2014-2023年高考数学真题专题分类--2.1　函数及其表示(含解析)

2014-2023年高考数学真题专题分类
专题二　函数的概念与基本初等函数
2.1　函数及其表示
考点一　函数的概念及表示
1.(2015湖北文,7,5分)设x∈R,定义符号函数sgnx=则(　　)
A.|x|=x|sgnx|　　　　B.|x|=xsgn|x|
C.|x|=|x|sgnx　　　　D.|x|=xsgnx
答案　D　由已知可知xsgnx=而|x|=所以|x|=xsgnx,故选D.
2.(2014江西理,3,5分)已知函数f(x)=5|x|,g(x)=ax2-x(a∈R).若f[g(1)]=1,则a=(　　)
A.1　　　　B.2　　　　C.3　　　　D.-1
答案　A　由已知条件可知:f[g(1)]=f(a-1)=5|a-1|=1,∴|a-1|=0,得a=1.故选A.
评析　本题主要考查函数的解析式,正确理解函数的定义是解题关键.
3.(2015重庆文,3,5分)函数f(x)=log2(x2+2x-3)的定义域是(　　)
A.[-3,1]　　　 　B.(-3,1)
C.(-∞,-3]∪[1,+∞)　　　　D.(-∞,-3)∪(1,+∞)
答案　D　由x2+2x-3>0,解得x<-3或x>1,故选D.
4.(2015湖北文,6,5分)函数f(x)=+lg的定义域为(　　)
A.(2,3)　　　 　B.(2,4]
C.(2,3)∪(3,4]　　　　D.(-1,3)∪(3,6]
答案　C　要使函数f(x)有意义,需满足
即解之得25.(2014山东理,3,5分)函数f(x)=的定义域为(　　)
A.　　　 　B.(2,+∞)
C.∪(2,+∞)　　　　D.∪[2,+∞)
答案　C　要使函数f(x)有意义,需使(log2x)2-1>0,即(log2x)2>1,∴log2x>1或log2x<-1.解之得x>2或0故f(x)的定义域为∪(2,+∞).
6.(2016课标Ⅱ文,10,5分)下列函数中,其定义域和值域分别与函数y=10lgx的定义域和值域相同的是(　　)
A.y=x　　　　B.y=lgx　　　　C.y=2x　　　　D.y=
答案　D　函数y=10lgx的定义域、值域均为(0,+∞),而y=x,y=2x的定义域均为R,排除A,C;y=lgx的值域为R,排除B,故选D.
易错警示　利用对数恒等式将函数y=10lgx变为y=x,将其值域认为是R是失分的主要原因.
评析　本题考查函数的定义域和值域,熟练掌握基本初等函数的图象和性质是解题的关键.
7.(2022北京,4,4分)已知函数f(x)=,则对任意实数x,有 (　　)
A. f(-x)+f(x)=0　　　　B. f(-x)-f(x)=0
C. f(-x)+f(x)=1　　　　D. f(-x)-f(x)=
答案　C　∵f(x)=,∴f(-x)=,∴f(x)+f(-x)==1.故选C.
一题多解:若对任意实数x,使得选项中式子成立,则可任取x值,代入验证,进行排除.当x=0时, f(0)+f(0)==1, f(0)-f(0)=0,故A,D选项错误.当x=1时, f(-1)-f(1)=≠0,故B选项错误.根据排除法可知选C.
8.(2022北京,11,5分)函数f(x)=的定义域是　　　　　　.
答案　(-∞,0)∪(0,1]
解析　由题意得解得x≤1且x≠0,所以函数f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,1].
9.(2016江苏,5,5分)函数y=的定义域是　　　　.
答案　[-3,1]
解析　若函数有意义,则3-2x-x2≥0,即x2+2x-3≤0,解得-3≤x≤1.
考点二　分段函数
1.(2019天津理,8,5分)已知a∈R.设函数f(x)=若关于x的不等式f(x)≥0在R上恒成立,则a的取值范围为(　　)
A.[0,1]　　　　B.[0,2]　　　　C.[0,e]　　　　D.[1,e]
答案　C　本题主要考查分段函数及不等式恒成立问题,考查学生推理论证能力及运算求解能力,将恒成立问题转化为求最值问题,考查了学生化归与转化思想及分类讨论思想.
(1)当x≤1时,f(x)=x2-2ax+2a=(x-a)2+2a-a2,
①若a>1,则f(x)在(-∞,1]上是减函数,所以f(x)≥f(1)=1>0恒成立;②若a≤1,则f(x)≥f(a)=2a-a2,要使f(x)≥0在(-∞,1]上恒成立,只需2a-a2≥0,得0≤a≤2,∴0≤a≤1,综合①②可知,a≥0时,f(x)≥0在(-∞,1]上恒成立.
(2)当x>1时,lnx>0,f(x)=x-alnx≥0恒成立,即a≤恒成立.
令g(x)=,g'(x)=,令g'(x)=0,得x=e,当x∈(1,e)时,g'(x)<0,g(x)为减函数,当x∈(e,+∞)时,g'(x)>0,g(x)为增函数,∴g(x)min=g(e)=e,∴a≤e.
综合(1)(2)可知,a的取值范围是0≤a≤e,故选C.
解后反思　求不等式恒成立时的参数取值范围的方法:一是分离参数法,不等式f(x)≥a在R上恒成立 f(x)min≥a,f(x)≤a在R上恒成立 f(x)max≤a;二是讨论分析法,根据参数取值情况进行分类讨论,从而确定参数的取值范围.
2.(2019天津文,8,5分)已知函数f(x)=若关于x的方程f(x)=-x+a(a∈R)恰有两个互异的实数解,则a的取值范围为(　　)
A.　　　 　B.
C.∪{1}　　　　D.∪{1}
答案　D　本题以分段函数和方程的解的个数为背景,考查函数图象的画法及应用.
画出函数y=f(x)的图象,如图.
方程f(x)=-x+a的解的个数,即为函数y=f(x)的图象与直线l:y=-x+a的公共点的个数.
当直线l经过点A时,有2=-×1+a,a=;
当直线l经过点B时,有1=-×1+a,a=.
由图可知,a∈时,函数y=f(x)的图象与l恰有两个交点.
另外,当直线l与曲线y=,x>1相切时,恰有两个公共点,此时a>0.
联立得=-x+a,即x2-ax+1=0,
由Δ=a2-4××1=0,得a=1(舍去负根).
综上,a∈∪{1}.故选D.
一题多解　令g(x)=f(x)+x=当0≤x≤1时,g(x)=2+为增函数,其值域为;当x>1时,g(x)=+,对g(x)求导得g'(x)=-+,令g'(x)=0,得x=2,当x∈(1,2)时,g'(x)<0,g(x)单调递减,当x∈(2,+∞)时,g'(x)>0,g(x)单调递增,∴当x=2时,g(x)min=g(2)=1,函数g(x)的简图如图所示:
方程f(x)=-x+a恰有两个互异的实数解,即函数y=g(x)的图象与直线y=a有两个不同的交点,由图可知≤a≤或a=1满足条件,故选D.
易错警示　本题入手时,容易分段研究方程2=-x+a(0≤x≤1)与=-x+a(x>1)的解,陷入相对复杂的运算过程.利用数形结合时,容易在区间的端点处出现误判.
3.(2015课标Ⅰ文,10,5分)已知函数f(x)=且f(a)=-3,则f(6-a)=(　　)
A.-　　　　B.-　　　　C.-　　　　D.-
答案　A　当a≤1时,f(a)=2a-1-2=-3,即2a-1=-1,不成立,舍去;
当a>1时,f(a)=-log2(a+1)=-3,即log2(a+1)=3,得a+1=23=8,∴a=7,此时f(6-a)=f(-1)=2-2-2=-.故选A.
评析　本题主要考查分段函数,指数与对数的运算,考查分类讨论的思想,属中等难度题.
4.(2015陕西文,4,5分)设f(x)=则f(f(-2))=(　　)
A.-1　　　　B.　　　　C.　　　　D.
答案　C　∵f(-2)=2-2=,∴f(f(-2))=f=1-=,选C.
5.(2015山东文,10,5分)设函数f(x)=若f=4,则b=(　　)
A.1　　　　B.　　　　C.　　　　D.
答案　D　f=3×-b=-b,
当-b≥1,即b≤时,f=,
即=4=22,得到-b=2,即b=;
当-b<1,即b>时,f=-3b-b=-4b,
即-4b=4,得到b=<,舍去.
综上,b=,故选D.
6.(2014江西文,4,5分)已知函数f(x)=(a∈R),若f[f(-1)]=1,则a=(　　)
A.　　　　B.　　　　C.1　　　　D.2
答案　A　由f[f(-1)]=f(2)=4a=1,得a=,故选A.
7.(2014课标Ⅰ文,15,5分)设函数f(x)=则使得f(x)≤2成立的x的取值范围是　　　　.
答案　(-∞,8]
解析　f(x)≤2 或 或 x<1或1≤x≤8 x≤8,故填(-∞,8].
8.(2022浙江,14,6分)已知函数f(x)=则f=　　　　;若当x∈[a,b]时,1≤f(x)≤3,则b-a的最大值是　　　　.
答案　 ;3+
解析　∵f,
∴f.
f(x)的大致图象如图.
∵当x∈[a,b]时,1≤f(x)≤3,
∴由图可得b>1且b+-1=3,∴b=2+,
∵f(a)=1,∴-a2+2=1,解得a=1或a=-1,
∴(b-a)max=2+-(-1)=3+.
一题多解:第二空:∵当x≤1时,y=-x2+2≤2,
∴f(x)=3 x+-1=3(x>1),故x=2+,
令-x2+2=1(x≤1),解得x=1或x=-1,
令x+-1=1(x>1),无解,
∴amin=-1,b=2+,
∴(b-a)max=2+-(-1)=3+.
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