2023-2024学年重庆市开州区文峰初中教育集团九年级（上）开学数学试卷（含解析）

2023-2024学年重庆市开州区文峰初中教育集团九年级（上）开学数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列各式中最简二次根式是( )
A. B. C. D.
2. 把米长的梯子斜靠在墙上，若梯子底端离墙米，则梯子顶端到离地面( )
A. 米 B. 米 C. 米 D. 米
3. 下列算式中正确的是( )
A. B. C. D.
4. 将字母“”，“”按照如图所示得规律摆放，依次下去，则第个图形中字母“”的个数是( )
A. B. C. D.
5. 估计的值应该在( )
A. 和之间 B. 和之间 C. 和之间 D. 和之间
6. 八年级班班主任从全班选出名同学参加合唱训练，已知名同学组成的合唱队成员的身高如下：
身高
人数
则该合唱队名同学的身高的众数和中位数分别是( )
A. ， B. ， C. ， D. ，
7. 已知，是一次函数图象上的点，若，则，的大小关系是( )
A. B. C. D.
8. 如图，四边形是矩形，有一动点从点出发，沿路线绕矩形的边匀速运动，当点到达点时停止运动在点的运动过程中，的面积随时间变化的函数图象大致是( )
A. B. C. D.
9. 如图，在正方形中，点在上，点在的延长线上满足，连接，取的中点，连接，，若，则( )
A.
B.
C.
D.
10. 有个依次排列的整式：第项是，用第项乘，所得之积记为，将第项加上得到第项，再将第项乘得到，将第项加上得到第项以此类推，某数学兴趣小组对此展开研究，得到下列个结论：
第项为；
；
若第项的值为，则．
以上结论正确的个数为( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
二、填空题（本大题共8小题，共32.0分）
11. 若二次根式有意义，则的取值范围为______．
12. 如图，是菱形的对角线、的交点，是的中点，连接若，则 ______ ．
13. 若是关于的一次函数，则实数 ______ ．
14. 某校招募校园活动主持人，甲候选人的综合素质、普通话、才艺展示成绩如表所示．
测试项目 综合素质 普通话 才艺展示
测试成绩
根据实际需求，该校规定综合素质、普通话和才艺展示三项测试得分按：：的比例确定最终成绩，则甲候选人的最终成绩为______ 分
15. 如图，在四边形中，于点，且点为的中点若，，，，则四边形的面积为______ ．
16. 已知关于的分式方程有整数解，且一次函数图象经过第一、二、三象限，则整数的值为______ ．
17. 如图，，四边形是正方形，若，，则的面积等于______ ．
18. 一个四位正整数满足百位上的数字比千位上的数字小，个位上的数字比十位上的数字小则称为“三五律数”，将“三五律数”的千位和十位数字组成的两位数与百位和个位数字组成的两位数的和记为，将“三五律数”的千位和百位数字组成的两位数与十位和个位数字组成的两位数的差记为例如：四位正整数，，，是“三五律数”，此时，．
四位正整数是“三五律数”，则 ______ ．
若是“三五律数”，且满足是一个正整数的次方，则符合条件的为______ ．
三、解答题（本大题共8小题，共78.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19. 本小题分
计算；
化简．
20. 本小题分
如图，在平行四边形中，．
用尺规完成以下基本作图：作的平分线交于点，在上截取，使保留作图痕迹，不写作法；
在所作的图形中，连接，求证：四边形是菱形请补全下面的证明过程．
证明：四边形为平行四边形，
且 ______ ，
，，
______ ．
四边形是平行四边形，
，
______ ．
平分，
______ ，
．
______ ，
四边形是菱形．
21. 本小题分
海军陆战队分蓝队、红队进行专业科目比赛现从两队中各随机抽取名队员的比赛成绩百分制作样本进行整理和分析用表示成绩得分，并分成四组：，，，，得到如图统计图，还知道两队的平均数都是，红队的众数是，蓝队成绩在组中的数据：，，，，，；红队成绩在组中的数据是：，，．
根据以上信息，解答下列问题：
求的值，并写出蓝队样本的众数和红队样本的中位数；
你认为该蓝队、红队哪一个比赛成绩较更好？请说明理由一条理由即可；
若该陆战队的蓝队、红队共人参加了此次比赛活动，估计参加此次比赛活动成绩优秀的人数是多少？
22. 本小题分
某中学计划购买某种品牌的、两种型号的盲盒作为学生参加活动的奖励若购买盒种型号的盲盒和盒种型号的盲盒需用元；若购买盒种型号的盲盒和盒种型号的盲盒需用元．
求每盒种型号的盲盒和每盒种型号的盲盒各多少元；
学校决定购买以上两种型号的盲盒共盒，总费用不超过元，那么该中学最多可以购买多少盒种型号的盲盒？
23. 本小题分
在海平面上有，，三个标记点，其中在的北偏西方向上，与的距离是海里，在的南偏西方向上，与的距离是海里．
求点与点之间的距离；
若在点处有一灯塔，灯塔的信号有效覆盖半径为海里，每隔半小时会发射一次信号，此时在点处有一艘轮船准备沿直线向点处航行，轮船航行的速度为每小时海里轮船在驶向处的过程中，最多能收到多少次信号？信号传播的时间忽略不计．
24. 本小题分
如图，中，，，，动点从点出发，沿着折线匀速运动，到达点时停止，设点运动路程为，的面积为动点在点和点时，的面积记为．
请直接写出关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围；
在平面直角坐标系中画出与的函数图象，并写出它的一条性质；
根据图象直接写出当时的取值范围．
25. 本小题分
如图，一次函数的图象交轴于点，，与正比例函数的图象交于点，点的横坐标为．
求一次函数的解析式；
若点在轴上，且满足，求点的坐标；
一次函数有一点，点的纵坐标为，点为坐标轴上一动点，在函数上确定一点，使得以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点的坐标的其中一个情况的过程．
26. 本小题分
已知，在中，，．
如图，点、点分别是线段上两点，连接、，若，且，求的度数；
如图，点、点分别是线段上两点，连接、，过点作交延长线于，连接，若，求证：；
如图，为射线上一点，为射线上一点，且始终满足，过点作的垂线交的延长线于点，连接，猜想：、、之间的数量关系并证明你的结论．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：、，故A不符合题意；
B、，故B不符合题意；
C、，故C不符合题意；
D、是最简二次根式，故D符合题意；
故选：．
根据最简二次根式的定义，逐一判断即可解答．
本题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键．
2.【答案】
【解析】解：设梯子顶端到离地面高度为米，
根据勾股定理得米，
答：梯子顶端到离地面高度为米，
故选：．
利用勾股定理即可求出梯子顶端到离地面的高度．
本题考查了勾股定理的应用，解答本题的关键是掌握勾股定理在直角三角形中的表达式．
3.【答案】
【解析】解：．，所以选项符合题意；
B.与不能合并，所以选项不符合题意；
C.与不能合并，所以选项不符合题意；
D.，所以选项不符合题意．
故选：．
根据二次根式的除法法则对选项进行判断；根据二次根式的加法运算对选项进行判断；根据二次根式的减法运算对选项进行判断；根据二次根式的性质对选项进行判断．
本题考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则、除法法则是解决问题的关键．
4.【答案】
【解析】解：由题目得，第个图形中的“”的个数是；
第个图形中的“”的个数是；
第个图形中的“”的个数是；
发现规律：每一个图形都比前一个图形的“”的个数多个；
则第个图形中的“”的个数是．
故答案应选：．
本题是一道关于图形变化来进行数字猜想的问题，通过归纳与总结，得到其中的规律．
本题考察了从图形规律到数字猜想的问题，需要通过归纳总结，得到其中的规律．需要考生细心观察，仔细求证解决本题．
5.【答案】
【解析】解：，
，
故选：．
根据算术平方根的定义估算无理数的大小，进而得出的大小即可．
本题考查估算无理数的大小，掌握算术平方根的定义是正确解答的前提．
6.【答案】
【解析】解：因为出现的次数最多，
所以众数是：；
因为第个数是，
所以中位数是：．
故选：．
找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数据．
本题为统计题，考查众数与中位数的意义．中位数是将一组数据从小到大或从大到小重新排列后，最中间的那个数或最中间两个数的平均数，叫做这组数据的中位数．如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会出错．
7.【答案】
【解析】解：当时，，
一次函数的图象经过点．
，
随的增大而增大，
又，是一次函数图象上的点，且，
．
故选：．
利用一次函数图象上点的坐标特征，可得出一次函数的图象经过点，由，利用一次函数的性质，可得出随的增大而增大，再结合，即可得出．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及一次函数的性质，牢记“，随的增大而增大；，随的增大而减小”是解题的关键．
8.【答案】
【解析】解：由题意得，当点在点运动到点时，，的面积随时间的增大而增大；
当点在点运动到点时，，的面积随时间的增大而不变；
当点在点运动到点时，，的面积随时间的增大而减小；
所以在点的运动过程中，的面积随时间变化的函数图象大致是选项B的图象．
故选：．
分析动点在每段路径上的运动的过程中的面积增大、减小或不变的趋势即可．
本题为动点问题的函数图象判断题，考查学生对于动点运动过程中函数图象的变化趋势的判断．解答关键是注意动点到达临界点前后的图象变化．
9.【答案】
【解析】解：正方形，
，，
是的中点，
，，
在和中，
，
≌，
，，
，
由勾股定理，得：
，
故选：．
先由正方形的性质得，，再由直角三角形性质得，，然后证明≌，得，，从而可证得，最后利用勾股定理求解即可．
本题考查正方形的性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，利用证≌是解题的关键．
10.【答案】
【解析】解：根据题意：第项为，，；
第项为，，；
第项为，，；
第项为，故正确；
，故不正确；
如果第项为，则，即．
，
故正确；
则正确的有个．
故选：．
第项为，，；第项为，，；第项为，，；第项为；根据规律分析出选项．
本题主要考查数字的变化规律，解答的关键是分析清楚所给式子存在的规律．
11.【答案】
【解析】解：由题意得，，
解得，
故答案为：．
根据二次根式有意义的条件列出不等式，解不等式得到答案．
本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．
12.【答案】
【解析】解：四边形是菱形，
，，
，
是的中点，，
，
，
故答案为：．
由菱形的性质得，，则，再由直角三角形斜边上的中线性质得，即可得出结论．
本题主要考查了菱形的性质、直角三角形斜边上的中线性质等知识，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．
13.【答案】
【解析】解：是关于的一次函数，
且，
解得：．
故答案为：．
根据一次函数解析式的结构特征：；自变量的次数为；常数项可以为任意实数，进而得出答案．
此题主要考查了一次函数的定义，正确掌握一次函数的定义是解题关键．
14.【答案】
【解析】解：甲候选人的最终成绩为：
分．
故答案为：．
根据加权平均数的定义，直接求解即可．
本题主要考查加权平均数，掌握加权平均数的定义是解题的关键．
15.【答案】
【解析】解：连接，
为的中点，，，
，，
，
，
，，
，
是直角三角形，
四边形的面积
．
故答案为：．
连接，根据为的中点求出，根据勾股定理求出，根据勾股定理的逆定理求出是直角三角形，再根据三角形的面积公式求出即可．
本题考查了线段垂直平分线的性质，勾股定理，勾股定理的逆定理和三角形的面积等知识点，能把求不规则图形的面积转化成求规则图形的面积是解此题的关键．
16.【答案】
【解析】解：去分母得：，
解得：，
关于的分式方程有整数解，
，
解得：或或或或，
一次函数图象经过第一、二、三象限，
，
符合条件的的值为，
故答案为：．
解分式方程得，则整数为，，，，时分式方程的解为整数解，再解不等式，从而得到满足条件的整数的值．
本题考查了分式方程的解：求出使分式方程中令等号左右两边相等且分母不等于的未知数的值，这个值叫方程的解．也考查了一元一次不等式组的整数解，求出值是本题的关键．
17.【答案】
【解析】解：如图，过点作交的延长线于，
在正方形中，，，
，
在和中，
，
≌，
，．
，
．
故答案为：．
过点作交的延长线于，根据正方形的性质可得，再求出，然后利用“角角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，，再求出，然后利用三角形的面积计算公式解答即可．
此题考查了全等三角形的判定与性质、正方形的性质和勾股定理的应用，作辅助线构造成全等三角形和直角三角形是解题的关键．
18.【答案】
【解析】解：四位正整数是“三五律数”，
，
故答案为：；
设的千位数字是，十位上的数字为，则，
，
，
，
是一个正整数的次方，
设，
，，
当时，，
此时把，，，，，，均不符合题意，故舍去，
当时，，
此时把，，，，，，代入，
当时，，符合题意，
当时，，
此时把，，，，，，均不符合题意，故舍去，
当时，，
此时把，，，，，，均不符合题意，故舍去，
当时，，
此时把，，，，，，均不符合题意，故舍去，
综上，符合条件的为：．
根据所给的定义进行求解即可；
可令的千位数字是，十位上的数字为，则，分别表示出，，结合所给的条件进行分析即可．
本题考查新定义题型，解题的关键是对新定义题型的理解．
19.【答案】解：
；
．
【解析】先算乘方与开方，再进行加减运算即可；
先利用平方差公式与单项式乘多项式的法则计算，再进行加减运算即可．
本题考查了二次根式的混合运算，掌握运算法则以及乘法公式是解题的关键．
20.【答案】
【解析】解：图形如图所示：
证明：四边形为平行四边形，
且，
，
，
．
四边形是平行四边形，
，
．
平分，
，
．
，
四边形是菱形．
故答案为：；，，，．
根据要求作出图形即可；
根据邻边相等的平行四边形是菱形证明即可．
本题考查作图复杂作图，平行四边形的性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
21.【答案】解：，
则，
蓝队样本的众数为，
红队样本的中位数为；
我认为蓝队比赛成绩好些一条合理即得分，
因为蓝队的中位数大于红队的中位数：
两队抽取的人中此次比赛活动成绩优秀的有人，
占样本的，该陆战队的蓝队、红队共人参加了此次比赛，
所以估计成绩为优秀的军人有人．
故估计参加此次比赛活动成绩优秀的人数是人．
【解析】用“”分别减去其他三组所占比例可得的值；根据众数的定义可得蓝队样本的众数；根据中位数的定义可得红队样本的中位数；
根据中位数的意义解答即可；
利用样本估计总体思想求解可得．
本题考查读扇形统计图的能力和利用统计图获取信息的能力，样本估计总体，正确利用统计图获取信息，作出正确的判断和解决问题是解题关键．
22.【答案】解：设每盒种型号的盲盒元，每盒种型号的盲盒元，
根据题意得：，
解得：．
答：每盒种型号的盲盒元，每盒种型号的盲盒元；
设该中学购买盒种型号的盲盒，则购买盒种型号的盲盒，
根据题意得：，
解得：，
的最大值为．
答：该中学最多可以购买盒种型号的盲盒．
【解析】设每盒种型号的盲盒元，每盒种型号的盲盒元，根据“购买盒种型号的盲盒和盒种型号的盲盒需用元；购买盒种型号的盲盒和盒种型号的盲盒需用元”，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；
设该中学购买盒种型号的盲盒，则购买盒种型号的盲盒，利用总价单价数量，结合总价不超过元，可列出关于的一元一次不等式，解之取其中的最大值，即可得出结论．
本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
23.【答案】解：依题意有：，，，，
，
在中，由勾股定理得：，
米，
答：点与点之间的距离为米；
过作于，
，
米，
，
故分别在和上找点和点使，
在中，由勾股定理得：，
米，
同理得：米，
当无人机处在段时能收到信号，由无人机的速度为，
则无人机飞过此段的时间为：秒，
无人机收到信号次数最多为次．
【解析】由题意易得是直角，由勾股定理即可求得点与点之间的距离；
过作于，由面积关系可求得的长，判断出，分别在和上找点和点使，分别求得、的长，可求得此时无人机飞过时的时间，从而可求得最多能收到的信号次数．
本题考查了勾股定理的应用，直角三角形的判定等知识，涉及路程、速度、时间的关系，熟练掌握勾股定理的应用是关键．
24.【答案】解：，，，
，
当在边上，即时，如图：
；
当在边不含上，即时，如图：
；
；
当时，当时，当时，
画出函数图象如下：
由图象可知，当时，随的增大而增大；的最大值为写出一条即可；
根据函数图象可得，当时的取值范围是或．
【解析】求出，分两种情况：当在边上，即时，；当在边不含上，即时，；
描点作出函数图象，再写出一条性质即可；
根据函数图象即可得到答案．
本题考查三角形综合应用，涉及一次函数图象及性质，解题的关键是读懂题意，应用分类讨论思想写出函数关系式．
25.【答案】解：，
，
直线经过点，且点的横坐标为，
，
把，代入，得，
解得：，
一次函数的解析式为；
设，则，
，
，
即，
解得：，
点的坐标为或；
由知，
一次函数有一点，点的纵坐标为，
，
点在直线上，
设，
当点在轴上时，设，
若、为对角线，则、的中点重合，
，
解得：，
；
若、为对角线，则、的中点重合，
，
解得：，
；
若、为对角线，则、的中点重合，
，
解得：，
；
当点在轴上时，设，
若、为对角线，则、的中点重合，
，
解得：，
；
若、为对角线，则、的中点重合，
，
解得：，
；
若、为对角线，则、的中点重合，
，
解得：，
；
综上所述，点的坐标为或或或或或．
【解析】先求得，，再运用待定系数法即可求得一次函数的解析式；
设，则，根据，建立方程求解即可得出答案；
根据题意可得，，设，当点在轴上时，设，分三种情况：若、为对角线，则、的中点重合，若、为对角线，则、的中点重合，若、为对角线，则、的中点重合，当点在轴上时，设，分三种情况：若、为对角线，则、的中点重合，若、为对角线，则、的中点重合，若、为对角线，则、的中点重合，分别建立方程求解即可得出答案．
本题是一次函数综合题，考查了待定系数法，三角形面积，平行四边形性质等，解题的关键是进行正确的分类讨论．
26.【答案】解：，，
，
又，，
≌，
，
，，
；
证明：延长至，使，连接，
，
，
，，
，
又，，
≌，
，，
，
，
，
又，，
≌，
，
；
解：，理由如下：
过点作交的延长线于．
，，
，，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
，
，，
，
在和中，
，
≌，
，
，
．
【解析】由“”可证，即可求解；
由“”可证≌，可得，，可得≌，可得，可得结论；
过点作交的延长线于证明≌，推出，，由“”可证≌，可得，可得结论．
本题是三角形综合题，考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．
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