2023-2024学年福建省莆田九中九年级（上）返校考数学试卷（含解析）

2023-2024学年福建省莆田九中九年级（上）返校考数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 一元二次方程的解是( )
A. B.
C. ， D. ，
2. 下列线段中，能成比例的是( )
A. 、、、 B. 、、、
C. 、、、 D. 、、、
3. 如图，两条直线被三条平行线所截，若，，，则( )
A.
B.
C.
D.
4. 若关于的一元二次方程的一个根为，则的值为( )
A. B. C. D.
5. 秦杨商场去年第一季度销售利润是万元，第二季度和第三季度的销售利润逐步攀升，第三季度销售利润是万元．设第二季度和第三季度平均增长的百分率为，那么所列方程正确的是( )
A.
B.
C.
D.
6. 下列说法不正确的是( )
A. 所有的正五边形都相似 B. 所有的正方形都相似
C. 所有的正三角形都相似 D. 所有的等腰三角形都相似
7. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是( )
A. 且 B. C. 且 D.
8. 定义运算：，例如：则方程的根的情况为( )
A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根
C. 无实数根 D. 只有一个实数根
9. 如图，把一张矩形纸片沿着它的长边对折为折痕，得到两个全等的小矩形．若小矩形的长与宽的比恰好等于原来矩形的长与宽的比，则小矩形的长与宽的比是( )
A. ： B. ： C. D.
10. 已知在中，，，，下列阴影部分三角形与原三角形不一定相似的是( )
A. B.
C. D.
二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）
11. 如图，刻度尺的分度值为，玻璃管的内径正对“”刻度线，正对“”刻度线，，量得，则内径长为______ ．
12. 已知，则 ______ ．
13. 设，是一元二次方程的两个根，则 ______ ．
14. 如图，中，，，，是上一点，，，垂足为，则线段的长为______．
15. 已知等腰的底边长为，两腰长恰好是关于的一元二次方程的两根，则的周长为______ ．
16. 对于两个不相等的实数，，我们规定符号表示，中的较大值，如：，按照这个规定，方程的解为______．
三、解答题（本大题共9小题，共86.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
解下列方程：
；
．
18. 本小题分
如图，已知∽，，，，求，的长．
19. 本小题分
如图，已知，，，，，求的长．
20. 本小题分
如图所示，学校准备在教学楼后面搭建一个简易矩形自行车车棚，一边利用教学楼的后墙可利用的墙长为，另外三边利用学校现有总长的铁栏围成．
若围成的面积为，试求出自行车车棚的长和宽；
能围成面积为的自行车车棚吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由．
21. 本小题分
在解方程的过程，嘉洪同学的解答如下：
解：将方程左边分解因式，得，第一步
方程两边都除以得，第二步
解得第三步
已知嘉淇同学的解答是错误的，开始出现错误的步骤是______；
请给出正确的解答过程．
22. 本小题分
已知关于的一元二次方程．
求证：方程总有两个实数根；
若方程有一个根是负数，求的取值范围．
23. 本小题分
如图，在中，的平分线交于点．
利用尺规在边上求作点，使得不写作法，保留作图痕迹；
在的条件下，若，，求的长．
24. 本小题分
【观察思考】
【规律发现】
请用含的式子填空：
第个图案中“”的个数为______ ；
第个图案中“”的个数可表示为，第个图案中“”的个数可表示为，第个图案中“”的个数可表示为，第个图案中“”的个数可表示为，，第个图案中“”的个数可表示为______ ．
【规律应用】
结合图案中“”的排列方式及上述规律，求正整数，使得连续的正整数之和等于第个图案中“”的个数的倍．
25. 本小题分
如图，四边形为正方形，且是边延长线上一点，过点作于点，交于点，交于点．
求证：；
若点是中点，求的值．
连接，求的度数．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：，
，
则或，
解得：，．
故选：．
利用因式分解法求解可得．
本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
2.【答案】
【解析】【解析】
理解成比例线段的概念，注意在线段两两相乘的时候，要让最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等进行判断．如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段．
【答案】
解：根据如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段．
所给选项中，只有符合，，
故选D．
3.【答案】
【解析】解：，
，
，
．
故选：．
利用平行线分线段成比例定理求解．
本题考查平行线分线段成比例定理，解题的关键是学会利用平行线分线段成比例定理解决问题．
4.【答案】
【解析】解：把代入方程得，
解得．
故选：．
把代入方程得到，然后解关于的方程即可．
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
5.【答案】
【解析】解：设平均每个季度销售利润的增长率为，
依题意得：，
故选：．
设平均每个季度销售利润的增长率为，根据该公司第一季度及第三季度得销售利润，即可得出关于的一元二次方程即可．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
6.【答案】
【解析】解：所有的正五边形都相似，正确，故此选项不符合题意；
B.所有的正方形都相似，正确，故此选项不符合题意；
C.所有的正三角形都相似，正确，故此选项不符合题意；
D.所有的等腰三角形对应边的比不一定相等，对应角不一定相等，所有的等腰三角形不一定相似，故此选项符合题意．
故选：．
相似形就是形状相同的两个图形，即对应边的比相等，对应角相等的两个图形，依据定义即可进行判断．
本题考查相似多边形的识别．解题的关键是掌握判定两个图形相似的依据：对应边的比相等，对应角相等，两个条件必须同时具备．
7.【答案】
【解析】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
，
解得：且，
的取值范围是且．
故选：．
由二次项系数非零及根的判别式，可得出关于的一元一次不等式组，解之即可得出的取值范围．
本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，利用二次项系数非零及根的判别式，找出关于的一元一次不等式组是解题的关键．
8.【答案】
【解析】解：根据题意得，
，
方程有两个不相等的实数根．
故选：．
根据新运算得到，再计算判别式的值，然后根据判别式的意义确定方程根的情况．
此题考查了根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：方程有两个不相等的实数根；方程有两个相等的实数根；方程没有实数根．
9.【答案】
【解析】解：由折叠得：，
由题意得：矩形与矩形相似，
，
，
，
，
：：，
故选：．
根据折叠的性质可得：，再根据题意可得：矩形与矩形相似，然后利用相似多边形的性质，进行计算即可解答．
本题考查了相似多边形的性质，翻折变换折叠问题，熟练掌握相似多边形的性质是解题的关键．
10.【答案】
【解析】解：、不能证明阴影部分的三角形与原相似，故选项A符合题意；
B、由两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，故选项B不符合题意；
C、由有两组角对应相等的两个三角形相似，可证阴影部分的三角形与原相似，故选项C不符合题意；
D、由有两组角对应相等的两个三角形相似，可证阴影部分的三角形与原相似，故选项D不符合题意；
故选：．
利用相似三角形的判定方法依次判断可求解．
本题考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定是解题的关键．
11.【答案】
【解析】解：，
∽，
，
，
，
故答案为：．
通过证明∽，可得，即可求解．
本题考查了相似三角形的应用，利用相似三角形的性质求线段的长是解题的关键．
12.【答案】
【解析】解：设，则、、，
．
故答案为：．
令，然后利用比例的性质求得以表示的、、的值，再将其值代入所求的代数式并求值．
本题考查了比例的性质．设比例式的比值为的比例系数，这是解比例式常用的有效方法．
13.【答案】
【解析】解：，是一元二次方程的两个根，
，，
．
故答案为：．
由，是一元二次方程的两个根，得出，，再把变形为，即可求出答案．
此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．
14.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了相似三角形的判定和性质，垂直的定义，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．由垂直的定义得到，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【解答】
解：，
，
，
，
∽，
，
即，
．
故答案为：．
15.【答案】
【解析】解：由题意知方程有两个相等的实数根，
，
解得：，
原方程为：，
解得：，
则三角形的三边长度为、、，
则的周长为，
故答案为：．
由题意知方程有两个相等的实数根，据此得出的值，再利用三角形的周长公式可得答案．
本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
16.【答案】或
【解析】【分析】
本题考查了解一元二次方程，能求出符合的所有情况是解此题的关键．
分为两种情况：当时，得出方程，当时，得出方程，求出方程的解即可．
【解答】
解：分为两种情况：
当，即时，，
解得：，，
舍去；
当，即时，，
解得：，，
舍去；
所以方程的解为或，
故答案为：或．
17.【答案】解：，
移项得，
，
，
，；
．
移项，得，
在方程两边加上一次项系数一半的平方得，
，
．
，
，．
【解析】方程变形后，利用直接开平方法求出解即可；
方程移项后，利用配方法求出解即可．
此题考查了解一元二次方程配方法，直接开平方法，熟练掌握各种解法是解本题的关键．
18.【答案】解：，，
，
∽，
，
，，，
，解得，．
【解析】先根据，求出的长，再根据∽即可得出，再把已知数据代入进行计算即可．
本题考查的是相似三角形的性质，熟知相似三角形的对应边成比例是解答此题的关键．
19.【答案】解：，
，即，
解得，，
，
，即，
解得，．
【解析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，代入计算即可．
本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
20.【答案】解：设，则，
依题意得：，
整理得：，
解得：，．
当时，，不合题意，舍去；
当时，，符合题意．
答：自行车车棚的长为，宽为．
不能，理由如下：
设，则，
依题意得：，
整理得：．
，
该方程没有实数根，
即不能围成面积为的自行车车棚．
【解析】设，则，根据矩形车棚的面积为，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值，再结合可利用的墙长为即可确定车棚的宽，再将其代入中可求出车棚的长；
设，则，根据矩形车棚的面积为，即可得出关于的一元二次方程，由根的判别式，即可得出该方程没有实数根，即不能围成面积为的自行车车棚．
本题考查了一元二次方程的应用以及根的判别式，解题的关键是：找准等量关系，正确列出一元二次方程；牢记“当，方程没有实数根”．
21.【答案】第二步
【解析】解：已知嘉淇同学的解答是错误的，开始出现错误的步骤是第二步，
故答案为：第二步；
正确的解答过程如下：
移项，得：，
将左边因式分解，得：，
则或，
解得，．
根据等式的基本性质可判断第一题；
先移项，再利用提公因式法将方程的左边因式分解后求解可得．
本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
22.【答案】证明：关于的一元二次方程，
，
方程总有两个实数根；
解：由求根公式可求得或，
若方程有一个根为负数，则，解得．
综上可知，若方程有一个根是负数，的取值范围为．
故答案为：
【解析】计算方程根的判别式，判断其符号即可；
求方程两根，结合条件则可求得的取值范围．
本题主要考查根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的个数与根的判别式的关系是解题的关键．
23.【答案】解：
由知，
，
平分，
，
，
，
，
又，
∽，
，
，，
，
，
；
【解析】根据线段垂直平分线的性质，使点在的垂直平分线上；
先利用垂直平分线的性质得出，从而推出，再根据角平分线的性质推出，进而推出、∽，根据相似三角形的性质求解即可；
本题考查相似三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质和作图复杂作图，解题的关键是根据角平分线的性质、平行线的性质推出角之间的关系，从而推出∽，利用相似三角形的性质求解．
24.【答案】
【解析】解：第个图案中“”的个数为：，
第个图案中“”的个数为：，
第个图案中“”的个数为：，
，
第个图案中“”的个数：，
故答案为：；
由题意得：第个图案中“”的个数可表示为：；
故答案为：；
由题意得：，
解得：或不符合题意．
不难看出，第个图案中“”的个数为：，第个图案中“”的个数为：，第个图案中“”的个数为：，，从而可求第个图案中“”的个数；
根据所给的规律进行总结即可；
结合列出相应的式子求解即可．
本题主要考查图形的变化规律，解答的关键是由所给的图形总结出存在的规律．
25.【答案】证明：四边形是正方形，
，，
，
，
，
，
∽，
，
，
，
；
解：∽，
，
在与中，
，
≌，
，
是中点，
，
：：，
∽，
：：，
在中，设，则，，
：，
：；
如图，连接、，
∽，
，
，
又，
∽，
，
四边形是正方形，是对角线，
，
，
．
【解析】利用∽，得，而，即可证明；
首先利用证明≌，得，由∽，得：：，在中，设，则，，从而得出答案；
连接、，利用两边成比例且夹角相等，可证∽，得，从而解决问题．
本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质等知识，证明∽是解题的关键．
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