2014-2023年高考数学真题专题分类--7.1　不等式及其解法(含解析)

2014-2023年高考数学真题专题分类
专题七　不等式
7.1　不等式及其解法
考点一　不等式的概念和性质
1.(多选题)(2020新高考Ⅰ,11,5分)已知a>0,b>0,且a+b=1,则(　　)
A.a2+b2≥　　　 　B.2a-b>
C.log2a+log2b≥-2　　　　D.+≤
答案　ABD　∵a>0,b>0,a+b=1,∴0ab≤=.
对于A选项,a2+b2=a2+(1-a)2=2a2-2a+1=2+≥,当且仅当a=b=时,取等号,A正确;
对于B选项,a-b=a-(1-a)=2a-1,∵0成立,B正确;
对于C选项,∵00,b>0,
∴log2a+log2b=log2(ab)≤log2=-2,C不正确;
对于D选项,∵(+)2=a+b+2=1+2≤1+a+b=2,∴+≤成立,D正确.
2.(2015浙江文,6,5分)有三个房间需要粉刷,粉刷方案要求:每个房间只用一种颜色,且三个房间颜色各不相同.已知三个房间的粉刷面积(单位:m2)分别为x,y,z,且xA.ax+by+cz　　　　B.az+by+cx
C.ay+bz+cx　　　　D.ay+bx+cz
答案　B　用粉刷费用最低的涂料粉刷面积最大的房间,且用粉刷费用最高的涂料粉刷面积最小的房间,这样所需总费用最低,最低总费用为(az+by+cx)元,故选B.
3.(2022全国甲理,12,5分)已知a=,b=cos,c=4sin,则 (　　)
A.c>b>a　　　　B.b>a>c
C.a>b>c　　　　D.a>c>b
答案　A　解法一:当x∈时,sin xb.当x∈R时,|x|≥|sin x|,即x2≥sin2x,所以,所以=1-cos x,即cos x≥1-,当且仅当x=0时等号成立,所以cos,即b>a.综上可知,c>b>a,故选A.
解法二:当x∈时,sin x①比较a与b.
b=cos,故b-a==2>0,∴b>a.
②比较b与c.
当x∈时,由x∴cos,即b综上可知,c>b>a.故选A.
4.(2015北京文,10,5分)2-3,,log25三个数中最大的数是　　　　.
答案　log25
解析　∵2-3=<1,1<<2,log25>2,
∴这三个数中最大的数为log25.
考点二　不等式的解法
1.(2014大纲全国文,3,5分)不等式组的解集为(　　)
A.{x|-2C.{x|01}
答案　C　由x(x+2)>0得x>0或x<-2;
由|x|<1得-1所以不等式组的解集为{x|0故选C.
2.(2013重庆,7,5分)关于x的不等式x2-2ax-8a2<0(a>0)的解集为(x1,x2),且x2-x1=15,则a=(　　)
A.　　　　B.　　　　C.　　　　D.
答案　A　解法一:∵不等式x2-2ax-8a2<0的解集为(x1,x2),∴x1,x2是方程x2-2ax-8a2=0的两根.
由根与系数的关系知
∴x2-x1===15,
又∵a>0,∴a=,故选A.
解法二:由x2-2ax-8a2<0,
得(x+2a)(x-4a)<0,
∵a>0,
∴不等式x2-2ax-8a2<0的解集为(-2a,4a),
又∵不等式x2-2ax-8a2<0的解集为(x1,x2),
∴x1=-2a,x2=4a.
∵x2-x1=15,∴4a-(-2a)=15,
解得a=,故选A.
3.(2015江苏,7,5分)不等式<4的解集为　　　　.
答案　{x|-1解析　不等式<4可转化为<22,利用指数函数y=2x的性质可得,x2-x<2,解得-14.(2015广东,11,5分)不等式-x2-3x+4>0的解集为　　　　.(用区间表示)
答案　(-4,1)
解析　不等式-x2-3x+4>0等价于x2+3x-4<0,解得-45.(2014湖南文,13,5分)若关于x的不等式|ax-2|<3的解集为x-答案　-3
解析　依题意,知a≠0.|ax-2|<3 -30时,不等式的解集为,
从而有此方程组无解.
当a<0时,不等式的解集为,
从而有解得a=-3.
6.(2013广东理,9,5分)不等式x2+x-2<0的解集为　　　　.
答案　{x|-2解析　x2+x-2=(x+2)(x-1)<0,解得-2(
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