2014-2023年高考数学真题专题分类--4.3　三角函数的图象与性质(含解析)

2014-2023年高考数学真题专题分类
4.3　三角函数的图象与性质
考点一　三角函数的图象及其变换
1.(多选题)(2020新高考Ⅰ,10,5分)如图是函数y=sin(ωx+φ)的部分图象,则sin(ωx+φ)=(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.sin　　　　 B.sin
C.cos　　　　D.cos
答案　BC　由题图可知,=-=,∴T=π,由T=可知,=π,∴|ω|=2,不妨取ω=2,则f(x)=sin(2x+φ),又∵图象过,∴sin=0,又∵是f(x)的下降零点,∴+φ=π+2kπ,k∈Z,∴φ=+2kπ,k∈Z,不妨取φ=,则f(x)=sin=sin=cos,f(x)=sin=sin=sin,故选BC.
2.(2016课标Ⅰ文,6,5分)将函数y=2sin的图象向右平移个周期后,所得图象对应的函数为(　　)
A.y=2sin　　　　B.y=2sin
C.y=2sin　　　 　D.y=2sin
答案　D　该函数的周期为π,将其图象向右平移个单位后,得到的图象对应的函数为y=2sin=2sin,故选D.
易错警示　三角函数图象的平移变换中,“左加右减”是对x而言的,将x变为x-,而不是将2x变为2x-.
评析　本题主要考查三角函数图象的平移变换,注意“左加右减”仅针对x.
3.(2016四川理,3,5分)为了得到函数y=sin的图象,只需把函数y=sin2x的图象上所有的点(　　)
A.向左平行移动个单位长度
B.向右平行移动个单位长度
C.向左平行移动个单位长度
D.向右平行移动个单位长度
答案　D　将y=sin2x的图象向右平行移动个单位长度得到y=sin=sin的图象,故选D.
评析　将y=sin化为y=sin是解题的关键.
4.(2016北京理,7,5分)将函数y=sin图象上的点P向左平移s(s>0)个单位长度得到点P'.若P'位于函数y=sin2x的图象上,则(　　)
A.t=,s的最小值为　　　　B.t=,s的最小值为
C.t=,s的最小值为　　　　D.t=,s的最小值为
答案　A　点P在函数y=sin的图象上,
∴t=sin=.函数y=sin的图象向左平移个单位长度即可得到函数y=sin2x的图象,故s的最小值为.
5.(2015陕西理,3,5分)如图,某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y=3sin+k,据此函数可知,这段时间水深(单位:m)的最大值为(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.5　　　　B.6　　　　C.8　　　　D.10
答案　C　因为函数y=3sin+k的最小值为2,所以-3+k=2,得k=5,故这段时间水深的最大值为3+5=8(m),选C.
评析　在解答应用题时,正确理解函数模型中各变量的实际意义是解题的关键.在形如y=Asin(ωx+φ)+k的函数模型中,往往是由函数图象的最高点和最低点的纵坐标来确定A,k的值.
6.(2014课标Ⅰ理,6,5分)如图,圆O的半径为1,A是圆上的定点,P是圆上的动点,角x的始边为射线OA,终边为射线OP,过点P作直线OA的垂线,垂足为M,将点M到直线OP的距离表示成x的函数f(x),则y=f(x)在[0,π]上的图象大致为(　　)
答案　C　由题图可知:当x=时,OP⊥OA,此时f(x)=0,排除A、D;当x∈时,OM=cosx,设点M到直线OP的距离为d,则=sinx,即d=OMsinx=sinxcosx,
∴f(x)=sinxcosx=sin2x≤,排除B,故选C.
7.(2012课标文,9,5分)已知ω>0,0<φ<π,直线x=和x=是函数f(x)=sin(ωx+φ)图象的两条相邻的对称轴,则φ=(　　)
A.　　　　B.　　　　C.　　　　D.
答案　A　由题意得=2,∴ω=1,∴f(x)=sin(x+φ),∴+φ=kπ+(k∈Z),φ=kπ+(k∈Z),又0<φ<π,∴φ=,故选A.
评析　本题考查了三角函数的图象和性质,掌握相邻对称轴的距离为周期的一半是关键.
8.(2016课标Ⅱ,7,5分)若将函数y=2sin2x的图象向左平移个单位长度,则平移后图象的对称轴为(　　)
A.x=-(k∈Z)　　　 　B.x=+(k∈Z)
C.x=-(k∈Z)　　　　D.x=+(k∈Z)
答案　B　将函数y=2sin2x的图象向左平移个单位长度得到函数y=2sin=2sin的图象,由2x+=kπ+(k∈Z),可得x=+(k∈Z).则平移后图象的对称轴为x=+(k∈Z),故选B.
易错警示　将y=2sin2x的图象向左平移个单位长度,应该得到y=2sin的图象,而不是y=2sin的图象.
9.(2022浙江,6,4分)为了得到函数y=2sin 3x的图象,只要把函数y=2sin图象上所有的点(　　)
A.向左平移个单位长度
B.向右平移个单位长度
C.向左平移个单位长度
D.向右平移个单位长度
答案　D　因为y=2sin,所以把函数y=2sin个单位长度,可以得到y=2sin 3x的图象,故选D.
10.(2022全国甲文,5,5分)将函数f(x)=sin(ω>0)的图象向左平移个单位长度后得到曲线C,若C关于y轴对称,则ω的最小值是 (　　)
A.
答案　C　设平移后的曲线C对应的函数为y=g(x),
则g(x)=sin,
又曲线C关于y轴对称,
∴+kπ(k∈Z),∴ω=2k+(k∈Z).
又ω>0,∴ωmin=.故选C.
11.(多选)(2020新高考Ⅰ,10,5分)如图是函数y=sin(ωx+φ)的部分图象,则sin(ωx+φ)= (　　)
A.sin
答案　BC　由题图可知,,∴T=π,由T=可知,=π,∴|ω|=2,不妨取ω=2,则f(x)=sin(2x+φ),又∵图象过,∴sin=0,又∵是f(x)的下降零点,∴+φ=π+2kπ,k∈Z,∴φ=+2kπ,k∈Z,不妨取φ=,则f(x)=sin,f(x)=sin,故选BC.
12.(2023新课标Ⅰ,8,5分,中)已知sin(α-β)=,cos αsin β=,则cos(2α+2β)= (　　)
A.　　B.　　C.-　　D.-
答案　B　∵sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β=,cos αsin β=,∴sin αcos β=+=,
∴sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β=,
∴cos(2α+2β)=cos[2(α+β)]=1-2sin2(α+β)=1-=,故选B.
13.(2023全国甲理,10,5分,中)函数y=f(x)的图象由函数y=cos的图象向左平移个单位长度得到,则y=f(x)的图象与直线y=x-的交点个数为 (　　)
A.1　　B.2　　C.3　　D.4
答案　C　函数y=cos的图象向左平移个单位长度得y=cos=cos=-sin 2x的图象,即f(x)=-sin 2x的图象,
画出函数y=f(x)与y=x-的图象如图,可得它们有3个交点,故选C.
14.(2023全国甲文,12,5分,中)函数y=f(x)的图象由函数y=cos的图象向左平移个单位长度得到,则y=f(x)的图象与直线y=x-的交点个数为(　　)
A.1　　B.2　　C.3　　D.4
答案　C　函数y=cos的图象向左平移个单位长度得y=cos=cos=-sin 2x的图象,即f(x)=-sin 2x的图象,
画出函数y=f(x)与y=x-的图象如图,可得它们有3个交点,故选C.
15.(2021全国甲文,15,5分)已知函数f(x)=2cos(ωx+φ)的部分图象如图所示,则f=　　　　.
答案　 解题指导:利用所给函数f(x)=2cos(ωx+φ)图象中的关键点求出ω,φ,再将x=代入f(x)的解析式即可求出f.
解析　由题图可知点在f(x)的图象上,∴,则T=π,所以|ω|==2,不妨取ω=2,则函数f(x)=2cos(2x+φ),将代入得,2×+φ=2kπ,k∈Z,解得φ=-+2kπ,k∈Z,
∴f,k∈Z.
16.(2016课标Ⅲ,14,5分)函数y=sinx-cosx的图象可由函数y=sinx+cosx的图象至少向右平移　　　　个单位长度得到.
答案　
解析　设f(x)=sinx-cosx=2sin,g(x)=sinx+cosx=2sin,将g(x)的图象向右平移φ(φ>0)个单位长度后得到函数g(x-φ)=2sin=2sin=f(x)的图象,所 以x-φ+=2kπ+x+,k∈Z,此时φ=-2kπ-,k∈Z,当k=-1时,φ有最小值,为.
17.(2015湖南文,15,5分)已知ω>0,在函数y=2sinωx与y=2cosωx的图象的交点中,距离最短的两个交点的距离为2,则ω=　　　　.
答案　
解析　由消去y,得sinωx-cosωx=0,
即sin=0,解得x=+,k∈Z.
取k=0,1,可得距离最短的两个交点的坐标为,,又两交点的距离为2,
所以+(+)2=(2)2,解得ω=.
18.(2014重庆文,13,5分)将函数f(x)=sin(ωx+φ)图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半,纵坐标不变,再向右平移个单位长度得到y=sinx的图象,则f=　　　　.
答案　
解析　y=sinxy=sin
y=sin,
即f(x)=sin,∴f=sin=sin=.
19.(2013课标Ⅱ文,16,5分)函数y=cos(2x+φ)(-π≤φ<π)的图象向右平移个单位后,与函数y=sin的图象重合,则φ=　　　　.
答案　π
解析　令y=f(x)=cos(2x+φ),将其图象向右平移个单位后得f=cos=cos(2x+φ-π)=sin(2x+φ-π)+=sin2x+φ-,因为与y=sin的图象重合,所以φ-=+2kπ(k∈Z),所以φ=2kπ+π(k∈Z),又-π≤φ<π,所以φ=π.
20.(2011浙江文,18,14分)已知函数f(x)=Asin,x∈R,A>0,0<φ<.y=f(x)的部分图象如图所示,P、Q分别为该图象的最高点和最低点,点P的坐标为(1,A).
(1)求f(x)的最小正周期及φ的值;
(2)若点R的坐标为(1,0),∠PRQ=,求A的值.
解析　(1)由题意得,T==6.
因为P(1,A)在y=Asin的图象上,
所以sin=1.
又因为0<φ<,所以φ=.
(2)设点Q的坐标为(x0,-A).
由题意可知x0+=,得x0=4,所以Q(4,-A).
连接PQ,在△PRQ中,∠PRQ=,由余弦定理得
cos∠PRQ=
==-,
解得A2=3.
又A>0,所以A=.
评析　本题主要考查三角函数的图象与性质、三角运算等基础知识.在(2)中,求出点Q坐标,根据△PRQ的边角关系,列出关于A的方程是求解关键.
考点二　三角函数的性质及其应用
1.(2018课标Ⅲ文,6,5分)函数f(x)=的最小正周期为(　　)
A.　　　　B.　　　　C.π　　　　D.2π
答案　C　本题考查三角函数的周期.
解法一:f(x)的定义域为.
f(x)==sinx·cosx=sin2x,
∴f(x)的最小正周期T==π.
解法二:f(x+π)===f(x),∴π是f(x)的周期.f=,而tan===-,∴f=-≠f(x),
∴不是f(x)的周期,∴也不是f(x)的周期.故选C.
方法总结　函数周期的求法:
(1)定义法:若f(x+T)=f(x),T≠0,则T是f(x)的一个周期.
(2)若T是函数y=f(x)的周期,则kT(k∈Z且k≠0)也是y=f(x)的周期.
(3)若定义域内都有f(x+a)=-f(x)或f(x+a)=(f(x)≠0)或f(x+a)=-(a是常数且a≠0,f(x)≠0),则f(x)是以2|a|为周期的周期函数.
(4)若f(x)的图象关于直线x=a和x=b对称,则2|a-b|是f(x)的一个周期;若f(x)的图象关于点(a,0),(b,0)对称,则2|a-b|是f(x)的一个周期;若f(x)关于点(a,0)和直线x=b对称,则4|a-b|是f(x)的一个周期.
2.(2018课标Ⅰ文,8,5分)已知函数f(x)=2cos2x-sin2x+2,则(　　)
A.f(x)的最小正周期为π,最大值为3
B.f(x)的最小正周期为π,最大值为4
C.f(x)的最小正周期为2π,最大值为3
D.f(x)的最小正周期为2π,最大值为4
答案　B　本题主要考查三角恒等变换及三角函数的性质.
f(x)=2cos2x-sin2x+2=2(1-sin2x)-sin2x+2=4-3sin2x=4-3×=+,∴f(x)的最小正周期T=π,当cos2x=1时,f(x)取最大值,为4.故选B.
解题关键　解题关键是通过三角恒等变换化简函数解析式
3.(2017课标Ⅱ文,3,5分)函数f(x)=sin的最小正周期为(　　)
A.4π　　　　B.2π　　　　C.π　　　　D.
答案　C　本题考查三角函数的性质.
由题意得ω=2,所以函数f(x)=sin的最小正周期T==π.故选C.
4.(2017天津,理7,文7,5分)设函数f(x)=2sin(ωx+φ),x∈R,其中ω>0,|φ|<π.若f=2,f=0,且f(x)的最小正周期大于2π,则　(　　)
A.ω=,φ=　　　 　B.ω=,φ=-
C.ω=,φ=-　　　　D.ω=,φ=
答案　A　∵f=2,f=0,f(x)的最小正周期大于2π,
∴=-=,得T=3π,则ω==,
又f=2sin=2,∴sin=1.
∴+φ=2kπ+,k∈Z,∴φ=2kπ+,k∈Z.
∵|φ|<π,∴φ=,故选A.
易错警示　根据f(x)的最小正周期T>2π,可知T=-=,得T=3π.若不注意已知条件,则容易出现T=,得T=π,从而造成错误.
思路分析　由三角函数的图象(图略)可知=-=,得T=3π,ω=,然后将代入y=f(x)中解出φ的值即可.
5.(2017山东文,7,5分)函数y=sin2x+cos2x的最小正周期为(　　)
A.　　　　B.　　　　C.π　　　　D.2π
答案　C　本题考查三角函数辅助角公式及三角函数的性质.
y=sin2x+cos2x=2sin,
从而最小正周期T==π.
6.(2017课标Ⅲ文,6,5分)函数f(x)=sin+cos的最大值为(　　)
A.　　　　B.1　　　　C.　　　　D.
答案　A　∵f(x)=sin+cos
=+cosx+sinx
=sinx+cosx
=×2sin
=sin,
∴f(x)的最大值为.
故选A.
一题多解　∵cos=cos
=sin=sin,
∴f(x)=sin,∴f(x)max=.故选A.
7.(2016课标Ⅱ文,11,5分)函数f(x)=cos2x+6cos的最大值为(　　)
A.4　　　　B.5　　　　C.6　　　　D.7
答案　B　f(x)=1-2sin2x+6sinx=-2+,当sinx=1时,f(x)取得最大值5,故选B.
思路分析　利用二倍角的余弦公式及诱导公式将f(x)=cos2x+6cos转化为关于sinx的二次函数,通过配方来求最值,注意不要忘记sinx∈[-1,1].
8.(2016山东理,7,5分)函数f(x)=(sinx+cosx)(cosx-sinx)的最小正周期是(　　)
A.　　　　B.π　　　　C.　　　　D.2π
答案　B　∵f(x)=(sinx+cosx)(cosx-sinx)=4sin·cos=2sin,∴T==π,故选B.
评析　本题主要考查辅助角公式及三角恒等变换,属中档题.
9.(2016浙江,5,5分)设函数f(x)=sin2x+bsinx+c,则f(x)的最小正周期(　　)
A.与b有关,且与c有关　　　　B.与b有关,但与c无关
C.与b无关,且与c无关　　　　D.与b无关,但与c有关
答案　B　f(x)=sin2x+bsinx+c,若b=0,则f(x)=sin2x+c=(1-cos2x)+c,此时f(x)的周期为π;若b≠0,则f(x)的周期为2π,所以选B.
10.(2015安徽理,10,5分)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A,ω,φ均为正的常数)的最小正周期为π,当x=时,函数f(x)取得最小值,则下列结论正确的是(　　)
A.f(2)C.f(-2)答案　A　∵ω>0,∴T==π,∴ω=2.又A>0,∴f=-A,即sin=-1,得φ+=2kπ+,k∈Z,即φ=2kπ+,k∈Z,又∵φ>0,∴可取f(x)=Asin,∴f(2)=Asin,f(-2)=Asin,f(0)=Asin.∵π<4+<,∴f(2)<0.∵-<-4+<-π,且y=sinx在上为减函数,∴sinsin(-π)=0,从而有0评析　本题考查三角函数的周期性、单调性、最值和三角函数值的大小比较.准确判断4+与-4+的范围是解题的关键.
11.(2015课标Ⅰ理,8,5分)函数f(x)=cos(ωx+φ)的部分图象如图所示,则f(x)的单调递减区间为(　　)
A.,k∈Z　　　　B.,k∈Z
C.,k∈Z　　　　 D.,k∈Z
答案　D　由题图可知=-=1,所以T=2.结合题图可知,在(f(x)的一个周期)内,函数f(x)的单调递减区间为.由f(x)是以2为周期的周期函数可知,f(x)的单调递减区间为,k∈Z,故选D.
12.(2014课标Ⅰ文,7,5分)在函数①y=cos|2x|,②y=|cosx|,③y=cos,④y=tan中,最小正周期为π的所有函数为(　　)
A.①②③　　　　B.①③④　　　　C.②④　　　　D.①③
答案　A　①y=cos|2x|=cos2x,最小正周期为π;
②由图象知y=|cosx|的最小正周期为π;
③y=cos的最小正周期T==π;
④y=tan的最小正周期T=.
因此选A.
评析　本题考查三角函数的周期性,含有绝对值的函数可先变形再判断,或运用图象判断其最小正周期.
13.(2012课标理,9,5分)已知ω>0,函数f(x)=sin在单调递减,则ω的取值范围是(　　)
A.　　　　B.
C.　　　　D.(0,2]
答案　A　由又y=sinα在上递减,
所以
解得≤ω≤,故选A.
评析　本题考查了三角函数的单调性,考查了运用正弦函数的减区间求参数的问题.
14.(2011课标理,11,5分)设函数f(x)=sin(ωx+φ)+cos(ωx+φ)的最小正周期为π,且f(-x)=f(x),则(　　)
A.f(x)在单调递减　　　　B.f(x)在单调递减
C.f(x)在单调递增　　　　D.f(x)在单调递增
答案　A　f(x)=sin(ωx+φ)+cos(ωx+φ)=sinωx+φ+,∵周期T==π,∴ω=2.又f(-x)=f(x),即f(x)为偶函数,∴φ+=kπ+,φ=kπ+,k∈Z.
又|φ|<,∴φ=,∴f(x)=sin=cos2x,易得f(x)在上单调递减,故选A.
评析　本题考查三角公式和三角变换,考查三角函数y=Asin(ωx+φ)的单调性、奇偶性的判定,属中等难度试题.
15.(2011课标文,11,5分)设函数f(x)=sin+cos,则(　　)
A.y=f(x)在单调递增,其图象关于直线x=对称
B.y=f(x)在单调递增,其图象关于直线x=对称
C.y=f(x)在单调递减,其图象关于直线x=对称
D.y=f(x)在单调递减,其图象关于直线x=对称
答案　D　f(x)=sin+cos=·sin=cos2x,其部分图象如图.故选D.
评析　本题考查三角恒等变换、诱导公式及三角函数的图象等知识,考查学生综合应用三角知识分析和解决问题的能力,属中等难度试题.
16.(2016课标Ⅰ,12,5分)已知函数f(x)=sin(ωx+φ),x=-为f(x)的零点,x=为y=f(x)图象的对称轴,且f(x)在单调,则ω的最大值为(　　)
A.11　　　　B.9　　　　C.7　　　　D.5
答案　B　依题意,有(m、n∈Z),∴
又|φ|≤,∴m+n=0或m+n=-1.当m+n=0时,ω=4n+1,φ=,由f(x)在上单调,得≥-,∴ω≤12,取n=2,得ω=9,f(x)=sin符合题意.当m+n=-1时,φ=-,ω=4n+3,取n=2,得ω=11,f(x)=sin,此时,当x∈时,11x-∈,f(x)不单调,不合题意.故选B.
17.(2021北京,7,4分)已知函数f(x)=cos x-cos 2x,则该函数为 (　　)
A.奇函数,最大值为2　　　　B.偶函数,最大值为2
C.奇函数,最大值为　　　　D.偶函数,最大值为
答案　D　f(x)的定义域为R,关于原点对称,且f(-x)=cos(-x)-cos(-2x)=cos x-cos 2x=f(x),所以f(x)为偶函数. f(x)=cos x-cos 2x=cos x-(2cos2x-1)=-2cos2x+cos x+1=-2,当cos x=时, f(x)max=.故选D.
解题指导:先判断函数的奇偶性,再借助二倍角的余弦公式将f(x)=cos x-cos 2x转化为关于cos x的二次函数,进而在[-1,1]范围内求二次函数的最值.
18.(2021全国乙文,4,5分)函数f(x)=sin的最小正周期和最大值分别是 (　　)
A.3π和　　　　B.3π和2　　　　C.6π和　　　　D.6π和2
答案　C　解题指导:先对函数f(x)进行三角恒等变换,再利用三角函数的周期公式、求值域的方法进行求解.
解析　由题意知:
f(x)=sin,最小正周期T==6π;当sin=1,即x=π+6kπ,k∈Z时, f(x)取最大值,故选C.
易错警示　对三角恒等变换公式不熟练,不能将函数化成y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的形式,导致后面无法求解.
19.(2021新高考Ⅰ,4,5分)下列区间中,函数f(x)=7sin单调递增的区间是 (　　)
A.
答案　A　解题指导:由三角函数的单调递增区间表示出f(x)=7sin的单调递增区间,通过运算求出x的取值范围,结合选项分析即可.
解析　f(x)=7sin,
令2kπ-≤2kπ+,k∈Z,
解得2kπ-≤x≤2kπ+,k∈Z,
令k=0,得-.故选A.
20.(2022北京,5,4分)已知函数f(x)=cos2x-sin2x,则 (　　)
A. f(x)在上单调递减
B. f(x)在上单调递增
C. f(x)在上单调递减
D. f(x)在上单调递增
答案　C　f(x)=cos2x-sin2x=cos 2x,令2kπ<2x<2kπ+π,k∈Z,解得kπ对于A, f(x)在上单调递增,故A错误;
对于B, f(x)在上单调递增,在上单调递减,故B错误;
对于C, f(x)在上单调递减,故C正确;
对于D, f(x)在上单调递减,在上单调递增,故D错误.故选C.
21.(2022新高考Ⅰ,6,5分)记函数f(x)=sin+b(ω>0)的最小正周期为T.若A.1　　　　B.　　　　D.3
答案　A　∵0,∴<π,∴2<ω<3①.
又y=f(x)的图象关于点中心对称,
∴
从而ω=(k∈Z)②,由①②知ω=(取k=4),
∴f(x)=sin+2,∴f π+2=1.
22.(2021全国乙理,7,5分)把函数y=f(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变,再把所得曲线向右平移个单位长度,得到函数y=sin的图象,则f(x)= (　　)
A.sin
C.sin
答案　B　将函数y=sin个单位长度可得函数y=sin的图象,再将该函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,可得函数y=f(x)的图象,则f(x)=sin,故选B.
易错警示　(1)忽略图象的平移规律:“左加右减”,从而错选A;
(2)对横坐标伸长到原来的2倍理解不清,误认为是x的系数乘2,从而错选D.
23.(多选)(2022新高考Ⅱ,9,5分)已知函数f(x)=sin(2x+φ)(0<φ<π)的图象关于点中心对称,则 (　　)
A. f(x)在区间单调递减
B. f(x)在区间有两个极值点
C.直线x=是曲线y=f(x)的对称轴
D.直线y=-x是曲线y=f(x)的切线
答案　AD　因为f(x)的图象关于点对称,所以sin=0,即+φ=kπ,k∈Z,故φ=kπ-,k∈Z.结合0<φ<π,得φ=,所以f(x)=sin.
对于A,令+2kπ≤2x++2kπ,k∈Z,解得-+kπ≤x≤+kπ,k∈Z,故f(x)的单调递减区间为-+kπ,+kπ,k∈Z.显然,k∈Z,故A正确.对于B, f '(x)=2cos,令f '(x)=0,得2x+=kπ+,k∈Z,即x=,k∈Z.又因为x∈,所以x=,故f(x)在区间只有一个极值点,k∈Z,故B错误.对于C,令2x++kπ,k∈Z,解得x=-,k∈Z,故C错误.对于D,结合B,令2cos=-1,得2x++2kπ,k∈Z或2x++2kπ,k∈Z,解得x=kπ,k∈Z或x=+kπ,k∈Z,故其中一个切点为,则曲线y=f(x)在该点处的切线方程为y-=-x,即y=-x,故D正确.故选AD.
24.(2022全国甲理,11,5分)设函数f(x)=sin在区间(0,π)恰有三个极值点、两个零点,则ω的取值范围是 (　　)
A.
C.
答案　C　由x∈(0,π)得ωx+,要使函数f(x)=sin在(0,π)内恰有三个极值点、两个零点,则ωx+,π,,2π,,所以<ωπ+≤3π,解得,即ω的取值范围为,故选C.
25.(2023全国乙理,6,5分,易)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)在区间单调递增,直线x=和x=为函数y=f(x)的图象的两条对称轴,则f = (　　)
A.-
答案　D　∵f(x)=sin(ωx+φ)在区间单调递增,且直线x=和x=为函数y=f(x)的图象的两条对称轴,
∴f(x)在x=和x=处分别取得最小值和最大值,
∴,T=π,得|ω|=2,不妨取ω=2,
由f =1,得+2kπ,k∈Z,
得φ=-+2kπ,k∈Z.取k=0,得φ=-,从而f ,故选D.
26.(2023天津,5,5分,易)已知函数f(x)图象的一条对称轴为直线x=2,一个周期为4,则f(x)的解析式可能为 (　　)
A.f(x)=sin　　　　B.f(x)=cos
C.f(x)=sin　　　　D.f(x)=cos
答案　B　因为C、D选项中函数的最小正周期为8,所以排除C、D.
对于A, f(2)=sin π=0≠±1,所以直线x=2不是其图象的对称轴,所以排除A,故选B.
27.(2023全国乙文,10,5分,中)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)在区间单调递增,直线x=和x=为函数y=f(x)的图象的两条对称轴,则f = (　　)
A.-
答案　D　∵f(x)=sin(ωx+φ)在区间单调递增,且直线x=和x=为函数y=f(x)的图象的两条对称轴,
∴f(x)在x=和x=处分别取得最小值和最大值,
∴,T=π,得|ω|=2,不妨取ω=2,
由f =1,得+2kπ,k∈Z,
得φ=-+2kπ,k∈Z.取k=0,得φ=-,从而f ,故选D.
28.(2022北京,13,5分)若函数f(x)=Asin x-cos x的一个零点为,则A=　　　; f=　　　　.
答案　 1;-
解析　由题意知f=0,即Asin =0,解得A=1,所以f(x)=sin x-,所以f.
29.(2022全国乙理,15,5分)记函数f(x)=cos(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)的最小正周期为T.若f(T)=,x=为f(x)的零点,则ω的最小值为　　　　.
答案　 3
解析　∵T=,ω>0, f(T)=,
∴cos,∴cos φ=,
∵0<φ<π,∴φ=,∴f(x)=cos,
又f=0,∴cos=0,
∴=kπ+(k∈Z),∴(k∈Z),
∴ω=9k+3(k∈Z).
∵ω>0,∴k=0时,ω取得最小值3.
30.(2021全国甲理,16,5分)已知函数f(x)=2cos(ωx+φ)的部分图象如图所示,则满足条件f(x)-f -f(x)-f >0的最小正整数x为　　　　.
答案　2
解题指导:首先通过函数图象,确定ω和φ的取值,然后分别求出f和f的值,最后结合三角函数的单调性确定最小正整数x的值.
解析　设函数f(x)的最小正周期为T,则
,解得T=π,
则=π,解得|ω|=2,不妨取ω=2,此时f(x)=2cos(2x+φ).
将代入上式,得+2kπ,k∈Z,
∴φ=-+2kπ,k∈Z,取φ=-,
∴f(x)=2cos,
∴f=1,
f=0,
∴不等式可化为(f(x)-1)f(x)>0,解得f(x)>1或f(x)<0.
由f(x)>1,得2cos>1,即cos,①
由f(x)<0,得cos<0,②
由①得-+2kπ<2x-+2kπ,k∈Z,
解得-+kπ由②得+2kπ<2x-+2kπ,k∈Z,
解得+kπ综上,最小正整数x为2.
方法点拨　解本题的关键是能够正确求解f(x)的解析式,然后能结合三角函数的单调性求出x的取值范围.
31.(2017课标Ⅱ文,13,5分)函数f(x)=2cosx+sinx的最大值为　　　　.
答案　
解析　本题主要考查三角函数的最值.
由题意可知f(x)=2cosx+sinx=sin(x+φ)(tanφ=2),
∴f(x)的最大值为.
32.(2015天津文,14,5分)已知函数f(x)=sinωx+cosωx(ω>0),x∈R.若函数f(x)在区间(-ω,ω)内单调递增,且函数y=f(x)的图象关于直线x=ω对称,则ω的值为　　　　.
答案　
解析　由已知得f(x)=sin,令2kπ-≤ωx+≤2kπ+,k∈Z,由ω>0,得≤x≤,
k∈Z,当k=0时,得f(x)的单调递增区间为,
所以(-ω,ω) ,
所以解得0<ω≤,
又y=f(x)的图象关于直线x=ω对称,所以ω2+=kπ+,
k∈Z,解得ω2=kπ+,k∈Z,又0<ω≤,所以ω=.
33.(2013课标Ⅰ,理15,文16,5分)设当x=θ时,函数f(x)=sinx-2cosx取得最大值,则cosθ=　　　　.
答案　-
解析　由辅助角公式得:f(x)==sin(x-φ),其中sinφ=,cosφ=,由x=θ时,f(x)取得最大值得:sin(θ-φ)=1,∴θ-φ=2kπ+,k∈Z,即θ=φ++2kπ,∴cosθ=cos=-sinφ=-.
评析　本题考查了辅助角公式的应用,准确掌握辅助角的含义是解题关键.
34.(2023新课标Ⅰ,15,5分,中)已知函数f(x)=cos ωx-1(ω>0)在区间[0,2π]有且仅有3个零点,则ω的取值范围是　　　　.
答案　[2,3)
解析　函数f(x)=cos ωx-1(ω>0)在区间[0,2π]上有且仅有3个零点等价于方程cos ωx=1(ω>0)在区间[0,2π]上有且仅有3个不等的实根,∵0≤x≤2π,∴0≤ωx≤2πω,∴4π≤2πω<6π,即2≤ω<3,∴ω的取值范围为[2,3).
35.(2023新课标Ⅱ,16,5分,中)已知函数f(x)=sin(ωx+φ),如图,A,B是直线y=与曲线y=f(x)的两个交点,若|AB|=,则f(π)=　　　　.
答案　-
解析　令sin(ωx+φ)=,得ωx+φ=+2kπ,k∈Z或ωx+φ=+2kπ,k∈Z.
由题意可知,-=,k∈Z,
则-=,∴ω=4,
∴f(x)=sin(4x+φ),又f(x)的图象过,
∴f =sin=0,结合五点作图法得+φ=2kπ,k∈Z,不妨取φ=-,
∴f(x)=sin,∴f(π)=sin=-.
36.(2018北京文,16,13分)已知函数f(x)=sin2x+sinxcosx.
(1)求f(x)的最小正周期;
(2)若f(x)在区间上的最大值为,求m的最小值.
解析　(1)f(x)=-cos2x+sin2x
=sin+.
所以f(x)的最小正周期为T==π.
(2)由(1)知f(x)=sin+.
由题意知-≤x≤m.
所以-≤2x-≤2m-.
要使得f(x)在上的最大值为,
即sin在上的最大值为1.
所以2m-≥,
即m≥.
所以m的最小值为.
37.(2016山东文,17,12分)设f(x)=2sin(π-x)sinx-(sinx-cosx)2.
(1)求f(x)的单调递增区间;
(2)把y=f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再把得到的图象向左平移个单位,得到函数y=g(x)的图象,求g的值.
解析　(1)f(x)=2sin(π-x)sinx-(sinx-cosx)2
=2sin2x-(1-2sinxcosx)
=(1-cos2x)+sin2x-1
=sin2x-cos2x+-1
=2sin+-1.
由2kπ-≤2x-≤2kπ+(k∈Z),
得kπ-≤x≤kπ+(k∈Z).
所以f(x)的单调递增区间是(k∈Z).
(2)由(1)知f(x)=2sin+-1.
把y=f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),
得到y=2sin+-1的图象,
再把得到的图象向左平移个单位,
得到y=2sinx+-1的图象,
即g(x)=2sinx+-1.
所以g=2sin+-1=.
方法总结　研究三角函数的单调性,首先将函数化为y=Asin(ωx+φ)+h(或y=Acos(ωx+φ)+h)的形式,要视“ωx+φ”为一个整体,另外注意A的正负.
评析　本题主要考查三角恒等变换及三角函数的性质,考查三角函数图象变换.(1)将函数化为y=Asin(ωx+φ)+h的形式是解题的关键,要视“ωx+φ”为一个整体.(2)三角函数图象变换仅对“x”而言.
38.(2016天津理,15,13分)已知函数f(x)=4tanxsin-x·cosx--.
(1)求f(x)的定义域与最小正周期;
(2)讨论f(x)在区间上的单调性.
解析　(1)f(x)的定义域为.
f(x)=4tanxcosxcos-
=4sinxcos-
=4sinx-
=2sinxcosx+2sin2x-
=sin2x+(1-cos2x)-
=sin2x-cos2x=2sin.
所以,f(x)的最小正周期T==π.
(2)令z=2x-,易知函数y=2sinz的单调递增区间是,k∈Z.
由-+2kπ≤2x-≤+2kπ,得-+kπ≤x≤+kπ,k∈Z.
设A=,B=,易知A∩B=.
所以,当x∈时,f(x)在区间上单调递增,在区间上单调递减.
方法总结　研究三角函数的各类性质时,首先要将所研究函数利用辅助角公式、降幂扩角公式及两角和差的正弦、余弦公式等价转化为f(x)=Asin(ωx+φ)+b的形式,然后类比y=sinx的性质进行研究.
评析　本题主要考查两角差的正弦公式和余弦公式、二倍角的正弦公式和余弦公式,三角函数的定义域、最小正周期性、单调性等基础知识.考查运算求解能力.
39.(2016北京文,16,13分)已知函数f(x)=2sinωxcosωx+cos2ωx(ω>0)的最小正周期为π.
(1)求ω的值;
(2)求f(x)的单调递增区间.
解析　(1)因为f(x)=2sinωxcosωx+cos2ωx
=sin2ωx+cos2ωx
=sin,(3分)
所以f(x)的最小正周期T==.(4分)
依题意,=π,解得ω=1.(6分)
(2)由(1)知f(x)=sin.
函数y=sinx的单调递增区间为(k∈Z).(8分)
由2kπ-≤2x+≤2kπ+(k∈Z),
得kπ-≤x≤kπ+(k∈Z).(12分)
所以f(x)的单调递增区间为(k∈Z).(13分)
易错警示　本题函数解析式中含有参数ω,在用倍角公式时要注意转化成“2ωx”,在求单调区间时,也要注意x的系数.
评析　本题考查了倍角公式、辅助角公式和正弦型函数的单调区间等知识,属中档题.
40.(2015天津理,15,13分)已知函数f(x)=sin2x-sin2,x∈R.
(1)求f(x)的最小正周期;
(2)求f(x)在区间上的最大值和最小值.
解析　(1)由已知,有
f(x)=-=-cos2x=sin2x-cos2x=sin.
所以,f(x)的最小正周期T==π.
(2)因为f(x)在区间上是减函数,在区间上是增函数,f=-,f=-,f=.所以,f(x)在区间上的最大值为,最小值为-.
41.(2015北京理,15,13分)已知函数f(x)=sincos-sin2.
(1)求f(x)的最小正周期;
(2)求f(x)在区间[-π,0]上的最小值.
解析　(1)因为f(x)=sinx-(1-cosx)
=sin-,所以f(x)的最小正周期为2π.
(2)因为-π≤x≤0,所以-≤x+≤.
当x+=-,即x=-时,f(x)取得最小值.
所以f(x)在区间[-π,0]上的最小值为f=-1-.
42.(2015安徽文,16,12分)已知函数f(x)=(sinx+cosx)2+cos2x.
(1)求f(x)的最小正周期;
(2)求f(x)在区间上的最大值和最小值.
解析　(1)因为f(x)=sin2x+cos2x+2sinxcosx+cos2x=1+sin2x+cos2x=sin+1,
所以函数f(x)的最小正周期为T==π.
(2)由(1)的计算结果知,f(x)=sin+1.
当x∈时,2x+∈,
由正弦函数y=sinx在上的图象知,
当2x+=,即x=时,f(x)取最大值+1;
当2x+=,即x=时,f(x)取最小值0.
综上,f(x)在上的最大值为+1,最小值为0.
评析　本题考查三角恒等变换,三角函数的周期性及最值.
43.(2015湖北理,17,11分)某同学用“五点法”画函数f(x)=Asin(ωx+φ)在某一个周期内的图象时,列表并填入了部分数据,如下表:
ωx+φ 0 π 2π
x
Asin(ωx+φ) 0 5 -5 0
(1)请将上表数据补充完整,并直接写出函数f(x)的解析式;
(2)将y=f(x)图象上所有点向左平行移动θ(θ>0)个单位长度,得到y=g(x)的图象.若y=g(x)图象的一个对称中心为,求θ的最小值.
解析　(1)根据表中已知数据,解得A=5,ω=2,φ=-.
数据补全如下表:
ωx+φ 0 π 2π
x π
Asin(ωx+φ) 0 5 0 -5 0
且函数表达式为f(x)=5sin.
(2)由(1)知f(x)=5sin,
得g(x)=5sin.
因为y=sinx图象的对称中心为(kπ,0),k∈Z,
令2x+2θ-=kπ,
解得x=+-θ,k∈Z.
由于函数y=g(x)的图象关于点中心对称,
令+-θ=,
解得θ=-,k∈Z.
由θ>0可知,当k=1时,θ取得最小值.
44.(2014山东理,16,12分)已知向量a=(m,cos2x),b=(sin2x,n),函数f(x)=a·b,且y=f(x)的图象过点和点.
(1)求m,n的值;
(2)将y=f(x)的图象向左平移φ(0<φ<π)个单位后得到函数y=g(x)的图象,若y=g(x)图象上各最高点到点(0,3)的距离的最小值为1,求y=g(x)的单调递增区间.
解析　(1)由题意知f(x)=a·b=msin2x+ncos2x.
因为y=f(x)的图象经过点和,
所以
即
解得m=,n=1.
(2)由(1)知f(x)=sin2x+cos2x=2sin.
由题意知g(x)=f(x+φ)=2sin.
设y=g(x)的图象上符合题意的最高点为(x0,2),
由题意知+1=1,所以x0=0,
即到点(0,3)的距离为1的最高点为(0,2).
将其代入y=g(x)得sin=1,
因为0<φ<π,所以φ=.
因此g(x)=2sin=2cos2x.
由2kπ-π≤2x≤2kπ,k∈Z,得kπ-≤x≤kπ,k∈Z,
所以函数y=g(x)的单调递增区间为,k∈Z.
45.(2014重庆理,17,13分)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)的图象关于直线x=对称,且图象上相邻两个最高点的距离为π.
(1)求ω和φ的值;
(2)若f=,求cos的值.
解析　(1)因为f(x)的图象上相邻两个最高点的距离为π,所以f(x)的最小正周期T=π,从而ω==2.
又因为f(x)的图象关于直线x=对称,所以
2·+φ=kπ+,k=0,±1,±2,….由-≤φ<得k=0,
所以φ=-=-.
(2)由(1)得f=sin=,
所以sin=.
由<α<得0<α-<,
所以cos===.
因此cos=sinα=sin
=sincos+cossin
=×+×=.
46.(2014四川理,16,12分)已知函数f(x)=sin.
(1)求f(x)的单调递增区间;
(2)若α是第二象限角,f=coscos2α,求cosα-sinα的值.
解析　(1)因为函数y=sinx的单调递增区间为,k∈Z.
由-+2kπ≤3x+≤+2kπ,k∈Z,得
-+≤x≤+,k∈Z.
所以,函数f(x)的单调递增区间为,k∈Z.
(2)由已知,有sin=cos(cos2α-sin2α),
所以sinαcos+cosαsin
=(cos2α-sin2α).
即sinα+cosα=(cosα-sinα)2(sinα+cosα).
当sinα+cosα=0时,由α是第二象限角,知α=+2kπ,k∈Z.
此时,cosα-sinα=-.
当sinα+cosα≠0时,有(cosα-sinα)2=.
由α是第二象限角,知cosα-sinα<0,此时cosα-sinα=-.
综上所述,cosα-sinα=-或-.
评析　本题主要考查正弦型函数的性质,二倍角与和差角公式,简单的三角恒等变换等基础知识,考查运算求解能力,考查分类与整合、化归与转化等数学思想.
47.(2014天津理,15,13分)已知函数f(x)=cosx·sin-cos2x+,x∈R.
(1)求f(x)的最小正周期;
(2)求f(x)在闭区间上的最大值和最小值.
解析　(1)由已知,有
f(x)=cosx·-cos2x+
=sinx·cosx-cos2x+
=sin2x-(1+cos2x)+
=sin2x-cos2x
=sin.
所以f(x)的最小正周期T==π.
(2)因为f(x)在区间上是减函数,在区间上是增函数,
f=-,f=-,f=,
所以函数f(x)在闭区间上的最大值为,最小值为-.
评析　本题主要考查两角和与差的正弦公式,二倍角的正弦与余弦公式,三角函数的最小正周期、单调性等基础知识.考查基本运算能力.
48.(2014江西理,16,12分)已知函数f(x)=sin(x+θ)+acos(x+2θ),其中a∈R,θ∈.
(1)当a=,θ=时,求f(x)在区间[0,π]上的最大值与最小值;
(2)若f=0,f(π)=1,求a,θ的值.
解析　(1)当a=,θ=时,
f(x)=sin+cos
=(sinx+cosx)-sinx
=cosx-sinx=sin,
由x∈[0,π],知-x∈.
故f(x)在[0,π]上的最大值为,最小值为-1.
(2)由得
由θ∈知cosθ≠0,
解得
49.(2013北京文,15,13分)已知函数f(x)=(2cos2x-1)sin2x+cos4x.
(1)求f(x)的最小正周期及最大值;
(2)若α∈,且f(α)=,求α的值.
解析　(1)因为f(x)=(2cos2x-1)sin2x+cos4x
=cos2xsin2x+cos4x
=(sin4x+cos4x)
=sin,
所以f(x)的最小正周期为,最大值为.
(2)因为f(α)=,
所以sin=1.
因为α∈,
所以4α+∈.
所以4α+=.故α=.
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