2014-2023年高考数学真题专题分类--5.1　平面向量的概念及线性运算、平面向量基本定理及坐标表示(含解析)

2014-2023年高考数学真题专题分类
专题五　平面向量
5.1　平面向量的概念及线性运算、平面向量基本定理及坐标表示
考点一　平面向量的概念及线性运算
1.(2015课标Ⅰ理,7,5分)设D为△ABC所在平面内一点,=3,则(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.=-+　　　　B.=-
C.=+　　　　D.=-
答案　A　=+=++=+=+(-)=-+.故选A.
2.(2014课标Ⅰ文,6,5分)设D,E,F分别为△ABC的三边BC,CA,AB的中点,则+=(　　)
A.　　　　B.　　　　C.　　　　D.
答案　A　设=a,=b,则=-b+a,=-a+b,从而+=+=(a+b)=,故选A.
3.(2022新高考Ⅰ,3,5分)在△ABC中,点D在边AB上,BD=2DA.记=m,=n,则= (　　)
A.3m-2n　　　　B.-2m+3n
C.3m+2n　　　　D.2m+3n
答案　B　由题意可知,=m-n,又BD=2DA,所以=2(m-n),所以=n-2(m-n)=3n-2m,故选B.
4.(2015北京理,13,5分)在△ABC中,点M,N满足=2,=.若=x+y,则x=　　　　,y=　　　　.
答案　;-
解析　由=2知M为AC上靠近C的三等分点,由=知N为BC的中点,作出草图如下:
则有=(+),所以=-=(+)-·=-,
又因为=x+y,所以x=,y=-.
5.(2013江苏,10,5分)设D,E分别是△ABC的边AB,BC上的点,AD=AB,BE=BC.若=λ1+λ2(λ1,λ2为实数),则λ1+λ2的值为　　　　.
答案　
解析　=+=+=+(-)=-+,
∵=λ1+λ2,∴λ1=-,λ2=,故λ1+λ2=.
考点二　平面向量基本定理及坐标表示
1.(2015课标Ⅰ文,2,5分)已知点A(0,1),B(3,2),向量=(-4,-3),则向量=(　　)
A.(-7,-4)　　　　B.(7,4)　　　　C.(-1,4)　　　　D.(1,4)
答案　A　根据题意得=(3,1),∴=-=(-4,-3)-(3,1)=(-7,-4).故选A.
2.(2014北京文,3,5分)已知向量a=(2,4),b=(-1,1),则2a-b=(　　)
A.(5,7)　　　　B.(5,9)
C.(3,7)　　　　D.(3,9)
答案　A　由a=(2,4)知2a=(4,8),所以2a-b=(4,8)-(-1,1)=(5,7).故选A.
3.(2014广东文,3,5分)已知向量a=(1,2),b=(3,1),则b-a=(　　)
A.(-2,1)　　　　B.(2,-1)　　　　C.(2,0)　　　　D.(4,3)
答案　B　b-a=(3,1)-(1,2)=(2,-1).故答案为B.
4.(2014福建理,8,5分)在下列向量组中,可以把向量a=(3,2)表示出来的是(　　)
A.e1=(0,0),e2=(1,2)　　 　　B.e1=(-1,2),e2=(5,-2)
C.e1=(3,5),e2=(6,10)　　　　D.e1=(2,-3),e2=(-2,3)
答案　B　设a=k1e1+k2e2,
A选项,∵(3,2)=(k2,2k2),∴无解.
B选项,∵(3,2)=(-k1+5k2,2k1-2k2),
∴解之得
故B中的e1,e2可把a表示出来.
同理,C、D选项同A选项,无解.
5.(2022全国乙文,3,5分)已知向量a=(2,1),b=(-2,4),则|a-b|= (　　)
A.2　　　　B.3　　　　C.4　　　　D.5
答案　D　由题意知a-b=(4,-3),
所以|a-b|==5,故选D.
6.(2021全国乙文,13,5分)已知向量a=(2,5),b=(λ,4),若a∥b,则λ=　　　　.
答案　
解题指导:利用“若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a∥b x1y2=x2y1”解题.
解析　由已知a∥b得2×4=5λ,∴λ=.
解题关键:记准两平面向量共线的充要条件是解这类问题的关键.
7.(2017山东文,11,5分)已知向量a=(2,6),b=(-1,λ).若a∥b,则λ=　　　　.
答案　-3
解析　本题考查向量平行的条件.
∵a=(2,6),b=(-1,λ),a∥b,
∴2λ-6×(-1)=0,∴λ=-3.
8.(2016课标Ⅱ文,13,5分)已知向量a=(m,4),b=(3,-2),且a∥b,则m=　　　　.
答案　-6
解析　因为a∥b,所以=,解得m=-6.
易错警示　容易把两个向量平行与垂直的条件混淆.
评析　本题考查了两个向量平行的充要条件.
9.(2015课标Ⅱ理,13,5分)设向量a,b不平行,向量λa+b与a+2b平行,则实数λ=　　　　.
答案　
解析　由于a,b不平行,所以可以以a,b作为一组基底,于是λa+b与a+2b平行等价于=,即λ=.
10.(2014陕西,13,5分)设0<θ<,向量a=(sin2θ,cosθ),b=(cosθ,1),若a∥b,则tanθ=　　　　.
答案　
解析　∵a∥b,∴sin2θ×1-cos2θ=0,∴2sinθcosθ-cos2θ=0,∵0<θ<,∴cosθ>0,∴2sinθ=cosθ,∴tanθ=.
11.(2013北京理,13,5分)向量a,b,c在正方形网格中的位置如图所示.若c=λa+μb(λ,μ∈R),则=　　　　.
答案　4
解析　以向量a和b的交点为坐标原点建立如图所示的坐标系,令每个小正方形的边长为1个单位,则A(1,-1),B(6,2),C(5,-1),所以a==(-1,1),b==(6,2),c==(-1,-3).由c=λa+μb可得
解得所以=4.
评析　本题主要考查平面向量的基本定理和坐标运算,考查学生的运算求解能力和在向量中解析法的应用,构建关于λ和μ的方程组是求解本题的关键.
12.(2013北京文,14,5分)已知点A(1,-1),B(3,0),C(2,1).若平面区域D由所有满足=λ+μ(1≤λ≤2,0≤μ≤1)的点P组成,则D的面积为　　　　　　　.
答案　3
解析　=(2,1),=(1,2).
设P(x,y),由=λ+μ,
得故有
又λ∈[1,2],μ∈[0,1],故有
即
则平面区域D如图中阴影部分所示.
易知其面积为3.
评析　本题考查了平面向量的坐标运算、线性规划等知识;同时又考查了转化及数形结合思想,综合能力要求较高.
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