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鲁教版(五四制)数学 七年级上册 期中复习串讲
第一章 三角形
1
对接课标 单元架构
2
知识梳理 整合提升
3
典题自测 迎战中考
目
录
对接课标 单元架构
1
第一章 三角形
第二章 轴对称
第三章 勾股定理
认识三角形
图形的全等
探索三角形全等的条件
三角形的尺规作图
利用三角形全等测距离
轴对称现象
探索轴对称的性质
简单的轴对称图形
利用轴对称进行设计
期中复习
探索勾股定理
一定是直角三角形吗
勾股定理的应用
三角形
与三角形有关的线段
三角形内角和
三角形的外角
三角形的边(三边关系)
高
中线
角平分线
全等三角形
2
知识梳理 整合提升
三角形的性质
（1）边上的性质：
三角形的两边之和大于第三边
三角形的两边之差小于第三边
（2）角上的性质：
三角形三内角和等于180度
三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和
A
C
O
B
l
∴CA=CB
点C在 上
5、∵ 是线段AB的中垂线，
线段的中垂线上的点到线段两端点的距离相等。
1、三角形的中线的概念
2、三角形的角平分线的概念
3、三角形的高的概念
4、线段的中垂线的概念
全等图形：
全等三角形：
基础知识
能够完全重合的两个图形
能够完全重合的两个三角形
三角形全等的判定方法
（1）边边边公理（SSS）
（2）边角边公理（SAS）
三边对应相等的两个三角形全等
两边及它们的夹角对应相等的两个三角形全等
（3）角边角公理（ASA）
两角及它们的夹边对应相等的两个三角形全等
（4）角角边公理（AAS）
两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等
全等三角形的对应边相等；
全等三角形的对应角相等；
全等三角形的对应线段相等；
全等三角形的面积相等。
全等三角形的性质：
平移类
旋转类
翻转类
综合类
3
典题自测 迎战中考
1：如图1是一个小正方体的侧面展开图，小正方体从如图2所示的位置依次翻到第1格、第2格、第3格，这时小正方体朝上面的字是（ ）
A、和 B、谐 C、社 D、会
用橡皮擦做道具模拟实验
2：观察下列图形，则第个图形中三角形的个数是（ ）
……
第1个
第2个
第3个
A．2n+2 B．4n+4 C．4n-2 D．4n
3：当 时，点P(3m-2, m-1)
在（ ）
A 第一象限
B 第二象限
C 第三象限
D 第四象限
代入法
特殊值代入
4 、当a=-1时，代数式(a+1)2+a(a-3)
的值是( )
A -4 B 4
C -2 D 2
直接代入法
已知代入
5、商场促销活动中，将标价为
200元的商品，在打8折的基础上，再
打8折销售，现该商品的售价是( )
A 160元 B 128元
C 120元 D 88元
直接计算
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鲁教版(五四制)数学 七年级上册 期中复习串讲
第二章 轴对称
1
对接课标 单元架构
2
知识梳理 整合提升
3
典题自测 迎战中考
目
录
对接课标 单元架构
1
生活中的轴对称
轴对称的性质
轴对称图形
两个图形成轴对称
镜面对称
线段
角
等腰三角形
轴对称的应用
2
知识梳理 整合提升
一、轴对称中的相关概念
1.轴对称.
对于两个平面图形，如果沿一条直线对折后能够完全重合，那么称这两个图形成轴对称，两个图形中的对应点叫做关于这条直线的对称点，这条直线叫做对称轴.
2.轴对称图形.
如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴.
3.轴对称与轴对称图形的区别与联系.
(1)区别.
①轴对称是指两个平面图形间的位置关系，轴对称图形是指一个具有特殊形状的平面图形；
②轴对称涉及两个平面图形，轴对称图形是对一个平面图形而言的.
(2)联系.
①定义中都有一条直线，都要沿着这条直线折叠重合；
②如果把轴对称图形沿对称轴分成两部分(即看成两个平面图形)，那么这两个平面图形就关于这条直线成轴对称；反过来，如果把成轴对称的两个平面图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形.
二、轴对称的性质和判定
1.轴对称与轴对称图形的性质.
(1)轴对称图形(或关于某条直线对称的两个平面图形)的对应线段(对折后重合的线段)相等，对应角(对折后重合的角)相等.
(2)成轴对称的两个平面图形全等，轴对称图形被对称轴分成的两个平面图形全等.
(3)如果两个平面图形关于某直线对称,那么对称轴是对应点连线的垂直平分线.
(4)两个平面图形关于某直线对称,如果它们的对应线段或对应线段的延长线相交,那么交点在对称轴上.
2.等腰三角形、等边三角形的性质和判定.
名称 项目 等腰三角形 等边三角形
性质 ①边：两腰相等 ②角：两个底角相等(等边对等角) ③重要线段：顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合(三线合一) ④对称性：是轴对称图形，对称轴为顶角的平分线或底边上的中线或底边上的高所在的直线 ①边：三边都相等
②角：三个角都相等，都等于60°
③重要线段：与等腰三角形的相同
④对称性：是轴对称图形，对称轴有三条
名称 项目 等腰三角形 等边三角形
判定 ①利用定义 ②等角对等边 ①利用定义
②三个内角都相等的三角形是等边三角形
③有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形
3
典题自测 迎战中考
1．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，过点A作EF∥BC，且AE＝AF，试说明：DE＝DF.
解：如图，连接AD.∵AB＝AC，BD＝CD，∴AD⊥BC.∵EF∥BC，∴AD⊥EF.
又∵AE＝AF，∴AD垂直平分EF.
∴DE＝DF.
2．如图，在△ABC中，AB＝AC，点P从点B出发沿线段BA移动，同时，点Q从点C出发沿线段AC的延长线移动，点P，Q移动的速度相同，P，Q与直线BC相交于点D.
(1)如图①，试说明：PD＝QD；
解：如图①，过点P作PF∥AC交BC于点F.
∵点P和点Q同时出发，且速度相同，∴BP＝CQ.
∵PF∥AQ，∴∠PFB＝∠ACB，∠DPF＝∠CQD.
又∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB.∴∠B＝∠PFB.
∴BP＝PF.
∴PF＝CQ.∴△PFD绕点D旋转180°可以与△QCD重合，
∴PD＝QD.
(2)如图②，过点P作直线BC的垂线，垂足为E，当P，Q在移动的过程中，线段BE，DE，CD中是否存在长度保持不变的线段？请说明理由．
解：存在，ED的长度保持不变．理由如下：如图②，过点P作PF∥AC交BC于点F.由(1)知PB＝PF.∵PE⊥BF，∴BE＝EF.
3．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是△ABC外一点，且∠ABD＝60°，∠ACD＝60°.试说明：BD＋DC＝AB.
解：如图，延长BD至E，使BE＝AB，连接CE，AE.
∵∠ABE＝60°，BE＝AB，∴△ABE为等边三角形．∴∠AEB＝60°，AB＝AE.
又∵∠ACD＝60°，∴∠ACD＝∠AEB.
∵AB＝AC，AB＝AE，∴AC＝AE.
∴∠ACE＝∠AEC.∴∠DCE＝∠DEC.∴DC＝DE.
∴AB＝BE＝BD＋DE＝BD＋CD，即BD＋DC＝AB.
4．如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AD⊥BC于点D，且AB＋BD＝DC，求∠C的度数．
解：在DC上截取DE＝BD，连接AE，
∵AD⊥BC，BD＝DE，∴AD是线段BE的垂直平分线．∴AB＝AE.∴∠B＝∠AEB.
∵AB＋BD＝CD，DE＝BD，∴AB＋DE＝CD.
而CD＝DE＋EC，∴AB＝EC.∴AE＝EC.
故设∠EAC＝∠C＝x，∵∠AEB为△AEC的外角，
∴∠AEB＝∠EAC＋∠C＝2x.
∴∠B＝2x，∠BAE＝180°－2x－2x＝180°－4x.
∵∠BAC＝120°，∴∠BAE＋∠EAC＝120°，
即180°－4x＋x＝120°，解得x＝20°，则∠C＝20°.
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鲁教版(五四制)数学 七年级上册 期中复习串讲
第三章 勾股定理
1
对接课标 单元架构
2
知识梳理 整合提升
3
典题自测 迎战中考
目
录
对接课标 单元架构
1
勾股定理
勾股定理
的逆定理
直角三角形
验证方法
已知两边求
第三边
判定直角三角形
判定勾股数
判定垂直
2
知识梳理 整合提升
如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，那么
a2 + b2 = c2
即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
在直角三角形中才可以运用
已知Rt ABC的两直角边分别是3和4，则它的斜边是 .
5
勾股定理的应用条件
一、勾股定理
二、直角三角形性质
直角三角形的两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积．
A
D
B
C
在 Rt△ABC中, ∠ACB=90°,CD⊥AB
S △ABC= AC×BC
S △ABC= AB×CD
∴ AC×BC= AB×CD
勾股逆定理
如果三角形的三边长a，b，c满足a2 +b2=c2 ，
那么这个三角形是直角三角形.
满足a2 +b2=c2的三个正整数，称为勾股数.
勾股数
三、勾股逆定理与勾股数
分别以一个直角三角形的三边为边长向外作正多边形，以斜边为边长的多边形的面积等于以直角边为边长的多边形的面积和．
由勾股定理演变的结论
A
B
a
c
b
C
SA+SB=SC
a2+b2=c2
以“一个三角形是直角三角形”为条件，得出三角形三边有a2+b2=c2关系式成立.
一个三角形的三边a、b、c满足a2+b2=c2为条件,得出这个三角形是直角三角形的结论.
都与三角形三边有关
都与直角三角形有关
勾股定理
勾股逆定理
区
别
联
系
四、勾股定理与勾股逆定理的比较
（1）在不规则的几何图形中，通常添加辅助线得到直角三角形．
（2）常见的类型：
①勾股定理在几何中的应用：利用勾股定理求几何图形的面积和有关线段的长度．
②由勾股定理演变的结论：分别以一个直角三角形的三边为边长向外作正多边形，以斜边为边长的多边形的面积等于以直角边为边长的多边形的面积和．
③勾股定理在实际问题中的应用：运用勾股定理的数学模型解决现实世界的实际问题．
五、勾股逆定理的应用
平面展开﹣最短路径问题
（1）根据题意把立体图形展开成平面图形
（2）再确定两点之间的最短路径．一般情况是两点之间，线段最短．
（3）在平面图形上构造直角三角形解决问题．
勾股定理的应用
3
典题自测 迎战中考
1.若一直角三角形两边长分别为12和5，则第三边长的平方为（ ）
169 B. 169或119 C. 119 D. 225
当第三边为斜边时，第三边长的平方=122+52=169；当第三边为直角边时，第三边长的平方=122-52=119.
B
2. 下列各组数据是勾股数的有________. （填序号）
①6，8，10；
②10，6，14；
③0.3，0.4，0.5；
④7，24，25；
①④
3.如图，在高为3 m，斜坡长为5 m的楼梯台阶上铺地毯，则地毯的长度至少要（ ）
A. 4 m B. 5 m C. 6 m D. 7 m
D
4. 在△ABC中，∠C=90°，c=10，a∶b=3∶4，则a=______，b=________.
.
6
8
5.如图是一个长方体，长4,宽3,高12，则图中阴影部分的三角形的周长为___ _.
30
谢谢欣赏
