2014-2023年高考数学真题专题分类--3.1　导数与积分(含解析)

2014-2023年高考数学真题专题分类
专题三　导数及其应用
3.1　导数与积分
考点一　导数的概念及运算
1.(2019课标Ⅱ文,10,5分)曲线y=2sinx+cosx在点(π,-1)处的切线方程为(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.x-y-π-1=0　　　　 B.2x-y-2π-1=0
C.2x+y-2π+1=0　　　　D.x+y-π+1=0
答案　C　本题主要考查导数的几何意义,通过切线方程的求解考查学生的运算求解能力,渗透的核心素养是数学运算.
由题意可知y'=2cosx-sinx,则y'|x=π=-2.所以曲线y=2sinx+cosx在点(π,-1)处的切线方程为y+1=-2(x-π),即2x+y+1-2π=0,故选C.
小题速解　由题意得y'=2cosx-sinx,则y'|x=π=-2.计算A、B、C、D选项中直线的斜率,可知只有C符合.故选C.
2.(2016山东理,10,5分)若函数y=f(x)的图象上存在两点,使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直,则称y=f(x)具有T性质.下列函数中具有T性质的是(　　)
A.y=sinx　　　　B.y=lnx　　　　C.y=ex　　　　D.y=x3
答案　A　设函数y=f(x)图象上的两点分别为(x1,y1),(x2,y2),且x1≠x2,则由题意知只需函数y=f(x)满足f'(x1)·f'(x2)=-1即可.y=f(x)=sinx的导函数为f'(x)=cosx,则f'(0)·f'(π)=-1,故函数y=sinx具有T性质;y=f(x)=lnx的导函数为f'(x)=,则f'(x1)·f'(x2)=>0,故函数y=lnx不具有T性质;y=f(x)=ex的导函数为f'(x)=ex,则f'(x1)·f'(x2)=>0,故函数y=ex不具有T性质;y=f(x)=x3的导函数为f'(x)=3x2,则f'(x1)·f'(x2)=9≥0,故函数y=x3不具有T性质.故选A.
疑难突破　函数的图象在两点处的切线互相垂直等价于在这两点处的切线的斜率之积为-1,即相应的导数之积为-1,这是解决此题的关键.
评析　本题为创新题,主要考查导数的几何意义及直线相互垂直的条件,属于偏难题.
3.(2016四川理,9,5分)设直线l1,l2分别是函数f(x)=图象上点P1,P2处的切线,l1与l2垂直相交于点P,且l1,l2分别与y轴相交于点A,B,则△PAB的面积的取值范围是(　　)
A.(0,1)　　　　B.(0,2)　　　　C.(0,+∞)　　　　D.(1,+∞)
答案　A　设l1是y=-lnx(01)的切线,切点P2(x2,y2),
l1:y-y1=-(x-x1),①
l2:y-y2=(x-x2),②
①-②得xP=,
易知A(0,y1+1),B(0,y2-1),
∵l1⊥l2,∴-·=-1,∴x1x2=1,
∴S△PAB=|AB|·|xP|=|y1-y2+2|·
=·=·
=·=·=,
又∵01,x1x2=1,
∴x1+x2>2=2,
∴0思路分析　设出点P1,P2的坐标,进而根据已知表示出l1,l2,然后求出点A、B的坐标及xP,最后利用点在曲线上及垂直的条件求出面积表达式,从而求出面积的取值范围.
评析　本题考查了利用导数求切线问题,及考生的运算能力.
4.(2014课标Ⅱ理,8,5分)设曲线y=ax-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为y=2x,则a=(　　)
A.0　　　　B.1　　　　C.2　　　　D.3
答案　D　y'=a-,当x=0时,y'=a-1=2,∴a=3,故选D.
5.(2021新高考Ⅰ,7,5分)若过点(a,b)可以作曲线y=ex的两条切线,则 (　　)
A.eb答案　D　解法一:当x→-∞时,曲线y=ex的切线的斜率k>0且k趋向于0,当x→+∞时,曲线y=ex的切线的斜率k>0且k趋向于+∞,结合图象可知,两切线的交点应该在x轴上方,且在曲线y=ex的下方,∴0解法二:易知曲线y=ex在点P(t,et)处的切线方程为y-et=et(x-t),
∵切线过点(a,b),∴b-et=et(a-t),
整理得et(t-a-1)+b=0.
令f(t)=et(t-a-1)+b,
则f '(t)=et(t-a),
当ta时, f '(t)>0,
∴f(t)在(-∞,a)上单调递减,在(a,+∞)上单调递增,
∴当t=a时, f(t)取得最小值f(a)=-ea+b.
由已知得, f(t)的零点的个数即为过点(a,b)的切线条数,
∴f(t)有且仅有2个零点.
∴f(a)=-ea+b<0,
即b①若b≤0,则当t∴f(t)在(-∞,a)上无零点,而f(t)在[a,+∞)上至多有一个零点,不合题意.
②若0由以上讨论可知,
f(t)在(-∞,a)上为减函数,在(a,+∞)上为增函数,
∴f(t)min=f(a)=-ea+b<0,
且f(t)=b>0,f(a+1)=b>0,
由零点存在性定理可知f(t)在(-∞,a)和[a,+∞)上各有一个零点,结合f(t)的单调性知f(t)有且只有两个零点.
综上,06.(2023全国甲文,8,5分,中)曲线y=在点处的切线方程为 (　　)
A.y=x　　　　B.y=x
C.y=x+　　　　D.y=x+
答案　C　由y=,可得y'=,则y'|x=1=,∴曲线在点处的切线方程为y-=(x-1),即y=x+,故选C.
7.(2021全国甲理,13,5分)曲线y=在点(-1,-3)处的切线方程为　　　　.
答案　y=5x+2
解题指导:利用导数的几何意义求切线的斜率,利用点斜式得切线方程.
解析　y=,所以y'=,
所以k=y'|x=-1=5,从而切线方程为y+3=5(x+1),即y=5x+2.
易错警示:①对分式型函数求导要注意公式的使用,先对分式进行化简可降低出错率.②要注意“在点处”和“过某点”的区别.
8.(2022新高考Ⅱ,14,5分)曲线y=ln|x|过坐标原点的两条切线的方程为　　　　,　　　　.
答案　 y=x;y=-x(不分先后)
解析　由题意可知,函数的定义域为{x|x≠0}.易证函数y=ln|x|为偶函数,当x>0时,y=ln x,设切点坐标为(x0,ln x0),∵y'=,∴切线斜率k=y',
故切线方程为y-ln x0=(x-x0),又知切线过原点(0,0),∴-ln x0=-1,∴x0=e,故切线方程为y-1=(x-e),即y=x.由偶函数图象的对称性可知另一条切线方程为y=-x,故过坐标原点的两条切线方程为y=x和y=-x.
9.(2022新高考Ⅰ,15,5分)若曲线y=(x+a)ex有两条过坐标原点的切线,则a的取值范围是　　　　　　　.
答案　 (-∞,-4)∪(0,+∞)
解析　设f(x)=(x+a)ex,则f '(x)=(x+a+1)ex,设切点为(x0,(x0+a)),
因此切线方程为y-(x0+a)=(x0+a+1)(x-x0),
又∵切线过原点(0,0),∴-(x0+a)=(x0+a+1)·(-x0),整理得+ax0-a=0,又切线有两条,∴关于x0的方程+ax0-a=0有两不等实根,故Δ=a2+4a>0,解得a>0或a<-4.
10.(2020课标Ⅰ文,15,5分)曲线y=lnx+x+1的一条切线的斜率为2,则该切线的方程为　　　　.
答案　y=2x
解析　设该切线的切点坐标为(x0,y0),由y=lnx+x+1得y'=+1,则在该切点处的切线斜率k=+1,即+1=2,解得x0=1,∴y0=ln1+1+1=2,即切点坐标为(1,2),∴该切线的方程为y-2=2(x-1),即y=2x.
11.(2020课标Ⅲ文,15,5分)设函数f(x)=.若f'(1)=,则a=　　　　.
答案　1
解析　f'(x)=,则f'(1)==,解得a=1.
12.(2019天津文,11,5分)曲线y=cosx-在点(0,1)处的切线方程为　　　　.
答案　x+2y-2=0
解析　本题通过求曲线在某点处的切线,考查学生对基本初等函数的导数公式、导数的运算法则、导数的几何意义的理解和掌握程度.
∵y=cosx-,∴y'=-sinx-,∴y'|x=0=-,即曲线在(0,1)处的切线斜率为-,∴切线方程为y-1=-(x-0),即x+2y-2=0.
13.(2018天津文,10,5分)已知函数f(x)=exlnx,f'(x)为f(x)的导函数,则f'(1)的值为　　　　.
答案　e
解析　本题主要考查导数的计算.
∵f(x)=exlnx,
∴f'(x)=ex,
∴f'(1)=e1×(ln1+1)=e.
14.(2018课标Ⅱ文,13,5分)曲线y=2lnx在点(1,0)处的切线方程为　　　　.
答案　2x-y-2=0
解析　本题主要考查导数的几何性质.
由y=2lnx得y'=.因为k=y'|x=1=2,点(1,0)为切点,
所以切线方程为y=2(x-1),即2x-y-2=0.
15.(2017课标Ⅰ文,14,5分)曲线y=x2+在点(1,2)处的切线方程为　　　　　　.
答案　x-y+1=0
解析　本题考查导数的几何意义.
∵y=x2+,∴y'=2x-,∴y'|x=1=2-1=1,∴所求切线方程为y-2=x-1,即x-y+1=0.
16.(2017天津文,10,5分)已知a∈R,设函数f(x)=ax-lnx的图象在点(1,f(1))处的切线为l,则l在y轴上的截距为　　　　.
答案　1
解析　本题主要考查导数的几何意义以及直线方程与截距.
由题意可知f'(x)=a-,所以f'(1)=a-1,
因为f(1)=a,所以切点坐标为(1,a),
所以切线l的方程为y-a=(a-1)(x-1),
即y=(a-1)x+1.
令x=0,得y=1,即直线l在y轴上的截距为1.
易错警示　不能正确求解函数的导数,而导致不能正确求解切线l的斜率.
17.(2015课标Ⅰ文,14,5分)已知函数f(x)=ax3+x+1的图象在点(1,f(1))处的切线过点(2,7),则a=　　　　.
答案　1
解析　由题意可得f'(x)=3ax2+1,∴f'(1)=3a+1,
又f(1)=a+2,∴f(x)=ax3+x+1的图象在点(1,f(1))处的切线方程为y-(a+2)=(3a+1)(x-1),又此切线过点(2,7),
∴7-(a+2)=(3a+1)(2-1),解得a=1.
18.(2015陕西理,15,5分)设曲线y=ex在点(0,1)处的切线与曲线y=(x>0)上点P处的切线垂直,则P的坐标为　　　　.
答案　(1,1)
解析　∵函数y=ex的导函数为y'=ex,
∴曲线y=ex在点(0,1)处的切线的斜率k1=e0=1.
设P(x0,y0)(x0>0),∵函数y=的导函数为y'=-,
∴曲线y=(x>0)在点P处的切线的斜率k2=-,
则有k1k2=-1,即1·=-1,解得=1,又x0>0,
∴x0=1.又∵点P在曲线y=(x>0)上,∴y0=1,故点P的坐标为(1,1).
19.(2012课标文,13,5分)曲线y=x(3lnx+1)在点(1,1)处的切线方程为　　　　.
答案　y=4x-3
解析　y'=3lnx+1+x·=3lnx+4,k=y'|x=1=4,切线方程为y-1=4(x-1),即y=4x-3.
评析　本题考查了导数的几何意义,考查了运算求解能力.
20.(2016课标Ⅲ,15,5分)已知f(x)为偶函数,当x<0时,f(x)=ln(-x)+3x,则曲线y=f(x)在点(1,-3)处的切线方程是　　　　.
答案　y=-2x-1
解析　令x>0,则-x<0,f(-x)=lnx-3x,
又f(-x)=f(x),∴f(x)=lnx-3x(x>0),
则f'(x)=-3(x>0),∴f'(1)=-2,∴在点(1,-3)处的切线方程为y+3=-2(x-1),即y=-2x-1.
思路分析　由偶函数定义,可得x>0时,f(x)的解析式,从而求出x>0时f(x)的导数,进而可求得切线斜率,最后可得切线方程.
21.(2016课标Ⅱ,16,5分)若直线y=kx+b是曲线y=lnx+2的切线,也是曲线y=ln(x+1)的切线,则b=　　　　.
答案　1-ln2
解析　直线y=kx+b与曲线y=lnx+2,y=ln(x+1)均相切,设切点分别为A(x1,y1),B(x2,y2),由y=lnx+2得y'=,由y=ln(x+1)得y'=,∴k==,∴x1=,x2=-1,∴y1=-lnk+2,y2=-lnk.
即A,B,
∵A、B在直线y=kx+b上,
∴
思路分析　先设切点,找出切点坐标与切线斜率的关系,并将切点坐标用斜率表示出来,利用切点在切线上列方程组,进而求解.
22.(2020新高考Ⅰ,21,12分)
已知函数f(x)=aex-1-ln x+ln a.
(1)当a=e时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积;
(2)若f(x)≥1,求a的取值范围.
解析　f(x)的定义域为(0,+∞),f '(x)=aex-1-.
(1)当a=e时,f(x)=ex-ln x+1,f '(1)=e-1,曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y-(e+1)=(e-1)(x-1),即y=(e-1)x+2.
直线y=(e-1)x+2在x轴,y轴上的截距分别为,2.
因此所求三角形的面积为.
(2)当0当a=1时,f(x)=ex-1-ln x,f '(x)=ex-1-.当x∈(0,1)时,f '(x)<0;当x∈(1,+∞)时,f '(x)>0.所以当x=1时,f(x)取得最小值,最小值为f(1)=1,从而f(x)≥1.
当a>1时,f(x)=aex-1-ln x+ln a≥ex-1-ln x≥1.
综上,a的取值范围是[1,+∞).
名师点评:本题第(2)问中,由不等式成立求参数的取值范围,常规解法是分离参数转化为求函数的最值问题,而本题中参数分布范围较广,无法分离,所以要对参数进行分类讨论,怎样分类是本题的一个难点,特别是当a>1时,证明f(x)≥1需要用到a=1时的结论,思路很窄,技巧性较强.
23.(2022全国甲文,20,12分)已知函数f(x)=x3-x,g(x)=x2+a,曲线y=f(x)在点(x1, f(x1))处的切线也是曲线y=g(x)的切线.
(1)若x1=-1,求a;
(2)求a的取值范围.
解析　 解法一:由题意可知f '(x)=3x2-1, f(x1)=-x1,则曲线y=f(x)在点(x1, f(x1))处的切线方程为y-(-x1)=(3-1)(x-x1),即y=(3-1)x-2①.
因为曲线y=f(x)在点(x1, f(x1))处的切线也是曲线y=g(x)的切线,所以有且仅有一组解,
即方程x2-(3-1)x+2+a=0有两个相等的实数根,
从而Δ=(3-1)2-4(2+a)=0 4a=9+1.
(1)若x1=-1,则4a=12 a=3.
(2)4a=9+1,
令h(x)=9x4-8x3-6x2+1,则h'(x)=36x3-24x2-12x=12x(x-1)(3x+1),
令h'(x)>0,得-1,令h'(x)<0,得x<-或0所以h(x)在和(1,+∞)上单调递增,在和(0,1)上单调递减,
又h(1)=-4,h,所以h(x)≥-4,
所以a≥-1.
解法二:由题意可知f '(x)=3x2-1, f(x1)=-x1,则曲线y=f(x)在点(x1, f(x1))处的切线方程为y-(-x1)=(3-1)(x-x1),即y=(3-1)x-2①,
设公切线与曲线y=g(x)的切点为(x2,+a),又g'(x2)=2x2,
则切线可表示为y-(+a)=2x2(x-x2),即y=2x2x-+a②,
因为①②表示同一直线方程,所以
则(3-1)2-8+1.
下面同解法一.
易错警示:不能认为两曲线的公切线切点相同.
24.(2022全国乙理,21,12分)已知函数f(x)=ln(1+x)+axe-x.
(1)当a=1时,求曲线y=f(x)在点(0, f(0))处的切线方程;
(2)若f(x)在区间(-1,0),(0,+∞)各恰有一个零点,求a的取值范围.
解析　 (1)当a=1时, f(x)=ln(1+x)+xe-x,其定义域为(-1,+∞),f '(x)=+(1-x)e-x,
又f(0)=0,f '(0)=2,
所以曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y=2x.
(2)f(x)=ln(1+x)+axe-x有零点,即方程ln(x+1)=-axe-x有根,设g(x)=ln(x+1),h(x)=-axe-x,因为f(x)在区间(-1,0),(0,+∞)各恰有一个零点,所以g(x)和h(x)的图象在(-1,0),(0,+∞)上各恰有一个交点.易知g'(x)=,h'(x)=-a(1-x)e-x,g(0)=h(0)=0.
当x∈(-1,+∞)时,g'(x)>0,g(x)单调递增.
①若a=0,显然不满足.
②若a>0,则当x∈(-1,1)时,h'(x)<0,h(x)单调递减,当x∈(1,+∞)时,h'(x)>0,h(x)单调递增,此时g(x)和h(x)在(-1,0)上无交点.
③若a<0,则当x∈(-1,1)时,h'(x)>0,h(x)在(-1,1)上单调递增,当x∈(1,+∞)时,h'(x)<0,h(x)在(1,+∞)上单调递减.
(i)当x→+∞时,h(x)→0,g(x)→+∞,且g(0)=h(0)=0,要满足g(x)和h(x)的图象在(0,+∞)上有一个交点,需g'(0)(ii)当x=-1时,h(-1)=ae,当x→-1时,g(x)→-∞,
且g(0)=h(0)=0,要满足g(x)和h(x)的图象在(-1,0)上有一个交点,也需要g'(0)综上所述,a的取值范围为(-∞,-1).
考点二　定积分与微积分基本定理
1.(2014湖北理,6,5分)若函数f(x),g(x)满足f(x)g(x)dx=0,则称f(x),g(x)为区间[-1,1]上的一组正交函数.给出三组函数:
①f(x)=sinx,g(x)=cosx;②f(x)=x+1,g(x)=x-1;③f(x)=x,g(x)=x2.
其中为区间[-1,1]上的正交函数的组数是(　　)
A.0　　　　B.1　　　　C.2　　　　D.3
答案　C　由①得f(x)g(x)=sinxcosx=sinx,是奇函数,所以f(x)g(x)dx=0,所以①为区间[-1,1]上的正交函数;由②得f(x)g(x)=x2-1,∴f(x)g(x)dx===-,所以②不是区间[-1,1]上的正交函数;由③得f(x)g(x)=x3,是奇函数,所以f(x)g(x)dx=0,所以③为区间[-1,1]上的正交函数.故选C.
2.(2014山东理,6,5分)直线y=4x与曲线y=x3在第一象限内围成的封闭图形的面积为(　　)
A.2　　　　B.4　　　　C.2　　　　D.4
答案　D　由得x=0或x=2或x=-2(舍).
∴S=(4x-x3)dx==4.
评析　本题考查利用定积分求面积.本题的易错点是忽视条件“在第一象限内”.
3.(2013湖北理,7,5分)一辆汽车在高速公路上行驶,由于遇到紧急情况而刹车,以速度v(t)=7-3t+(t的单位:s,v的单位:m/s)行驶至停止.在此期间汽车继续行驶的距离(单位:m)是(　　)
A.1+25ln5　　　　B.8+25ln　　　　C.4+25ln5　　　　D.4+50ln2
答案　C　由v(t)=0得t=4.故刹车距离为s=v(t)dt=
dt==4+25ln5(m).
4.(2013北京理,7,5分)直线l过抛物线C:x2=4y的焦点且与y轴垂直,则l与C所围成的图形的面积等于(　　)
A.　　　　B.2　　　　C.　　　　D.
答案　C　由抛物线方程可知抛物线的焦点为F(0,1),所以直线l的方程为y=1.设直线l与抛物线的交点为M、N,分别过M、N作x轴的垂线MM'和NN',交x轴于点M'、N',如图.故所求图形的面积等于阴影部分的面积,即S=4-2dx=.故选C.
评析　本题主要考查抛物线的性质及定积分的应用.考查学生对知识的理解及应用能力,正确求解定积分是解本题的关键.
5.(2012湖北理,3,5分)已知二次函数y=f(x)的图象如图所示,则它与x轴所围图形的面积为(　　)
A.　　　　B.　　　　C.　　　　D.
答案　B　由题图知二次函数的解析式为f(x)=-x2+1,其图象与x轴所围图形的面积为f(x)dx=2f(x)dx=2(-x2+1)dx=2=2×=.故选B.
评析　本题考查了定积分的知识,考查了学生运算求解能力.运用数形结合思想求出二次函数和定积分是解题关键.
6.(2015天津理,11,5分)曲线y=x2与直线y=x所围成的封闭图形的面积为　　　　.
答案　
解析　曲线y=x2与直线y=x所围成的封闭图形如图中阴影部分所示,由解得x=0或x=1,所以S=(x-x2)dx==-=.
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