2023-2024学年上海市曹杨二中高三（上）开学数学试卷（含解析）

2023-2024学年上海市曹杨二中高三（上）开学数学试卷
一、单选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 已知是定义在上的可导函数，若，则( )
A. B. C. D.
2. 已知三条直线：，：，：将平面分为六个部分，则满足条件的的值共有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 无数个
3. 已知函数的导函数满足对恒成立，则下列判断一定正确的是( )
A. B.
C. D.
4. 已知抛物线，为其焦点，为其准线，过任作一条直线交抛物线于、两点，、分别为、在上的射影，为的中点，给出下列命题：
；
；
；
与的交点在轴上；
与交于原点．
其中真命题的个数为( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
二、填空题（本大题共12小题，共54.0分）
5. 过、两点的直线的倾斜角为，那么 ______ ．
6. 若集合，，则 ______ ．
7. 双曲线的一条渐近线与直线垂直，则______．
8. 如图为函数的图象，为函数的导函数，则不等式的解集为______ ．
9. “”是方程“”表示焦点在轴上的椭圆的_____________条件．
10. 若曲线上点处的切线平行于直线，则点的坐标是________．
11. 若函数是上的单调函数，则实数的取值范围是______ ．
12. 已知圆：和圆：，则过点且与，都相切的直线方程为______ ．
13. 如图所示，为完成一项探月工程，某月球探测器飞行到月球附近时，首先在以月球球心为圆心的圆形轨道Ⅰ上绕月球飞行，然后在点处变轨进入以为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月球飞行，最后在点处变轨进入以为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月球飞行，设圆形轨道Ⅰ的半径为，圆形轨道Ⅲ的半径为，则椭圆轨道Ⅱ的离心率为______ 用、表示．
14. 已知直线其中为实数过定点，点在函数的图象上，则连线的斜率的取值范围是 ．
15. 已知抛物线：的焦点为，直线：，点，分别是抛物线、直线上的动点，若点在某个位置时，仅存在唯一的点使得，则满足条件的所有的值为______ ．
16. 已知实数，，满足：与，则的取值范围为______ ．
三、解答题（本大题共5小题，共76.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
已知全集，集合，．
求；
设集合，若，求实数的取值范围．
18. 本小题分
已知圆经过，两点，且圆心在直线上．
求圆的方程；
过点的直线与圆交于，两点，如果，求直线的方程．
19. 本小题分
某网球中心在平方米土地上，欲建数块连成片的网球场每块球场的建设面积为平方米当该中心建设块球场时，每平方米的平均建设费用单位：元可近似地用函数关系式来刻画，此外该中心还需为该工程一次性向政府缴纳环保费用元．
请写出当网球中心建设块球场时，该工程每平方米的综合费用的表达式，并指出其定义域综合费用是建设费用与环保费用之和；
为了使该工程每平方米的综合费用最省，该网球中心应建多少个球场？
20. 本小题分
如图，已知椭圆，抛物线，点是椭圆与抛物线的一个交点，过点的直线交椭圆于点，交抛物线于点、不同于．
若抛物线的焦点是椭圆的一个焦点，求的值；
若直线过椭圆的右焦点，求面积的最大值及此时直线的方程；
若存在不过原点的直线使为线段的中点，求的最大值．
21. 本小题分
已知函数，，．
，，求实数，的值；
若，，且不等式对任意恒成立，求的取值范围；
设，试利用结论，证明：若，，，，其中，，则．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：．
故选：．
根据极限与导数的定义计算．
本题主要考查导数的定义，属于基础题．
2.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查了直线位置关系的应用，属于中档题．
由已知可得三条直线交于一点或两条平行线与第三条直线相交，结合直线的位置关系可求．
【解答】
解：因为三条直线：，：，：将平面分为六个部分，
所以三条直线交于一点或两条平行线与第三条直线相交，
当三条直线交于一点时，联立可得，此时，即，
当两条平行线与第三条直线相交时，可得或，
所以或．
故选：．
3.【答案】
【解析】【分析】
本题考查函数的单调性与导数的关系，考查转化思想以及计算能力，属于中档题．
构造函数，判断导函数的符号，推出函数的单调性，化简求解即可．
【解答】
解：设，
则，
在上递增，
，
即，
故选：．
4.【答案】
【解析】解：由于，在抛物线上，根据抛物线的定义可知，，因为、分别为、在上的射影，所以；
取中点，则，；
由知，平分，，，；
取轴，则四边形为矩形，则可知与的交点在轴上；
取轴，则四边形为矩形，则可知与交于原点
故选D．
由于，在抛物线上，根据抛物线的定义可知，，从而由相等的角，由此可判断；
取中点，利用中位线即抛物线的定义可得，从而；
由知，平分，从而可得，根据，利用垂直于同一直线的两条直线平行，可得结论；
取轴，则四边形为矩形，则可得结论；
取轴，则四边形为矩形，则可得结论．
本题以抛物线为载体，考查抛物线的性质，解题的关键是合理运用抛物线的定义．
5.【答案】
【解析】解：过、两点的直线的倾斜角为，
则，
又．
故答案为：．
根据已知条件，结合直线的斜率公式，即可求解．
本题主要考查直线的斜率公式属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：因为，
所以，得，
所以，
又因为，
所以，得或，
所以，
所以．
故答案为：．
分别求出集合中不等式的解集，再根据集合的交集运算，即可得到本题答案．
本题考查不等式与集合相关知识，属于基础题．
7.【答案】
【解析】解：双曲线即为，
可得渐近线为，
直线的斜率为，
而渐近线的斜率为，
由两直线垂直的条件：斜率之积为，可得
，
即有．
故答案为：．
求得双曲线的渐近线方程，直线的斜率为，运用两直线垂直的条件：斜率之积为，计算即可得到所求值．
本题考查双曲线的渐近线方程的运用，考查两直线垂直的条件：斜率之积为，考查运算能力，属于基础题．
8.【答案】
【解析】解：如图为函数的图象，为函数的导函数，
由图，得，
由的图象得在，，处取得极值，
则的符号如下：



，或，
或．
故不等式的解集为．
故答案为：．
由函数的图象可以看出，由，得或，即可得到其解集．
本题利用导数研究函数的单调性，解题的关键是理解并掌握函数的导数的符号与函数的单调性的关系，本题利用图形告诉函数导数的符号，形式新颖．
9.【答案】充要
【解析】【分析】
本题考查的知识点是充要条件的定义及椭圆的定义，属于基础题．
分别判断“”“方程表示焦点在轴上的椭圆”的真假，及“方程表示焦点在轴上的椭圆”“”的真假，然后根据充要条件的定义，即可得到结论．
【解答】
解：当“”时，”方程表示焦点在轴上的椭圆”成立，
即“””方程表示焦点在轴上的椭圆”为真命题；
当“方程表示焦点在轴上的椭圆”时，“”也成立，
即“方程表示焦点在轴上的椭圆”“”也为真命题，
故“”是”方程表示焦点在轴上的椭圆”的充要条件．
故答案为：充要．
10.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了导数的几何意义，即点处的切线的斜率是该点出的导数值，以及切点在曲线上和切线上的应用．
先设，对函数求导，由在在点处的切线与直线平行，求出，最后求出．
【解答】
解：设切点，则，
，在点处的切线与直线平行，
令，解得，
，
故．
故答案为．
11.【答案】．
【解析】解：已知，函数定义域为，
可得，
若函数是上的单调函数，
当函数是上的单调递增函数，
此时恒成立，
即在上恒成立，
此时，
解得；
当函数是上的单调递减函数，
此时恒成立，
即在上恒成立，不符合题意，
综上，满足条件的实数的取值范围为．
故答案为：．
由题意，对函数进行求导，对函数是上的单调递增函数和函数是上的单调递减函数这两种情况进行讨论，将问题转化成导函数的不等式恒成立，结合判别式进行求解即可．
本题考查利用导数研究函数的单调性，考查了逻辑推理、分类讨论和运算能力．
12.【答案】
【解析】解：过点且与相切的直线方程设为，即，
可，解得或，切线方程为：或，
圆：的圆心到直线的距离，
所以直线与圆不相切，故不满足题意，
又，所以直线与圆相切，满足题意．
故答案为：．
求解经过与圆：相切的直线方程，然后判断与圆：相切的直线方程即可．
本题考查直线与圆的位置关系的应用，切线方程的求法，是中档题．
13.【答案】
【解析】解：由椭圆的性质知，，，解得，，
椭圆轨道Ⅱ的离心率为．
故答案为：．
由已知可得，，求解可得与的值，则答案可求．
本题考查椭圆的简单性质，正确理解题意是关键，是基础题．
14.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查直线过定点问题，直线的斜率公式，二次函数的性质应用，属于中档题．
直线方程即 ，由，求得定点的坐标，设点，，则连线的斜率为为，再利用二次函数的性质求得它的范围．
【解答】
解：已知直线，即，
由 ，解得，故定点的坐标为．
设点，，
则连线的斜率为 ，
故连线的斜率的取值范围为，
故答案为．
15.【答案】或
【解析】解：设，易知抛物线：焦点为，为直线：上的动点，
设，
，，
，，
，
，，，即代入，
可得，
，
，
当时，可得，解得，
由，得，
此时方程只有一个解，满足题意，
，
当时，，，
解得，代入，可得，
求得，可得，
综上所述，的值为或．
故答案为：或．
设，易知抛物线：焦点为，为直线：上的动点，设，根据，结合距离公式，可得，根据方程有唯一解列方程求解即可．
本题主要考查抛物线的性质，考查转化能力，属于难题．
16.【答案】
【解析】解：由题意得，，
因为，
所以，
解得，
令，
则，
当或时，，此时单调递增，
当时，，此时单调递减，
所以的极大值，的极小值，
又，，
故的取值范围为．
故答案为：．
由已知，，结合基本不等式建立关于的不等式，求出的范围，然后把所求式子表示为关于的函数，结合导数与单调性及最值关系可求．
本题主要考查了导数与单调性关系在最值求解中的应用，属于中档题．
17.【答案】解：集合，．
，，
；
，
，
或，
或，
的取值范围为或．
【解析】可求出，，然后进行并集的运算即可；
求出，根据，即可得出或，然后解出的范围即可．
本题考查了一元二次不等式的解法，并集和补集的运算，指数函数的单调性，子集的定义，考查了计算能力，属于基础题．
18.【答案】解：由题意设圆心，
设圆的半径为，则，
即，解得，
所以圆心，半径，
所以圆的方程为：；
当直线的斜率不存在时，设直线的方程为，代入圆的方程可得，
可得，所以，显然符合条件；
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，因为点在直线上，所以，
圆心到直线的距离，
弦长，可得，
即，即，解得，，
所以直线的方程为；
综上所述：直线的方程为：或．
【解析】由圆心在直线上，设圆心的坐标和半径，由点，在圆上，可得，求出参数的值，进而求出圆心的坐标及半径的大小，求出圆的方程；
分直线的斜率存在和不存在两种情况讨论，设直线的方程，由点在直线上，可得参数的关系，求出圆心到直线的距离，由半个弦长，半径和圆心到直线的距离之间的关系，可得参数的值，进而求出直线的方程．
本题考查圆的方程的求法及直线与圆的综合应用，属于中档题．
19.【答案】解：由题意可知，，
因为每平方米的平均环保费用为元，每平方米的平均建设费用为可近似地用函数关系式来刻画，
所以每平方米的综合费用；
由可知，
则，
令得，，
当时，，单调递减；当时，，单调递增，
所以当时，取得最小值，
即当该网球中心建个球场时，该工程每平方米的综合费用最省．
【解析】先求出每平方米的平均环保费用，再根据综合费用是建设费用与环保费用之和求出的表达式即可；
利用导数得到的单调性，进而求出取最小值时的值即可．
本题主要考查了函数的实际应用，考查了利用导数研究函数的单调性和最值，属于中档题．
20.【答案】解：易知椭圆的右焦点坐标为，
若抛物线的焦点是椭圆的一个焦点，
所以，
解得；
不妨设直线的方程为，
联立，消去并整理得，
不妨设，，
由韦达定理得，
此时，
则，当且仅当时，等号成立，
所以面积有最大值为，此时直线的方程为；
当直线与轴垂直时，
可得点与点或点重合，不符合题意；
当直线不与轴垂直时，
不妨设直线的方程为，，，，
联立，消去并整理得，
此时，
解得，
易知，
所以，
则点，
因为点在抛物线上，
则，
联立，
解得，
代入椭圆方程中，得，
解得，
又，
，
所以，当且仅当，即时，等号成立，
故的最大值为．
【解析】由题意，先求出椭圆的右焦点坐标，进而可得的值；
设出直线的方程，将直线的方程与椭圆方程联立，结合韦达定理建立三角形面积的函数关系，即可求出最大值；
设出直线的方程，将直线的方程与椭圆方程联立，利用线段的中点在抛物线上及点是椭圆与抛物线的公共点建立关系式，再根据均值不等式进行求解即可．
本题考查椭圆的性质以及直线与圆锥曲线的综合问题，考查了逻辑推理、分类讨论和运算能力．
21.【答案】解：已知，，，函数定义域为，
易知，，
因为，
所以，
易知，
可得，
因为，
所以，
联立，解得，；
若，，
此时，，
可得，
因为不等式对任意恒成立，
可得，
即对任意恒成立，
不妨令，，
不妨设，函数定义域为，
易得，
当时，恒成立，
所以函数在上严格递增，
此时，
解得；
证明：当时，
此时，
可得
，
因为，
所以，
当且仅当时，等号成立；
而，当且仅当时，等号成立，
所以，当且仅当时，等号成立，
则，当且仅当时等号成立，
故，
，，
，
以上个式子相加可得：
．
【解析】由题意，得到和的值，对进行求导，得到的值，结合，，列出等式即可求出实数，的值；
将，分别代入和解析式中，对进行求导，将不等式对任意恒成立，转化成对任意恒成立，利用换元法，令，构造新函数，对进行求导，利用导数得到的单调性和最值，进而即可求出的取值范围；
将代入函数解析式中，易得，因为，所以，当且仅当时，等号成立；同理得，当且仅当时，等号成立，此时，当且仅当时，等号成立，可得，当且仅当时等号成立，将， ，，依次表达出来，再相加即可得证．
本题考查利用导数研究函数的单调性和最值以及不等式的恒成立问题，考查了推理论证能力、分类与整合思想和转化思想等．
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