2023-2024学年广西南宁市横州第二高级中学高二（上）开学数学试卷（含解析）

2023-2024学年广西南宁市横州第二高级中学高二（上）开学数学试卷
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 设集合，，则( )
A. B. C. D.
2. 计算：( )
A. B. C. D.
3. 已知，是平面，，是直线．下列命题中不正确的是( )
A. 若，，则 B. 若，，则
C. 若，，则 D. 若，，则
4. 在中，若，则( )
A. B. C. D.
5. 设，，，则( )
A. B. C. D.
6. 已知向量，，若，则实数的值为( )
A. B. C. D.
7. 如图，在三棱锥中，，且，，分别是棱，的中点，则和所成的角等于( )
A. B. C. D.
8. 已知，，为的三个内角，，的对边，向量，若，且，则角，的大小分别为( )
A. ， B. ， C. ， D. ，
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9. 已知向量，，则( )
A. 若与垂直，则 B. 若，则的值为
C. 若，则 D. 若，则与的夹角为
10. 设函数，下列四个命题正确的是( )
A. 函数为偶函数
B. 若，其中，，，则
C. 函数在上单调递增
D. 若，则
11. 甲，乙两楼相距，从乙楼底仰望甲楼顶的仰角为，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为，则下列说法正确的有( )
A. 甲楼的高度为 B. 甲楼的高度为
C. 乙楼的高度为 D. 乙楼的高度为
12. 如图，直三棱柱中，，，，侧面中心为，点是侧棱上的一个动点，有下列判断，正确的是( )
A. 直三棱柱侧面积是
B. 直三棱柱体积是
C. 三棱锥的体积为定值
D. 的最小值为
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 若，，是虚数单位，，则等于______ ．
14. 某防疫站对学生进行身体健康调查，采用按比例分层抽样的方法抽取样本．立德中学共有学生名，抽取了一个容量为的样本，已知样本中男生人数为人，则该校的女生人数是 ．
15. 若在区间上随机取一个数，则事件“”发生的概率是______．
16. 若正数，满足，则的取值范围是 ．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
甲、乙两个人独立地破译一个密码，他们能译出密码的概率分别为和，求：
人中恰有个人译出密码的概率；
人中至少有人译出密码的概率．
18. 本小题分
已知向量，，，．
求的最小值及相应的值；
若与共线，求实数．
19. 本小题分
已知函数，且．
求函数的定义域；
判断函数的奇偶性，并说明理由；
当时，求函数的最大值．
20. 本小题分
如图在三棱锥中，，，为中点，为中点，且为正三角形．
求证：平面；
求证：平面平面．
21. 本小题分
从某小学随机抽取名同学，将他们的身高单位：厘米数据绘制成频率分布直方图如图．
求抽取的学生身高在内的人数；
若采用分层抽样的方法从身高在，，内的学生中共抽取人，再从中选取人，求身高在和内各人的概率．
22. 本小题分
已知中，，且．
求的值；
若是内一点，且，，求．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了交集及其运算，属基础题．
首先化简集合，然后直接根据交集的定义，求出即可．
【解答】
解：因为，，
所以．
故选：．
2.【答案】
【解析】解：．
故选C．
根据正弦的和与差公式直接求解．
本题主要考查正弦的和与差公式的计算．比较基础
3.【答案】
【解析】【试题解析】
【分析】
本题考查了命题真假的判定，属于基础题．
，根据两条平行线中一条垂直某平面，另一条也垂直这平面可判定；
，若，，则或异面；
，根据线面垂直的性质、面面平行的判定判定；
，根据面面垂直的判定；
【解答】
解：对于，根据两条平行线中一条垂直某平面，另一条也垂直这平面可判定A正确；
对于，若，，则或异面，故错；
对于，根据线面垂直的性质、面面平行的判定，可知C正确；
对于，根据面面垂直的判定，可D正确；
故选：．
4.【答案】
【解析】解：在中，，
由正弦定理得，，即，
解得：．
故选：．
由已知结合正弦定理即可直接求解．
本题主要考查了正弦定理在求解三角形中的应用，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：，，，
因为在定义域上是增函数，且，故．
故选：．
先利用对数的运算法则把，，化成同底的对数，然后利用对数函数的单调性即可求解．
本题主要考查对数值大小的比较，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：由题意可得
，，
代入数据可得，
解之可得
故选：．
由题意可得的坐标，由题意可得，代入数据可得关于的方程，解之可得．
本题考查平面向量数量积的运算，涉及向量的垂直于数量积的关系，属中档题．
7.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查异面直线所成的角，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．
取的中点，连接，，将平移到，则或其补角为异面直线与所成的角，再在中，求出此角即可．
【解答】
解：取的中点，连接，，如图：
则，故或其补角就是和所成的角，
又，且，，
是直角三角形，且
在直角三角形中，．
故选B．
8.【答案】
【解析】解：根据题意，，可得，
即，
，
又由正弦定理可得，，
，
，．
故选C．
根据向量数量积判断向量的垂直的方法，可得，分析可得，再根据正弦定理可得，，有和差公式化简可得，，可得，再根据三角形内角和定理可得，进而可得答案．
本题考查向量数量积的应用，判断向量的垂直，解题时，注意向量的正确表示方法．
9.【答案】
【解析】【分析】
根据向量垂直、共线以及模长与夹角的计算公式，逐个计算判断即可．
本题考查平面向量的数量积运算，以及向量的垂直、共线以及夹角等的判断和计算方法，属于基础题．
【解答】
解：对于：，解得，故A错；
对于：，故，
故，故B正确；
对于：得，故，故C正确；
对于：得，故，故D错．
故选：．
10.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了对数函数的奇偶性、单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
根据对数函数的性质显然不是偶函数；
可得，利用对数的运算性质可得：，可得；
求得函数的定义域为，结合复合函数的单调性，即可判断出正误；
由，可得，，作差，化简即可得出正误．
【解答】
解：，，根据对数函数的性质，A错误；
若其中，，，，
，，因此B正确；
函数，由，解得，
函数的定义域为，函数对称轴是，
函数及在上均为单调递减函数，
由复合函数单调性得函数在单调递增，故C正确；
若，，，
故，
即，因此D错误．
故选BC．
11.【答案】
【解析】解：如图所示，中，，，，，
中，，，，，
由正弦定理得，
所以
故选：．
先画出符合题意的图形，把实际问题中的数据转化为数学图形中，由已知结合锐角三角函数定义可先求出，然后结合正弦定理可求．
本题主要考查了锐角三角函数定义及正弦定理在求解三角形中的应用，解题的关键是把实际问题转化为数学问题．
12.【答案】
【解析】解：直三棱柱中的底面是等腰直角三角形，侧面时矩形，所以其侧面积为，故A正确；
直三棱柱的体积为，故B不正确；
三棱锥的高为定值，底面积为，所以其体积为，故C正确；
把侧面和侧面展开在一个平面上，当为的中点时，的最小值等于，故D正确．
故选：．
通过计算可得到答案．
本题考查了命题真假的判断与应用．属中档题．
13.【答案】
【解析】解：因为，且，所以，解得，，
所以．
故答案为：．
根据复数相等的充要条件得到方程组求出、的值，即可得解．
本题考查复数相等的应用，属于基础题．
14.【答案】
【解析】【分析】
本题考查分层抽样相关知识，属于基础题．
根据题意可知，容量为的样本，样本中男生人数为人，则样本中女生为人，则样本中男生与女生人数之比为：，再结合总人数求出女生的人数．
【解答】
解：根据题意可知，容量为的样本，样本中男生人数为人，
则样本中女生为人，
则样本中男生与女生人数之比为：，
则该校女生人数为人，
故答案为．
15.【答案】
【解析】解：由得，
则对应概率为，
故答案为：
根据不等式的解法求出不等式的等价条件，结合几何概型的概率公式进行计算即可．
本题主要考查几何概型的计算，结合不等式的性质求出不等式的等价条件以及利用几何概型的概率公式是解决本题的关键．比较基础．
16.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查了基本不等式的应用，属于中档题．
先根据基本不等式可知，代入题设等式中得关于不等式，进而求得的范围，则的取值范围可求．
【解答】
解：若正数，满足，
则，当且仅当时取等号，
所以，
解得或舍，
则，的取值范围是．
故答案为：．
17.【答案】解：由题意得，人中恰有个人译出密码的概率为；
人中至少有人译出密码的概率．
【解析】根据相互独立事件的乘法公式求解即可；
根据相互独立事件的乘法公式求得无人破译出密码的概率，再利用对立事件的性质求解即可．
本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意相互独立事件概率乘法公式的灵活运用．
18.【答案】解：，，，
，
当且仅当时等号成立．
，
又与共线，
，解得．
【解析】利用求模公式表示出，根据二次函数的性质可得其最小值及相应的值；
利用向量共线定理可得关于的方程，解出即得值；
本题考查平面向量共线的坐标表示、利用数量积求模等知识，属基础题．
19.【答案】解：要使函数有意义，则有，
解得．
所以函数的定义域为．
函数为偶函数．
理由如下：
因为，都有，
且，
所以为偶函数．
当时，．
令，且，
易知，当时取得最大值，此时取得最大值，
所以函数的最大值为．
【解析】由对数函数的真数大于，建立不等式组，解出即可得到定义域；
运用奇偶性的定义直接判断；
通过换元，利用对数函数的性质直接得解．
本题考查对数函数的图象及性质，考查奇偶性的判断及极值求法，属于基础题．
20.【答案】证明：为中点，为中点，
，
又平面，平面，
平面．
为正三角形，且为中点，
．
又由知，
．
又已知，，
平面，而平面，
，
又，而，
平面，
又平面，
平面平面．
【解析】本题考查线面平行的判定，面面垂直的判定，属于中档题．
为中点，为中点，由中位线定理得，由线面平行的判定证得平面；
先证得，又有，通过线面垂直的判定证出平面，再由面面垂直的判定证出平面平面．
21.【答案】解：由频率分布直方图得：
学生身高在内的频率为：，
学生身高在内的人数为：．
采用分层抽样的方法从身高在，，内的学生中共抽取人，
则从内的学生中抽取：人，
从内的学生中抽取：人，
从内的学生中抽取：人，
再从中选取人，基本事件总数，
身高在和内各人包含的基本事件个数，
身高在和内各人的概率．
【解析】由频率分布直方图求出学生身高在内的频率，由此能求出学生身高在内的人数．
采用分层抽样的方法从身高在，，内的学生中共抽取人，从内的学生中抽取人，从内的学生中抽取人，从内的学生中抽取人，再从中选取人，基本事件总数，身高在和内各人包含的基本事件个数，由此能求出身高在和内各人的概率．
本题考查频数、概率的求法，考查频率分布直方图、分层抽样、古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
22.【答案】解：中，，得，
因为，
所以，
由余弦定理得，，
由为三角形内角得，；
因为，，
所以，
设，
中，由正弦定理得，，
所以，
中，由正弦定理得，，
所以，
所以，
整理得，，
故．
【解析】由已知结合余弦定理即可求解；
由已知结合正弦定理可表示，然后结合正弦定理进行化简可求，进而可求．
本题主要考查了正弦定理，余弦定理，和差角公式在三角化简求值中的应用，属于中档题．
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