2014-2023年高考数学真题专题分类--2.7 函数模型及应用(含解析)

2014-2023年高考数学真题专题分类
2.7函数模型及应用
考点　函数模型及其应用
1.(2020课标Ⅱ文,3,5分)如图,将钢琴上的12个键依次记为a1,a2,…,a12,设1≤i　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.5　　　　B.8　　　　C.10　　　　D.15
答案　C　根据已知条件可知原位大三和弦有a1,a5,a8;a2,a6,a9;a3,a7,a10;a4,a8,a11;a5,a9,a12,共5个.原位小三和弦有a1,a4,a8;a2,a5,a9;a3,a6,a10;a4,a7,a11;a5,a8,a12,共5个,所以用这12个键可以构成的原位大三和弦与原位小三和弦的个数之和为10,故选C.
2.(2016四川,5,5分)某公司为激励创新,计划逐年加大研发资金投入.若该公司2015年全年投入研发资金130万元,在此基础上,每年投入的研发资金比上一年增长12%,则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是
(参考数据:lg1.12≈0.05,lg1.3≈0.11,lg2≈0.30)(　　)
A.2018年　　　　B.2019年　　　　C.2020年　　　　D.2021年
答案　B　设x年后研发资金超过200万元,则130(1+12%)x>200 1.12x> xlg1.12>lg 0.05x>0.19 x>3.8,故该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是2019年.
3.(2022北京,7,4分,应用性)在北京冬奥会上,国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保的二氧化碳跨临界直冷制冰技术,为实现绿色冬奥作出了贡献.如图描述了一定条件下二氧化碳所处的状态与T和lg P的关系,其中T表示温度,单位是K;P表示压强,单位是bar.下列结论中正确的是 (　　)
A.当T=220,P=1 026时,二氧化碳处于液态
B.当T=270,P=128时,二氧化碳处于气态
C.当T=300,P=9 987时,二氧化碳处于超临界状态
D.当T=360,P=729时,二氧化碳处于超临界状态
答案　D　对于A,当T=220,P=1 026时,lg P=lg 1 026=3+lg 1.026∈(3,4),由题图可知,二氧化碳处于固态,∴A错误.
对于B,当T=270,P=128时,lg P=lg 128=2+lg 1.28∈(2,3),由题图可知,二氧化碳处于液态,∴B错误.
对于C,当T=300,P=9 987时,lg P=3+lg 9.987≈4,
由题图可知,二氧化碳处于固态,∴C错误.
对于D,当T=360,P=729时,lg P=lg 729=2+lg 7.29∈(2,3),由题图可知,二氧化碳处于超临界状态,∴D正确.
故选D.
4.(2020新高考Ⅰ,6,5分)基本再生数R0与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数,世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段,可以用指数模型:I(t)=ert描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位:天)的变化规律,指数增长率r与R0,T近似满足R0=1+rT.有学者基于已有数据估计出R0=3.28,T=6.据此,在新冠肺炎疫情初始阶段,累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln 2≈0.69) (　　)
A.1.2天　　　　B.1.8天　　　　
C.2.5天　　　　D.3.5天
答案　B　因为R0=3.28,T=6且R0=1+rT,所以指数增长率r==0.38,设累计感染病例增加1倍需要的时间为t天,则I(t)=2I(0),即ert=2,即e0.38t=2,两边取自然对数得ln e0.38t=ln 2,即0.38t=ln 2,又ln 2≈0.69,所以t=≈1.8.故选B.
5.(2020北京,15,5分)为满足人民对美好生活的向往,环保部门要求相关企业加强污水治理,排放未达标的企业要限期整改.设企业的污水排放量W与时间t的关系为W=f(t),用- 的大小评价在[a,b]这段时间内企业污水治理能力的强弱.已知整改期内,甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如图所示.
给出下列四个结论:
①在[t1,t2]这段时间内,甲企业的污水治理能力比乙企业强;
②在t2时刻,甲企业的污水治理能力比乙企业强;
③在t3时刻,甲、乙两企业的污水排放都已达标;
④甲企业在[0,t1],[t1,t2],[t2,t3]这三段时间中,在[0,t1]的污水治理能力最强.
其中所有正确结论的序号是　　　　.
答案　①②③
命题意图:本题以环保部门要求相关企业加强污水处理,排放未达标的企业要限期整改这个情境为载体,贴近生活,要求考生能够在短时间内审清题意,理清解决问题的思路,建立适当的数学模型来解决问题,体现试题的教育价值.考查学生的抽象概括、直观想象、分析和解决具有实际意义问题的能力,同时考查了数形结合思想.
审题指导:与函数和导数有关的实际应用问题,需要先把实际问题翻译成数学问题,理解一段时间内企业污水治理能力的强弱的计算式,并把这个计算式与其几何意义联系起来,再逐步对四个结论去伪存真.
解题思路:设y=-,由已知条件可得甲、乙两个企业在[t1,t2]这段时间内污水治理能力强弱的数值计算式为-(难点:准确理解表达式的几何意义是解题的关键),由题图易知y甲>y乙,即甲企业的污水治理能力比乙企业强,所以①对;
由题意知在某一时刻企业污水治理能力的强弱由这一时刻的切线的斜率的绝对值表示,所以②对;
在t3时刻,由题图可知甲、乙两企业的污水排放量都在污水达标排放量以下,所以③对;
由计算式-可知,甲企业在[0,t1]这段时间内污水治理能力最弱,所以④错.
6.(2011湖北文,15,5分)里氏震级M的计算公式为:M=lgA-lgA0,其中A是测震仪记录的地震曲线的最大振幅,A0是相应的标准地震的振幅.假设在一次地震中,测震仪记录的最大振幅是1000,此时标准地震的振幅为0.001,则此次地震的震级为　　　　级;9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的　　　　倍.
答案　6;10000
解析　A=1000=103,A0=0.001=10-3,
M=lg103-lg10-3=3-(-3)=6.
设9级地震,5级地震的最大振幅分别为A1,A2,则lgA1-9=lgA2-5,得lgA1-lgA2=4,即lg=4,∴=10000.