2014-2023年高考数学真题专题分类--2.6　函数与方程(含解析)

2014-2023年高考数学真题专题分类
2.6　函数与方程
考点 函数与方程
1.(2015天津文,8,5分)已知函数f(x)=函数g(x)=3-f(2-x),则函数y=f(x)-g(x)的零点个数为(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.2　　　　B.3　　　　C.4　　　　D.5
答案　A　由已知条件可得g(x)=3-f(2-x)=函数y=f(x)-g(x)的零点个数即为函数y=f(x)与y=g(x)图象的交点个数,在平面直角坐标系内作出函数y=f(x)与y=g(x)的图象如图所示.
由图可知函数y=f(x)与y=g(x)的图象有2个交点,所以函数y=f(x)-g(x)的零点个数为2,选A.
2.(2014北京文,6,5分)已知函数f(x)=-log2x.在下列区间中,包含f(x)零点的区间是(　　)
A.(0,1)　　　　B.(1,2)　　　　C.(2,4)　　　　D.(4,+∞)
答案　C　∵f(1)=6-log21=6>0,f(2)=3-log22=2>0,f(4)=-log24=-2<0,∴包含f(x)零点的区间是(2,4),故选C.
3.(2011课标,10,5分)在下列区间中,函数f(x)=ex+4x-3的零点所在的区间为(　　)
A.　　　　B.
C.　　　　D.
答案　C　显然f(x)为定义域R上的连续函数.如图作出y=ex与y=3-4x的图象,由图象知函数f(x)=ex+4x-3的零点一定落在区间内,又f=-2<0,f=-1>0.故选C.
评析　本题考查函数零点的概念及求解方法,考查学生分析问题、解决问题的能力,属中等难度试题.
4.(2011课标理,12,5分)函数y=的图象与函数y=2sinπx(-2≤x≤4)的图象所有交点的横坐标之和等于(　　)
A.2　　　　B.4　　　　C.6　　　　D.8
答案　D　函数y==和y=2sinπx的图象有公共的对称中心(1,0),画出二者图象如图所示,
易知y=与y=2sinπx(-2≤x≤4)的图象共有8个交点,不妨设其横坐标为x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7,x8,且x15.(2011课标文,12,5分)已知函数y=f(x)的周期为2,当x∈[-1,1]时f(x)=x2,那么函数y=f(x)的图象与函数y=|lgx|的图象的交点共有(　　)
A.10个　　　　B.9个　　　　C.8个　　　　D.1个
答案　A　在同一平面直角坐标系中分别作出f(x)和y=|lgx|的图象,如图.又lg10=1,由图象知选A.
评析　本题考查函数的图象、周期等相关知识,考查学生作图、用图能力,体现了数形结合思想.
6.(2016天津文,14,5分)已知函数f(x)=
(a>0,且a≠1)在R上单调递减,且关于x的方程|f(x)|=2-恰有两个不相等的实数解,则a的取值范围是　　　　.
答案　
解析　∵函数f(x)在R上单调递减,∴解得≤a≤.在同一直角坐标系下作出函数y=|f(x)|与y=2-的图象,如图所示.
方程|f(x)|=2-恰有两个不相等的实数解等价于y=|f(x)|的图象与y=2-的图象恰有两个交点,则需满足3a<2,得a<,综上可知,≤a<.
易错警示　(1)f(x)在R上单调递减,需满足缺少条件是失分的一个原因;
(2)由方程解的个数求参数范围往往利用数形结合思想将问题转化为两个函数图象交点个数的问题是解决这类问题常用的方法.
评析　本题主要考查分段函数的单调性及函数与方程,利用数形结合思想,将方程解的个数问题转化为两个函数图象交点个数的问题是求解这类问题的常用方法.
7.(2015湖北文,13,5分)函数f(x)=2sinxsin-x2的零点个数为　　　　.
答案　2
解析　f(x)=2sinxcosx-x2=sin2x-x2,函数f(x)的零点个数可转化为函数y1=sin2x与y2=x2图象的交点个数,在同一坐标系中画出y1=sin2x与y2=x2的图象如图所示:
由图可知两函数图象有2个交点,则f(x)的零点个数为2.
8.(2021北京,15,5分)已知f(x)=|lg x|-kx-2,给出下列四个结论:
①若k=0,则f(x)有两个零点;
② k<0,使得f(x)有一个零点;
③ k<0,使得f(x)有三个零点;
④ k>0,使得f(x)有三个零点.
以上正确结论的序号是　　　　.
答案　①②④
解析　令f(x)=|lg x|-kx-2=0,得|lg x|=kx+2,
令g(x)=|lg x|,h(x)=kx+2,
所以f(x)的零点个数即函数g(x)与h(x)图象的交点个数.
当k=0时,如图a,g(x)与h(x)的图象有两个交点,则f(x)有两个零点,故①正确;
当k>0时,如图b,存在h(x)=k0x+2的图象与函数g(x)=lg x(x>1)的图象相切,此时h(x)与g(x)的图象有两个交点,当0当k<0时,如图c,g(x)与h(x)的图象最多有两个交点,g(x)与h(x)相切时有一个交点,如图d,故②正确,③不正确.
综上,正确结论的序号为①②④.
图a
图b
图c
图d
解题指导:由f(x)=0得|lg x|=kx+2,令g(x)=|lg x|,h(x)=kx+2,则f(x)零点个数转化为g(x)与h(x)图象的交点个数,再利用图象解决问题.
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