2023-2024学年福建省泉州市南菁高中高一（上）入学数学试卷（含解析）

2023-2024学年福建省泉州市南菁高中高一（上）入学数学试卷
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 已知，满足，则的平方根为( )
A. B. C. D.
2. 若能用完全平方公式因式分解，则的值为( )
A. B. C. 或 D. 或
3. 如图，下列图形都是由同样大小的圆按照一定规律所组成的，其中第个图形中一共有个圆，第个图形中一共有个圆，第个图形中一共有个圆，第个图形中一共有个圆，，按此规律排列下去，第个图形中圆的个数是( )
A. B. C. D.
4. 若关于的不等式组无解，且一次函数的图象不经过第一象限，则符合条件的所有整数的和是( )
A. B. C. D.
5. 已知，则一定有，“”中应填的符号是( )
A. B. C. D.
6. 一次越野跑中，前秒钟小明跑了，小刚跑了小明、小刚此后所跑的总路程单位：与时间单位：之间的函数关系如图所示，则图中的值是( )
A. B. C. D.
7. 若实数，且，满足，，则代数式的值为( )
A. B. C. 或 D. 或
8. 一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是( )
A. B. ，且 C. D. ，且
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
9. 如图，数轴上点表示的数为，化简 ______ ．
10. 已知，则代数式的值为______ ．
11. 化简： ______ ； ______ ；
______ ．
______ ．
12. 将函数图象先向左平移一个单位，再向上平移两个单位，可以得到函数 ______ 的图象．
三、解答题（本大题共8小题，共90.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
13. 本小题分
分解下列因式：
；
；
；
；
．
14. 本小题分
解下列方程组：
；
．
15. 本小题分
先化简，再求值：，其中．
16. 本小题分
解下列不等式：
；
；
；
．
17. 本小题分
在平面直角坐标系中，对于点和，给出如下的定义：点，的横坐标差的绝对值和它们的纵坐标差的绝对值中较小的一个若它们相等，则取其中任意一个称为，两点的“近距”，记为即：若，则；若，则．
请你直接写出，的“近距” ______ ；
在条件下，将线段向右平移个单位至线段，其中点，分别对应点，若在坐标轴上存在点，使，请求出点的坐标：
18. 本小题分
已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．
求的取值范围；
若此方程的两实数根，满足，求的值．
19. 本小题分
求关于的二次函数在上的最小值为常数
20. 本小题分
如图，已知在中，，，，以为圆心，为半径的圆交斜边于，求．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：，
则，解得，
故，其平方根为．
故选：．
根据已知条件，列出方程组，求出，，再结合平方根的定义，即可求解．
本题主要考查平方根的定义，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：能用完全平方公式因式分解，
则能用完全平方公式因式分解，即，解得或．
故选：．
根据已知条件，结合完全平方公式，即可求解．
本题主要考查完全平方公式，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：根据题意，因为第个图形中一共有个圆，
第个图形中一共有个圆，
第个图形中一共有个圆，
第个图形中一共有个圆，
可得第个图形中圆的个数是；
所以第个图形中圆的个数．
故选：．
根据题意，归纳分析可得图形得出第个图形中圆的个数是，进而计算可得答案．
本题考查合情推理的应用，根据图形的排列规律得到最下面圆的个数与图形的序号相同，上面圆的个数与个连续奇数的和相关是解决本题的关键，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：，即，
关于的不等式组无解，
，解得，
一次函数的图象不经过第一象限，
，解得，
故，
故符合条件的所有整数的和是．
故选：．
根据已知条件，结合不等式的解法，以及一次函数的的性质，即可求解．
本题主要考查不等式的解法，以及一次函数的的性质，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：知，
则，即，
故“”中应填的符号是．
故选：．
根据已知条件，结合不等式的性质，即可求解．
本题主要考查不等式的性质，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：设小明从米处到终点的速度为米秒，小刚从米处到终点的速度为米秒，
，
解得：，．
这次越野跑的全程为：，．
故选：．
根据函数图象可以列出相应的二元一次方程组，从而可以解答本题．
本题考查了一次函数的应用、二元一次方程组的应用，解题的关键是明确题意，列出相应的方程组，利用数形结合的思想解答问题．
7.【答案】
【解析】解：由已知条件可知，、为方程的两根，此时，
，，
故选A
根据，知、满足条件，，可把，看成的两个根，根据根与系数的关系即可解答求出结果．
本题考查了根与系数的关系，属于基础题，关键是把，看成方程的两个根再求解，把要求的结果整理成含有两根和与积的形式．
8.【答案】
【解析】解：由题意可得，
解不等式可得
且
故选：．
由题意可得，，解不等式可求
本题主要考查了一元二次方程的根的个数的判定条件的应用，解题中容易漏掉对二次项系数可考虑．
9.【答案】
【解析】解：由图可知，，
．
故答案为：．
根据已知条件，结合二次根式的性质，以及绝对值的求法，即可求解．
本题主要考查二次根式的性质，以及绝对值的求法，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：，
则，
．
故答案为：．
根据已知条件，对所求代数式通分，即可求解．
本题主要考查有理数指数幂，属于基础题．
11.【答案】
【解析】解：根据题意，；
；
；
根据题意，，
则有．
故答案为：；
；
；
．
分析可得，化简可得答案；
分析可得，化简可得答案；
根据题意，由立方差公式变形可得答案；
分析可得，由累加法分析可得答案．
本题考查有理指数幂的运算，涉及根式的化简，属于基础题．
12.【答案】
【解析】解：根据图象平移的法则可知，将函数向左平移一个单位，得到，
再向上平移两个单位，得到．
故答案为：．
直接根据函数的平移规律即可得到结论．
本题主要考查函数图象的平移变化，利用“左加右减，上加下减的平移原则进行平移即可．
13.【答案】解：；
；
注意到，，
所以；
；
．
【解析】利用十字相乘法、分组分解法、提公因式法、公式法等知识进行因式分解．
本题主要考查了多项式的因式分解，属于中档题．
14.【答案】解：，即，
故或或或，解得或或或；
，两式相减可得，，即，
，则，解得或，
当时，，
当时，，
故方程组的解为或．
【解析】对原式化简，并分类讨论求解．
本题主要考查方程组的求解，属于基础题．
15.【答案】解：，
当时，．
【解析】先将原式通分，并化简，将代入，即可求解．
本题主要考查有理数指数幂，属于基础题．
16.【答案】解：，即，解得或，
故不等式的解集为或；
，解得，
故不等式的解集为；
，解得，
故不等式的解集为；
，即或，
故不等式的解集为或．
【解析】根据已知条件，结合一元二次不等式的解法，即可依次求解．
本题主要考查一元二次不等式的解法，属于基础题．
17.【答案】
【解析】解：，，又，．
如图所示：
，，
当点在轴上时，设，
，，或；
当点在轴上时，设，
，
，或；
或或或．
根据的定义直接求解即可；
分别假设或，由可求得，的值，由此可得结果．
本题考查推理与证明，属于基础题．
18.【答案】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
，解得，
即的取值范围为；
根据题意得，，，
，，
即，
解得或，
又，
．
【解析】一元二次方程有两个不相等的实数根，则，由此求得的取值范围；
由得，利用一元二次方程根与系数的关系进行求解．
本题考查了一元二次方程的判别式，一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握两根之和与两根之积的表达式是解决本题的关键，属于基础题．
19.【答案】解：关于的二次函数的对称轴为，
当时，二次函数在上递增，可得；
当时，二次函数在递减，在上递增，
可得；
当时，二次函数在上递减，可得．
所以，．
【解析】求得二次函数的对称轴，讨论对称轴与区间的关系，结合函数的单调性，计算可得所求最小值．
本题考查二次函数在闭区间上的最值，考查分类讨论思想和运算能力，属于基础题．
20.【答案】解：过作于，
，过圆心，
．
中，是直角，，，
由勾股定理得：，
由射影定理得：，
，
．
【解析】过作于，根据垂径定理得出，根据勾股定理求，根据射影定理求出，即可求出．
本题考查了勾股定理，垂径定理，射影定理等知识点的应用，关键是求出的长，主要培养学生运用定理进行推理的能力，题目比较典型，难度适中．
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