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华师版数学 九年级上册 期中复习串讲
第21章 二次根式
1
对接课标 单元架构
2
知识梳理 整合提升
3
典题自测 迎战中考
目
录
对接课标 单元架构
1
第21章 二次根式
第22章 一元二次方程
第23章 图形的相似
二次根式
二次根式的乘除
二次根式的加减
一元二次方程
一元二次方程的解法
实践与探索
期中复习
成比例线段
相似图形
相似三角形
中位线
位似图形
图形与坐标
二 次 根 式
三个概念
两个性质
两个公式
四种运算
二次根式定义
最简二次根式
同类二次根式
1、
2、
加 、减、乘、除
2、
1、
2
知识梳理 整合提升
一、二次根式的有关概念
1、二次根式：形如____________的式子。
2、最简二次根式：被开方数中___________,
并且被开方数中所有因数（或因式）
的_________________的二次根式。
3、同类二次根式：化成最简二次根式后，被开方
数______的二次根式。
相同
不含分母
幂的指数都小于2
概念
解读
1.二次根式一定要保证被开方数是______;
2.最简二次根式有两个特征:(1)被开方数不含
________,(2)被开方数不含_______的因数（或因式）；
3.同类二次根式的识别：一定要先________________,
然后看被开方数_________。
非负数
分母
开得尽方
化为最简二次根式
是否相同
二、二次根式的性质
1、二次根式的非负性：
≥0
2、算术平方根的平方：
a
3、平方的算术平方根：
____（a≥0）
____（a<0）
|a|
a
-a
4、积的算术平方根：
5、商的算术平方根：
≥
>
三、二次根式的运算
1、乘法：
2、除法：
3、加减法：化简后_________________。
合并同类二次根式
4、混合运算：类比________________进行运算。
整式的运算法则
二次根式运算的步骤：
先把各个二次根式化成最简二次根式；再把同类二次根式合并。（注意：被开方数不相同的二次根式不能合并）
。
。
二次根式的化简要求满足以下两条：
1.被开方数的因数是整数，因式是整式，也就是说“被开方数不含分母”。
2.被开方数中不含能开得尽的因数或因式，也就是说“被开方数的每一个因数或因式的指数都小于2”。像这样的二次根式称为最简二次根式。
四、二次根式的化简
3
典题自测 迎战中考
1、计算：
2、化简：
-6
2
4、若 （a、b为有理数），那么
a+b等于（ ）
A.2 B.6 C.8 D.10
B
5、化简 的结果是（ ）
D
7.已知二次根式 是同类二次根式，则a的值可以是（ ）
A.5 B.6 C.7 D.8
B
8.下列选项中，使根式有意义的a的取值范围为
a<1的是（ ）
D
6.（2022 济宁）下列各式是最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
A
9.式子 成立的条件是（ ）
D
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华师版数学 九年级上册 期中复习串讲
第22章 一元二次方程
1
对接课标 单元架构
2
知识梳理 整合提升
3
典题自测 迎战中考
目
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对接课标 单元架构
1
一元二次方程
一元二次方
程的定义
概念：①整式方程； ②一元； ③二次.
一般形式：ax2+bx+c=0 (a≠0)
一元二次方程的解法
直接开平方法
配方法
公式法
因式分解法
根的判别式及
根与系数的关系
根的判别式： Δ=b2-4ac
根与系数的关系
一元二次方程的应用
营销问题、平均变化率问题
几何问题、数字问题
2
知识梳理 整合提升
一、一元二次方程的基本概念
1.定义：只含有一个未知数的整式方程，并且都可以化为ax2＋bx＋c＝0(a，b，c为常数，a≠0)的形式，这样的方程叫做一元二次方程.
2.一般形式：ax2＋bx＋c＝0(a，b，c为常数，a≠0)
3.项数和系数：
二次项：ax2 二次项系数：a
一次项：bx 一次项系数：b
常数项：c
一、一元二次方程的基本概念
4.注意事项：
(1)含有一个未知数；
(2)未知数的最高次数为2；
(3)二次项系数不为0；
(4)整式方程.
5.使一元二次方程等号两边相等的未知数的值叫作一元二次方程的解（又叫做根）.
二、解一元二次方程的方法
一元二次方程的解法 适用的方程类型
直接开平方法
配方法
公式法
因式分解
十字相乘法
x2+px+q=0 （二次项系数为1，p为偶数）
(x+m)2＝n（n ≥ 0）
ax2 + bx +c = 0(a≠0 , b2 - 4ac≥0)
(x-m)(x-n)＝0
各种一元二次方程的解法及使用类型
x2-(p+q)x+pq=0
三、一元二次方程根的判别式
一般地，式子b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0根的判别式，通常用希腊字母“Δ”表示它，即Δ=b2-4ac.
当Δ＞0时，方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不等的实数根；
当Δ＝0时，方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个相等的实数根；
当Δ＜0时，方程ax2+bx+c=0(a≠0)无实数根.
Δ＞0 方程有两个不等的实数根；
Δ＝0 方程有两个相等的实数根；
Δ＜0 方程无实数根.
四、一元二次方程的根与系数的关系
已知x1，x2是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a，b，c为常数，a≠0)的两根. 则有：
(1)不是一般式的，要化成一般式；
(2)在方程有实数根的条件下应用，即b2-4ac≥0；
(3)在使用 时，注意“-”不要漏写.
五、一元二次方程的实际应用
列方程解应用题的一般步骤：
审
设
列
解
验
答
审：审清题意，分清题中的已知量、未知量.
设：设未知数，设其中某个未知量为x.
列：根据题意寻找等量关系列方程.
解：解方程.
验：检验方程的解是否符合题意.
答：写出答案(包括单位).
3
典题自测 迎战中考
1.用公式法和配方法分别解方程：x2-4x-1=0
（要求写出必要解题步骤）.
1.用公式法和配方法分别解方程：x2-4x-1=0
（要求写出必要解题步骤）.
2.菱形ABCD的一条对角线长为6，边AB的长是方程x2-7x+12=0的一个根，则菱形ABCD的周长为（ ）
A. 16 B. 12 C. 16或12 D. 24
A
3.下列所给方程中，没有实数根的是（ ）
A. x2+x=0 B. 5x2-4x-1=0
C.3x2-4x+1=0 D. 4x2-5x+2=0
4.（开放题）若关于x的一元二次方程x2-x+m=0有两个不相等的实数根，则m的值可能是 （写出一个即可）．
D
0
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华师版数学 九年级上册 期中复习串讲
第23章 图形的相似
1
对接课标 单元架构
2
知识梳理 整合提升
3
典题自测 迎战中考
目
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对接课标 单元架构
1
图形的相似
1.比例线段：比例线段的意义，比例性质及平行线分线段成比例。
2.相似三角形：判定，性质（中位线，重心及性质）
3.相似多边形：判定和性质
4.位似多边形： 概念，性质和作法
5.图形变换和坐标： 平移，对称和位似
2
知识梳理 整合提升
一、成比例线段
对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的长度的比等于另外两条线段的比， 如 （或a∶b＝c∶d），那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段．此时也称这四条线段成比例．
如果 （b=d=f≠0）,
那么
线段的比要注意以下几点：
线段的比是正数
单位要统一
线段的比与线段的长度无关
如果， 那么ad＝bc．
如果ad＝bc （a、b、c、d都不等于0），
那么
1、各角对应相等，各边对应成比例的两个多边形
叫相似多边形。
2、三个角对应相等，三条边对应成比例的两个
三角形叫相似三角形.两个相似三角形用“∽”表示，读做“相似于”。
3、相似三角形对应边的比，叫做相似比
二、相似图形
如△A１B１C１与△ABC相似,
注意：对应顶点写 在对应位置上
记作“△A１B１C１∽△ABC”
相似比=对应边的比值=
相似三角形的性质
对应角相等、对应边成比例
对应高之比、对应中线之比、对应角平分线之比都等于相似比
周长之比等于相似比
面积之比等于相似比的平方
三、相似三角形
方法2： 平行于三角形一边的直线与其他两边(或延 长线)相交,所构成的三角形与原三角形相似;
方法5： 三边对应成比例的,两三角形相似.
相似三角形的判定方法
方法4： 两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似.
方法1：通过定义（不常用）
方法3： 两对应角相等的,两三角形相似.
相似三角形的应用主要有两个方面：
（1） 测高
测量不能到达两点间的距离,常构造相似三角形求解。
（不能直接使用皮尺或刻度尺量的）
（不能直接测量的两点间的距离）
测量不能到达顶部的物体的高度，通常用“在同一时刻物高与影长成比例”的原理解决。
（2） 测距
相似三角形的应用
三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。
四、中位线
1.进行位似变换后得到的图形与原图形相似,对应点的连线都经过位似中心,对应顶点到位似中心的比等于相似比
2.进行位似变换时,位似中心可以在图形的外部,也可以在图形的内部或图形的一边上,图形的顶点处
3.画已知图形的位似图形时,要明确位似中心,相似比,以及两图形在位似中心的同侧或两侧
五、位似图形的性质
(1)图形沿x轴平移，横变纵不变；
图形沿y轴平移，纵变横不变。
直角坐标系中，图形经过平移、对称、放缩的变化，
其对应平面的坐标也发生了变化，其变化规律为：
(2)图形关于x轴对称，横不变，纵为相反数；
图形关于y轴对称，纵不变，横为相反数。
(3)图形关于原点对称，横纵皆为相反数。
(4)以O为位似中心放大或缩小，横纵坐标都
扩大或缩小相同的倍数。
五、图形与坐标
3
典题自测 迎战中考
1．如果 ，那么__ __＝____ ；
如果ad＝bc(a、b、c、d都不为0)，那么 .
2．__ __三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交所构成的三角形与原三角形相似．
3．相似三角形对应角__ __，对应边__ __．
4．__ __的两个三角形相似．
ad
bc
平行于
相等
成比例
两角分别相等；两边成比例且夹角相等；三边成比例
5．相似三角形面积的比等于相似比的__ __；周长的比等于__ __；对应高、对应中线、对应角平分线的比等于__ ．
6．三角形的中位线__ __第三边，并且__ 第三边的__ __．三角形三条边上的__ __交于一点，这个点就是三角形的重心．重心与一边中点的连线的长是对应中线长的____．
平方
相似比
相似比
平行于
等于
一半
中线
7、如图，小明晚上由路灯A下的点B处走到点C处时，测得自身影子CD的长为1米，他继续往前走3米到达点E处(即CE＝3米)，测得自己影子EF的长为2米，已知小明的身高是1.5米，那么路灯A的高度AB是( )
A．4.5米 B．6米
C．7.2米 D．8米
【答案】B
【思路分析】由MC∥AB可判断△DCM∽△DBA，根据相似三角形的性质得 ，同理可得 ，然后解关于AB和BC的方程组即可得到AB的长．
【方法归纳】利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等和“在同一时刻物高与影长的比相等”的原理解决.
8、如图，在△ABC中，AM是中线，N是AM的中点，BN的延长线交AC于点D.若AC＝12，则CD的长是________．
【答案】8
【思路分析】过点M作ME∥BD，易证AD＝DE＝EC，即可求得CD的长．
【方法归纳】经过三角形一边中点且与另一边平行的直线，必平分第三边．这是一种重要的引辅助线的方法.
谢谢欣赏
