2023-2024学年四川省泸州市泸县重点中学高二（上）开学数学试卷（含解析）

2023-2024学年四川省泸州市泸县重点中学高二（上）开学数学试卷
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 已知向量，，若，则( )
A. B. C. D.
2. 幂函数在区间上单调递减，则下列说法正确的是( )
A. B. 是减函数 C. 是奇函数 D. 是偶函数
3. 设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列结论中正确的是( )
A. 若，，则
B. 若，，则
C. 若，，，则
D. 若，，，则
4. 在中，为上一点，且，则( )
A. B. C. D.
5. 已知，则( )
A. B. C. D.
6. 已知向量，满足，则在方向上的投影向量为( )
A. B. C. D.
7. 在直三棱柱中，，，则直线与所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
8. 各角的对应边分别为，，，满足，则角的范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9. 已知是虚数单位，复数，，则( )
A. 任意，均有
B. 任意，均有
C. 存在，使得
D. 存在，使得
10. 函数的一个周期内的图象如图所示，下列结论正确的有( )
A. 函数的解析式是
B. 函数的最大值是
C. 函数的最小正周期是
D. 函数的一个对称中心是
11. 如图，在长方体中，，，分别为棱，的中点，则下列说法正确的是( )
A. ，，，四点共面
B. 直线与平面相交
C. 直线和所成的角为
D. 平面和平面所成锐二面角的余弦值为
12. 声音是由于物体的振动产生的能引起听觉的波，每一个音都是由纯音合成的，纯音的数学函数为，其中影响音的响度和音长，影响音的频率，响度与振幅有关，振幅越大，响度越大；音调与声波的振动频率有关，频率低的声音低沉平时我们听到的音乐都是由许多音构成的复合音，假设我们听到的声音函数是则下列说法正确的有( )
A. 是偶函数
B. 的最小正周期可能为
C. 若声音甲的函数近似为，则声音甲的响度一定比纯音的响度大
D. 若声音乙的函数近似为，则声音乙一定比纯音低沉
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 某中学高三年级人，高二年级人，高一年级人，若采用分层抽样的办法，从高一年级抽取人，则全校总共抽取______ 人
14. 已知一扇形的圆心角为，半径为，弧长为，则的最小值为______ ．
15. 如图，三棱锥中，平面平面，是边长为的等边三角形，，若，，，四点在某个球面上，则该球体的表面积为______ ．
16. 在锐角中，三内角，，的对边分别为，，，且，则的最小值为______ ．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
设、、、为平面内的四点，且，，．
若求点的坐标；
设向量，，若向量与垂直，求实数的值．
18. 本小题分
已知函数．
求的单调增区间；
当时，求的值域．
19. 本小题分
年月日，以“去南充，起来”为主题的南充文旅成都推介会在成都宽窄巷子举行本次推介会围绕“六百里秀美嘉陵江，两千年人文南充城”展开，通过川北大木偶、川剧快闪等多个环节，展示了将帅故里、锦绣南充的文旅资源，同时还向成都市民和广大游客推介了千年古城阆中游、将帅故里红色游、山水风光览胜游、亲子行读研学游和潮流江岸时尚游等五条精品旅游线路，为了解本次推介会的效果，随机抽取了名观众进行有奖知识答题，现将答题者按年龄分成组，第一组：，第二组：，第三组：，第四组：，第五组：进行统计，得到如图所示的频率分布直方图，若第一组有人．
求；
现用分层抽样的方法从第四组和第五组中抽取人，再从这人随机抽取人作为幸运答题者，求这人幸运答题者恰有人来自第五组的概率．
20. 本小题分
在；的最小值为；这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．
在中，内角，，的对边为，，，且_____．
求；
若是内角平分线，交于，，，求的面积．
21. 本小题分
已知四棱锥的底面为直角梯形，，，底面，且，，是的中点．
证明：平面；
判断直线与平面的位置关系，并证明你的结论；
求二面角的余弦值．
22. 本小题分
设平面向量的夹角为，已知，．
求的解析式；
若，证明：不等式在上恒成立．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：由题意知向量，，
故由，得，．
故选：．
根据向量共线的坐标表示，列式计算，即得答案．
本题主要考查向量共线的性质，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：函数为幂函数，则，解得或．
当时，在区间上单调递增，不满足条件，排除；
当时，在区间上单调递减，满足题意．
函数在和上单调递减，但不是减函数，排除；
因为函数定义域关于原点对称，且，
所以函数是奇函数，不是偶函数，故C正确，D错误．
故选：．
根据幂函数的定义及单调性可判断，再由奇函数的定义判断．
本题主要考查了幂函数性质的应用，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：若，，则或，故A错误；
若，，则或与相交或与异面，故B错误；
若，，，则或与相交，故C错误；
若，，则或，又，，故D正确．
故选：．
由空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系逐一分析四个选项得答案．
本题考查空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系的判定，考查空间想象能力与思维能力，是基础题．
4.【答案】
【解析】解：由题意知，，因为，且，
所以．
故选：．
根据平面向量的加法、减法、数乘运算及平面向量基本定理即可求解．
本题考查了平面向量基本定理的应用，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：因为，所以，
所以，即，
所以，则，
所以
．
故选：．
利用两角差的正弦公式展开再平方得到，从而求出，再由两角差的余弦公式计算可得．
本题主要考查了和差角公式，同角基本关系的应用，属于中档题．
6.【答案】
【解析】解：，
故所求投影向量为．
故选：．
根据投影向量定义可得答案．
本题主要考查投影向量的公式，属于基础题．
7.【答案】
【解析】解：在直三棱柱中，，，
建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
则，，
则，，
则，
即直线与所成角的余弦值为．
故选：．
先建系，求出对应点的坐标，然后结合空间向量的应用求出直线与所成角的余弦值即可．
本题考查了异面直线所成角的求法，重点考查了空间向量的应用，属基础题．
8.【答案】
【解析】解：由，得：，
化简得：，
同除以，利用余弦定理得，，
所以，
故选：．
化简已知不等式可得，利用余弦定理得，利用余弦函数的图象和性质可求的范围．
本题主要考查了余弦定理，余弦函数的图象和性质在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．
9.【答案】
【解析】解：不能与实数比大小，故B错误；
，，
则，
易知，且不能同时取得等号，故，即A正确；
即动点到动点的距离，显然在抛物线上，在单位圆上，如图所示，
当，时，，故D正确；
若存在，使得，则，
由上知，即上述方程组无解，故C错误；
故选：．
利用复数的概念、相等的条件、模长公式一一判定即可．
本题主要考查复数的模，属于中档题．
10.【答案】
【解析】解：根据函数的一个周期内的图象知，，，所以，
由五点法画图知，，，解得，，
时，，所以，选项A错误；
函数的最大值是，选项B正确；
函数的最小正周期是，选项C周期；
，所以是的一个对称中心，选项D正确．
故选：．
根据函数的一个周期内的图象求出、和、，即可写出函数解析式，再判断选项中的命题是否正确．
本题考查了函数的图象与性质应用问题，是基础题．
11.【答案】
【解析】解：对于，连接，，如图，
面，而面，面，
，，，四点不共面，故A错误；
对于，若为中点，连接，为棱的中点，
由长方体性质得，平面，
若平面，而平面，矛盾，
直线与平面相交，故B正确；
对于，若，分别是，中点，连接，，
由长方体性质知，，
，，直线与所成角为，
设，由已知，则，
为等边三角形，为，
直线与所成角为，故C错误；
对于，若是中点，则，、、、共面，
平面和平面的夹角即是面和面的夹角，
面面，长方体中，，
为面和面的夹角，如图，
，故D正确．
故选：．
对于，连接，，根据、、与面位置关系即可判断；对于，为中点，连接，推导出，根据它们与面的位置关系即可判断；对于，若，分别是，中点，连接，，推导出直线和所成角为，再证明为等边三角形即可得大小；对于，若是中点，求面和面的夹角即可，根据面面角的定义找到其平面角即可．
本题考查四点共面的判断、线面垂直的判定与性质、异面直线所成角、二面角的定义及余弦值的求法等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
12.【答案】
【解析】解：对于，因为
，
所以函数是奇函数，故A错误．
对于，因为
，故B错误．
对于，因为，即声音甲的振幅大于，而纯音的振幅等于，
故声音甲的响度一定比纯音的响度大，故C正确；
对于，因为的最小正周期为，的最小正周期为，
所以 的最小正周期为，频率为，的频率为，，
所以声音甲一定比纯音更低沉．故D正确．
故选：．
对于，根据奇函数的定义判断，可知A错误；对于，根据函数周期性的定义，可知B错误；对于，比较振幅的大小，可知C正确；对于，求出频率，比较大小，可知D正确．
本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的图像和性质，真假命题的判断，属于中档题．
13.【答案】
【解析】解：设全校总共抽人，
某学校高三年级人，高二年级人，高一年级人，
采用分层抽样的办法，从高一年级抽取人，
，
解得．
全校总共抽取人．
故答案为：．
设全校总共抽人，利用分层抽样的性质能求出全校总共抽取人数．
本题考查全校总共抽取的人数的求法，考查分层抽样的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．
14.【答案】
【解析】解：因为扇形的圆心角为，半径为，弧长为，所以，
所以，
当且仅当，即时取“”，
所以的最小值为．
故答案为：．
用半径表示出弧长，再利用基本不等式求的最小值．
本题考查了扇形的弧长与半径的关系应用问题，也考查了利用基本不等式求最值的应用问题，是基础题．
15.【答案】
【解析】解：作出底面的外心，侧面的外心，取中点，
连接，因为平面平面，面平面，
因为是边长为的等边三角形，所以，
又因为平面，所以平面，
由球的性质可得平面，所以，
同理，所以四边形为平行四边形，
故，
在中，因为，，则，
设的外接圆半径为，根据正弦定理有，则，
设三棱锥外接球的半径为，则，
则外接球的表面积为．
故答案为：．
作出相关面的外心，利用面面垂直的性质、勾股定理以及正弦定理即可得到答案．
本题考查了三棱锥外接球的表面积计算，属于中档题．
16.【答案】
【解析】解：是锐角三角形，
，，
且，
即，
令，则，，
则，
当且仅当，即时取等号，此时，
即的最小值是．
故答案为：．
利用两角和差的正切公式进行转化，利用换元法进行转化，然后利用基本不等式进行求解即可．
本题主要考查三角最值的求解，利用两角和差的正切公式进行转化，利用基本不等式进行转化求解是解决本题的关键，是中档题．
17.【答案】解：设，，，，且，
，
，解得，
；
，
，，且与垂直，
，解得．
【解析】设，根据点，，的坐标及可得出，然后解出，即可；
可求出和的坐标，然后根据与垂直得出，然后进行向量坐标的数量积运算即可求出的值．
本题考查了根据点的坐标求向量的坐标的方法，向量坐标的加法、减法、数乘和数量积的运算，向量垂直的充要条件，考查了计算能力，属于基础题．
18.【答案】解：根据，
令，
整理得：，
函数的单调递增区间为．
由于，故，
所以．
则，
所以．
【解析】根据题意，先由三角恒等变换将函数化简，然后结合正弦型函数的单调区间即可得到结果；
根据题意，由的范围即可得到的范围，再得到的范围，即可得到结果．
本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换，正弦型函数的性质，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．
19.【答案】解：易知第一组的频率为，
若第一组有人，
则；
易知第四组和第五组的频率分别为，，
所以第四组和第五组人数之比为：，
若分层抽样的方法从第四组和第五组中抽取人，
则第四组抽取人，第五组抽取人，
记第四组的人分别为，，，，第五组的人分别为，，
则共有，，，，，，，，，，，，，，这种情况，
而这人幸运答题者恰有人来自第五组只有，，，，，，，这种情况，
所以这人幸运答题者恰有人来自第五组的概率．
【解析】由题意，根据频率分布直方图所给信息得到第一组的频率，利用第一组有人，列出等式即可求出的值；
易知第四组和第五组人数之比为：，利用分层抽样的方法可知第四组抽取人，第五组抽取人，得到总样本点，再求出人幸运答题者恰有人来自第五组的样本点，进而即可求出答案．
本题考查频率分布直方图和古典概型，考查了运算能力和数据分析．
20.【答案】解：若选：的内角，，的对边分别为，，，且．
得，
得，
因为，所以得，即．
若选：，又的最小值为，
，所以，，又，所以．
若选：．
所以，
所以，
所以，
所以，所以，
又，所以．
的角平分线交于，且，
又，
所以．
由余弦定理可得，即，
所以故面积为．
【解析】若选：由正弦定理，结合两角和与差的三角函数推出得，求解即可．若选：可得，可求；若选：切化弦变形可得，可求；
利用三角形的面积通过，结合余弦定理可求，从而可求面积．
本题考查三角形的正余弦定理，以及三角形的面积公式，属中档题．
21.【答案】证明：由底面，底面，则，
在直角梯形中，因为，，，
所以，，
所以，则，
又，，平面，
所以平面；
解：平面，证明如下：
如图：
取中点，连接，，由于是的中点，故，且，
由，则，且，
从而四边形是平行四边形，故C，
又平面，平面，所以平面；
作，垂足为，连接，如图：
在中，，又，所以≌，可得，
则≌，故B，故为所求二面角的平面角，
由知平面，由平面，可得，
在中，，所以，
在等腰三角形中，，所以，
因为，在中，由余弦定理得，
所以二面角的余弦值为．
【解析】利用线面垂直的性质及判定定理即可证明；
利用线面平行的判定定理即可证明；
几何法求解．先确定二面角的平面角，再利用解三角形知识求角．
本题主要考查了线面垂直和线面平行的判定定理，考查了二面角的求法，属于中档题．
22.【答案】解：因为，，
所以，，，
所以，
则，
所以，
因为，
所以当时，，当时，，
所以；
证明：当时，，
又，
所以，令，
因为，所以，所以，
则，
所以，
令，，
因为在上单调递增，在上单调递增，
所以在上单调递增，
则，即，
令，
因为，所以，所以，
则，则，
显然，所以，
即不等式在上恒成立．
【解析】根据数量积的坐标表示得到，再根据所给定义及同角三角函数的基本关系得到的解析式；
首先求出、的解析式，在利用换元法求出的最小值，的最大值，即可得证．
本题属于新概念题，考查了三角恒等变化、三角函数、指数函数、二次函数的性质及向量的数量积，属于中档题．
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