2023-2024学年天津市蓟州区擂鼓台中学高三（上）开学数学试卷（含解析）

2023-2024学年天津市蓟州区擂鼓台中学高三（上）开学数学试卷
一、单选题（本大题共10小题，共50.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 已知全集，集合，则( )
A. B. C. D.
2. 已知：，：，则是的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3. 已知，，，则( )
A. B. C. D.
4. 曲线是造型中的精灵，以曲线为元素的给人简约而不简单的审美感受，某数学兴趣小组设计了如图所示的双型曲线，以下个函数中最能拟合该曲线的是( )
A.
B.
C.
D.
5. 若，则下列不等式不恒成立的是( )
A. B. C. D.
6. 设是定义域为的奇函数，且，若，则( )
A. B. C. D.
7. 甲、乙两人准备分别从历史、文学、哲学这类书中随机选择一本阅读，且两人的选择结果互不影响记事件“甲选择历史书”，事件“甲和乙选择的书不同”，则( )
A. B. C. D.
8. 对两个变量，进行线性相关检验，得线性相关系数，对两个变量，进行线性相关检验，得线性相关系数，则下列判断正确的是( )
A. 变量与正相关，变量与负相关，变量与的线性相关性较强
B. 变量与负相关，变量与正相关，变量与的线性相关性较强
C. 变量与正相关，变量与负相关，变量与的线性相关性较强
D. 变量与负相关，变量与正相关，变量与的线性相关性较强
9. 为研究某种细菌在特定环境下，随时间变化的繁殖情况，得到如下实验数据：
天数天
繁殖个数千个
由最小二乘法得与的线性回归方程为，则当时，繁殖个数的预测值为( )
A. B. C. D.
10. 已知函数为自然对数的底数，有个不同的零点，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）
11. 函数的单调递增区间为______．
12. 已知是定义在上的偶函数，且在区间上单调递增，若实数满足，则实数的取值范围是______ ．
13. 在的展开式中，常数项为______请用数字作答
14. 某品牌手机的电池使用寿命单位：年服从正态分布．且使用寿命不少于年的概率为，使用寿命不少于年的概率为，则该品牌手机的电池使用寿命不少于年且不多于年的概率为______．
15. 已知袋中有个白球个黑球，现从袋中任取个球，则取出的个球为同色球的概率为______ ．
16. 函数的最小值为______ ．
三、解答题（本大题共4小题，共48.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
已知，．
Ⅰ求的值；
Ⅱ若，，且，求的最小值．
18. 本小题分
已知函数．
求曲线在点处的切线方程；
直线为曲线的切线，且经过原点，求直线的方程及切点坐标．
19. 本小题分
甲、乙两班进行消防安全知识竞赛，每班出人组成甲乙两支代表队，首轮比赛每人一道必答题，答对则为本队得分，答错或不答都得分，已知甲队人每人答对的概率分别为，乙队每人答对的概率都是，设每人回答正确与否相互之间没有影响，用表示甲队总得分．
求的概率；
求甲队和乙队得分之和为的概率．
20. 本小题分
已知是函数的一个极值点．
求；
求函数的单调区间；
若函数有个零点，求的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：全集，集合，
由补集定义可知：或，即．
故选：．
利用补集的定义可得正确的选项．
本题主要考查补集及其运算，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：因为：；
：，
所以，推不出，所以是的必要不充分条件．
故选：．
分别求出命题，，再由充分条件和必要条件的定义即可得出答案．
本题主要考查了充分条件和必要条件的定义，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：因为在定义域内单调递增，则，所以，
因为在定义域内单调递增，则，所以，
因为在定义域内单调递减，则，所以，
综上所述：．
故选：．
根据题意结合指、对数函数单调性，借助于中间值分析判断．
本题主要考查对数值大小的比较，考查函数思想与逻辑推理能力，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：由函数，其定义域为，关于原点对称，
可得，
所以函数为偶函数，所以排除；
由函数，可得，故排除；
由函数，当时，可得且，则，
故排除．
由函数的定义域为，关于原点对称，
且，所以为奇函数，图象关于原点对称，
由时，，可得，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，且，所以项符合题意．
故选：．
根据是偶函数，排除项；由，排除项，由当时，函数，可排除，由函数为奇函数，且当时，利用导数求得函数的单调性，结合，得到符合题意，即可求解．
本题主要考查了函数图象的变换，考查了函数奇偶性和单调性，属于中档题．
5.【答案】
【解析】解：对于，由得恒成立；
对于，由可知恒成立；
对于，由于，故当时，不成立，所以不恒成立；
对于，由得，所以恒成立．
故选：．
根据不等式的性质对给出的每个选项分别进行分析、判断后可得不恒成立的不等式．
本题考查不等式的性质及命题真假的判定，解题的关键是熟练运用不等式的相关知识求解，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：是定义域为的奇函数，，
，
，
是周期为的周期函数，
．
故选：．
由结合函数的奇偶性可得，是周期为的周期函数，再利用周期性和奇偶性即可求出结果．
本题主要考查了函数的周期性和奇偶性，属于基础题．
7.【答案】
【解析】解：事件“甲选择历史书”，则，
事件“甲和乙选择的书不同”，
则事件“甲选择历史书，乙选择的是文学书或哲学书”，
所以，
所以．
故选：．
利用条件概率公式求解即可．
本题考查条件概率计算公式，属于基础题．
8.【答案】
【解析】解：因为线性相关系数，所以，正相关，
因为线性相关系数，所以，负相关，
又因为，所以变量，的线性相关性比，的线性相关性强，
故选：．
利用相关系数的正负以及绝对值的大小即可判断求解．
本题考查了判断两个变量线性相关性的问题，考查了学生的理解能力，属于基础题．
9.【答案】
【解析】解：由题意得：，，
样本点的中心的坐标为，
代入，得，
解得．
关于的线性回归方程为．
取，得．
故选：．
由已知条件求出样本点的中心的坐标，代入线性回归方程求解，再取求解值即可．
本题考查线性回归方程的求法，考查运算求解能力，是基础题．
10.【答案】
【解析】解：当时，，
所以，且，
所以二次函数开口向下且在内抛物线与轴只有一个交点，
所以在内只有一个零点，
当时，，
所以不是的零点，
由已知得当时，有两个零点，
由，得，
令，即，
由题意可得函数与有两个交点，
又因为，
所以当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以，
又因为函数与有两个交点，
所以，
所以的取值范围为．
故选：．
先分析时二次函数零点的情况，而时可将零点的问题转化为两个函数图象交点的问题，利用导数求解即可．
本题考查了二次函数的性质、指数函数的性质、导数的综合运用及转化思想，属于中档题．
11.【答案】
【解析】解：函数的单调递增区间，即函数在的条件下，的减区间．
由二次函数的性质可得，在的条件下，的减区间为，
故答案为：．
本题即即求函数在的条件下，的减区间，由二次函数的性质可得结论．
本题主要考查二次函数、对数函数的性质，复合函数的单调性，属于中档题．
12.【答案】
【解析】解：因是定义在上的偶函数，且在区间上单调递增，
所以在区间上单调递减，且，
由，在区间上单调递增，故，
由，在区间上单调递减，故，
综上，．
故答案为：．
利用函数的单调性和偶函数在对称区间单调性相反可得．
本题考查了函数奇偶性和单调性的应用，比较基础．
13.【答案】
【解析】【分析】
考察了二项式定理的应用，考查了学生的运算能力，属于基础题．
求出展开式的通项，然后令的指数为，进而可以求解．
【解答】
解：二项式的展开式的通项为，，，，，，
令，解得，
所以展开式的常数项为，
故答案为：．
14.【答案】
【解析】解：由题意知，，
，
正态分布曲线的对称轴为直线，
因为，
，
故该品牌手机的电池使用寿命不少于年且不多于年的概率为．
故答案为：．
易得从而正态分布曲线的对称轴为直线，即可得到答案．
本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查正态分布中两个量和的应用，考查曲线的对称性，属于基础题．
15.【答案】
【解析】解：取出的个球共有种，
若同为白球，共有种；若同为黑球，共有种；
可得同色球共有种，
所以取出的个球为同色球的概率为．
故答案为：．
根据题意分同为白球和同为黑球两种情况，结合古典概型运算求解．
本题考查古典概型相关知识，属于基础题．
16.【答案】
【解析】解；由，根据基本不等式，
得，
当且仅当，即时等号成立．
所以函数的最小值为．
故答案为：．
利用基本不等式求和的最小值．
本题主要考查基本不等式的公式，属于基础题．
17.【答案】解：Ⅰ，，，，
所以，．
Ⅱ由换底公式得：，
所以，
当且仅当，即取等号，因此的最小值为．
【解析】Ⅰ将，表示出来，利用对数恒等式计算即可；Ⅱ利用换底公式，基本不等式可求最小值．
本题考查对数的运算，基本不等式求最值，属于中档题．
18.【答案】解：由，得
，，
曲线在点处的切线方程为，即；
设切点为，，
切线方程为，
切线经过原点，
，
，．
则，
所求的切线方程为；
切点为．
【解析】求出原函数的导函数，得到函数在时的导数，即切线的斜率，然后由直线方程的点斜式得答案；
设出切点坐标，求出函数过切点的切线方程，由切线过原点求得切点横坐标，则直线方程与切点坐标可求．
本题考查了利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，关键是区分切线所经过的点是否为切点，是中档题．
19.【答案】解：，则甲队有两人答对，一人答错，
故；
设甲队和乙队得分之和为为事件，设乙队得分为，则，
，
，
，
，
．
【解析】由题意，根据独立事件的概率乘法公式，可得答案；
由题意，根据概率乘法公式与二项分布的概率公式，结合概率加法公式，可得答案．
本题考查了概率乘法公式与二项分布的概率公式，属于中档题．
20.【答案】解：，
因为是函数的一个极值点，
所以，解得．
由得，，
，
令，得，．
和随的变化情况如下：
极大值 极小值
的增区间是和；减区间是．
由知，的极大值为，极小值为．
因为，，
所以．
因为，，
所以．
函数图像如图所示，
当直线与函数的图像有个交点时，函数有个零点，
的值在函数的极小值和极大值之间，所以的取值范围为．
【解析】由极值点，有，可解得；
利用导数求函数的单调区间；
利用函数单调性和极值，数形结合求的取值范围．
本题主要考查利用导数研究函数的单调性，极值，函数的零点问题，考查运算求解能力，属于中档题．
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