(共18张PPT)
青岛版数学 九年级上册 期中复习串讲
第1章图形的相似
1
对接课标 单元架构
2
知识梳理 整合提升
3
典题自测 迎战中考
目
录
对接课标 单元架构
1
比例的性质
测量高度等实践活动
形状相同的图形
成比例线段
线段的比
黄金分割
相似形
相似多边形
相似三角形
判定定理
性质定理
图形的位似
图形的放大或缩小
图形顶点坐标的变化与图形位似的关系
2
知识梳理 整合提升
(1) 形状相同的图形
(2) 相似多边形
(3) 相似比：相似多边形对应边的比
一. 图形的相似
①表象：大小不等，形状相同.
②实质：各对应角相等、各对应边成比例.
通过定义
平行于三角形一边的直线
三边成比例
两边成比例且夹角相等
两角分别相等
两直角三角形的斜边和一条直角边成比例
(三个角分别相等，三条边成比例)
二. 相似三角形的判定
对应角相等、对应边成比例
对应高、中线、角平分线的比等于相似比
周长比等于相似比
面积比等于相似比的平方
三. 相似三角形的性质
(1) 如果两个图形不仅相似，而且对应顶点的连
线相交于一点，那么这样的两个图形叫做位
似图形，这个点叫做位似中心. (这时的相似
比也称为位似比)
四. 位似
(2) 性质：位似图形上任意一对对应点到位似中心
的距离之比等于位似比；对应线段平行或者在
一条直线上.
(3) 位似性质的应用：能将一个图形放大或缩小.
A
B
G
C
E
D
F
●P
B′
A′
C′
D′
E′
F′
G′
A′
B′
C′
D′
E′
F′
G′
A
B
G
C
E
D
F
●P
(4) 平面直角坐标系中的位似
当位似图形在原点同侧时，其对应顶点的坐标的比为 k；当位似图形在原点两侧时，对应顶点的坐标的比为－k.
3
典题自测 迎战中考
1、下列说法：
①位似图形一定是相似图形；
②相似图形一定是位似图形；
③两个位似图形若全等，则位似中心在两个图形之间；
④若五边形ABCDE与五边形A′B′C′D′E′位似，则其中
△ABC 与 △A′B′C′ 也是位似的，且位似比相等.
其中正确的有 .
2、在如图所示的四个图形中，位似图形的个数为 ( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
C
3. △ABC 的三边长分别为 5，12，13，与它相似的
△DEF 的最小边长为 15，则 △DEF 的其他两条
边长为 ．
36 和 39
4. 如图，△ABC 中，AB=9，AC=6，点 E 在 AB 上
且 AE=3，点 F 在 AC 上，连接 EF，若 △AEF
与 △ABC 相似，则 AF = .
B
C
A
E
2 或 4.5
5. 如图，在 □ABCD 中，点 E 在边 BC 上，BE : EC
=1 : 2，连接 AE 交 BD 于点 F，则 △BFE 的面积
与 △DFA 的面积之比为 .
1 : 9
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青岛版数学 九年级上册 期中复习串讲
第2章 解直角三角形
1
对接课标 单元架构
2
知识梳理 整合提升
3
典题自测 迎战中考
目
录
对接课标 单元架构
1
锐角三角比
三角比的定义
特殊角的三角比
解直角
三角形
主要依据
两种类型
解直角三角形的应用
两锐角关系
三边关系
边、角关系
已知两边
已知一边一角
基本思路
解
直
角
三
角
形
三种类型
仰角、俯角
方位角
坡度、坡角
两锐角互余
勾股定理
锐角三角比
2
知识梳理 整合提升
1、三角函数的定义：
在Rt△ABC中,∠C=90°,以∠A为例：
（1）正弦：
（2）余弦：
（3）正切：
锐角A的正弦、余弦、正切统称锐角A的三角比．
A
B
C
c
b
a
角α 三角比 30° 45° 60°
sin α
cosα
tanα
2.特殊角的三角函数．
3、锐角α的有关规律
（1）三角比的增减性：
（2）三角比的取值范围：
（3）互为余角的三角比的关系：
（4）同角的三角比的关系：
正弦：锐角α的正弦值随着度数的增大而增大；
余弦：锐角α的余弦值随着度数的增大而减小；
正切：锐角α的正切值随着度数的增大而增大。
当0°<α<90°时，0o
若α+β=90°，则sinα=cosβ,cosα=sinβ
在直角三角形中，由已知的元素求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形．
4、什么叫做解直角三角形？
（3）边角之间的关系：
（2）边之间的关系：
（1）角之间的关系：
5、解直角三角形的主要依据:
6、解直角三角形的类型:
②一边一角
①两条边
∠A ＋ ∠B = 90 °；
a2＋b2＝c2 ;
A
B
C
c
b
a
当三角形不是直角三角形时，作一边上的高，把斜三角形转化为直角三角形，把问题转化为解直角三角形．
化“未知”为“已知”．
7、当三角形不是直角三角形时，怎么办呢？
D
┏
A
B
C
D
┏
8、解直角三角形应用的解题思路：
先把实际问题中的边和角首先转化到图形（特别是三角形）中，然后再利用解直角三角形的方法思路解答。
9、解直角三角形应用的类型：
（1）仰角、俯角
（2）方位角
（3）坡度、坡角
（4）其它应用
3
典题自测 迎战中考
1.（2018，福建泉州）如图①，一架长4米的梯子AB斜靠在与地面OM垂直的墙ON上，梯子与地面的倾斜角α为60°．（1）求AO与BO的长；（2）若梯子顶端A沿NO下滑，同时底端B沿OM向右滑行．①如图②，设A点下滑到C点，B点向右滑行到D点，并且AC：BD=2：3，试计算梯子顶端A沿NO下滑多少米；②如图③，当A点下滑到A′点，B点向右滑行到B′点时，梯子AB的中点
P也随之运动到
P′点，若
∠POP′=15°，
试求AA′的长．
① ② ③
2.如果正方形网格中的每一个小正方形边长都是1，则每个小格的顶点叫做格点．（1）在图①中，以格点为顶点画一个三角形，使三角形的三边长分别为3，
，2
（2）在图②中，线段AB的端点在格点上，请画出以AB为一边的三角形，使这个三角形的面积为6（要求至少画出3个）．
（3）在图③中，△MNP的顶点M、N在格点上，P在小正方形的边上，问这个三角形的面积相当于多少个小方格
的面积？在你解
出答案后，说说
你的解题方法．
① ② ③
（3）若在（1）的条件下，S△AMN：S△ABE=9：64，且线段BF与EF的长是关于y的一元二次方程5y2-16ky+10k2+5=0的两个实数根，求BC的长．
3.（2022，哈尔滨）已知：如图，AD为Rt△ABC斜边BC上的高，点E为DA延长线上一点，连结BE，过点C作CF⊥BE于点F，交AB、AD于M、N两点．
（1）若线段AM、AN的长是关于x的一元二次方程x2-2mx+n2-mn+
m2=0的两个实数根，
求证：(1)AM=AN．
（2）若AN=
，
求DE的长；
4.（2022，上海）已知：如图，在△ABC中，AD是边BC上的高，E为边AC的中点，BC= 14，AD=12，sinB=
，求：（1）线段DC的长；
（2）tan∠EDC的值．
∴CD=BC-BD=14-9=5．
（2）∵E是Rt△ADC斜边AC的中点，
∴DE=EC，∴∠EDC=∠C．
∴tan∠EDC=tan∠C=
．
4．解：（1）在Rt△ABD中，AB=
=15．
∴BD=
=9．
谢谢欣赏
