2023-2024学年四川省成都市蓉城名校联盟高三（上）入学联考数学试卷（文科）（含解析）

2023-2024学年四川省成都市蓉城名校联盟高三（上）入学联考数学试卷（文科）
一、单选题（本大题共12小题，共60.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 若复数满足，则( )
A. B. C. D.
2. 设集合，若集合，，则( )
A. B.
C. D. 或
3. 棱长为的正方体的外接球的表面积为( )
A. B. C. D.
4. 已知，，，则( )
A. B. C. D.
5. 养殖户在某池塘随机捕捞了条鲤鱼做好标记并放回池塘，几天后又随机捕捞了条鲤鱼，发现有条鲤鱼被标记，据此估计池塘里鲤鱼大约有( )
A. 条 B. 条 C. 条 D. 条
6. 若函数是定义域上的奇函数，则实数的值为( )
A. B. C. D.
7. 若直线的倾斜角为，则( )
A. B. C. D.
8. 过点作圆的两条切线，切点分别为，，则( )
A. B. C. D.
9. 若函数在区间上是增函数，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
10. 庑殿式屋顶是中国古代建筑中等级最高的屋顶形式，分为单檐庑殿顶与重檐庑殿顶单檐庑殿顶主要有一条正脊和四条垂脊，前后左右都有斜坡如图，类似五面体的形状如图，若四边形是矩形，，且，，则五面体的表面积为( )
A. B. C. D.
11. 若函数，的值域为，则的最小值为( )
A. B. C. D.
12. 已知的顶点在抛物线上，若抛物线的焦点恰好是的重心，则的值为( )
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 若，，则 ______ ．
14. 已知双曲线的一条渐近线方程为，则 ______ ．
15. 勒洛三角形是分别以等边的每个顶点为圆心，以边长为半径的三段内角所对圆弧围成的曲边三角形，由德国机械工程专家勒洛首先发现，勒洛三角形因为其具有等宽性被广泛地应用于机械工程，如转子发动机，方孔钻机等如图，曲边三角形即是等边对应的勒洛三角形，现随机地在勒洛三角形内部取一点，则该点取自及其内部的概率为______ ．
16. 在中，角，，的对边分别为，，，若，，则面积的最大值为______ ．
三、解答题（本大题共7小题，共82.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
已知等比数列的各项满足，若，且，，成等差数列．
求的通项公式；
求数列的前项和．
18. 本小题分
如图，在四棱锥中，底面，，，，．
证明：平面；
求三棱锥的体积．
19. 本小题分
近日，某市市民体育锻炼的热情空前高涨某学生兴趣小组在月日随机抽取了该市人，并对其当天体育锻炼时间进行了调查，如图是根据调查结果绘制的体育锻炼时间的频率分布直方图，锻炼时间不少于分钟的人称为“运动达人”．
估算这人当天体育锻炼时间的众数和平均数每组中的数据用组中值代替；
根据已知条件完成下面的列联表，并据此判断是否有的把握认为“运动达人”与性别有关．
非“运动达人” “运动达人” 合计
男性
女性
合计
附：，，
临界值表：
20. 本小题分
已知函数．
求过原点的切线方程；
证明：当时，对任意的正实数，都有不等式恒成立．
21. 本小题分
已知椭圆过点，且上顶点与右顶点的距离的．
求椭圆的方程；
若过点的直线交椭圆于，两点，轴上是否存在点使得，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
22. 本小题分
在平面直角坐标系中，直线的参数方程为为参数，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
求曲线的直角坐标方程；
若与有公共点，求实数的取值范围．
23. 本小题分
已知函数．
当时，求不等式的解集；
若，求实数的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：，
则．
故选：．
根据已知条件，结合复数模公式，即可求解．
本题主要考查复数模公式，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：集合，集合，，
，
．
故选：．
根据集合的基本运算即可求，进而求解结论．
本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题．
3.【答案】
【解析】解：设正方体的棱长为，正方体外接球的半径为，则由正方体的体对角线的长就是外接球的直径的大小可知：，即；
所以外接球的表面积为：．
故答案为：
由正方体的体对角线的长就是外接球的直径的大小，因此可得到外接球的直径，进而求得，再代入球的表面积公式可得球的表面积．
本题考查正方体与球的知识，正方体的外接球的概念以及正方体棱长与其外接球的直径之间的数量关系，球的表面积的计算．
4.【答案】
【解析】解：，，，即，
故．
故选：．
根据已知条件，以，为中间数，进行比较，即可求解．
本题主要考查数值大小的比较，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：设池塘里鲤鱼大约有条，
则由题意可知，，解得．
故选：．
根据已知条件，列出等式，即可求解．
本题主要考查用样本的数字特征估计总体的数字特征，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：若函数是定义域上的奇函数，
则，即，
此时为奇函数，符合题意．
故选：．
由已知结合奇函数的性质即可求解．
本题主要考查了奇函数的性质的应用，属于基础题．
7.【答案】
【解析】解：直线的倾斜角为，
则，
故．
故选：．
先求出，再结合二倍角公式，即可求解．
本题主要考查直线的倾斜角，属于基础题．
8.【答案】
【解析】解：圆，即，即圆心，半径为，
则，，
，为切点，
，
，即，
．
故选：．
根据已知条件，结合圆的几何性质，以及勾股定理，即可求解．
本题主要考查圆的切线方程，属于基础题．
9.【答案】
【解析】解：在区间上是增函数，
在区间上恒成立，
在区间上恒成立，
设，，
，
在上单调递减，
，
，
即实数的取值范围为．
故选：．
根据题意可得在区间上恒成立，再参变量分离转化为最值，即可求解
本题考查导数的综合应用，利用导数研究函数的单调性，恒成立问题的求解，化归转化思想，属中档题．
10.【答案】
【解析】解：五面体中，四边形是矩形，，且，，
所以五面体的表面积为．
故选：．
五面体的表面积为，由此计算即可．
本题考查了几何体体积的计算问题，是基础题．
11.【答案】
【解析】解：，
即，
由已知条件可知，，
令，，得，，
再令，
即，令，，得，，
故的最小值为．
故选：．
在一个周期内求出，时的的值，即可求出的值．
本题考查正弦函数的图像与性质，属于中档题．
12.【答案】
【解析】解：设，，，
抛物线，
则，
焦点恰好是的重心，
则，
故．
故选：．
根据已知条件，结合重心的性质，以及抛物线的定义，即可求解．
本题主要考查抛物线的性质，属于基础题．
13.【答案】
【解析】解：已知，，
则，
则．
故答案为：．
结合平面向量数量积的坐标运算求解即可．
本题考查了平面向量数量积的坐标运算，属基础题．
14.【答案】
【解析】解：由双曲线，得，，
双曲线的一条渐近线方程为，
可得．
故答案为：．
由双曲线的方程求得渐近线方程，结合已知得答案．
本题考查双曲线的简单性质，是基础题．
15.【答案】
【解析】解：设等边的边长为，
则，
又因为，
所以勒洛三角形的面积，
所以所求概率为．
故答案为：．
设等边的边长为，求出勒洛三角形的面积和三角形的面积，再利用几何概型的概率公式求解．
本题主要考查扇形的面积公式，考查了几何概型的概率公式，属于基础题．
16.【答案】
【解析】解：由余弦定理知，，
所以，
所以，当且仅当时，等号成立，
所以面积，
即面积的最大值为．
故答案为：．
结合余弦定理与基本不等式，推出，再由，得解．
本题考查解三角形，熟练掌握余弦定理，三角形面积公式与基本不等式是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
17.【答案】解：设等比数列的公比为，
，且，，成等差数列，
，即，解得或，
，
，，
的通项公式为；
由得，则，
数列的前项和
，
故数列的前项和为．
【解析】设等比数列的公比为，由题意得，即，求解，结合题意，利用等比数列的通项公式，即可得出答案；
由得，则，利用分组求和法，即可得出答案．
本题考查等差数列和等比数列的综合，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
18.【答案】证明：底面，平面，，
在直角梯形中，由，，，，
解得，，
，∽，
则，
可得，，
在中，有，得，
又，平面；
解：，，
三棱锥的体积．
【解析】由底面，得，再求解三角形证明，可得平面；
求出直角梯形与三角形的面积，再由四棱锥的体积减去三棱锥的体积得答案．
本题考查直线与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用等体积法求多面体的体积，是中档题．
19.【答案】解：众数为，
平均数为；
由频率分布直方图可知，“运动达人”的人数为，则非“运动达人”的人数为，
完成列联表如下：
非“运动达人” “运动达人” 合计
男性
女性
合计
则，
所以没有的把握认为“运动达人”与性别有关．
【解析】根据众数和平均数的定义求解；
根据频率分布直方图求出“运动达人”的人数和非“运动达人”的人数，完成列联表，计算的值，再与临界值比较即可．
本题主要考查了频率分布直方图的应用，考查了独立性检验的应用，属于基础题．
20.【答案】解：，
，
设过原点的切线切于点，
则处的切线方程为，又该切线过原点，
，
，，
过原点的切线方程；
证明：当时，对任意的正实数，都有，
又，
，，
设，，
则，
在上单调递增，
，
即在上恒成立，
，，
由可得，
故原命题得证．
【解析】利用导数的几何意义，直线的点斜式方程，即可求解；
根据题意易得，再构造函数，，证明，从而可得，最后利用不等式的传递性，即可得证．
本题考查导数的综合应用，构造函数证明不等式，不等式的性质的应用，化归转化思想，属中档题．
21.【答案】解：因为椭圆的上顶点与右顶点的距离为，
所以，
因为点在椭圆上，
所以，
联立，解得，或，不合题意，舍去，
所以椭圆的方程为；
当直线与轴重合时，轴上存在点使得，
当直线与轴不重合时，
不妨设直线的方程为，
联立，消去并整理得，
此时，
解得或，
不妨设，，
由韦达定理得，，
若存在点使得，
即存在点使得，
不妨设，
因为，
即，
即，
整理得，
代入得，
所以点的坐标为，
综上，轴上存在点满足题意．
【解析】由题意，根据椭圆的上顶点与右顶点的距离为，得到，再将点代入椭圆中，进而可得椭圆的方程；
对直线的斜率是否存在进行讨论，当直线的斜率存在时，设直线的方程为，将直线的方程与椭圆方程联立，结合根的判别式求出的取值范围，若存在点使得，此时存在点使得，不妨设，代入斜率公式中即可得证．
本题考查椭圆的性质以及直线与圆锥曲线的综合问题，考查了逻辑推理、分类讨论和运算能力．
22.【答案】解：曲线的极坐标方程为，整理得：，化简得：，
根据，转换为直角坐标方程为：，
直线的参数方程为为参数，转换为直角坐标方程为；
由于直线与有公共点，
所以，整理得，
利用，解得．
故实数的取值范围为．
【解析】直接利用转换关系，在参数方程，极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换；
利用一元二次方程的解的情况求出实数的取值范围．
本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程的解法，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．
23.【答案】解：当时，，
当时，令，解得；
当时，成立，所以；
当时，令，解得；
综上所述，的解集为：；
因为，当时，等号成立，
又因为，
所以有，
当时，上式显然成立；
当时，由，可得，解得，
综上所述，实数的取值范围为．
【解析】将写成分段函数，再分别求解即可；
由题意可得，分、分别求解即可．
本题考查了绝对值不等式的解法，三角绝对值不等式的应用，属于中档题．
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