2014-2023年高考数学真题专题分类--5.2　平面向量的数量积及其应用(含解析)

2014-2023年高考数学真题专题分类
5.2　平面向量的数量积及其应用
考点二　平面向量的数量积及其应用
1.(2019课标Ⅱ文,3,5分)已知向量a=(2,3),b=(3,2),则|a-b|=(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.　　　　B.2　　　　C.5　　　　D.50
答案　A　本题主要考查平面向量的坐标运算以及向量模的计算;考查数学运算的核心素养.
∵a=(2,3),b=(3,2),∴a-b=(-1,1),∴|a-b|==,故选A.
一题多解　∵a=(2,3),b=(3,2),∴|a|2=13,|b|2=13,a·b=12,则|a-b|===.故选A.
2.(2017课标Ⅱ文,4,5分)设非零向量a,b满足|a+b|=|a-b|,则(　　)
A.a⊥b　　　　B.|a|=|b|　　　　
C.a∥b　　　　D.|a|>|b|
答案　A　本题考查向量的有关概念.
由|a+b|=|a-b|的几何意义知,以向量a、b为邻边的平行四边形为矩形,所以a⊥b.故选A.
一题多解　将|a+b|=|a-b|两边分别平方得|a|2+2a·b+|b|2=|a|2-2a·b+|b|2,即a·b=0,故a⊥b.故选A.
3.(2016课标Ⅲ理,3,5分)已知向量=,=,则∠ABC=(　　)
A.30°　　　　B.45°　　　　C.60°　　　　D.120°
答案　A　cos∠ABC==,所以∠ABC=30°,故选A.
4.(2015山东理,4,5分)已知菱形ABCD的边长为a,∠ABC=60°,则·=(　　)
A.-a2　　　　B.-a2　　　　C.a2　　　　D.a2
答案　D　·=(+)·=·+=a2+a2=a2.
5.(2015课标Ⅱ文,4,5分)向量a=(1,-1),b=(-1,2),则(2a+b)·a=(　　)
A.-1　　　　B.0　　　　C.1　　　　D.2
答案　C　因为2a+b=2(1,-1)+(-1,2)=(2,-2)+(-1,2)=(1,0),所以(2a+b)·a=(1,0)·(1,-1)=1×1+0×(-1)=1.故选C.
6.(2015福建文,7,5分)设a=(1,2),b=(1,1),c=a+kb.若b⊥c,则实数k的值等于(　　)
A.-　　　　B.-　　　　C.　　　　D.
答案　A　c=a+kb=(1+k,2+k).由b⊥c,得b·c=0,即1+k+2+k=0,解得k=-.故选A.
7.(2015广东文,9,5分)在平面直角坐标系xOy中,已知四边形ABCD是平行四边形,=(1,-2),=(2,1),则·=(　　)
A.5　　　　B.4　　　　C.3　　　　D.2
答案　A　∵四边形ABCD是平行四边形,∴=+=(3,-1),∴·=2×3+1×(-1)=5.选A.
8.(2015重庆文,7,5分)已知非零向量a,b满足|b|=4|a|,且a⊥(2a+b),则a与b的夹角为(　　)
A.　　　　B.　　　　C.　　　　D.
答案　C　因为a⊥(2a+b),所以a·(2a+b)=0,
得到a·b=-2|a|2,设a与b的夹角为θ,则cosθ===-,又0≤θ≤π,所以θ=,故选C.
9.(2014课标Ⅱ,理3,文4,5分)设向量a,b满足|a+b|=,|a-b|=,则a·b=(　　)
A.1　　　　B.2　　　　C.3　　　　D.5
答案　A　∵|a+b|=,∴a2+2a·b+b2=10.①
又|a-b|=,∴a2-2a·b+b2=6.②
①-②,得4a·b=4,即a·b=1,故选A.
10.(2014大纲全国文,6,5分)已知a、b为单位向量,其夹角为60°,则(2a-b)·b=(　　)
A.-1　　　　B.0　　　　C.1　　　　D.2
答案　B　(2a-b)·b=2a·b-|b|2=2×1×1×cos60°-12=0,故选B.
11.(2016山东,8,5分)已知非零向量m,n满足4|m|=3|n|,cos=.若n⊥(tm+n),则实数t的值为(　　)
A.4　　　　B.-4　　　　C.　　　　D.-
答案　B　因为n⊥(tm+n),所以tm·n+n2=0,所以m·n=-,又4|m|=3|n|,所以cos===-=,所以t=-4.故选B.
12.(2016天津,7,5分)已知△ABC是边长为1的等边三角形,点D,E分别是边AB,BC的中点,连接DE并延长到点F,使得DE=2EF,则·的值为(　　)
A.-　　　　B.　　　　C.　　　　D.
答案　B　建立平面直角坐标系,如图.
则B,C,A,所以=(1,0).
易知DE=AC,则EF=AC=,
因为∠FEC=60°,所以点F的坐标为,所以=,
所以·=·(1,0)=.故选B.
13.(2018天津文,8,5分)在如图的平面图形中,已知OM=1,ON=2,∠MON=120°,=2,=2,则·的值为(　　)
A.-15　　　　B.-9　　　　C.-6　　　　D.0
答案　C　本题考查向量的运算.
解法一:连接OA.∵=-=3-3=3(-)-3(-)=3(-),
∴·=3(-)·=3(·-||2)=3×(2×1×cos120°-12)=3×(-2)=-6.故选C.
解法二:在△ABC中,不妨设∠A=90°,取特殊情况ON⊥AC,以A为坐标原点,AB,AC所在直线分别为x轴,y轴建立如图所示的平面直角坐标系,
因为∠MON=120°,ON=2,OM=1,
所以O,C,M,B.
故·=·=--=-6.故选C.
14.(2016四川文,9,5分)已知正三角形ABC的边长为2,平面ABC内的动点P,M满足||=1,=,则||2的最大值是(　　)
A.　　　　B.　　　　C.　　　　D.
答案　B　以A为坐标原点,建立如图所示的平面直角坐标系,
则A(0,0),C(2,0),B(,3).
设P(x,y),∵||=1,
∴x2+y2=1,
∵=,
∴M为PC的中点,
∴M,
∴||2=+
=+-3y+9
=-3y+9=-3y,
又∵-1≤y≤1,
∴当y=-1时,||2取得最大值,且最大值为.
思路分析　由△ABC为正三角形,||=1,考虑到用建立平面直角坐标系的方法来解决向量问题.
评析　本题考查了向量的坐标运算,运用了转化与化归思想.
15.(2015福建理,9,5分)已知⊥,||=,||=t.若点P是△ABC所在平面内的一点,且=+,则·的最大值等于(　　)
A.13　　　　B.15　　　　C.19　　　　D.21
答案　A　以A为原点,AB所在直线为x轴,AC所在直线为y轴建立平面直角坐标系,则B(t>0),C(0,t),P(1,4),·=·(-1,t-4)=17-≤17-2×2=13,故·的最大值为13,故选A.
16.(2016四川,10,5分)在平面内,定点A,B,C,D满足||=||=||,·=·=·=-2,动点P,M满足||=1,=,则||2的最大值是(　　)
A.　　　　B.　　　　C.　　　　D.
答案　B　由||=||=||及·=·=· DB⊥CA,DC⊥AB,DA⊥CB,且∠ADC=∠ADB=∠BDC=120°,∴△ABC为正三角形,设||=a,则a2cos120°=-2 a=2 AC=2 OC=3,如图建立平面直角坐标系xOy,
则A(-,0),B(,0),C(0,3).由= P,M,C三点共线且M为PC的中点,设P(x,y),由|AP|=1 (x+)2+y2=1,
令则即P(cosθ-,sinθ),
∴M,
∴||2=[(cosθ-3)2+(3+sinθ)2]
=[37-(6cosθ-6sinθ)]
=≤×(37+12)=.
∴||2的最大值为.
17.(2022全国乙理,3,5分)已知向量a,b满足|a|=1,|b|=,|a-2b|=3,则a·b=(　　)
A.-2　　　　B.-1　　　　C.1　　　　D.2
答案　C　由|a-2b|=3,可得|a-2b|2=a2-4a·b+4b2=9,又|a|=1,|b|=,所以a·b=1,故选C.
18.(2022新高考Ⅱ,4,5分)已知向量a=(3,4),b=(1,0),c=a+tb,若=,则t= (　　)
A.-6　　　　B.-5　　　　C.5　　　　D.6
答案　C　由题意可得c=(3+t,4),
由=得cos=cos,
即,解得t=5,故选C.
19.(2022北京,10,4分)在△ABC中,AC=3,BC=4,∠C=90°.P为△ABC所在平面内的动点,且PC=1,则的取值范围是 (　　)
A.[-5,3]　　　　B.[-3,5]
C.[-6,4]　　　　D.[-4,6]
答案　D　解法一:取AB的中点D,=()·()=+()·=1+5×1×cos θ=1+5cos θ(θ为的夹角),因为θ∈[0,π],所以∈[-4,6].
解法二:建立如图所示的平面直角坐标系,则A(0,3),B(-4,0),设P(cos θ,sin θ),θ∈[0,2π),
则=(-cos θ,3-sin θ)·(-4-cos θ,-sin θ)
=cos2θ+4cos θ+sin2θ-3sin θ=1+4cos θ-3sin θ=1+5cos(θ+φ),其中tan φ=,
因为θ∈[0,2π),所以∈[-4,6].故选D.
20.(2020新高考Ⅰ,7,5分)已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点,则的取值范围是 (　　)
A.(-2,6)　　　　B.(-6,2)　　　　
C.(-2,4)　　　　D.(-4,6)
答案　A　解法一:如图,过点P作PP1⊥直线AB于P1,过点C作CC1⊥直线AB于C1,过点F作FF1⊥直线AB于F1,|·cos∠PAB,当∠PAB为锐角时,||,当∠PAB为钝角时,||,所以当点P与C重合时,最大,此时|=6,当点P与F重合时,最小,此时|=-2,又因为点P是正六边形ABCDEF内的一点,所以-2<<6.故选A.
解法二:连接AE,以A为坐标原点,AB所在直线为x轴,AE所在直线为y轴,建立平面直角坐标系(图略),则A(0,0),B(2,0),设P(x0,y0),则-1解后反思　解决以平面多边形为载体,有关平面向量数量积的复杂计算问题时,可以建立恰当的坐标系,将复杂的运算转化为简单的坐标运算,会大大降低难度.
21.(多选)(2021新高考Ⅰ,10,5分)已知O为坐标原点,点P1(cos α,sin α),P2(cos β,-sin β),P3(cos(α+β),sin(α+β)),A(1,0),则 (　　)
A.||
C.
答案　AC　A项,∵|=1,|=1,∴||,A选项正确.
B项,易知|,
|,由于α,β的大小关系不确定,从而不能确定||是否成立,B选项不正确.
C选项,∵=(1,0)·(cos(α+β),sin(α+β))=cos(α+β),
=(cos α,sin α)·(cos β,-sin β)=cos αcos β-sin αsin β=cos(α+β),
∴,C选项正确.
D选项,∵=(1,0)·(cos α,sin α)=cos α,
=(cos β,-sin β)·(cos(α+β),sin(α+β))
=cos β·cos(α+β)-sin β·sin(α+β)
=cos(β+α+β)
=cos(α+2β),
∴不一定成立.
D选项不正确.故选AC.
22.(2023全国乙文,6,5分,中)正方形ABCD的边长是2,E是AB的中点,则= (　　)
A.　　D.5
答案　B　解法一:由题意知,,
,
∴×22=3.
故选B.
解法二:以D为原点,建立如图所示的平面直角坐标系,
则E(1,2),C(2,0),D(0,0),
∴=(1,-2),=(-1,-2),
∴=1×(-1)+(-2)×(-2)=3.
故选B.
23.(2021全国甲文,13,5分)若向量a,b满足|a|=3,|a-b|=5,a·b=1,则|b|=　　　　.
答案　3
解题指导:利用|a|=求解.
解析　依题意可得|a-b|==5,解得|b|=3.
24.(2022全国甲文,13,5分)已知向量a=(m,3),b=(1,m+1).若a⊥b,则m=　　　　.
答案　 -
解析　因为a⊥b,所以a·b=0,即m×1+3(m+1)=0,解得m=-.
25.(2021全国乙理,14,5分)已知向量a=(1,3),b=(3,4),若(a-λb)⊥b,则λ=　　　　.
答案　
解题指导:根据(a-λb)⊥b得(a-λb)·b=0,再转化为坐标运算,得到关于λ的方程求解即可.
解析　解法一:由a=(1,3),b=(3,4),
得a-λb=(1-3λ,3-4λ),
由(a-λb)⊥b得(a-λb)·b=0,
故3(1-3λ)+4(3-4λ)=0 15-25λ=0 λ=.
解法二:由(a-λb)⊥b得(a-λb)·b=0,
即a·b-λb2=0,
a·b=1×3+3×4=15,b2=3×3+4×4=25,
则15-25λ=0,∴λ=.
26.(2021全国甲理,14,5分)已知向量a=(3,1),b=(1,0),c=a+kb.若a⊥c,则k=　　　　.
答案　-
解题指导:首先确定c的坐标表示,然后依据向量垂直的条件建立等式,进而确定k的值.
解析　由题意知c=a+kb=(3,1)+k(1,0)=(3+k,1),
结合a⊥c得3(3+k)+1×1=0,解得k=-.
易错警示　在利用a,b的坐标表示c时,易出现运算错误.
27.(2022全国甲理,13,5分)设向量a,b的夹角的余弦值为,且|a|=1,|b|=3,则(2a+b)·b=　　　　.
答案　11
解析　根据题意,得(2a+b)·b=2a·b+b2=2×1×3×+9=11.
28.(2019课标Ⅲ文,13,5分)已知向量a=(2,2),b=(-8,6),则cos=　　　　.
答案　-
解析　本题考查平面向量夹角的计算,通过向量的坐标运算考查学生的运算求解能力,体现运算法则与运算方法的素养要素.
由题意知cos===-.
29.(2019北京文,9,5分)已知向量a=(-4,3),b=(6,m),且a⊥b,则m=　　　　.
答案　8
解析　本题考查两向量垂直的充要条件和向量的坐标运算,考查了方程的思想方法.
∵a⊥b,∴a·b=(-4,3)·(6,m)=-24+3m=0,
∴m=8.
易错警示　容易把两向量平行与垂直的条件混淆.
30.(2016课标Ⅰ,13,5分)设向量a=(m,1),b=(1,2),且|a+b|2=|a|2+|b|2,则m=　　　　.
答案　-2
解析　由|a+b|2=|a|2+|b|2,知a⊥b,
∴a·b=m+2=0,∴m=-2.
31.(2020课标Ⅰ文,14,5分)设向量a=(1,-1),b=(m+1,2m-4),若a⊥b,则m=　　　　.
答案　5
解析　由a⊥b得a·b=0,即m+1-(2m-4)=0,解得m=5.
32.(2018北京文,9,5分)设向量a=(1,0),b=(-1,m).若a⊥(ma-b),则m=　　　　.
答案　-1
解析　本题主要考查平面向量数量积的坐标运算.
∵a=(1,0),b=(-1,m),∴a2=1,a·b=-1,
由a⊥(ma-b)得a·(ma-b)=0,
即ma2-a·b=0,
即m-(-1)=0,∴m=-1.
33.(2018江苏,12,5分)在平面直角坐标系xOy中,A为直线l:y=2x上在第一象限内的点,B(5,0),以AB为直径的圆C与直线l交于另一点D.若·=0,则点A的横坐标为　　　　.
答案　3
解析　本题考查直线与圆的位置关系.
设A(a,2a),a>0,则C,
∴圆C的方程为+(y-a)2=+a2,
由得
∴·=(5-a,-2a)·=+2a2-4a=0,∴a=3或a=-1,又a>0,∴a=3,∴点A的横坐标为3.
一题多解　由题意易得∠BAD=45°.
设直线DB的倾斜角为θ,则tanθ=-,
∴tan∠ABO=-tan(θ-45°)=3,
∴kAB=-tan∠ABO=-3.
∴AB的方程为y=-3(x-5),
由得xA=3.
34.(2017天津,理13,文14,5分)在△ABC中,∠A=60°,AB=3,AC=2.若=2,=λ-(λ∈R),且·=-4,则λ的值为　　　　.
答案　
解析　本题主要考查平面向量的线性运算以及数量积.
如图,由=2得=+,
所以·=·(λ-)=λ·-+λ-·,
又·=3×2×cos60°=3,=9,=4,
所以·=λ-3+λ-2=λ-5=-4,解得λ=.
思路分析　根据=2得=+,利用·=-4以及向量的数量积建立关于λ的方程,从而求得λ的值.
一题多解　以A为原点,AB所在的直线为x轴建立平面直角坐标系,如图,因为AB=3,AC=2,∠A=60°,所以B(3,0),C(1,),又=2,所以D,所以=,而=λ-=λ(1,)-(3,0)=(λ-3,λ),因此·=(λ-3)+×λ=λ-5=-4,
解得λ=.
35.(2017课标Ⅰ文,13,5分)已知向量a=(-1,2),b=(m,1).若向量a+b与a垂直,则m=　　　　.
答案　7
解析　本题考查向量数量积的坐标运算.
∵a=(-1,2),b=(m,1),∴a+b=(m-1,3),又(a+b)⊥a,
∴(a+b)·a=-(m-1)+6=0,解得m=7.
36.(2016课标Ⅰ文,13,5分)设向量a=(x,x+1),b=(1,2),且a⊥b,则x=　　　　.
答案　-
解析　因为a⊥b,所以x+2(x+1)=0,解得x=-.
易错警示　混淆两向量平行与垂直的条件是造成失分的主要原因.
37.(2016山东文,13,5分)已知向量a=(1,-1),b=(6,-4).若a⊥(ta+b),则实数t的值为　　　　.
答案　-5
解析　因为a⊥(ta+b),所以a·(ta+b)=0,即ta2+a·b=0,又因为a=(1,-1),b=(6,-4),所以|a|=,a·b=1×6+(-1)×(-4)=10,因此可得2t+10=0,解得t=-5.
评析　本题主要考查向量的数量积运算,向量的模以及两向量垂直的充要条件等基础知识,考查学生的运算求解能力以及方程思想的应用.
38.(2016北京文,9,5分)已知向量a=(1,),b=(,1),则a与b夹角的大小为　　　　.
答案　
解析　∵cos===,
∴a与b夹角的大小为.
39.(2015浙江,13,4分)已知e1,e2是平面单位向量,且e1·e2=.若平面向量b满足b·e1=b·e2=1,则|b|=　　　　.
答案　
解析　令e1与e2的夹角为θ,∴e1·e2=|e1|·|e2|cosθ=cosθ=,又0°≤θ≤180°,∴θ=60°.因为b·(e1-e2)=0,所以b与e1、e2的夹角均为30°,从而|b|==.
40.(2014重庆文,12,5分)已知向量a与b的夹角为60°,且a=(-2,-6),|b|=,则a·b=　　　　.
答案　10
解析　由a=(-2,-6),得|a|==2,
∴a·b=|a||b|cos=2××cos60°=10.
41.(2014课标Ⅰ理,15,5分)已知A,B,C为圆O上的三点,若=(+),则与的夹角为　　　　.
答案　90°
解析　由=(+)可知O为BC的中点,即BC为圆O的直径,又因为直径所对的圆周角为直角,所以∠BAC=90°,所以与的夹角为90°.
42.(2014湖北文,12,5分)若向量=(1,-3),||=||,·=0,则||=　　　　.
答案　2
解析　||=|-|=,
∵||=||==,·=0,
∴||==2,故答案为2.
43.(2014湖北理,11,5分)设向量a=(3,3),b=(1,-1).若(a+λb)⊥(a-λb),则实数λ=　　　　.
答案　±3
解析　|a|=3,|b|=,a·b=3×1+3×(-1)=0.因为(a+λb)⊥(a-λb),所以(a+λb)·(a-λb)=|a|2-λ2|b|2=18-2λ2=0.故λ=±3.
44.(2013课标Ⅱ,理13,文14,5分)已知正方形ABCD的边长为2,E为CD的中点,则·=　　　　.
答案　2
解析　解法一:·=·(-)=-=22-×22=2.
解法二:以A为原点建立平面直角坐标系(如图),可得A(0,0),E(1,2),B(2,0),C(2,2),D(0,2),=(1,2),=(-2,2),则·=1×(-2)+2×2=2.
45.(2013课标Ⅰ,理13,文3,5分)已知两个单位向量a,b的夹角为60°,c=ta+(1-t)b.若b·c=0,则t=　　　　.
答案　2
解析　解法一:∵b·c=0,
∴b·[ta+(1-t)b]=0,ta·b+(1-t)·b2=0,
又∵|a|=|b|=1,=60°,
∴t+1-t=0,t=2.
解法二:由t+(1-t)=1知向量a、b、c的终点A、B、C共线,在平面直角坐标系中设a=(1,0),b=,
则c=.
把a、b、c的坐标代入c=ta+(1-t)b,得t=2.
评析　本题考查了向量的运算,利用三点共线的条件得到c的坐标是解题关键.
46.(2012课标,理13,文13,5分)已知向量a,b夹角为45°,且|a|=1,|2a-b|=,则|b|=　　　　.
答案　3
解析　|2a-b|=两边平方得
4|a|2-4|a|·|b|cos45°+|b|2=10.
∵|a|=1,∴|b|2-2|b|-6=0.
∴|b|=3或|b|=-(舍去).
评析　本题考查了向量的基本运算,考查了方程的思想.通过“平方”把向量转化为向量的数量积是求解的关键.
47.(2012安徽文,11,5分)设向量a=(1,2m),b=(m+1,1),c=(2,m),若(a+c)⊥b,则|a|=　　　　.
答案　
解析　a+c=(3,3m),
∵(a+c)⊥b,
∴(a+c)·b=0,
∴3m+3+3m=0,
∴m=-,
∴a=(1,-1),
∴|a|==.
评析　本题主要考查向量的基本运算,考查了向量垂直的充要条件.
48.(2011课标,文13,5分)已知a与b为两个不共线的单位向量,k为实数,若向量a+b与向量ka-b垂直,则k=　　　.
答案　1
解析　由题意知|a|=1,|b|=1,≠0且≠π.
由a+b与向量ka-b垂直,得(a+b)·(ka-b)=0,
即k|a|2+(k-1)|a||b|·cos-|b|2=0,
(k-1)(1+cos)=0.又1+cos≠0,
∴k-1=0,k=1.
评析　本题考查向量的模、向量的数量积等相关知识,考查学生的运算求解能力,属中等难度试题.
49.(2019浙江,17,6分)已知正方形ABCD的边长为1.当每个λi(i=1,2,3,4,5,6)取遍±1时,|λ1+λ2+λ3+λ4+λ5+λ6|的最小值是　　　　,最大值是　　　　.
答案　0;2
解析　本题考查平面向量的坐标表示及坐标运算,在向量的坐标运算中涉及多个未知数据以此来考查学生的数据处理能力,数学运算及数据分析的核心素养.
如图,建立平面直角坐标系,则A(0,0),B(1,0),C(1,1),D(0,1),
∴=(1,0),=(0,1),=(-1,0),=(0,-1),=(1,1),=(-1,1),
故|λ1+λ2+λ3+λ4+λ5+λ6|
=|(λ1-λ3+λ5-λ6,λ2-λ4+λ5+λ6)|
=.(*)
显然(*)式中第一个括号中的λ1,λ3与第二个括号中的λ2,λ4的取值互不影响,∴只需讨论λ5与λ6的取值情况即可,
当λ5与λ6同号时,不妨取λ5=1,λ6=1,
则(*)式即为,
∵λ1,λ2,λ3,λ4∈{-1,1},∴λ1=λ3,λ2-λ4=-2(λ2=-1,λ4=1)时,(*)式取最小值0,当|λ1-λ3|=2(如λ1=1,λ3=-1),λ2-λ4=2(λ2=1,λ4=-1)时,(*)式取最大值2,
当λ5与λ6异号时,不妨取λ5=1,λ6=-1,则(*)式即为.
同理可得最小值仍为0,最大值仍为2,
综上,最小值为0,最大值为2.
解题关键　本题未知量比较多,所以给学生的第一感觉是难,而实际上注意到图形为规则的正方形,λi(i=1,2,3,4,5,6)的取值只有两种可能(1或-1),这就给建系及讨论λi的值创造了条件,也是求解本题的突破口.
50.(2017北京文,12,5分)已知点P在圆x2+y2=1上,点A的坐标为(-2,0),O为原点,则·的最大值为　　　　.
答案　6
解析　解法一:·表示在方向上的投影与||的乘积,当P在B点时,·有最大值,此时·=2×3=6.
解法二:设P(x,y),则·=(2,0)·(x+2,y)=2x+4,由题意知-1≤x≤1,∴x=1时,·取最大值6,∴·的最大值为6.
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