(3,0)点, 则这条抛物线的解析式是（ ）.
(A) , (B),
(C) ,(D) ,
⑼.在同一直角坐标系中，抛物线与直线y=2x-6的交点个数是( ).
(A)0个; (B)1个; (C)2个; (D)3个.
⑽．已知反比例函数的图象如右图所示，则二次函数的图象大致为（ ）
三、解答下列各题：
1. 已知二次函数的图象经过A(-1,0)、B(3,0)、C(0,3)三点，求这个二次函数的解析式.
⑵. 已知抛物线,①求抛物线与y轴的交点坐标;②求抛物线与x轴的两个交点间的距离.
⑶.已知抛物线(a≠0) 经过(0,1)和(2,-3) 两点.①如果抛物线开口向下，对称轴在y轴的左侧，求a的取值范围;②若对称轴为x=-1. 求抛物线的解析式.
⑷.围猪圈三间（它的平面图为大小相等的三个长方形），一面利用旧墙，其它各墙（包括中间隔墙）都是木料，已知现有木料可围24米长的墙，试求每间猪圈的长与宽各是多少时总面积最大，并求最大面积.
⑸．某商人如果将进货价为8元的商品按每件10元出售，每天可销售100件，现采用提高售出价，减少进货量的办法增加利润，已知这种商品每涨价1元其销售量就要减少10件，问他将售出价定为多少元时，才能使每天所赚的利润最大？并求出最大利润．
⑹．已知抛物线的顶点A在直线y=-4x-1上，设抛物线与 x轴交于B,C两点.①求抛物线的顶点坐标;②求△ABC的外接圆的面积（用准确值表示）.
⑺．如图，在一块三角形区域ABC中，∠C=90°，边AC=8，BC=6，现要在△ABC内建造一个矩形水池DEFG，如图的设计方案是使DE在AB上。
⑴求△ABC中AB边上的高h;
⑵设DG=x,当x取何值时，水池DEFG的面积最大？
⑶实际施工时，发现在AB上距B点1.85的M处有一棵大树，问：这棵大树是否位于最大矩形水池的边上？如果在，为保护大树，请设计出另外的方案，使三角形区域中欲建的最大矩形水池能避开大树。
A．
D．
B．
C．
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