2014-2023年高考数学真题专题分类--4.1　三角函数的概念、同角三角函数的基本关系和诱导公式(含解析)

2014-2023年高考数学真题专题分类
专题四　三角函数
4.1　三角函数的概念、同角三角函数的基本关系和诱导公式
考点　三角函数的概念、同角三角函数的基本关系和诱导公式
1.(2018北京文,7,5分)在平面直角坐标系中,,,,是圆x2+y2=1上的四段弧(如图),点P在其中一段上,角α以Ox为始边,OP为终边.若tanαA.　　　　B.　　　　C.　　　　D.
答案　C　本题主要考查三角函数的概念,同角三角函数的基本关系式.
若点P在或(不包含端点A,D)上,则角α在第一象限,此时tanα-sinα=tanα(1-cosα)>0,与tanα若点P在(不包含端点G)上,则角α在第三象限,此时tanα>0,cosα<0,与tanα2.(2014课标Ⅰ文,2,5分)若tanα>0,则(　　)
A.sinα>0　　　　B.cosα>0　　　　C.sin2α>0　　　　D.cos2α>0
答案　C　由tanα>0得α是第一或第三象限角,若α是第三象限角,则A,B错;由sin2α=2sinαcosα知sin2α>0,C正确;α取时,cos2α=2cos2α-1=2×-1=-<0,D错.故选C.
评析　本题考查三角函数值的符号,判定时可运用基本知识、恒等变形及特殊值等多种方法,具有一定的灵活性.
3.(2014大纲全国文,2,5分)已知角α的终边经过点(-4,3),则cosα=(　　)
A.　　　　B.　　　　C.-　　　　D.-
答案　D　由三角函数的定义知cosα==-.故选D.
4.(2011课标,理5,文7,5分)已知角θ的顶点与原点重合,始边与x轴的正半轴重合,终边在直线y=2x上,则cos2θ=(　　)
A.-　　　　B.-　　　　C.　　　　D.
答案　B　解法一:由三角函数定义知,tanθ=2,则cos2θ===-.
解法二:由三角函数定义知,tanθ=2,即sinθ=2cosθ,则sin2θ=4cos2θ.从而有cos2θ=.故cos2θ=2cos2θ-1=-.
5.(2015福建文,6,5分)若sinα=-,且α为第四象限角,则tanα的值等于(　　)
A.　　　　B.-　　　　C.　　　　D.-
答案　D　∵sinα=-,α为第四象限角,
∴cosα==,∴tanα==-.故选D.
6.(2014课标Ⅰ理,8,5分)设α∈,β∈,且tanα=,则(　　)
A.3α-β=　　　　B.3α+β=　　　　C.2α-β=　　　　D.2α+β=
答案　C　由tanα=得=,即sinαcosβ=cosα+sinβcosα,所以sin(α-β)=cosα,又cosα=sin,所以sin(α-β)=sin,又因为α∈,β∈,所以-<α-β<,0<-α<,因此α-β=-α,所以2α-β=,故选C.
7.(2014大纲全国理,3,5分)设a=sin33°,b=cos55°,c=tan35°,则(　　)
A.a>b>c　　　　B.b>c>a　　　　C.c>b>a　　　　D.c>a>b
答案　C　∵b=cos55°=sin35°>sin33°=a,∴b>a.
又∵c=tan35°=>sin35°=cos55°=b,∴c>b.∴c>b>a.故选C.
8.(2013浙江理,6,5分)已知α∈R,sinα+2cosα=,则tan2α=(　　)
A.　　　　B.　　　　C.-　　　　D.-
答案　C　(sinα+2cosα)2=,展开得3cos2α+4sinαcosα=,再由二倍角公式得cos2α+2sin2α=0,故tan2α==-=-,选C.
评析　本题考查同角三角函数的基本关系式和三角恒等变换,考查转化与化归思想,考查学生灵活应用公式的能力和运算求解能力.三角函数求值问题关键在于观察角与角之间的关系和三角函数名之间的关系.
9.(2013大纲全国文,2,5分)已知α是第二象限角,sinα=,则cosα=(　　)
A.-　　　　B.-　　　　C.　　　　D.
答案　A　∵α是第二象限角,∴cosα<0.
∴cosα=-=-.故选A.
评析　本题考查三角函数值在各象限的符号,同角三角函数关系,属容易题.
10.(2013广东文,4,5分)已知sin=,那么cosα=(　　)
A.-　　　　B.-　　　　C.　　　　D.
答案　C　∵sin=sin=cosα,∴cosα=.故选C.
11.(2016课标Ⅲ,5,5分)若tanα=,则cos2α+2sin2α=(　　)
A.　　　　B.　　　　C.1　　　　D.
答案　A　当tanα=时,原式=cos2α+4sinαcosα====,故选A.
思路分析　利用二倍角公式将所求式子展开,再将其看成分母为1的式子,并用sin2α+cos2α代替1,然后分子、分母同除以cos2α,得到关于tanα的式子,由此即可代值求解.
12.(2022全国甲理,8,5分)沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作,其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”.如图,是以O为圆心,OA为半径的圆弧,C是AB的中点,D在上,CD⊥AB.“会圆术”给出的弧长的近似值s的计算公式:s=AB+.当OA=2,∠AOB=60°时,s= (　　)
A.
答案　B　连接OC,如图.
∵C是AB的中点,OA=OB=2,∴OC⊥AB.
又∵CD⊥AB,
∴D,C,O三点共线.
∵∠AOB=60°,∴AB=2,OC=,CD=2-,
∴s=2+,故选B.
13.(2011江西文,14,5分)已知角θ的顶点为坐标原点,始边为x轴的正半轴.若P(4,y)是角θ终边上一点,且sinθ=-,则y=　　　　.
答案　-8
解析　P(4,y)是角θ终边上一点,由三角函数的定义知sinθ=,又sinθ=-,∴=-,解得y=-8.
评析　本题主要考查任意角三角函数的定义,考查运算求解能力,由题意得=-是本题求解的关键.
14.(2016四川文,11,5分)sin750°=　　　　.
答案　
解析　sin750°=sin(720°+30°)=sin30°=.
解后反思　利用诱导公式把大角化为小角.
评析　本题考查了三角函数的诱导公式.
15.(2013课标Ⅱ理,15,5分)设θ为第二象限角,若tan=,则sinθ+cosθ=　　　　.
答案　-
解析　tanθ=tan==-,
∴sinθ=-cosθ,将其代入sin2θ+cos2θ=1得cos2θ=1,∴cos2θ=,又易知cosθ<0,∴cosθ=-,∴sinθ=,故sinθ+cosθ=-.
16.(2015四川文,13,5分)已知sinα+2cosα=0,则2sinαcosα-cos2α的值是　　　　.
答案　-1
解析　由sinα+2cosα=0得tanα=-2.
2sinαcosα-cos2α=====-1.
17.(2023全国乙文,14,5分,中)若θ∈,tan θ=,则sin θ-cos θ=　　　　.
答案　-
解析　由tan θ=,可得,
又sin2θ+cos2θ=1,θ∈,
所以sin θ=,cos θ=,
所以sin θ-cos θ=.
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