2014-2023年高考数学真题专题分类--2.2　函数的基本性质(含解析)

2014-2023年高考数学真题专题分类
2.2　函数的基本性质
考点一　函数的单调性及最值
1.(2016北京文,4,5分)下列函数中,在区间(-1,1)上为减函数的是(　　)
A.y=　　　　B.y=cosx　　　　C.y=ln(x+1)　　　　D.y=2-x
答案　D　选项A中,y==的图象是将y=-的图象向右平移1个单位得到的,故y=在(-1,1)上为增函数,不符合题意;选项B中,y=cosx在(-1,0)上为增函数,在(0,1)上为减函数,不符合题意;选项C中,y=ln(x+1)的图象是将y=lnx的图象向左平移1个单位得到的,故y=ln(x+1)在(-1,1)上为增函数,不符合题意;选项D符合题意.
评析　本题考查了基本函数的图象和性质以及图象的变换,属中档题.
2.(2015课标Ⅱ文,12,5分)设函数f(x)=ln(1+|x|)-,则使得f(x)>f(2x-1)成立的x的取值范围是(　　)
A.　　　 　B.∪(1,+∞)
C.　　　　D.∪
答案　A　当x>0时,f(x)=ln(1+x)-,∴f'(x)=+>0,∴f(x)在(0,+∞)上为增函数,∵f(-x)=f(x),∴f(x)为偶函数,由f(x)>f(2x-1)得f(|x|)>f(|2x-1|),
∴|x|>|2x-1|,即3x2-4x+1<0,解得3.(2016浙江,7,5分)已知函数f(x)满足:f(x)≥|x|且f(x)≥2x,x∈R.(　　)
A.若f(a)≤|b|,则a≤b　　　　B.若f(a)≤2b,则a≤b
C.若f(a)≥|b|,则a≥b　　　　D.若f(a)≥2b,则a≥b
答案　B　依题意得f(a)≥2a,
若f(a)≤2b,则2a≤f(a)≤2b,∴2a≤2b,
又y=2x是R上的增函数,∴a≤b.故选B.
4.(2020课标Ⅲ文,12,5分)已知函数f(x)=sinx+,则(　　)
A.f(x)的最小值为2
B.f(x)的图象关于y轴对称
C.f(x)的图象关于直线x=π对称
D.f(x)的图象关于直线x=对称
答案　D　对于A,令sinx=t,t∈[-1,0)∪(0,1],则g(t)=t+,当t∈(0,1]时,g(t)=t+≥2,当且仅当t=1时,取“=”,故g(t)∈[2,+∞),又∵g(t)=-g(-t),∴g(t)为奇函数,
∴g(t)的值域为(-∞,-2]∪[2,+∞),故A错误;
对于B,由f(x)≠f(-x),知f(x)不是偶函数,故B错误;
对于C,f(2π-x)=sin(2π-x)+=-sinx-≠f(x),故C错误;
对于D,f(π-x)=sin(π-x)+=sinx+=f(x),故f(x)的图象关于直线x=对称,故D正确.故选D.
5.(2021全国甲文,4,5分)下列函数中是增函数的为 (　　)
A. f(x)=-x　　　　B. f(x)=
C. f(x)=x2　　　　D. f(x)=
答案　D　解题指导:排除法,利用基本初等函数的性质逐一判断四个选项.
解析　对于f(x)=-x,由正比例函数的性质可知, f(x)是减函数,故A不符合题意;
对于f(x)=,由指数函数的单调性可知, f(x)是减函数,故B不符合题意;
对于f(x)=x2,由二次函数的图象可知, f(x)在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增,故C不符合题意;
对于f(x)=,由幂函数的性质可知, f(x)在(-∞,+∞)上单调递增,故选D.
方法总结:一次函数y=kx+b(k≠0)单调性的判断:若k>0,则函数在R上单调递增;若k<0,则函数在R上单调递减.
指数函数y=ax(a>0且a≠1)单调性的判断:若a>1,则函数在R上单调递增;若0幂函数y=xα单调性的判断:若α>0,则函数在(0,+∞)上单调递增;若α<0,则函数在(0,+∞)上单调递减.
6.(2021全国乙文,8,5分)下列函数中最小值为4的是 (　　)
A.y=x2+2x+4　　　　B.y=|sin x|+
C.y=2x+22-x　　　　D.y=ln x+
答案　C　解题指导:对于A,利用配方法或二次函数的单调性求最值,对于B,C,D,利用换元法转化为对勾函数进行判断.
解析　对于A,y=x2+2x+4=(x+1)2+3≥3,所以它的最小值为3,所以A不符合题意;对于B,设|sin x|=t,则00),则y=2x+22-x=t+,t>0,易知y=t+在(0,2)上单调递减,在(2,+∞)上单调递增,所以当t=2时,y取最小值,ymin=2+=4,故C符合题意;对于D,令ln x=t,t∈R且t≠0,则y=ln x+,显然t<0时,函数值小于0,不符合题意.故选C.
7.(2020新高考Ⅰ,8,5分)若定义在R的奇函数f(x)在(-∞,0)单调递减,且f(2)=0,则满足xf(x-1)≥0的x的取值范围是 (　　)
A.[-1,1]∪[3,+∞)　　　　B.[-3,-1]∪[0,1]
C.[-1,0]∪[1,+∞)　　　　D.[-1,0]∪[1,3]
答案　D　∵f(x)是定义在R上的奇函数,∴f(x-1)的图象关于点(1,0)中心对称,又∵f(x)在(-∞,0)上单调递减,∴f(x-1)在(-∞,1)上单调递减,在(1,+∞)上也单调递减,且过(-1,0)和(3,0),f(x-1)的大致图象如图:
当-1≤x≤0时,f(x-1)≤0,∴xf(x-1)≥0;当1≤x≤3时,f(x-1)≥0,∴xf(x-1)≥0.
综上,满足xf(x-1)≥0的x的取值范围是[-1,0]∪[1,3].故选D.
8.(2023新课标Ⅰ,4,5分,易)设函数f(x)=2 x(x-a)在区间(0,1)单调递减,则a的取值范围是 (　　)
A.(-∞,-2]　　　　B.[-2,0)
C.(0,2]　　　　D.[2,+∞)
答案　D　f(x)=2x(x-a)=,由复合函数的单调性知函数y=-在(0,1)上单调递减,
所以≥1,解得a≥2,即a的取值范围是[2,+∞),故选D.
9.(2023全国甲文,11,5分,中)已知函数f(x)=.记a=f ,b=f ,c=f ,则 (　　)
A.b>c>a　　　　B.b>a>c
C.c>b>a　　　　D.c>a>b
答案　A　∵f(x)=是由y=eu和u=-(x-1)2两个函数复合而成的,
∴f(x)在(-∞,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,
又知f(2-x)====f(x),
∴f(x)的图象关于直线x=1对称,∴f =f ,
又∵<2-<<1,∴f 即a10.(2016北京文,10,5分)函数f(x)=(x≥2)的最大值为　　　　.
答案　2
解析　解法一:∵f'(x)=,∴x≥2时,f'(x)<0恒成立,
∴f(x)在[2,+∞)上单调递减,
∴f(x)在[2,+∞)上的最大值为f(2)=2.
解法二:∵f(x)===1+,
∴f(x)的图象是将y=的图象向右平移1个单位,再向上平移1个单位得到的.∵y=在[2,+∞)上单调递减,
∴f(x)在[2,+∞)上单调递减,故f(x)在[2,+∞)上的最大值为f(2)=2.
解法三:由题意可得f(x)=1+.
∵x≥2,∴x-1≥1,∴0<≤1,
∴1<1+≤2,即1<≤2.
故f(x)在[2,+∞)上的最大值为2.
评析　本题考查函数的最值,有多种解法,属中档题.
11.(2015浙江文,12,6分)已知函数f(x)=则f(f(-2))=　　　　,f(x)的最小值是　　　　.
答案　-;2-6
解析　f(-2)=(-2)2=4,f(f(-2))=f(4)=4+-6=-.
当x≤1时,f(x)=x2≥0,
当x>1时,f(x)=x+-6≥2-6,
当且仅当x=时,等号成立,
又2-6<0,所以f(x)min=2-6.
考点二　函数的奇偶性
1.(2015北京文,3,5分)下列函数中为偶函数的是(　　)
A.y=x2sinx　　　　B.y=x2cosx　　　　C.y=|lnx|　　　　D.y=2-x
答案　B　A中函数为奇函数,B中函数为偶函数,C与D中函数均为非奇非偶函数,故选B.
2.(2014课标Ⅰ,理3,文5,5分)设函数f(x),g(x)的定义域都为R,且f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,则下列结论中正确的是(　　)
A.f(x)g(x)是偶函数　　　 　B.|f(x)|g(x)是奇函数
C.f(x)|g(x)|是奇函数　　　　D.|f(x)g(x)|是奇函数
答案　C　由题意可知f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x),对于选项A,f(-x)·g(-x)=-f(x)·g(x),所以f(x)g(x)是奇函数,故A项错误;对于选项B,|f(-x)|g(-x)=|-f(x)|g(x)=|f(x)|g(x),所以|f(x)|g(x)是偶函数,故B项错误;对于选项C,f(-x)|g(-x)|=-f(x)|g(x)|,所以f(x)|g(x)|是奇函数,故C项正确;对于选项D,|f(-x)g(-x)|=|-f(x)g(x)|=|f(x)g(x)|,所以|f(x)g(x)|是偶函数,故D项错误,选C.
评析　本题考查函数奇偶性的定义及其应用,考查学生的知识应用能力及逻辑推理论证能力,准确理解函数奇偶性的定义是解决本题的关键.
3.(2011课标,理2,文3,5分)下列函数中,既是偶函数又在(0,+∞)单调递增的函数是(　　)
A.y=x3　　　　B.y=|x|+1　　　　C.y=-x2+1　　　　D.y=2-|x|
答案　B　y=x3是奇函数,y=-x2+1和y=2-|x|在(0,+∞)上都是减函数,故选B.
评析　本题考查函数的奇偶性和单调性的判定,属容易题.
4.(2021全国乙理,4,5分)设函数f(x)=,则下列函数中为奇函数的是 (　　)
A.f(x-1)-1　　　　B.f(x-1)+1　　　　C.f(x+1)-1　　　　D.f(x+1)+1
答案　B　解题指导:思路一:将函数f(x)的解析式分离常数,通过图象变换可得函数图象关于(0,0)对称,此函数即为奇函数;
思路二:由函数f(x)的解析式,求出选项中的函数解析式,由函数奇偶性定义来判断.
解析　解法一:f(x)=-1+,其图象的对称中心为(-1,-1),将y=f(x)的图象沿x轴向右平移1个单位,再沿y轴向上平移1个单位可得函数f(x-1)+1的图象,关于(0,0)对称,所以函数f(x-1)+1是奇函数,故选B.
解法二:选项A, f(x-1)-1=-2,此函数为非奇非偶函数;选项B, f(x-1)+1=,此函数为奇函数;选项C, f(x+1)-1=,此函数为非奇非偶函数;选项D, f(x+1)+1=,此函数为非奇非偶函数,故选B.
5.(2021全国甲理,12,5分)设函数f(x)的定义域为R, f(x+1)为奇函数, f(x+2)为偶函数,当x∈[1,2]时, f(x)=ax2+b.若f(0)+f(3)=6,则f= (　　)
A.-
答案　D　解题指导:利用奇偶性得到f(x+2)=-f(x),将出现的自变量0,3,对应的函数值转化为[1,2]内自变量对应的函数值,进而得到a,b以及f的值.
解析　由题知
从而f(x+4)=-f(x+2),即f(x+2)=-f(x),
所以6=f(0)+f(3)=-f(2)+[-f(1)]=-(4a+b)-(a+b)=-5a-2b,即5a+2b=-6.①
又由题知f(x+1)为奇函数,x∈R,所以f(1)=0,即a+b=0.②
由①②得从而f(x)=-2x2+2,x∈[1,2].
所以f.故选D.
一题多解　因为f(x+1)与f(x+2)分别为奇函数和偶函数,所以函数f(x)的图象关于点(1,0)和直线x=2对称,且f(x)为周期函数,周期T=4,
从而f(0)=-f(2),①
f(3)=f(1)=0,②
f,
由①②结合f(0)+f(3)=6,知a=-2,b=2,
所以f.
6.(多选)(2022新高考Ⅰ,12,5分)已知函数f(x)及其导函数f '(x)的定义域均为R,记g(x)=f '(x).若f,g(2+x)均为偶函数,则 (　　)
A. f(0)=0　　　　B.g=0
C. f(-1)=f(4)　　　　D.g(-1)=g(2)
答案　BC　解法一:若设f(x)=1,则g(x)=0,易知所设f(x)符合题意,此时f(0)=1,故选项A错误.
设f(x)=sin(πx),则g(x)=f '(x)=πcos(πx),
由于f=sinπ=sin=-cos(2πx),
g(2+x)=πcos[π(2+x)]=πcos(2π+πx)=πcos(πx),
所以f,g(2+x)均为偶函数,则所设f(x)符合题意.
于是g(-1)=πcos(-π)=-π≠g(2),故选项D错误.
由于f是偶函数,所以f '是奇函数,
即g是奇函数,则g=0,注意到g(2+x)是偶函数,于是g
=-g
=g=0,
故选项B正确.
由f,取x=,则f(-1)=f(4),故选项C正确.
故选BC.
解法二:由题意知f f(-x)=f(3+x)①,
取x=1,知f(-1)=f(4),C正确.
对①两边求导知-f '(-x)=f '(3+x) f '(-x)=-f '(3+x),即g(-x)=-g(3+x)②,
取x=-,知g=0.
g(2+x)=g(2-x) g(-x)=g(x+4)③,
由②③知g(x+4)=-g(x+3),即g(x+1)=-g(x),所以g(x+2)=-g(x+1)=g(x).
从而g=0,B正确.
同解法一可判断A,D错误.故选BC.
7.(2023全国乙理,4,5分,中)已知f(x)=是偶函数,则a= (　　)
A.-2　　B.-1　　C.1　　D.2
答案　D　解法一(特值法):f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞).由f(x)是偶函数,可得f(x)=f(-x),令x=1,得f(1)=f(-1),
即,化简得e=ea-1,
a-1=1,所以a=2.
解法二: f(x)=的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞).
由f(x)为偶函数知f(x)=f(-x),
即,即,
化简得e2x=eax,所以a=2.
8.(2023新课标Ⅱ,4,5分,易)若f(x)=(x+a)·ln为偶函数,则a= (　　)
A.-1　　B.0　　C.　　D.1
答案　B　解法一:∵f(x)为偶函数,∴f(1)=f(-1),又f(1)=(a+1)ln =-(a+1)ln 3, f(-1)=(a-1)ln 3,∴-(a+1)=a-1,∴a=0.
解法二:f(-x)=(-x+a)ln =(-x+a)ln =(x-a)ln ,∵f(x)为偶函数,∴f(x)=f(-x),∴x+a=x-a,即a=0.
9.(2023全国乙文,5,5分,中)已知f(x)=是偶函数,则a= (　　)
A.-2　　B.-1　　C.1　　D.2
答案　D　解法一(特值法):f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞).由f(x)是偶函数,可得f(x)=f(-x),令x=1,得f(1)=f(-1),
即,化简得e=ea-1,
a-1=1,所以a=2.
解法二: f(x)=的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞).
由f(x)为偶函数知f(x)=f(-x),
即,即,
化简得e2x=eax,所以a=2.
10.(2018课标Ⅲ文,16,5分)已知函数f(x)=ln(-x)+1,f(a)=4,则f(-a)=　　　　.
答案　-2
解析　本题考查函数的奇偶性.
易知f(x)的定义域为R,
令g(x)=ln(-x),
则g(x)+g(-x)=0,
∴g(x)为奇函数,
∴f(a)+f(-a)=2,又f(a)=4,∴f(-a)=-2.
解题关键　观察出函数g(x)=ln(-x)为奇函数.
11.(2017课标Ⅱ文,14,5分)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x∈(-∞,0)时,f(x)=2x3+x2,则f(2)=　　　　.
答案　12
解析　本题主要考查运用函数的奇偶性求函数值.
由题意可知f(2)=-f(-2),∵x∈(-∞,0)时,f(x)=2x3+x2,∴f(2)=-f(-2)=-[2×(-8)+4]=-(-12)=12.
12.(2016天津,13,5分)已知f(x)是定义在R上的偶函数,且在区间(-∞,0)上单调递增.若实数a满足f(2|a-1|)>f(-),则a的取值范围是　　　　.
答案　
解析　由题意知函数f(x)在(0,+∞)上单调递减.
因为f(2|a-1|)>f(-),f(-)=f(),
所以f(2|a-1|)>f(),
所以2|a-1|<,
解之得13.(2014课标Ⅱ文,15,5分)偶函数y=f(x)的图象关于直线x=2对称,f(3)=3,则f(-1)=　　　　.
答案　3
解析　∵函数y=f(x)的图象关于直线x=2对称,
∴f(2+x)=f(2-x)对任意x恒成立,
令x=1,得f(1)=f(3)=3,
∴f(-1)=f(1)=3.
14.(2012课标文,16,5分)设函数f(x)=的最大值为M,最小值为m,则M+m=　　　　.
答案　2
解析　f(x)==1+,令g(x)=,则g(x)为奇函数,有g(x)max+g(x)min=0,故M+m=2.
15.(2021新高考Ⅰ,13,5分)已知函数f(x)=x3(a·2x-2-x)是偶函数,则a=　　　　.
答案　1
解题指导:利用偶函数的定义,取定义域内的特殊值即可求出a的值.
解析　∵f(x)=x3(a·2x-2-x)为偶函数,
∴f(1)=f(-1),
∴2a-,
∴a=1.
当a=1时, f(x)=x3(2x-2-x),定义域为R,且满足f(-x)=f(x),即f(x)为偶函数.
一题多解　y=x3和y=2x-2-x为奇函数,利用结论:奇函数×奇函数=偶函数,可快速判断出a=1.
16.(2022全国乙文,16,5分)若f(x)=ln+b是奇函数,则a=　　　　,b=　　　　.
答案　 -;ln 2
解析　∵f(x)是奇函数,∴f(x)的定义域关于原点对称.
由已知得x≠1,∴x≠-1,即当x=-1时,=0,
∴a+=0,∴a=-,此时f(x)=ln+b,
∵f(x)为奇函数且在x=0处有意义,
∴f(0)=0,即ln+b=0,
∴b=-ln=ln 2.
综上可知,a=-,b=ln 2.
17.(2023全国甲理,13,5分,易)若f(x)=(x-1)2+ax+sin为偶函数,则a=　　　　.
答案　2
解析　解法一:由题意知f(x)的定义域为R,
∵f(x)=(x-1)2+ax+sin=x2+(a-2)x+cos x+1,
∴f(-x)=(-x)2+(a-2)(-x)+cos(-x)+1=x2-(a-2)x+cos x+1.
∵f(x)为偶函数,∴f(x)=f(-x),即x2+(a-2)x+cos x+1=x2-(a-2)x+cos x+1,即(a-2)x=-(a-2)x,
∴a-2=0,∴a=2.
解法二:由题意知f(x)的定义域为R.∵函数f(x)是偶函数,∴f(-1)=f(1),∴4-a+cos 1=a+cos 1,∴a=2.
18.(2023全国甲文,14,5分,易)若f(x)=(x-1)2+ax+sin为偶函数,则a=　　　　.
答案　2
解析　解法一:由题意知f(x)的定义域为R,
∵f(x)=(x-1)2+ax+sin=x2+(a-2)x+cos x+1,
∴f(-x)=(-x)2+(a-2)(-x)+cos(-x)+1=x2-(a-2)x+cos x+1.
∵f(x)为偶函数,∴f(x)=f(-x),即x2+(a-2)x+cos x+1=x2-(a-2)x+cos x+1,即(a-2)x=-(a-2)x,
∴a-2=0,∴a=2.
解法二:由题意知f(x)的定义域为R.∵函数f(x)是偶函数,∴f(-1)=f(1),∴4-a+cos 1=a+cos 1,∴a=2.
考点三　函数的周期性
1.(2016山东,9,5分)已知函数f(x)的定义域为R.当x<0时,f(x)=x3-1;当-1≤x≤1时,f(-x)=-f(x);当x>时,f=f.则f(6)=(　　)
A.-2　　　　B.-1　　　　
C.0　　　　D.2
答案　D　当x>时,由f=f可得f(x)=f(x+1),所以f(6)=f(1),而f(1)=-f(-1),f(-1)=(-1)3-1=-2,所以f(6)=f(1)=2,故选D.
2.(2021全国甲文,12,5分)设f(x)是定义域为R的奇函数,且f(1+x)=f(-x).若f,则f= (　　)
A.-
答案　C　解题指导:求出函数f(x)的周期再进行转化,即可求解.
解析　由f(1+x)=f(-x),且f(x)是定义在R上的奇函数,可得f(1+x)=f(-x)=-f(x),所以f(2+x)=-f(1+x)=f(x),所以f(x)的周期为2,则f,故选C.
知识延伸:若函数f(x)为奇函数,且满足f(a+x)=f(-x),则f(x)图象的对称轴为直线x=,周期为2a;若函数f(x)为偶函数,且满足f(a+x)=f(-x),则f(x)图象的对称轴为直线x=,周期为a.
3.(2022新高考Ⅱ,8,5分)已知函数f(x)的定义域为R,且f(x+y)+f(x-y)=f(x)f(y), f(1)=1,则f(k)= (　　)
A.-3　　　　B.-2　　　　C.0　　　　D.1
答案　A　令y=1,得f(x+1)+f(x-1)=f(x)①,故f(x+2)+f(x)=f(x+1)②.由①②得f(x+2)+f(x-1)=0,故f(x+2)=-f(x-1),所以f(x+3)=-f(x),所以f(x+6)=-f(x+3)=f(x),所以函数f(x)的周期为6.
令x=1,y=0,得f(1)+f(1)=f(1)·f(0),故f(0)=2,
同理,令x=1,y=1,得f(2)=-1;
令x=2,y=1,得f(3)=-2;
令x=3,y=1,得f(4)=-1;令x=4,y=1,得f(5)=1;
令x=5,y=1,得f(6)=2.
故f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(6)=0,
所以f(k)=f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=-3.故选A.
4.(2022全国乙理,12,5分)已知函数f(x),g(x)的定义域均为R,且f(x)+g(2-x)=5,g(x)-f(x-4)=7.若y=g(x)的图象关于直线x=2对称,g(2)=4,则f(k)= (　　)
A.-21　　　　B.-22　　　　C.-23　　　　D.-24
答案　D　由y=g(x)的图象关于直线x=2对称,得g(2+x)=g(2-x),故g(x)=g(4-x),由g(x)-f(x-4)=7,得g(2+x)-f(x-2)=7①,又f(x)+g(2-x)=5②,所以由②-①,得f(x)+f(x-2)=-2③,则f(x+2)+f(x)=-2④,所以由④-③,得f(x+2)=f(x-2),即f(x+4)=f(x),所以函数f(x)是以4为周期的周期函数.
对于④,分别令x=1,2,得f(1)+f(3)=-2, f(2)+f(4)=-2,则f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=-4.
对于①,令x=-1,得g(1)-f(-3)=7,则g(1)-f(1)=7⑦,
对于②,令x=1,得f(1)+g(1)=5⑧,
由⑦⑧,得f(1)=-1.
对于②,令x=0,得f(0)+g(2)=5,
又g(2)=4,所以f(0)=1.
对于③,令x=2,得f(2)+f(0)=-2,
所以f(2)=-3.
则=5×(-4)+f(1)+f(2)=-20+(-1)+(-3)=-24.故选D.
5.(2016四川,14,5分)已知函数f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数,当0答案　-2
解析　∵f(x)是定义在R上的奇函数,
∴f(x)=-f(-x),
又∵f(x)的周期为2,∴f(x+2)=f(x),∴f(x+2)=-f(-x),
即f(x+2)+f(-x)=0,令x=-1,得f(1)+f(1)=0,∴f(1)=0.
又∵f=f=-f=-=-2.
∴f+f(1)=-2.
6.(2017山东文,14,5分)已知f(x)是定义在R上的偶函数,且f(x+4)=f(x-2).若当x∈[-3,0]时,f(x)=6-x,则f(919)=　　　　.
答案　6
解析　本题考查函数的奇偶性与周期性.
由f(x+4)=f(x-2)得f(x+6)=f(x),
故f(x)是周期为6的函数.
所以f(919)=f(6×153+1)=f(1).
因为f(x)为R上的偶函数,所以f(1)=f(-1).
又x∈[-3,0]时,f(x)=6-x,所以f(-1)=6-(-1)=6.
从而f(1)=6,故f(919)=6.
方法小结　函数周期性的判断:
一般地,若f(x+T)=f(x),则T为函数的一个周期;
若f(x+T)=-f(x),则2T为函数的一个周期;
若f(x+T)=(f(x)≠0),则2T为函数的一个周期.
7.(2014安徽文,14,5分)若函数f(x)(x∈R)是周期为4的奇函数,且在[0,2]上的解析式为f(x)=则f+f=　　　　.
答案　
解析　依题意得f=f=f=-f=-×=-,f=f=f=-f=-sin=sin=,因此,f+f=-+=.
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