2023-2024学年吉林省通化市梅河口市重点中学高二（上）开学数学试卷（含解析）

2023-2024学年吉林省通化市梅河口市重点中学高二（上）开学数学试卷
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 已知复数，则的共轭复数在复平面内对应的点在( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2. 已知，，则( )
A. B. C. D.
3. 一个水平放置的三角形的直观图是边长为的等边三角形，则的面积是( )
A. B. C. D.
4. 在空间中，，是不重合的直线，，是不重合的平面，则下列说法正确的是( )
A. 若，，，则
B. 若，，则
C. 若，，，则
D. 若，，，则
5. 生物实验室有只兔子，其中只有只测量过某项指标，若从这只兔子中随机取出只，则恰有只测量过该指标的概率为( )
A. B. C. D.
6. 在正方体中，二面角的大小等于( )
A. B. C. D.
7. 设，，为三角形三边，，，若，则三角形的形状为( )
A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 无法确定
8. 某高校调查了名学生每周的自习时间单位：小时，制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是，样本数据分组为，，，，根据直方图，这名学生中每周的自习时间不少于小时的人数是( )
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9. 下列关于复数的说法正确的是( )
A.
B. 若，则的虚部为
C.
D. 在复平面内满足的点的集合表示图形的面积为
10. 已知正方体的棱长为，以中点为球心作半径为的球，若该球面与正方体的每条棱都没有公共点，则球的半径可以是( )
A. B. C. D.
11. 已知内角，，所对的边分别为，，，则下列说法正确的是( )
A. 若，则为锐角三角形
B. 若，则
C. 若，则为锐角三角形
D. 在中，若，，，则
12. 在平面凸四边形中，，，，现沿对角线折起，使点到达点，设二面角的平面角为，若，当则三棱锥的外接球的表面积可以是( )
A. B. C. D.
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 向量，，则 ．
14. 设某批电子手表的正品率为，次品率为，现对该批电子手表进行检测，每次抽取一个电子手表，假设每次检测相互独立，则第次首次测到次品的概率为______．
15. 已知是方程的一个根，则______．
16. 如图，是由正四棱锥和长方体拼接而成的组合体，其顶点都在半径为的球面上，记为的外接圆半径若该正四棱锥和长方体体积相等，则 ______ ．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
已知内角，，所对的边分别为，，，面积为，已知．
求角；
若，且，求的周长．
18. 本小题分
如图，长方体的体积是，为的中点，平面将长方体分成三棱锥和多面体两部分．
若，，求多面体的表面积；
求三棱锥的体积．
19. 本小题分
为了解学生的周末学习时间单位：小时，高一年级某班班主任对本班名学生某周末的学习时间进行了调查，将所得数据整理绘制出如图所示的频率分布直方图，根据直方图所提供的信息：
Ⅰ求该班学生周末的学习时间不少于小时的人数；
Ⅱ估计这名同学周末学习时间的分位数；
Ⅲ如果用该班学生周末的学习时间作为样本去推断该校高一年级全体学生周末的学习时间，这样推断
是否合理？说明理由．
20. 本小题分
在中，角，，所对的边分别为，，，且．
若，求的值；
是否存在，满足为直角？若存在，求出的面积；若不存在，请说明理由．
21. 本小题分
随机抽取名学生，测得他们的身高单位：，按照区间，，，，分组，得到样本身高的频率分布直方图如图所示．
求频率分布直方图中的值及身高在及以上的学生人数；
估计该校名生学身高的分位数．
若一个总体划分为两层，通过按样本量比例分配分层随机抽样，各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为：记总的样本平均数为，样本方差为，证明：
；
．
22. 本小题分
在中，设角，，所对的边分别为，，，已知，且三角形的外接圆半径为．
求的大小；
若的面积为，求的值；
设的外接圆圆心为，且满足，求的值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：，
则，
故的共轭复数在复平面内对应的点在第三象限．
故选：．
根据已知条件，结合复数的四则运算，以及共轭复数的定义，复数的几何意义，即可求解．
本题主要考查复数的四则运算，以及共轭复数的定义，复数的几何意义，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：因为，，
所以，
则．
故选：．
由已知结合同角平方关系及二倍角公式即可求解．
本题主要考查了同角平方关系及二倍角公式的应用，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：根据题意，三角形是边长为的等边三角形，其面积，
则原图的面积．
故选：．
根据题意，求出直观图三角形的面积，由原图与直观图的面积关系分析可得答案．
本题考查斜二测画法，涉及平面图形的直观图，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：若，，，则或与异面，故A错误；
若，，则或，故B错误；
若，，，则或或与相交，相交也不一定垂直，故C错误；
若，，则，又，则，故D正确．
故选：．
由空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系逐一分析四个选项得答案．
本题考查空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系的判定，考查空间想象能力与思维能力，是基础题．
5.【答案】
【解析】【分析】
本题考查古典概型的计算与应用，属于基础题．
利用列举法求解即可．
【解答】
解：记只测量过某项指标的兔子分别为，，，
没有测量过某项指标的兔子为，，
则从这只兔子中随机取出只的所有情况为，，，
，，，
，，，，共种，
恰有只测量过该指标的所有情况有种，
所求概率为．
故选：．
6.【答案】
【解析】解：如图，连接，，
正方体中，平面，
，，
则为二面角的平面角，等于．
故选：．
由题意画出图形，作出二面角的平面角，则答案可求．
本题考查二面角的平面角及其求法，是基础题．
7.【答案】
【解析】解：，
，
即，
，
即，
故三角形的形状为直角三角形，
故选：．
结合对数的运算性质，及换底公式的推论，可将已知化为：，再由勾股定理判断出三角形的形状．
本题考查的知识点是三角形形状判断，对数的运算性质，难度中档．
8.【答案】
【解析】【分析】
本题考查的知识点是频率分布直方图，属于基础题．
根据已知中的频率分布直方图，先计算出自习时间不少于小时的频率，进而可得自习时间不少于小时的频数．
【解答】
解：自习时间不少于小时的频率为：，
故自习时间不少于小时的频数为：．
故选D．
9.【答案】
【解析】解：对于，设，
则，
故，故A正确；
对于，，
则的虚部为，故B错误；
对于，设，
则，
，故C正确；
对于，由题意可知，复平面内对应的点的集合表示的图象为半径分别为和的同心圆形成的圆环区域，
故其面积为，故D正确．
故选：．
对于，结合共轭复数的定义，即可求解；
对于，结合虚部的定义，即可求解；
对于，结合共轭复数的定义，复数模公式，即可求解；
对于，结合复数的几何意义，即可求解．
本题主要考查复数的几何意义，考查转化能力，属于中档题．
10.【答案】
【解析】解：如图，
以中点为球心作半径为的球，若该球面与正方体的每条棱都没有公共点，
则球的半径小于面对角线长的一半或大于体对角线长的一半，
即．
结合选项可知，的值可以是，．
故选：．
由题意画出图形，求出棱长为的正方体的面对角线与体对角线的长，则答案可求．
本题考查球与多面体间的位置关系，考查空间想象能力与思维能力，是基础题．
11.【答案】
【解析】解：由，可得，即为锐角，不能说明，为锐角，故A错误；
若，则，即有，即有，即，
即为，故B正确；
若，
即，
则为锐角三角形，故C正确；
在中，若，，，
可得，
由，可得，即有或，故D错误．
故选：．
由向量数量积的定义可判断；由三角形的边角关系和二倍角的余弦公式，可判断；由两角和的正切公式可判断；由正弦定理和三角形的边角关系可判断．
本题考查三角形的正弦定理和三角形的形状、向量的数量积的定义和两角和的正切公式，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于中档题．
12.【答案】
【解析】解：如图所示，为圆的一个弦，其优弧度数为，劣弧度数为，
由题意可知在其优弧上，在其劣弧上，根据几何关系可得，圆半径为，
绕翻折后，翻折到点，即，
平面，平面，两直线相交于点，
根据全等关系可知，设，
则，即为三棱锥的外接球球心，
由题意可知，即，
所以，
设三棱锥的外接球表面积为，
则，
所以三棱锥的外接球的表面积可以是，，．
故选：．
结合图形求出三棱锥的外接球的半径范围即可．
本题主要考查立体几何的计算，属中档题．
13.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了平面向量的数量积的坐标运算，模长公式，属于基础题．
根据向量的数量积的坐标运算，先求出向量的坐标，再利用向量的模长公式即可求出．
【解答】
解：，，
故答案为：．
14.【答案】
【解析】解：某批产品正品率为，次品率为，
现对该批产品进行测试，第首次测到正品是指第一次和第二次都测到正品，第三次测到次品，
．
故答案为：
第首次测到正品是指第一次和第二次都测到正品，第三次测到次品，进而得到答案．
本题考查的知识点是相互独立事件概率乘法公式，难度不大，属于基础题．
15.【答案】
【解析】解：设该方程的另一个根为，
则，从而，
解得，即，
故，
故答案为：．
由题意利用韦达定理，求得、的值，可得结论．
本题主要考查韦达定理的应用，属于基础题．
16.【答案】
【解析】解：设正四棱锥的定点为，底面与，，，对应的四个顶点分别为，，，，
设正四棱锥与长方体的公共外接球的球心为，
设四边形的中心为，
则长方体的高，
正四棱锥的高为正方形的中心，
则，
正四棱锥和长方体体积相等，
，
即，
即，
，
，
故答案为：．
分别求出长方体的高，正四棱锥的高，再根据正四棱锥和长方体体积相等，即可求出．
本题考查了考查棱锥和柱体的体积，球的有关问题，考查运算求解能力，是中档题．
17.【答案】解：由，
可得，
即有，
可得，
由，可得；
若，且，
则，即有，
又，即，
解得，，
则的周长为．
【解析】由三角形的余弦定理和特殊角的余弦函数值，化简整理可得所求角；
由三角形的面积公式和余弦定理，解方程可得所求周长．
本题考查三角形的余弦定理和面积公式的运用，考查方程思想和运算能力、推理能力，属于中档题．
18.【答案】解：因为长方体的体积是，为的中点，，，
所以，则，所以，
所以，，，
所以，
所以多面体的表面积为
；
因为平面，
所以由可得三棱锥的体积．
【解析】根据题中条件，求出，得到，进而求出，，得出，结合题中条件，得到所求多面体的表面积为，结合数据直接计算，即可得出结果；
根据题中条件，得到，直接计算，即可得出结果．
本题主要考查多面体的表面积的求法，棱锥体积的求法，考查运算求解能力，属于中档题．
19.【答案】解：Ⅰ由图可知，该班学生周末的学习时间不少于小时的频率为，
则名学生中周末的学习时间不少于小时的人数为．
Ⅱ学习时间在小时以下的频率为，
学习时间在小时以下的频率为，
所以分位数在，，
则这名同学周末学习时间的分位数为．
Ⅲ这样推断不合理，理由如下：
样本的选取只选在高一某班，不具有代表性．
【解析】Ⅰ由频率分布直方图求出该班学生周末的学习时间不少于小时的频率为，由此能求出名学生中周末的学习时间不少于小时的人数．
Ⅱ学习时间在小时以下的频率为，学习时间在小时以下的频率为，由此能求出这名同学周末学习时间的分位数．
Ⅲ样本的选取只选在高一某班，不具有代表性，从而不合理．
本题考查频数、分位数的求法，考查频率分布直方图等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
20.【答案】解：因为，由正弦定理可得，
又因为，即，所以，即，
由余弦定理可得；
假设为直角，则，，
因为，由正弦定理，
即，
两边平方可得，
即，
因为
所以，
所以，，与矛盾，
故不存在满足为直角．
【解析】本题考查解三角形，涉及正余弦定理的综合应用，涉及反证法的应用，考查学生计算能力、逻辑推理能力，属于中档题．
利用正弦定理整理条件可得，结合余弦定理即可求得；
假设为直角，利用正弦定理结合条件可得到，与时，矛盾，故不存在．
21.【答案】解：由频率分布直方图可知，解得，
身高在及以上的学生人数人．
的人数占比为，的人数占比为，
该校名生学身高的分位数落在，
设该校名生学身高的分位数为，
则，解得，
故该校名生学身高的分位数为．
证明：，即得证，

，
，
，
同理可得，，
，
，即得证．
【解析】根据已知条件，结合频率分布直方图的性质，可得，再结合频率与频数的关系，即可求解．
根据已知条件，结合分位数公式，即可求解．
均值根据定义直接变形，即可求证．
，去证明
，同理可得，，变形后即可证明．
本题主要考查了频率分布直方图的性质，以及平均值与方差的证明，需要学生很强的综合能力，属于难题．
22.【答案】解：在中，
，
由余弦定理得，
因为，所以，
所以，
整理得，
又在中，，则，
因为，所以；
，得，
由正弦定理，得，所以，
则，
由余弦定理得，所以，
可得：的值为；
，，
所以，
所以，
又，
同理，，
所以，
由正弦定理，得，，
代入化简得，
所以．
【解析】结合余弦定理和正弦定理即可求得结论，
由三角形的面积求得，结合余弦定理求得，再结合已知求得结论，
根据已知和正弦定理即可得到结论．
本题考查了特殊角的三角函数值，考查了正余弦定理在解三角形中的应用，考查向量知识的应用，属于中档题目．
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