2023-2024学年四川省宜宾市叙州重点高三（上）开学数学试卷（理科）（含解析）

2023-2024学年四川省宜宾市叙州重点高三（上）开学数学试卷（理科）
一、单选题（本大题共12小题，共60.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 已知复数满足为虚数单位，则复数在复平面所对应的点在( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2. 已知命题：，，则的否定为( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
3. 若，是任意实数，且，则( )
A. B. C. D.
4. 函数在处的切线方程为( )
A. B. C. D.
5. 密位制是度量角与弧的常用制度之一，周角的称为密位．用密位作为角的度量单位来度量角与弧的制度称为密位制．在密位制中，采用四个数字来记角的密位，且在百位数字与十位数字之间加一条短线，单位名称可以省去．如密位记为“”，个平角，个周角已知函数，，则函数的最小值用密位制表示为( )
A. B. C. D.
6. 已知实数，满足条件，则的最大值为( )
A. B. C. D.
7. 下列命题中错误的是( )
A. 在回归分析中，相关系数的绝对值越大，两个变量的线性相关性越强
B. 对分类变量与，它们的随机变量的观测值越小，说明“与有关系”的把握越大
C. 线性回归直线恒过样本中心
D. 在回归分析中，残差平方和越小，模型的拟合效果越好
8. 若函数在上单调递减，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
9. 如图，已知三棱柱的各条棱长都相等，且底面，是侧棱的中点，则异面直线和所成的角的大小是( )
A.
B.
C.
D.
10. 四棱锥中，底面为矩形，，，且，当该四棱锥的体积最大时，其外接球的表面积为( )
A. B. C. D.
11. 已知，，，则，，的大小关系为( )
A. B. C. D.
12. 抛物线：的焦点为，点在上且在准线上的投影为，直线交轴于点以为圆心，为半径的圆与轴相交于，两点，为坐标原点．若，则圆的半径为( )
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 为了解儿子身高与其父亲身高的关系，随机抽取对父子的身高数据如表：
父亲身高
儿子身高
则对的回归直线的方程为______ ．
14. 在的展开式中，含项的系数为______用数字作答
15. 某教师一天上个班级的课，每班上节，如果一天共节课，上午节，下午节，并且教师不能连上节课第节和第节不算连上，那么这位教师一天的课表的所有不同排法有______ 种
16. 直线与椭圆：相交于，两点，若为坐标原点，则以点为圆心且与直线相切的圆方程为______．
三、解答题（本大题共7小题，共82.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
已知函数．
当时，求函数的极值；
若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围．
18. 本小题分
在四棱锥中，为直角三角形，且，四边形为直角梯形，且为直角，为的中点，为的四等分点且，为中点且．
证明：平面；
设二面角的大小为，求的取值范围．
19. 本小题分
“共享单车”的出现，为我们提供了一种新型的交通方式某机构为了调查人们对此种交通方式的满意度，从交通拥堵不严重的城市和交通拥堵严重的城市分别随机调查了个用户，得到了一个用户满意度评分的样本，并绘制出茎叶图如图：
根据茎叶图，比较两城市满意度评分的平均值的大小及方差的大小不要求计算具体值，给出结论即可；
若得分不低于分，则认为该用户对此种交通方式“认可”，否则认为该用户对此种交通方式“不认同”，请根据此样本完成此列联表，并据此样本分析是否有的把握认为城市拥堵与认可共享单车有关；
若此样本中的城市和城市各抽取人，则在此人中恰有一人认可的条件下，此人来自城市的概率是多少？
合计
认可 _____ _____ _____
不认可 _____ _____ _____
合计 _____ _____ _____
附：
20. 本小题分
已知为坐标原点，椭圆的离心率为，椭圆的上顶点到右顶点的距离为．
求椭圆的方程；
若椭圆的左、右顶点分别为、，过点作直线与椭圆交于、两点，且、位于第一象限，在线段上，直线与直线相交于点，连接、，直线、的斜率分别记为、，求的值．
21. 本小题分
已知是自然对数的底数，函数与的定义域都是．
求函数在点处的切线方程；
判断函数零点个数
用表示，的最小值，设，，若函数在上为增函数，求实数的取值范围．
22. 本小题分
在直角坐标系中，直线的方程为，曲线的参数方程为参数
Ⅰ已知在极坐标系与直角坐标系取相同的长度单位，且以原点为极点，以轴正半轴为极轴中，点的极坐标，判断点与直线的位置关系；
Ⅱ设点为曲线上的一个动点，求它到直线的距离的最小值．
23. 本小题分
设．
解不等式；
已知实数、、满足，且的最大值是，求的值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：，
复数满足为虚数单位，
，
，
解得，
，
则复数在复平面所对应的点在第二象限．
故选：．
设，由于复数满足为虚数单位，可得，于是，解出即可．
本题考查了复数的模的计算公式、复数相等、几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
2.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查全称量词命题的否定，属于基础题．
根据全称量词命题的否定即可得到结论．
【解答】
解：命题为全称量词命题，则命题的否定为，，
故选D．
3.【答案】
【解析】解：根据题意，依次分析选项：
对于，当，时，满足，但，A错误；
对于，当，时，满足，但，B错误；
对于，当，时，，C错误；
对于，函数在上为减函数，若，必有在成立，D正确．
故选：．
根据题意，由不等式的性质依次分析选项，综合可得答案．
本题考查不等式的性质，涉及不等式的证明，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：时，，函数的导数为，
在点处的切线的斜率为，
则函数在点处的切线方程为．
故选：．
求得函数的导数，可得切线的斜率，由斜截式方程可得切线方程．
本题考查导数的运用：求切线方程，考查方程思想和运算能力，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：根据题意，，，
其导数，
在区间上，，为增函数，
在区间上，，为减函数，
且，，则的最小值为，
其密位大小为，用密位制表示为；
故选：．
根据题意，利用导数求出，的最小值，进而用密位制表示，即可得答案．
本题考查函数的最值，关键掌握密位制表示角的方法，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：由约束条件作出可行域如图，
联立，解得．
化为，由图可知，当直线过时，
直线在轴上的截距最大，有最大值为．
故选：．
由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．
本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．
7.【答案】
【解析】解：对于选项A：在回归分析中，对于相关系数，当越接近时，相关程度越大，说明拟合效果越好，故选项A正确；
对于选项B：对于分类变量与，它们的随机变量的观测值越小，说明“与有关系”的可能性越小，故选项B错误；
对于选项C：已知线性回归直线，
其中，
所以回归直线恒过样本中心，故选项C正确；
对于选项D：在回归分析中，残差平方和越小，模型的拟合效果越好，故选项D正确．
故选：．
由题意，根据线性回归方程、相关系数的定义、独立性检验以及残差平方和对选项进行逐一分析，进而即可求解．
本题考查线性回归方程、相关系数、独立性检验等，考查了逻辑推理能力．
8.【答案】
【解析】解：，由题意在上恒成立．
若，显然有；
若，由得，于是，
，
综上知．
故选：．
求出，分两种情况当小于等于时，导函数恒小于满足题意；当大于，根据导函数小于等于列出不等式，求出的取值范围，让的最大值大于列出关于的不等式，求出的取值范围，两者求出并集即可得到所有满足题意的范围．
此题要求学生会利用导函数的正负研究函数的单调性，是一道中档题．
9.【答案】
【解析】解：设棱长为，补正三棱柱如图．
平移至，连接，即为与所成的角，
在中，，，
，
，
．
故选：．
由题意设棱长为，补正三棱柱，构造直角三角形，解直角三角形求出，利用勾股定理求出，从而求解．
此题主要考查了异面直线及其所成的角和勾股定理的应用，计算比较复杂，要仔细的做．
10.【答案】
【解析】解：底面为矩形，面积为定值，当垂直底面时，该四棱锥的体积最大，
在三角形中，，，
若三角形面积最大，则到边的距离最大，
设，则，
由海伦公式可得：．
当且仅当，即时上式取“”．
此时到的距离为．
若该四棱锥体积最大，则平面平面，
连接，，设，设的中心为，分别过，作平面与平面的垂线，相交于，则为四棱锥的外接球的球心，
则外接球的．
那么外接球的表面积．
故选：．
底面为矩形，面积为定值，当三角形为正三角形且平面平面时四棱锥的体积最大，然后求出四棱锥的外接球的球心，得到半径，代入球的表面积公式得答案．
本题考查多面体外接球表面积最值的求法，考查利用基本不等式求最值，考查函数与方程思想的应用，是中档题．
11.【答案】
【解析】解：设，，则有，
所以当时，，单调递减；
当时，，单调递增．
所以，，即有，．
令，则，
所以当时，，单调递增；
当时，，单调递减．
所以，即，故，，
令，有，
可得函数单调递增，故有，可得，
可得，故，综上所述，．
故选：．
设，，利用导函数可得，的单调性，可得，，令，利用导函数可得在单调递增，从而有，即可得出答案．
本题考查了导数与单调性关系在函数值大小比较中的应用，属于中档题．
12.【答案】
【解析】解：设，由题意可得在准线上，所以为的中点，所以，
因为，所以为的中点，所以，所以，，
因为为圆上，所以可得：，解得：，所以圆的半径为：
故选：．
设的坐标，由题意可得的坐标，可得，的坐标，再由圆可得，解得的坐标，进而可得的半径．
本题考查抛物线的性质，属于中档题．
13.【答案】
【解析】【分析】
本题考查回归分析的初步应用，写方程要用的斜率和，的平均数都要经过计算算出，属于基础题．
根据所给的数据计算出，的平均数和回归直线的斜率，即可写出回归直线方程．
【解答】
解：，
，
样本组数据的样本中心点是，
，，
回归直线方程为．
故答案为：．
14.【答案】
【解析】解：表示个因式的乘积，故其中有个因式取，
个因式取，剩下的个因式取，可得含项，
故含项的系数为，
故答案为：．
根据乘方意义，应用排列组合的知识，求出含项的系数．
本题主要考查乘方意义，排列组合的知识，属于基础题．
15.【答案】
【解析】解：首先求得不受限制时，从节课中任意安排节课，有种排法，
其中上午连排节课的有种，下午连排节课的有种，
则这位教师一天的课表的所有不同排法有种．
故答案为：．
利用间接法即可求解．
本题主要考查排列、组合及简单计数问题，考查运算求解能力，属于基础题．
16.【答案】
【解析】解：当直线的斜率不存在，设的坐标为，，
若，结合椭圆的对称性分析可得，则直线方程为，代入椭圆方程，解得：，
以点为圆心且与直线相切的圆方程，
当直线的斜率存在时且不为，设，直线的方程为，
由，整理得，，，
由，则，即，即，
，
成立，
因为与圆心为的定圆相切 所以到的距离，
即定圆的方程为．
综上可知：以点为圆心且与直线相切的圆方程，
故答案为：．
分类讨论，当直线的斜率存在时，设直线的方程，代入椭圆方程，由韦达定理及向量的坐标运算，
本题考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理及向量的坐标运算，点到直线的距离公式的应用，考查计算能力，属于中档题．
17.【答案】解：函数的定义域为，
当时，
求导得，
整理得：．
令可得，或舍去
当时，，函数在上单调递减，
当时，，函数在上单调递增，
所以当时，函数取极小值，极小值为，
函数无极大值；
由已知时，恒成立，
所以恒成立，
即恒成立，则．
令函数，
由知在单调递增，
从而．
经检验知，当时，函数不是常函数，
所以的取值范围是．
【解析】先求函数的定义域和导函数，根据导数与极值点的关系求极值点，再求极值即可；
由条件可知在上恒成立，再分离变量求最值即可求解．
本题考查导数的综合应用，利用导数研究函数的单调性与极值，化归转化思想，属中档题．
18.【答案】证明：取的中点，连结，，
在直角梯形中，且，
又为的中点，所以四边形为矩形，
所以为的中点，
所以为的中位线，
又，所以，
在直角中，，
所以为等边三角形，
所以，又，，平面，
所以平面，又平面，
所以，又因为，，，平面，
所以平面；
解：如图，建立空间直角坐标系，
不妨设，，
则，，
所以，
设平面的一个法向量为，
则有，即，
取，则，
故，
同理可得平面的一个法向量，
由图可知，二面角为锐二面角，
所以，
又，
所以．
【解析】取的中点，连结，，利用平面几何知识证明得到，，然后再利用线面垂直的判定定理进行证明即可；
建立合适的空间直角坐标系，求出所需各点的坐标，然后求出两个平面的法向量，利用二面角的计算公式表示出，利用的取值范围求解的范围即可．
本题考查了立体几何的综合应用，涉及了线面垂直的判定定理和性质定理的应用、利用向量法求解二面角的应用，解题的关键是建立合适的空间直角坐标系，得到所需的向量，将问题转化为空间向量之间的关系进行研究，属于中档题．
19.【答案】解：由茎叶图可知，城市的满意度评分比较分散，主要分布在茎、、上，城市的满意度评分比较集中，主要分布在茎、上，故A城市评分的平均值小于城市评分的平均值；城市评分的方差大于城市评分的方差．
由样本完成列联表如下表：
合计
认可
不认可
合计
，
没有的把握认为城市拥堵与认可共享单车有关；
设事件：恰有一人认可，事件：来自城市的人认可．
事件包含的基本事件数为，
事件包含的基本事件数为，
则所求的条件概率．
【解析】由茎叶图可知，城市的满意度评分比较分散，主要分布在茎、、上，城市的满意度评分比较集中，主要分布在茎、上，由此即可得结论；
由茎叶图中的样本数据完成列联表，计算的值，结合临界值表得结论；
设事件：恰有一人认可，事件：来自城市的人认可，分别求出事件与事件包含的基本事件数，再由条件概率计算公式求解．
本题考查茎叶图与独立性检验，考查条件概率的求法，是基础题．
20.【答案】解：由题意知，，可得，
圆的上顶点到右顶点的距离为，
解得，，，
因此，椭圆的方程为；
解：如下图所示：
不妨设、，由图可知，直线的斜率存在，
设直线的方程为，因为点，则，则，
联立，可得，
，可得，即，
解得，
，，
解得，
所以，，易知、，
由于在直线上，设，
又由于在直线上，则，可得，
所以
．
【解析】由已知条件可得出关于、、的方程组，解出这三个量的值，即可得出椭圆的方程；
不妨设、，设直线的方程为，可得，将直线的方程与椭圆方程联立，列出韦达定理，设，根据点在直线上，得出，然后利用斜率公式以及韦达定理可求出的值．
本题考查椭圆方程的求法及直线与椭圆的综合应用，属于中档题．
21.【答案】解：由，得，
切线的斜率，．
函数在点处的切线方程为；
，，
，，，
存在零点，且．
，当时，；
当时，由，
得，
在上是减函数．
若，，，则，
函数只有一个零点，且；
，故，
函数只有一个零点，，
，，
在为增函数在，恒成立．
当时，在区间上恒成立．
设，则只需，
，在单调减，在单调增，
，．
当时，，
由上述得，则在恒成立．
综上，实数的取值范围是．
【解析】对求导，求出斜率和，可得函数在点处的切线方程；
利用零点存在定理，可得存在零点，且，然后根据的单调性可以进一步确定函数只有一个零点；
根据条件可得，再判断函数的单调性，根据在上为增函数，可得的范围．
本题考查了函数切线方程的求法，零点存在定理和利用导数研究函数的单调性与最值，考查了分类讨论思想和函数思想，属难题．
22.【答案】解：Ⅰ把极坐标系下的点化为直角坐标，得分
因为点的直角坐标满足直线的方程，
所以点在直线上．分
因为点在曲线上，故可设点的坐标为，分
从而点到直线的距离为
，分
由此得，当时，取得最小值分
【解析】Ⅰ首先把点的极坐标转化成直角坐标，进一步利用点和方程的关系求出结果．
Ⅱ进一步利用点到直线的距离，利用三角函数关系式的恒等变换，把函数关系式变形成余弦型函数，进一步求出最值．
本题考查的知识要点：极坐标和直角坐标的互化，点到直线的距离的公式的应用，三角函数的最值问题．
23.【答案】解：时，不等式化为，，；
时，不等式化为，成立；
时，不等式化为，，；
综上所述，不等式的解集为；
由柯西不等式：，
因为，所以，
因为的最大值是，所以，
当时，取最大值，所以．
【解析】利用绝对值的意义，分类讨论，即可解不等式；
由柯西不等式：，可得出，从而可根据最大值为，建立关于的方程解出值即可．
本小题主要考查柯西不等式等基础知识，考查运算求解能力，对于柯西不等式的构造是题目的关键，需要同学们灵活应用．
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