2014-2023年高考数学真题专题分类--1.2　常用逻辑用语(含解析)

2014-2023年高考数学真题专题分类
1.2　常用逻辑用语
考点一　命题及四种命题间的关系
1.(2015山东文,5,5分)设m∈R,命题“若m>0,则方程x2+x-m=0有实根”的逆否命题是(　　)
A.若方程x2+x-m=0有实根,则m>0
B.若方程x2+x-m=0有实根,则m≤0
C.若方程x2+x-m=0没有实根,则m>0
D.若方程x2+x-m=0没有实根,则m≤0
答案　D　命题“若m>0,则方程x2+x-m=0有实根”的逆否命题是“若方程x2+x-m=0没有实根,则m≤0”,故选D.
2.(2014陕西理,8,5分)原命题为“若z1,z2互为共轭复数,则|z1|=|z2|”,关于其逆命题,否命题,逆否命题真假性的判断依次如下,正确的是(　　)
A.真,假,真　　　　B.假,假,真　　　　C.真,真,假　　　　D.假,假,假
答案　B　先证原命题为真:当z1,z2互为共轭复数时,设z1=a+bi(a,b∈R),则z2=a-bi,则|z1|=|z2|=,∴原命题为真,故其逆否命题为真;再证其逆命题为假:取z1=1,z2=i,满足|z1|=|z2|,但是z1,z2不互为共轭复数,∴其逆命题为假,故其否命题也为假.故选B.
3.(2013天津理,4,5分)已知下列三个命题:
①若一个球的半径缩小到原来的,则其体积缩小到原来的;
②若两组数据的平均数相等,则它们的标准差也相等;
③直线x+y+1=0与圆x2+y2=相切.
其中真命题的序号是(　　)
A.①②③　　　　B.①②　　　　C.①③　　　　D.②③
答案　C　对于命题①,设原球的半径和体积分别为r,V,变化后的球的半径和体积分别为r',V',则r'=r,由球的体积公式可知V'=πr'3=π·=×πr3=V,所以命题①为真命题;命题②显然为假命题,如两组数据:1,2,3和2,2,2,它们的平均数都是2,但前者的标准差为,而后者的标准差为0;对于命题③,易知圆心到直线的距离d===r,所以直线与圆相切,命题③为真命题.故选C.
4.(2013陕西文,6,5分)设z是复数,则下列命题中的假命题是(　　)
A.若z2≥0,则z是实数　　　　B.若z2<0,则z是虚数
C.若z是虚数,则z2≥0　　　　D.若z是纯虚数,则z2<0
答案　C　举反例说明,若z=i,则z2=-1<0,故选C.
考点二　充分条件与必要条件
1.(2019北京文,6,5分)设函数f(x)=cosx+bsinx(b为常数),则“b=0”是“f(x)为偶函数”的(　　)
A.充分而不必要条件　　　　B.必要而不充分条件
C.充分必要条件　　　 　D.既不充分也不必要条件
答案　C　本题考查函数的奇偶性,充分、必要条件的判断,以及三角函数的性质;考查学生的运算求解能力和推理论证能力;考查的核心素养是逻辑推理.
当b=0时,f(x)=cosx为偶函数;若f(x)为偶函数,则f(-x)=cos(-x)+bsin(-x)=cosx-bsinx=f(x),
∴-bsinx=bsinx对x∈R恒成立,∴b=0.故“b=0”是“f(x)为偶函数”的充分必要条件.故选C.
易错警示　本题在判断必要性时,易把函数化为f(x)=sin(x+φ),其中tanφ=,再分析φ=+kπ(k∈Z)在什么条件下成立.事实上,当φ=+kπ(k∈Z)时,tanφ不存在.
2.(2019天津文,3,5分)设x∈R,则“0A.充分而不必要条件　　　　B.必要而不充分条件
C.充要条件　　 　　D.既不充分也不必要条件
答案　B　|x-1|<1 -1当0反之,不成立.
所以,“0一题多解　因为{x||x-1|<1}={x|0所以“03.(2018北京文,4,5分)设a,b,c,d是非零实数,则“ad=bc”是“a,b,c,d成等比数列”的(　　)
A.充分而不必要条件　　　　B.必要而不充分条件
C.充分必要条件　　　 　D.既不充分也不必要条件
答案　B　本题主要考查充分条件与必要条件,等比数列的性质.
由a,b,c,d成等比数列,可得ad=bc,即必要性成立;
当a=1,b=-2,c=-4,d=8时,ad=bc,但a,b,c,d不成等比数列,即充分性不成立,故选B.
方法总结　充分条件与必要条件的判断方法:
1.直接法:分别判断命题“若p,则q”和“若q,则p”的真假.
2.集合法:设命题p,q中的变量构成的集合分别为P,Q.
若P Q,则p是q的充分不必要条件;
若Q P,则p是q的必要不充分条件;
若P=Q,则p是q的充要条件;
若P Q,且Q P,则p是q的既不充分也不必要条件.
4.(2018天津,理4,5分)设x∈R,则“<”是“x3<1”的(　　)
A.充分而不必要条件　　　　B.必要而不充分条件
C.充要条件　　　 　D.既不充分也不必要条件
答案　A　本题主要考查解不等式和充分、必要条件的判断.
由<得-由x3<1得x<1.当0方法总结　(1)充分、必要条件的判断.解决此类问题应分三步:①确定条件是什么,结论是什么;②尝试从条件推结论,从结论推条件;③确定条件和结论是什么关系.
(2)探究某结论成立的充要、充分、必要条件.解答此类题目,可先从结论出发,求出使结论成立的必要条件,然后验证得到的必要条件是否满足充分性.
5.(2018浙江,6,4分)已知平面α,直线m,n满足m α,n α,则“m∥n”是“m∥α”的(　　)
A.充分不必要条件　　　　B.必要不充分条件
C.充分必要条件　　　　 D.既不充分也不必要条件
答案　A　∵m α,n α,m∥n,∴m∥α,故充分性成立.而由m∥α,n α,得m∥n或m与n异面,故必要性不成立.故选A.
6.(2017北京理,6,5分)设m,n为非零向量,则“存在负数λ,使得m=λn”是“m·n<0”的(　　)
A.充分而不必要条件　　　　B.必要而不充分条件
C.充分必要条件　　　　 D.既不充分也不必要条件
答案　A　由存在负数λ,使得m=λn,可得m、n共线且反向,夹角为180°,则m·n=-|m||n|<0,故充分性成立.由m·n<0,可得m,n的夹角为钝角或180°,故必要性不成立.故选A.
7.(2016北京理,4,5分)设a,b是向量.则“|a|=|b|”是“|a+b|=|a-b|”的(　　)
A.充分而不必要条件　　　　B.必要而不充分条件
C.充分必要条件　　　　 D.既不充分也不必要条件
答案　D　当|a|=|b|=0时,|a|=|b| |a+b|=|a-b|.
当|a|=|b|≠0时,|a+b|=|a-b| (a+b)2=(a-b)2 a·b=0 a⊥b,推不出|a|=|b|.同样,由|a|=|b|也不能推出a⊥b.故选D.
解后反思　由向量加法、减法的几何意义知:当a、b不共线,且|a|=|b|时,a+b与a-b垂直;当a⊥b时,|a+b|=|a-b|.
评析　本题考查向量的模及运算性质,属容易题.
8.(2016天津理,5,5分)设{an}是首项为正数的等比数列,公比为q,则“q<0”是“对任意的正整数n,a2n-1+a2n<0”的(　　)
A.充要条件　　　　 B.充分而不必要条件
C.必要而不充分条件　　　　D.既不充分也不必要条件
答案　C　若对任意的正整数n,a2n-1+a2n<0,则a1+a2<0,又a1>0,所以a2<0,所以q=<0.若q<0,可取q=-1,a1=1,则a1+a2=1-1=0,不满足对任意的正整数n,a2n-1+a2n<0.所以“q<0”是“对任意的正整数n,a2n-1+a2n<0”的必要而不充分条件.故选C.
评析　本题以等比数列为载体,考查了充分条件、必要条件的判定方法,属中档题.
9.(2016山东,6,5分)已知直线a,b分别在两个不同的平面α,β内.则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的(　　)
A.充分不必要条件　　　 　B.必要不充分条件
C.充要条件　　　　 D.既不充分也不必要条件
答案　A　因为直线a和直线b相交,所以直线a与直线b有一个公共点,而直线a,b分别在平面α,β内,所以平面α与β必有公共点,从而平面α与β相交;反之,若平面α与β相交,则直线a与直线b可能相交、平行、异面.故选A.
评析　本题考查了线面的位置关系和充要条件的判断.
10.(2016四川,7,5分)设p:实数x,y满足(x-1)2+(y-1)2≤2,q:实数x,y满足则p是q的(　　)
A.必要不充分条件　　　　B.充分不必要条件
C.充要条件　　　　D.既不充分也不必要条件
答案　A　如图,作出p,q表示的区域,其中☉M及其内部为p表示的区域,△ABC及其内部(阴影部分)为q表示的区域,故p是q的必要不充分条件.
11.(2015重庆理,4,5分)“x>1”是“lo(x+2)<0”的(　　)
A.充要条件　　　　 B.充分而不必要条件
C.必要而不充分条件　　　　D.既不充分也不必要条件
答案　B　当x>1时,x+2>3>1,又y=lox是减函数,
∴lo(x+2)1 lo(x+2)<0;当lo(x+2)<0时,x+2>1,x>-1,则lo(x+2)<0 /x>1.故“x>1”是“lo(x+2)<0”的充分而不必要条件.选B.
12.(2015天津理,4,5分)设x∈R,则“1A.充分而不必要条件　　　　B.必要而不充分条件
C.充要条件　　　　 D.既不充分也不必要条件
答案　A　因为|x-2|<1等价于-113.(2015湖南理,2,5分)设A,B是两个集合,则“A∩B=A”是“A B”的(　　)
A.充分不必要条件　　　　B.必要不充分条件
C.充要条件　　　　 D.既不充分也不必要条件
答案　C　若A∩B=A,任取x∈A,则x∈A∩B,
∴x∈B,故A B;若A B,任取x∈A,都有x∈B,
∴x∈A∩B,∴A (A∩B),又A∩B A显然成立,∴A∩B=A.
综上,“A∩B=A”是“A B”的充要条件,故选C.
14.(2015陕西理,6,5分)“sinα=cosα”是“cos2α=0”的(　　)
A.充分不必要条件　　　　B.必要不充分条件
C.充分必要条件　　 　　D.既不充分也不必要条件
答案　A　由sinα=cosα,得cos2α=cos2α-sin2α=0,即充分性成立.
由cos2α=0,得sinα=±cosα,即必要性不成立.故选A.
15.(2014安徽理,2,5分)“x<0”是“ln(x+1)<0”的(　　)
A.充分不必要条件　　　　B.必要不充分条件
C.充分必要条件　　　　 D.既不充分也不必要条件
答案　B　ln(x+1)<0 016.(2014浙江理,2,5分)已知i是虚数单位,a,b∈R,则“a=b=1”是“(a+bi)2=2i”的(　　)
A.充分不必要条件　　　　B.必要不充分条件
C.充分必要条件　　　　 D.既不充分也不必要条件
答案　A　当a=b=1时,有(1+i)2=2i,即充分性成立.当(a+bi)2=2i时,有a2-b2+2abi=2i,得解得a=b=1或a=b=-1,即必要性不成立,故选A.
评析　本题考查复数的运算,复数相等的概念,充分条件与必要条件的判定,属于容易题.
17.(2014北京理,5,5分)设{an}是公比为q的等比数列.则“q>1”是“{an}为递增数列”的(　　)
A.充分而不必要条件　　　　B.必要而不充分条件
C.充分必要条件　　　　 D.既不充分也不必要条件
答案　D　若q>1,则当a1=-1时,an=-qn-1,{an}为递减数列,所以“q>1” / “{an}为递增数列”;若{an}为递增数列,则当an=-时,a1=-,q=<1,即“{an}为递增数列” / “q>1”.故选D.
18.(2022浙江,4,4分)设x∈R,则“sin x=1”是“cos x=0”的 (　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
答案　A　根据sin x=1解得x=+2kπ,k∈Z,此时cos x=cos=0.根据cos x=0解得x=+kπ,k∈Z,此时sin x=sin=±1.故“sin x=1”是“cos x=0”的充分不必要条件,故选A.
19.(2021浙江,3,4分)已知非零向量a,b,c,则“a·c=b·c”是“a=b”的 (　　)
A.充分不必要条件　　　　B.必要不充分条件
C.充分必要条件　　　　D.既不充分也不必要条件
答案　B　解题指导:利用平面向量的数量积定义分别判断命题“若a·c=b·c,则a=b”与“若a=b,则a·c=b·c”的真假性即可.
解析　若c与向量a,b都垂直,则由a·c=b·c不一定能得到a=b;
若a=b,则由平面向量的数量积的定义知a·c=b·c成立,故“a·c=b·c”是“ a=b”的必要不充分条件.故选B.
方法总结:(1)充分条件、必要条件的判断方法:
①定义法:根据“若p,则q”与“若q,则p”的真假性进行判断;
②集合法:根据p,q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断.
(2)要判断一个命题是假命题,只需举出一个反例即可.但要判断一个命题是真命题,必须通过严格的推理论证.
20.(2021北京,3,4分)设函数f(x)的定义域为[0,1],则“函数f(x)在[0,1]上单调递增”是“函数f(x)在[0,1]上的最大值为f(1)”的 (　　)
A.充分而不必要条件　　　　B.必要而不充分条件
C.充分必要条件　　　　D.既不充分也不必要条件
答案　A　若f(x)在[0,1]上单调递增,则f(x)在[0,1]上的最大值为f(1);若f(x)在[0,1]上的最大值为f(1),则f(x)未必在[0,1]上单调递增,如图.故选A.
21.(2022北京,6,4分)设{an}是公差不为0的无穷等差数列,则“{an}为递增数列”是“存在正整数N0,当n>N0时,an>0”的 (　　)
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
答案　C　设等差数列{an}的公差为d(d≠0),则an=a1+(n-1)d.
若{an}为递增数列,则d>0,
由an=a1+(n-1)d可构造函数f(x)=xd+a1-d,令f(x)=0,得x=,
若a1>d,则x<0,取N0=1,即有n>1时,f(n)>f(1)>0成立;
若a10,取N0=+1的最大正整数,此时n>N0,必有f(n)>f(N0)=f=0.
综上,存在正整数N0,当n>N0时,an>0,∴充分性成立.
易知an是关于n的一次函数,若存在正整数N0,当n>N0时,an>0,则一次函数为增函数,∴d>0,
∴必要性成立.故选C.
22.(2023新课标Ⅰ,7,5分,中)记Sn为数列{an}的前n项和,设甲:{an}为等差数列;乙:为等差数列,则 (　　)
A.甲是乙的充分条件但不是必要条件
B.甲是乙的必要条件但不是充分条件
C.甲是乙的充要条件
D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
答案　C　若{an}为等差数列,设公差为d,则an=a1+(n-1)d,∴Sn=na1+,∴=a1+d,
当n≥2时,=a1+d,
∴-=a1+d-a1-d=d,
∴是以S1为首项,为公差的等差数列.
若为等差数列,设公差为d',则=S1+(n-1)d'=a1+(n-1)d',
∴Sn=na1+n(n-1)d',
当n≥2时,Sn-1=(n-1)a1+(n-1)(n-2)d',
两式作差得,an=a1+2(n-1)d',
又n=1时也满足上式,
∴an=a1+2(n-1)d',n∈N*,
当n≥2时,an-1=a1+2(n-2)d',
∴an-an-1=a1+2(n-1)d'-a1-2(n-2)d'=2d',
∴{an}是以a1为首项,2d'为公差的等差数列.
综上,甲是乙的充要条件,故选C.
23.(2023全国甲理,7,5分,中)设甲:sin2α+sin2β=1,乙:sin α+cos β=0,则 (　　)
A.甲是乙的充分条件但不是必要条件
B.甲是乙的必要条件但不是充分条件
C.甲是乙的充要条件
D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
答案　B　∵sin2α+sin2β=1,∴sin2α=1-sin2β,即sin2α=cos2β,∴sin α=±cos β,即sin α+cos β=0或sin α-cos β=0,所以充分性不成立;
当sin α+cos β=0时,sin2α=cos2β,∴sin2α=1-sin2β,即sin2α+sin2β=1,所以必要性成立.
∴甲是乙的必要条件但不是充分条件.故选B.
24.(2023天津,2,5分,易)“a2=b2”是“a2+b2=2ab”的 (　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分又不必要条件
答案　B　由a2=b2得|a|=|b|;
由a2+b2=2ab,得(a-b)2=0,∴a=b.
a=b |a|=|b|,而由|a|=|b|不能推出a=b.
∴“a2=b2”是“a2+b2=2ab”的必要不充分条件.故选B.
考点三　逻辑联结词
1.(2014湖南理,5,5分)已知命题p:若x>y,则-x<-y;命题q:若x>y,则x2>y2.在命题①p∧q;②p∨q;③p∧( q);④( p)∨q中,真命题是(　　)
A.①③　　　　B.①④　　　　
C.②③　　　　D.②④
答案　C　由不等式性质知:命题p为真命题,命题q为假命题,从而 p为假命题, q为真命题.故p∧q为假命题,p∨q为真命题,p∧( q)为真命题,( p)∨q为假命题,故选C.
2.(2014辽宁理,5,5分)设a,b,c是非零向量.已知命题p:若a·b=0,b·c=0,则a·c=0;命题q:若a∥b,b∥c,则a∥c.则下列命题中真命题是(　　)
A.p∨q　　　 　B.p∧q
C.( p)∧( q)　　　　D.p∨( q)
答案　A　由题意知命题p为假命题,命题q为真命题,所以p∨q为真命题.故选A.
3.(2014重庆文,6,5分)已知命题p:对任意x∈R,总有|x|≥0;q:x=1是方程x+2=0的根.则下列命题为真命题的是(　　)
A.p∧ q　　　　B. p∧q　　　　C. p∧ q　　　　D.p∧q
答案　A　由题意知,命题p为真命题,命题q为假命题,故 q为真命题,所以p∧ q为真命题.
4.(2013课标Ⅰ文,5,5分)已知命题p: x∈R,2x<3x;命题q: x∈R,x3=1-x2,则下列命题中为真命题的是(　　)
A.p∧q　　　 　B. p∧q
C.p∧ q　　　　D. p∧ q
答案　B　对于命题p,由于x=-1时,2-1=>=3-1,所以是假命题,故 p是真命题;
对于命题q,设f(x)=x3+x2-1,由于f(0)=-1<0,f(1)=1>0,所以f(x)=0在区间(0,1)上有解,即存在x∈R,x3=1-x2,故命题q是真命题.
综上, p∧q是真命题,故选B.
5.(2021全国乙理,3,5分)已知命题p: x∈R,sin x<1;命题q: x∈R,e|x|≥1,则下列命题中为真命题的是 (　　)
A.p∧q　　　　B. p∧q　　　　C.p∧ q　　　　D. (p∨q)
答案　A　解题指导:先判断命题p的真假性,再判断命题q的真假性,结合复合命题真假性的判断方法即可得出答案.
解析　由题意易知命题p为真命题;由|x|≥0,可得e|x|≥e0=1,则命题q为真命题,所以p∧q为真命题,故选A.
易错警示:①学生不能对命题p和命题q的真假性作出正确判断;②学生不熟悉逻辑联结词“且”“或”“非”的概念.
考点四　全称量词与存在量词
1.(2015课标Ⅰ理,3,5分)设命题p: n∈N,n2>2n,则 p为(　　)
A. n∈N,n2>2n　　　　B. n∈N,n2≤2n
C. n∈N,n2≤2n　　　　D. n∈N,n2=2n
答案　C　根据特称命题的否定为全称命题,知 p: n∈N,n2≤2n,故选C.
2.(2015浙江理,4,5分)命题“ n∈N*,f(n)∈N*且f(n)≤n”的否定形式是(　　)
A. n∈N*,f(n) N*且f(n)>n
B. n∈N*,f(n) N*或f(n)>n
C. n0∈N*,f(n0) N*且f(n0)>n0
D. n0∈N*,f(n0) N*或f(n0)>n0
答案　D　“f(n)∈N*且f(n)≤n”的否定为“f(n) N*或f(n)>n”,全称命题的否定为特称命题,故选D.
3.(2014湖北文,3,5分)命题“ x∈R,x2≠x”的否定是(　　)
A. x R,x2≠x　　　　B. x∈R,x2=x
C. x R,x2≠x　　　　D. x∈R,x2=x
答案　D　原命题的否定为 x∈R,x2=x.故选D.
4.(2013重庆理,2,5分)命题“对任意x∈R,都有x2≥0”的否定为　(　　)
A.对任意x∈R,都有x2<0　　　　B.不存在x∈R,使得x2<0
C.存在x0∈R,使得≥0　　　　D.存在x0∈R,使得<0
答案　D　全称命题的否定是特称命题.“对任意x∈R,都有x2≥0”的否定为“存在x0∈R,使得<0”,故选D.
5.(2016浙江,4,5分)命题“ x∈R, n∈N*,使得n≥x2”的否定形式是(　　)
A. x∈R, n∈N*,使得nB. x∈R, n∈N*,使得nC. x∈R, n∈N*,使得nD. x∈R, n∈N*,使得n答案　D　先将条件中的全称量词变为存在量词,存在量词变为全称量词,再否定结论.故选D.
6.(2015山东理,12,5分)若“ x∈,tanx≤m”是真命题,则实数m的最小值为　　　　.
答案　1
解析　∵0≤x≤,∴0≤tanx≤1,∵“ x∈,tanx≤m”是真命题,∴m≥1.∴实数m的最小值为1.
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