2023-2024学年河北省邯郸市鸡泽重点中学高二（上）开学数学试卷（含解析）

2023-2024学年河北省邯郸市鸡泽重点中学高二（上）开学数学试卷
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 已知复数，则的虚部是( )
A. B. C. D.
2. 下列各组向量中，可以作为基底的是( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
3. 运动员甲次射击成绩单位：环如下：，，，，，，，，，，则下列关于这组数据说法不正确的是( )
A. 众数为和 B. 平均数为 C. 中位数为 D. 方差为
4. 如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，已知，，，，则( )
A. B.
C. D.
5. 在平行六面体中，，，，，，则的长为( )
A. B. C. D.
6. 已知点，经过点作直线，若直线与连接，两点的线段总有公共点，则直线的斜率的取值范围为( )
A. B.
C. D.
7. 已知，是不重合的直线，，，是不重合的平面，则下列说法正确的是( )
A. 若，，则
B. ，，，，则
C. 若，，则
D. ，，，则
8. 袋内有大小相同的个白球和个黑球，从中不放回地摸球，设事件“第一次摸到白球”，事件“第二次摸到白球”，事件“第一次摸到黑球”，则下列说法正确的是( )
A. 事件与为互斥事件 B. 事件与为对立事件
C. 事件与为非相互独立事件 D. 事件与为相互独立事件
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9. 已知，是两个不重合的平面，，是两条不同的直线，在下列说法正确的是( )
A. 若，，则
B. 若，，则
C. 若，，则
D. 若，，则至少与，中一个平行
10. 已知事件，，且，，则下列结论正确的是( )
A. 如果，那么
B. 如果与互斥，那么
C. 如果与相互独立，那么
D. 如果与相互独立，那么
11. 下列四个命题中真命题有( )
A. 直线在轴上的截距为
B. 经过定点的直线都可以用方程表示
C. 直线必过定点
D. 已知直线与直线平行，则平行线间的距离是
12. 如图，在边长为的正方形中，点是边的中点，将沿翻折到，连结，，在翻折到的过程中，下列说法正确的是( )
A. 存在某一翻折位置，使得
B. 当面平面时，二面角的正切值为
C. 四棱锥的体积的最大值为
D. 棱的中点为，则的长为定值
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 在中，内角，，对的边分别为，，，满足，则 ，若边上的中线，则面积的最大值为 ．
14. 已知圆锥的顶点为，母线、所成角的余弦值为，与圆锥底面所成角为，若的面积为，则该圆锥的侧面积为 ．
15. 平面的一个法向量，如果直线平面，则直线的单位方向向量是 ______ ．
16. 已知，动直线：过定点，动直线：过定点，若直线与相交于点异于点，，则周长的最大值为 ．
四、解答题（本大题共5小题，共60.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
已知，，，为虚数单位．且是纯虚数．
Ⅰ求实数的值．
Ⅱ求的值．
18. 本小题分
如图，在中，已知为线段上一点，且．
若，求，的值；
若，，，且与的夹角为，求的值．
19. 本小题分
如图，在三棱锥中，底面，，，，点、分别在棱、上，且．
求证平面；
当为的中点时，求与平面所成角的正弦值．
20. 本小题分
某校为了解高一学生在五一假期中参加社会实践活动的情况，抽样调查了其中的名学生，统计他们参加社会实践活动的时间单位：小时，并将统计数据绘制成如图的频率分布直方图．
估计这名学生在这个五一假期中参加社会实践活动的时间的众数，中位数，平均数；
估计这名学生在这个五一假期中参加社会实践活动的时间的上四分位数结果保留两位小数．
21. 本小题分
如图，在四棱锥中，是边长为的菱形，且，，，，分别是，的中点．
证明：平面平面．
求二面角的大小．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：，，
复数，
则的虚部是．
故选：．
利用复数的周期性、运算法则、虚部的定义即可得出．
本题考查了复数的运算法则、虚部的定义、复数的周期性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
2.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查平面向量基本定理，基底的定义，属于基础题．
判定两个向量是否不共线即可．
【解答】解：对于，，，是两个共线向量，故不可作为基底；
对于，，是两个不共线向量，故可作为基底；
对于，，，，是两个共线向量，故不可作为基底；
对于，，，，是两个共线向量，故不可作为基底．
故答案选：．
3.【答案】
【解析】解：由题意，这组数据中和都出现次，其余数出现次数没超过次，故众数为和，A正确；
计算平均数为，故B正确；
将次射击成绩从小到大排列为：，，，，，，，，，，则中位数为，故C错误；
方差为，故D正确，
故选：．
根据众数的含义可判断；计算出平均数判断，算出中位数判断；计算出方差判断．
本题考查了求平均数与方差和众数、中位数的问题，记住平均数与方差、中位数的公式是解题的关键．
4.【答案】
【解析】【分析】
本题考查空间向量基本定理，考查空间向量加法法则等基础知识，考查空间想象能力，考查数形结合思想，是基础题．
利用空间向量基本定理进行求解即可．
【解答】解：在四棱锥中，底面是平行四边形，
，，，，
．
故选：．
5.【答案】
【解析】解：根据题意，作出图象：
，
则，
所以的长为．
故选：．
将用，，表示，再结合数量积的运算律即可得出答案．
本题考查空间向量分解定理和模长公式，属于中档题．
6.【答案】
【解析】解：由题得，，
因为直线与连接，两点的线段总有公共点，
结合图可知，
．
故选：．
求出直线，的斜率，再数形结合分析得解．
本题主要考查直线的斜率公式，属于基础题．
7.【答案】
【解析】解：若，，则也可能相交，故A不正确．
若，，，，则与不一定平行，因此不正确；
若，，则或，故C不正确，
，，，则，故D正确．
故选：．
利用线面，面面平行的性质与判断可判断每个选项的正确性．
本题考查命题真假的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．
8.【答案】
【解析】解：与可以同时发生，但是不放回的摸球第一次对第二次有影响，
事件与不为互斥，也不是相互独立事件，故A错误，C正确；
事件与事件能同时发生，不是对立事件，故B错误；
事件与事件，第一次摸到白球与第一次摸到黑球一定不能同时发生，
不是相互独立事件，故D错误．
故选：．
根据互斥事件和相互独立事件的概念逐一判断即可．
本题考查互斥事件和相互独立事件的概念等基础知识，基础题．
9.【答案】
【解析】【分析】
根据线面、面面平行关系依次判断可得．
本题考查了线面、面面平行，属于基础题．
【解答】
解：对，若，，则或，故A错误；
对，若，，则，故B正确；
对，若，，则和平行或异面，故C错误；
对，若，，则至少与、中的一个平行，故D正确．
故选：．
10.【答案】
【解析】解；对于，由得，则，错；
对于，由与互斥得，则，对；
对于，与相互独立，则，
，故C对错；
故选：．
对，由得，由与互斥得，；
对，与相互独立，，．
本题考查相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
11.【答案】
【解析】解：选项A，令，则，所以直线在轴上的截距为，即A正确；
选项B，若直线的斜率不存在，即直线，虽然经过点，但不能用表示，即B错误；
选项C，令，则，所以直线必过定点，即C正确；
选项D，由题意知，直线可化为，
所以两平行直线间的距离为，即D错误．
故选：．
选项A，根据截距的定义，即可得解；
选项B，直线的斜率有可能不存在；
选项C，令，则，可得定点为；
选项D，根据两平行直线间的距离公式，即可得解．
本题考查直线的斜率与截距，直线过定点，平行直线间的距离公式等，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．
12.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了棱锥的体积，考查了直线与平面位置关系，考查了二面角的计算问题，属于较难题．
利用棱锥的体积公式结合运动思想，即可判断；寻找二面角的平面角为，即可判断；用反证法判断；结合题干中的平行关系即余弦定理，即可判断．
【解答】
解：对于，过作，交于，延长交于，
因为底面不变，所以当平面底面时，
体积最大，其体积为，所以对；
对于，设，
过作交于，连接，则易得，
因为平面平面，，平面，平面平面
所以平面，又平面，
于是，二面角的平面角为，
其正切值为，所以对；
对于，因为，，，平面，，
所以平面，
假设存在某一翻折位置，使得，又与平面有公共点，
所以在平面内，
而由题意可得，为中点，即与平面相交，存在矛盾，所以错；
对于，取中点，连接，，，
，，又，，
所以四边形为平行四边形，，，
所以，而，，不变，
由余弦定理知为定值，所以对．
故选：．
13.【答案】
【解析】解：在中，因为，
所以，
因为，
故，
因为为三角形的内角，故B，
中，由余弦定理可得，，
，当且仅当时取等号，
，此时，为最大．
故答案为：．
由已知结合正弦定理可求，进而可求，然后利用余弦定理及基本不等式可求的范围，结合三角形的面积公式即可求解．
本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式在求解三角形中的应用，属于中档试题．
14.【答案】
【解析】【分析】
本题考查圆锥的结构特征和侧面积、三角形面积公式、直线与平面所成的角，属于中档题．
利用已知条件结合同角三角函数基本关系求出的值，根据三角形面积公式求出圆锥的母线长，利用母线与平面所成角求出底面半径，即可求出圆锥的侧面积．
【解答】解：因为圆锥的母线、所成角的余弦值为，，
所以．
所以的面积为，
所以，
所以，所以．
因为与圆锥底面所成角为，
所以圆锥的底面半径，
所以该圆锥的侧面积为．
故答案为：．
15.【答案】
【解析】解：由题意可知，直线的方向向量平行于平面的法向量，
又，所以，
所以直线的单位方向向量是．
故答案为：．
先确定直线的方向向量平行于平面的法向量，然后利用，即可得到答案．
本题考查了空间向量之间关系，平面的法向量以及直线的方向向量，考查了运算能力，属于基础题．
16.【答案】
【解析】【分析】
本题考查直线的位置关系的判断及直线恒过定点的求法，均值不等式性质的应用，属于一般题．
由动直线的方程可得动点，的坐标，并且可得两条直线互相垂直，由勾股定理可得的值，再由不等式的性质可得的最大值，进而求出周长的最大值．
【解答】
解：因为动直线：过定点，
动直线：，整理可得，可得定点，
且可得两条直线垂直，设交点为，
由不等式的性质，
因为
所以，当且仅当时取等号，
所以周长的最大值为，
故答案为：．
17.【答案】解：Ⅰ，
是纯虚数，
，
则；
Ⅱ由Ⅰ得，，
则，
．
【解析】Ⅰ求出，根据纯虚数的定义求出的值即可；
Ⅱ求出，从而求出的值．
本题主要考查复数的有关概念及四则运算等基本知识．考查概念识记、运算化简能力．
18.【答案】解：为线段上一点，且．
，
，为线段的中点，
．
，，化为．
，，且与的夹角为，
．
．
【解析】由于为线段上一点，且利用向量共线定理可得：，由于，可得为线段的中点，因此，即可解出．
由，可得，化为由于，，且与的夹角为，可得于是，展开代入即可得出．
本题考查了数量积的运算性质、向量三角形法则、向量共线定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
19.【答案】证明：在三棱锥中，底面，底面，则，
而，有，又，，平面，
所以平面．
由知，平面，而，则平面，
于是是与平面所成的角，
令，在中，，，为的中点，则有，
显然为的中位线，于是，
在中，，
所以与平面所成角的正弦值是．
【解析】根据给定条件，利用线面垂直的性质及判定推理作答．
结合的结论及已知，利用线面角的定义，求出与平面所成角的正弦值．
本题主要考查直线与平面垂直的证明，线面角的求法，考查运算求解能力，属于中档题．
20.【答案】解：由频率分布直方图可看出最高矩形底边上的中点值为，故众数是，
由得，
且，
中位数位于之间，设中位数为，
则，
解得，故中位数是；
平均数为；
上四分位数即为百分位数，又，，
上四分位数位于之间，设上四分位数为，则，
得．
【解析】利用直方图的性质求得的值，然后分别根据众数、中位数、平均数的概念计算；
根据上四分位数确定所在的区间，再计算即可．
本题主要考查了频率分布直方图的应用，考查了众数、平均数、中位数以及百分位数的估计，属于中档题．
21.【答案】证明：取的中点，连接，，，如图所示：
是边长为的菱形，且，
为等边三角形，
，
又，，
又，
平面，
又平面，，
，分别是，的中点，，
，
，且，四边形为平行四边形，
，
，又，
平面，
又平面，平面平面．
解：由可知平面，
，，
四棱锥的高的高为，
以为坐标原点，分别以，所在直线为轴，轴的正方向，以过点与平面垂直的直线为轴，建立空间直角坐标系，如图所示：
则，，，，
，，，
设平面的法向量为，则，取，解得，，
设平面的法向量为，则，取，解得，，
，，
又二面角为钝二面角，
二面角的大小为．
【解析】取的中点，连接，，，易证平面，所以，又因为，所以，再结合，可证得平面，进而证得平面平面．
以为坐标原点，分别以，所在直线为轴，轴的正方向，以过点与平面垂直的直线为轴，建立空间直角坐标系，求出相应向量的坐标，进而求出平面和平面的法向量，再利用二面角的向量公式求解即可．
本题主要考查了平面与平面垂直的判定，考查了利用空间向量求二面角，属于中档题．
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