2014-2023年高考数学真题专题分类--4.2　三角恒等变换(含解析)

2014-2023年高考数学真题专题分类
4.2　三角恒等变换
考点　三角恒等变换
1.(2017课标Ⅲ文,4,5分)已知sinα-cosα=,则sin2α=(　　)
A.-　　　　B.-　　　　C.　　　　D.
答案　A　∵(sinα-cosα)2=1-2sinαcosα=1-sin2α==,∴sin2α=-.
解后反思　涉及sinα±cosα,sinαcosα的问题,通常利用公式(sinα±cosα)2=1±2sinαcosα进行转换.
2.(2017山东文,4,5分)已知cosx=,则cos2x=(　　)
A.-　　　　B.　　　　C.-　　　　D.
答案　D　本题考查二倍角余弦公式.
因为cosx=,所以cos2x=2cos2x-1=2×-1=.
3.(2016课标Ⅲ文,6,5分)若tanθ=-,则cos2θ=(　　)
A.-　　　　B.-　　　　C.　　　　D.
答案　D　解法一:cos2θ=cos2θ-sin2θ=
==.故选D.
解法二:由tanθ=-,可得sinθ=±,
因而cos2θ=1-2sin2θ=.
评析　本题考查化归与转化的能力.属中档题.
4.(2015课标Ⅰ理,2,5分)sin20°cos10°-cos160°sin10°=(　　)
A.-　　　　B.　　　　C.-　　　　D.
答案　D　原式=sin20°cos10°+cos20°sin10°=sin(20°+10°)=sin30°=,故选D.
5.(2015重庆理,9,5分)若tanα=2tan,则=(　　)
A.1　　　　B.2　　　　C.3　　　　D.4
答案　C　====,
∵tanα=2tan,∴==3.故选C.
6.(2015重庆文,6,5分)若tanα=,tan(α+β)=,则tanβ=(　　)
A.　　　　B.　　　　C.　　　　D.
答案　A　tanβ=tan[(α+β)-α]===,故选A.
7.(2013课标Ⅱ文,6,5分)已知sin2α=,则cos2=(　　)
A.　　　　B.　　　　C.　　　　D.
答案　A　cos2==,把sin2α=代入,原式=.选A.
评析　本题考查了三角函数的化简求值,考查了降幂公式、诱导公式的应用.
8.(2016课标Ⅱ,9,5分)若cos=,则sin2α=(　　)
A.　　　　B.　　　　C.-　　　　D.-
答案　D　解法一:因为cos=,所以sin2α=cos=cos=2cos2-1=2×-1=-.故选D.
解法二:cos=(cosα+sinα)= cosα+sinα= 1+sin2α=,∴sin2α=-.故选D.
9.(2021全国乙文,6,5分)cos2= (　　)
A.
答案　D　解析　解法一:cos2.
解法二:cos2
=
=
=
=.
10.(2021全国甲理,9,5分)若α∈,tan 2α=,则tan α= (　　)
A.
答案　A　解题指导:先将切化弦,再将分式化为整式,利用两角差的余弦公式及二倍角公式将异角化为同角,最后利用同角三角函数的基本关系求解.
解析　∵tan 2α=,且α∈,
∴,
∴2sin 2α=cos αcos 2α+sin αsin 2α,
即4sin αcos α=cos(2α-α)=cos α,又cos α≠0,
∴4sin α=1,∴sin α=,∴cos α=,∴tan α=.故选A.
疑难突破　将tan 2α转化为是本题的突破口.
11.(2021新高考Ⅰ,6,5分)若tan θ=-2,则= (　　)
A.-
答案　C　=sin θ(sin θ+cos θ)=sin2θ+sin θ·cos θ=.故选C.
12.(2022新高考Ⅱ,6,5分)若sin(α+β)+cos(α+β)=2sin β,则 (　　)
A.tan(α-β)=1　　　　B.tan(α+β)=1
C.tan(α-β)=-1　　　　D.tan(α+β)=-1
答案　C　因为sin(α+β)+cos(α+β)=sin αcos β+cos αsin β+cos αcos β-sin αsin β,2sin β=(2cos α-2sin α)sin β=2cos αsin β-2sin αsin β,所以sin αcos β+cos αsin β+cos αcos β-sin αsin β=2cos αsin β-2sin αsin β,即sin αcos β-cos αsin β+cos αcos β+sin αsin β=0,进而得sin(α-β)+cos(α-β)=0,又知cos(α-β)≠0,所以tan(α-β)=-1,故选C.
13.(2023新课标Ⅱ,7,5分,中)已知α为锐角,cos α=,则sin = (　　)
A.　　B.　　C.　　D.
答案　D　∵cos α=1-2sin2=,∴sin2===,
∵α为锐角,∴也为锐角,∴sin=.故选D.
14.(2022浙江,13,6分)若3sin α-sin β=,α+β=,则sin α=　　　　,cos 2β=　　　　.
答案　
解析　设a=sin α,b=sin β=cos α,
则
解得a=,b=-.
∴sin α=a=,
cos 2β=1-2sin2β=1-2b2=.
15.(2020课标Ⅱ文,13,5分)若sinx=-,则cos2x=　　　　.
答案　
解析　∵sinx=-,∴cos2x=1-2sin2x=1-2×=.
16.(2018课标Ⅱ文,15,5分)已知tan=,则tanα=　　　　.
答案　
解析　本题主要考查两角差的正切公式.
tan===,
解得tanα=.
17.(2017课标Ⅰ文,15,5分)已知α∈,tanα=2,则cos=　　　　.
答案　
解析　因为α∈,且tanα==2,所以sinα=2cosα,又sin2α+cos2α=1,所以sinα=,cosα=,则cos=cosαcos+sinαsin=×+×=.
易错警示　在求三角函数值时,常用到sin2α+cos2α=1和tanα=,同时要注意角的范围,以确定三角函数值的正负.
18.(2017江苏,5,5分)若tan=,则tanα=　　　　.
答案　
解析　本题考查两角和的正切公式.
因为tan=,所以tanα=tan
===.
19.(2016浙江,理10,文10,5分)已知2cos2x+sin2x=Asin(ωx+φ)+b(A>0),则A=　　　　,b=　　　　.
答案　;1
解析　∵2cos2x+sin2x=1+cos2x+sin2x=sin+1,∴A=,b=1.
评析　本题主要考查三角恒等变换,熟练利用两角和的正弦公式及二倍角公式是解题关键.
20.(2016课标Ⅰ文,14,5分)已知θ是第四象限角,且sin=,则tan=　　　　.
答案　-
解析　解法一:∵sin=×(sinθ+cosθ)=,
∴sinθ+cosθ=①,
∴2sinθcosθ=-.
∵θ是第四象限角,∴sinθ<0,cosθ>0,
∴sinθ-cosθ=-=-②,
由①②得sinθ=-,cosθ=,∴tanθ=-,
∴tan==-.
解法二:∵+=,
∴sin=cos=,
又2kπ-<θ<2kπ,k∈Z,
∴2kπ-<θ+<2kπ+,k∈Z,
∴cos=,∴sin=,
∴tan==,
∴tan=-tan=-.
评析　本题主要考查了三角恒等变换,熟练掌握同角三角函数关系式及诱导公式是解题的关键.
21.(2016四川理,11,5分)cos2-sin2=　　　　.
答案　
解析　由二倍角公式易得cos2-sin2=cos=.
22.(2015江苏,8,5分)已知tanα=-2,tan(α+β)=,则tanβ的值为　　　　.
答案　3
解析　tanβ=tan[(α+β)-α]===3.
23.(2015四川理,12,5分)sin15°+sin75°的值是　　　　.
答案　
解析　sin15°+sin75°=sin15°+cos15°=sin(15°+45°)=sin60°=.
24.(2014课标Ⅱ理,14,5分)函数f(x)=sin(x+2φ)-2sinφcos(x+φ)的最大值为　　　　.
答案　1
解析　f(x)=sin[(x+φ)+φ]-2sinφcos(x+φ)
=sin(x+φ)cosφ+cos(x+φ)sinφ-2sinφcos(x+φ)
=sin(x+φ)cosφ-sinφcos(x+φ)
=sin(x+φ-φ)
=sinx,
∴f(x)的最大值为1.
25.(2014课标Ⅱ文,14,5分)函数f(x)=sin(x+φ)-2sinφcosx的最大值为　　　　.
答案　1
解析　f(x)=sin(x+φ)-2sinφcosx
=sinxcosφ+cosxsinφ-2sinφcosx
=sinxcosφ-cosxsinφ
=sin(x-φ)≤1,
所以f(x)max=1.
26.(2015广东文,16,12分)已知tanα=2.
(1)求tan的值;
(2)求的值.
解析　(1)因为tanα=2,
所以tan===-3.
(2)因为tanα=2,所以
=
====1.
27.(2014江苏,15,14分)已知α∈,sinα=.
(1)求sin的值;
(2)求cos的值.
解析　(1)因为α∈,sinα=,
所以cosα=-=-.
故sin=sincosα+cossinα
=×+×=-.
(2)由(1)知sin2α=2sinαcosα=2××=-,
cos2α=1-2sin2α=1-2×=,
所以cos=coscos2α+sinsin2α
=×+×=-.
评析　本题主要考查三角函数的基本关系式、两角和与差的正、余弦公式及二倍角公式,考查运算求解能力.
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