天津市武清区杨村第一高级中学校2023-2024学年高三上学期开学学业质量检测数学试卷（含答案）

杨村第一高级中学校2023-2024学年高三上学期开学学业质量检测
数学试卷
一、选择题（本大题9小题，每小题5分，共45分）
1．已知全集，集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．函数的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
4．如图在正方体中，为的中点，则直线与所成角的余弦值是（ ）
A． B． C． D．
5．为响应我校“读数节”活动，高三年级开展语文教师课文朗读比赛．已知本年级男女教师人数相同，其中有8%的男教师和4%的女教师擅长中华诗词朗诵，现随机选一位教师，这位教师恰好擅长中华诗词朗诵的概率是（ ）
A．0.12 B．0.10 C．0.06 D．0.05
6．已知，，，则a，b，c的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
7．已知实数a，b，c，d成等比数列，且曲线的极大值点为b，极大值为c，则ad等于（ ）
A．2 B． C． D．1
8．5G技术在我国已经进入高速发展的阶段，5G手机的销量也逐渐上升，某手机商城统计了最近5个月手机的实际销量，如下表所示：
时间x 1 2 3 4 5
销售量y（千只） 0.5 0.8 1.0 1.2 1.5
若y与x线性相关，且线性回归方程为，则下列说法不正确的是（ ）
A．由题中数据可知，变量y与x正相关
B．线性回归方程中
C．时，残差为0.02
D．可以预测时该商场5G手机销量约为1.72（千只）
9．已知函数的图象与x轴交点的横坐标构成一个公差为的等差数列，把函数的图象沿x轴向左平移个单位，横坐标伸长到原来的2倍得到函数的图象，则下列关于函数的结论，其中所有正确结论的序号是（ ）
①函数是奇函数 ②的图象关于直线对称
③在上是增函数 ④当时，函数的值域是
A．①③ B．③④ C．② D．②③④
二、填空题（本大题6小题，每题5分，共30分，将答案写在答题纸上）
10．已知函数，则______．
11．二项式展开式的常数项为______．
12．已知点A在函数的图象上，点B在直线上，则A，B两点之间距离的最小值是______．
13．某校高三年级有男生360人，女生240人，对高三学生进行问卷调查，采用分层抽样的方法，从这600名学生中抽取5人进行问卷调查，再从这5名学生中随机抽取3人进行数据分析，则这3人中既有男生又有女生的概率是______，记抽取的男生人数为X，则随机变量X的数学期望为______．
14．若，，则的最小值为______．
15．已知，且函数．若对任意的不等式恒成立，则实数a的取值范围为______．
三、解答题（本大题共5小题，共75分．将解题过程写在答题纸上）
16．（本小题满分14分）
已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足．
（1）求角B的大小；
（2）若，求的值；
（3）若，，求边a的值．
17．（本小题满分14分）
如图，在五面体ABCDEF中，四边形ABEF为正方形，平面ABEF，，，，，．
（1）求证：平面ACF；
（2）求直线AD与平面BCE所成角的正弦值；
（3）求平面ACF与平面BCE所成角的正弦值．
18．（本小题满分15分）
已知等比数列的首项为1，公比为q，，，依次成等差数列．
（1）求公比q的值；
（2）当公比时，求数列的前n项和．
19．（本小题满分16分）
设函数．
（1）当时，求的极值；
（2）当时，讨论的单调区间；
（3）若对任意及，恒有成立，求m的取值范围．
20．（本小题满分16分）
已知数列的前n项和为，数列是首项为0，公差为的等差数列．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，对任意的正整数k，将集合中的三个元素排成一个递增的等差数列，其公差为，求证：数列为等比数列；
（3）对（2）中的，求集合的元素个数．
杨村第一高级中学校2023-2024学年高三上学期开学学业质量检测
数学答案
一、选择题
1-5 CBABC 6-9 DABC
二、填空题
10．1 11．60 12． 13． 14．4 15．
三、解答题
16．（本小题满分14分）
解：（1）由正弦定理有：，而A为的内角，
∴，即，由，可得．
（2），
∵，，可得，而，，
∴．
（3）由余弦定理知：，又，，，
∴，可得．
17．（本小题满分14分）
（1）证明：法一：在EF上取点P，使，
因为，所以，于是平面ACF，
因为，四边形ABEF为正方形，所以，所以平面ACF，
因为，所以平面平面ACF，
因为平面MNP，所以平面ACF；
（2）因为平面ABEF，所以，，
又因为四边形ABEF为正方形，所以，
所以FA、FE、FD两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，
，，，
设平面BCE的法向量为，
，令，，
所以直线AD与平面BCE所成角的正弦值为；
（3）解：，，
设平面ACF的法向量为，
，令，，
由（1）知平面BCE的法向量为，
设平面ACF与平面BCE所成二面角的大小为，
，．
所以平面ACF与平面BCE所成二面角的正弦值为．
18．（本小题满分15分）
（1）∵依次成等差数列，∴．
∵是首项为1的等比数列，∴．
∵，∴，∴或．
（2）∵，∴，∴
∵，
∴，
∴，
上式减下式得：
，∴．
19．（本小题满分16分）
（1）依题意，知的定义域为．
当时，，．
令，解得，
当时，；当时，，
又，所以的极小值为，无极大值；
（2）∵，
当时，，令，得或，令，得；
当时，得，令，得或，令，得；
当时，；
综上所述，当时，的递减区间为，；递增区间为；
当时，在单调递减；
当时，的递减区间为，，递增区间为．
（3）由（2）可知，当时，在单调递减．
当时，取最大值；当时，取最小值．
所以，
因为恒成立，
所以，
整理得．
又，所以，
又因为，得，所以，所以．
20．（本小题满分16分）
（1）∵数列的前n项和为，数列是首项为0，公差为的等差数列
∴
当时，
当时，
综上所述，．
（2）由（1），则
，
∵且，，成等差数列，
∴，
∵为常数，∴为等比数列．
（3）①当k为奇数时，
同理可得，
则集合的元素个数为
②当k为偶数时，同理可得的元素个数为
综上所述，集合的元素个数：．