2014-2023年高考数学真题专题分类--2.4　指数函数与对数函数(含解析)

2014-2023年高考数学真题专题分类
2.4　指数函数与对数函数
考点一　指数式与对数式
1.(2020课标Ⅲ文,10,5分)设a=log32,b=log53,c=,则(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.a答案　A　因为a=log32=log3b=log53=log5>log5==c,所以a2.(2018课标Ⅲ理,12,5分)设a=log0.20.3,b=log20.3,则(　　)
A.a+bC.a+b<0答案　B　本题考查不等式及对数运算.
解法一:∵a=log0.20.3>log0.21=0,b=log20.3∵0∵===log20.2,∴b-=log20.3-log20.2=log2<1,∴b<1+ ab解法二:易知0∵+=log0.30.2+log0.32=log0.30.4<1,
即<1,∴a+b>ab,
∴ab方法总结　比较代数式大小的常用方法
(1)作差法:其基本步骤为作差、变形、判断符号、得出结论.用作差法比较大小的关键是判断差的正负.变形常采用配方、因式分解、分子(分母)有理化等方法.
(2)作商法:即通过判断商与1的大小关系,得出结论.要特别注意当商与1的大小确定后,必须对商式分子、分母的正负进行判断,这是用作商法比较大小时最容易漏掉的关键步骤.
(3)单调性法:利用有关函数的单调性比较大小.
(4)特值验证法:对于一些给出取值范围的题目,可采用特值验证法比较大小.
3.(2018天津理,5,5分)已知a=log2e,b=ln2,c=lo,则a,b,c的大小关系为(　　)
A.a>b>c　　　　B.b>a>c
C.c>b>a　　　　D.c>a>b
答案　D　本题主要考查对数的大小比较.
由已知得c=log23,∵log23>log2e>1,b=ln2<1,∴c>a>b,故选D.
4.(2015课标Ⅱ理,5,5分)设函数f(x)=
则f(-2)+f(log212)=(　　)
A.3　　　　B.6　　　　C.9　　　　D.12
答案　C　∵-2<1,∴f(-2)=1+log2[2-(-2)]=3;
∵log212>1,∴f(log212)===6.∴f(-2)+f(log212)=9.
5.(2022浙江,7,4分)已知2a=5,log83=b,则4a-3b= (　　)
A.25　　　　B.5　　　　C.
答案　C　由题意知b=log83=lolog23,又2a=5,所以4a-3b=22(a-3b)=22a-6b=(2a)2·2-6b=25×,故选C.
6.(2021全国甲理,4,5分)青少年视力是社会普遍关注的问题,视力情况可借助视力表测量.通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据,五分记录法的数据L和小数记录法的数据V满足L=5+lg V.已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9,则其视力的小数记录法的数据约为(≈1.259) (　　)
A.1.5　　　　B.1.2　　　　C.0.8　　　　D.0.6
答案　C　解题指导:将L=4.9代入L=5+lg V,结合对数与指数互化,即可求出V的值.
解析　将L=4.9代入L=5+lg V,得4.9=5+lg V,
即lg V=-0.1=-,
∴V=1≈0.8,
∴其视力的小数记录法的数据约为0.8.故选C.
考点二　指数函数的图象与性质
1.(2013课标Ⅱ文,12,5分)若存在正数x使2x(x-a)<1成立,则a的取值范围是(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.(-∞,+∞)　　　　B.(-2,+∞)
C.(0,+∞)　　　 　D.(-1,+∞)
答案　D　由2x(x-a)<1得a>x-,令f(x)=x-,即a>f(x)有解,则a>f(x)min,又y=f(x)在(0,+∞)上递增,所以f(x)>f(0)=-1,所以a>-1,选D.
评析　本题考查了函数的值域与最值的求法,考查了分离参变量的方法,熟悉基本初等函数的单调性是解题关键.
2.(2015天津文,7,5分)已知定义在R上的函数f(x)=2|x-m|-1(m为实数)为偶函数.记a=f(log0.53),
b=f(log25),c=f(2m),则a,b,c的大小关系为 (　　)
A.a答案　B　因为f(x)是偶函数,所以m=0,所以f(x)=2|x|-1,且f(x)在[0,+∞)上为增函数,由题意得a=f(log0.53)
=f(-log23)=f(log23),因为log25>log23>0,所以f(log25)>f(log23)>f(0),即b>a>c,故选B.
3.(2019天津文,5,5分)已知a=log27,b=log38,c=0.30.2,则a,b,c的大小关系为(　　)
A.cC.b答案　A　本题考查指数函数与对数函数的图象和性质;通过对对数式的估算或适当“缩放”考查学生的直观想象与逻辑推理的核心素养.
显然c=0.30.2∈(0,1).
因为log33因为log27>log24=2,所以a>2.
故c4.(2016课标Ⅰ文,8,5分)若a>b>0,0A.logacC.accb
答案　B　∵0b>1时,logac>logbc,A项错误;
∵0b>0,
∴logca∵0又∵a>b>0,∴ac>bc,C项错误;
∵0又∵a>b>0,∴ca评析　本题主要考查了幂函数、指数函数、对数函数的图象和性质,熟练掌握幂函数、指数函数、对数函数的图象和性质是解题的关键.
5.(2012课标文,11,5分)当0A.　　　　B.　　　　C.(1,)　　　　D.(,2)
答案　B　易知02,解得a>,∴评析　本题考查了利用数形结合解指数、对数不等式.
6.(2023天津,3,5分,易)设a=1.010.5,b=1.010.6,c=0.60.5,则a,b,c的大小关系为 (　　)
A.c>a>b　　　　B.c>b>a
C.a>b>c　　　　D.b>a>c
答案　D　∵f(x)=1.01x单调递增,∴f(0.5)g(0.6),即a>c,
∴b>a>c,故选D.
7.(2016四川文,14,5分)若函数f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数,当0答案　-2
解析　∵f(x)是定义在R上的奇函数,
∴f(0)=0,
又∵f(x)的周期为2,
∴f(2)=0,
又∵f=f=-f=-=-2,
∴f+f(2)=-2.
评析　本题考查了函数的奇偶性及周期性,属中档题.
8.(2015山东理,14,5分)已知函数f(x)=ax+b(a>0,a≠1)的定义域和值域都是[-1,0],则a+b=　　　　.
答案　-
解析　①当a>1时,f(x)在[-1,0]上单调递增,则无解.
②当0评析　本题主要考查指数函数的性质及分类讨论的思想.
考点三　对数函数的图象与性质
1.(2017课标Ⅱ文,8,5分)函数f(x)=ln(x2-2x-8)的单调递增区间是(　　)
A.(-∞,-2)　　　　B.(-∞,1)　　　　C.(1,+∞)　　　　D.(4,+∞)
答案　D　本题主要考查复合函数的单调性.
由x2-2x-8>0可得x>4或x<-2,
所以x∈(-∞,-2)∪(4,+∞),
令u=x2-2x-8,
则其在x∈(-∞,-2)上单调递减,
在x∈(4,+∞)上单调递增.
又因为y=lnu在u∈(0,+∞)上单调递增,
所以y=ln(x2-2x-8)在x∈(4,+∞)上单调递增.故选D.
易错警示　本题易忽略定义域而错选C.
方法总结　复合函数的单调性符合同增异减的原则.
2.(2013课标Ⅱ理,8,5分)设a=log36,b=log510,c=log714,则(　　)
A.c>b>a　　　　B.b>c>a　　　　C.a>c>b　　　　D.a>b>c
答案　D　由对数运算法则得a=log36=1+log32,b=1+log52,c=1+log72,由对数函数图象得log32>log52>log72,所以a>b>c,故选D.
3.(2013课标Ⅱ文,8,5分)设a=log32,b=log52,c=log23,则(　　)
A.a>c>b　　　　B.b>c>a　　　　C.c>b>a　　　　D.c>a>b
答案　D　∵<2<3,1<2<,3>2,∴log3log22,∴1,
∴c>a>b.故选D.
4.(2018课标Ⅰ文,13,5分)已知函数f(x)=log2(x2+a).若f(3)=1,则a=　　　　.
答案　-7
解析　本题主要考查函数的解析式及对数的运算.
∵f(x)=log2(x2+a)且f(3)=1,
∴f(3)=log2(9+a)=1,
∴a+9=2,∴a=-7.
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