浅谈2007年《三角函数》、《平面向量》的高考复习策略

浅谈2007年《三角函数》、《平面向量》的高考复习策略
数学新课程赋予高考数学科新的内容、新的模式、新的要求和新的活力。它要求指导高考复习工作的高三数学教师既要调整对原高考模式下知识结构、重难点的认识和复习思路，改进以往所形成的复习经验，更要切准高考脉搏，具有新课程理念的问题一定会在今年的数学高考试题中出现，将新课程理念渗透到高考复习中去是我们高三数学教师必须重视的一项工作，只有这样才能适应新高考教学的需要。所以教师在复习过程中，要在谙熟新课程内容结构体系的基础上，吃透高考考试说明的要求，从第一轮的章节复习开始，就要保证复习的针对性，使学生能尽快地在数学知识、方法、思想、能力、素养等各项指标上达到要求。
三角函数与平面向量这两部分内容历来是高考的重点和热点内容，三角函数大部分试题属于中档题和容易题，都来源于课本中的例题、习题的变形，因此复习时应立足于课本、着眼于提高。虽然2007年的《考试大纲》降低“三角函数”的考查要求，但核心知识的考查要求并没有降低，他的基础性、工具性并没有因此而削弱。相反更加强调他们的工具性和基础性。纵观2007年的全国各地高考试题，对三角函数的考查比例基本保持稳定，试题注重了对三角函数的基础知识、基本技能和基本方法的考查，绝大部分试题中规中矩，但其中不乏颇有新意的试题。“平面向量”是高中数学的新增内容，其特殊的表达形式以及兼具“数”与“形”的二重性，使得高考试题的命题背景更加丰富，命题空间更加宽广，解决问题的方法异彩纷呈，考查平面向量和向量方法与其他内容的穿插、渗透和融合，成为高考数学试题中的一道靓丽的风景线，下面谈谈2007年高考中“三角函数与平面向量”的试题特点和对教学的几点启示。
一、考纲与考题
（一）解读考纲
2007年高考数学《考试大纲》与2006年高考数学《考试大纲》对比，总体保持了平衡，修改后更加适合中学数学教学实际和现代中学生的实际水平，概括讲起来，文、理科在三角函数、平面向量中有如下变化：
理解：“任意角的三角函数、单位圆中的三角函数线，同角三角函数的基本关系式，正弦、余弦的诱导公式”改为理解：“任意角的三角函数、单位圆中的三角函数线，同角三角函数的基本关系式，，，正弦、余弦的诱导公式”。
三角函数的考试要求中的“（1）理解任意角的概念、弧度的意义，能正确地进行弧度与角度的换算”。改为“（1）了解任意角的概念、弧度的意义，能正确地进行弧度与角度的换算”。
变化词：“掌握”降低为“了解”
三角函数的考试要求中的“（2）掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义”，改
为“理解任意角的正弦、余弦、正切的定义”。
变化词：“掌握”降低为“理解”。
从以上的变化中我们可以发现，考纲的变化实际上是将考试范围更加集中于三角函数的核心知识，对基础的要求更加深入。有利于考查学生的基本能力，促进思维的培养。
量化试题
2007年高考试题中“三角函数与平面向量”部分省份考察知识点及实体分布如下表所示：
1、部分重点省份高考试题分布
卷型
科别
三角函数
平面向量
题序
分值
考点
题序
分值
考点
全国1
文
2，10，17
20
求值，恒等式，最值，解三角形
3
5
坐标运算
理
1，12，17
20
3
5
全国2
文
1，3，18
22
求值，单调性，解三角形
6，9，12，21
12
运算，与函数、解析几何的综合
理
1，2，17
20
5，9，12，20
12
上海卷
文
4，17
18
恒等变形，周期性，解三角形
6
4
加法运算，数量积
理
6，17
16
14
4
北京卷
文
1，3，8，12，13
22
概念，性质，恒等变形，解三角形
11
5
加法，实数与向量的运算，坐标运算
理
1，8，11，13
17
4
5
浙江卷
文
2，12，18
23
图形与性质，恒等变形，解三角形
9
5
概念，运算
理
2，12，18
23
7
5
江苏卷
文
1，5，11，15，16
22
骤起，单调性，恒等变形，解三角形
19
3
与解析几何的综合
理
2、新课程改革试验区高考试卷
卷型
科别
三角函数
平面向量
题序
分值
考点
题序
分值
考点
广东卷
文
9，16
17
求值，恒等式，最值，解三角形
4，16
9
坐标运算
理
3，13，16
18
6
5
宁夏与海南卷
文
2，3，9，17
22
图像，性质，恒等变形，解三角形
4，21
8
坐标运算，解析几何的综合
理
1，3，9，17
20
2，19
8
山东卷
文
4，17
17
图像，性质，解三角形
5，9
7
概念，运算，与解析几何的综合
理
5，9，20
18
11
5
（三）考情分析
从2007年高考试题和考试说明的研读中我们能深刻地体会到2007年高考命题的三大特点：
1、考查“基础知识、基本技能和基本方法”是高考命题的一个基本原则，在2007年高考中“三角函数与平面向量”试题都是容易题和中档题，突出了对“基础知识、基本技能和基本方法”的考察，在常规中考察知识与能力，许多题目似曾相识，有些题是课本上例题、习题的变式、转化或引申。例如，全国卷1理1、3，文2，3，10，全国卷2理1、2、9、12，文1、3、6、9、12，北京卷理1、11，文1、3、12，上海理6，文4、6，天津卷问9、17，重庆卷理5、17，文6、13山东卷理5，文4，广东卷理3，宁夏与海南卷理2、3、17，文3、4、17，江苏卷1、5、11，浙江卷理2、12，文2、12，福建卷理5，文3、5，江西卷理3、15，文2、4，湖北卷理2，文1、16，湖南卷理12，文2、12，四川卷理16、17，文16、18，陕西卷理4、15，文4、16，安徽卷理6，文15等都是源于教材的基础题。学生在解答这部分试题时，基本上没有思维障碍，许多题目只需直接利用定义、公式进行判断或计算，体现了“考基础”的命题原则。
2、突出能力立意，即强调基础和能力并重，知识与能力并举，在知识的交汇点处命题，体现“重点知识重点考查”的原则，使试卷具有灵活的特点。三角恒等变形、求值、三角函数的图像和性质、解三角形是支撑三角函数知识体系的主干知识，2007年的高考也十分注重对这些重点内容的考查，在37份试卷中，除北京卷理、文、江苏卷3份试卷外的34份试卷中，均有一道三角函数的解答题，其中18份试卷考察的是解三角形的有关知识，有16道题考察的是三角函数的恒等变形与求值，12道题涉及三角函数的最值，考查周期性的有5道、单调性的有4道试题，从中可以看出三角函数部分的命题突出了这一原则。
3、倡导理性思维，即以能力立意命题，更好地考察数学思想，全面地考查考生的数学理性思维能力。数学思想和方法是数学知识是数学知识在更高层次上的抽象和概括，是中学数学解题的利剑。在2007年高考“三角函数与平面向量”试题中重点考察了函数与方程思想（如全国卷1理1，全国卷2理17，天津卷理10等）、数形结合的思想（如全国卷1文10、全国卷2理2、文3、12等）、化归与转化思想（如全国卷1理12，文10，全国卷2理1、12等），此外还考察了分类与整合思想（如北京卷理1、上海卷理14）与换元法（如全国卷1理12，辽宁卷理20等）。在复习教学的过程中，对于数学思想方法的复习从某种角度上考虑也就决定了我们复习的效果。
4、注重数学的应用，即通过创设应用背景，充分体现出基础知识、重点知识间的联系，让考生在实践体验的基础上通过构建相应的数学模型解答问题，最终考查考生的实践能力与创新能力。加强应用意识的培养与考察是时代的需要，是教育改革的需要，同时也是数学科的特点所决定的，如山东卷理20.如图，甲船以每小时海里的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行。当甲船位于处时，乙船位于甲船的北偏西方向的处，此时两船相距20海里，当甲船航行20分钟到达处时，乙船航行到甲船的北偏西方向的处，此时两船相距海里。问乙船每小时航行多少海里？，宁夏与海南卷理17（文17）如图，测量和对岸的塔高时，可以选与塔底在同一水平面内的两个测点与。现测得，，，并在点测得塔顶的仰角为，求塔高，从知识角度看，考察的是解三角形的有关知识，所不同的是通过创新的情境，拉近了数学与现实生活的距离，考察的是考试分析问题和解决问题的能力。又如江苏卷16某时钟的秒针端点到中心的距离为，秒针均匀地绕点旋转，当时间时，点与钟面上标12的点重合，将两点的距离表示成的函数，则____________，其中。让考生写出钟表秒针转动过程中，秒针端点的距离问题随时间的变化关系，设计巧妙，凸现数学的工具性。
亮点聚焦
在2007年高考试卷中，以常规的方式“考基础、考能力”的传统题构成试卷的主体，同时我们还看到了一些构思新颖巧妙、内容丰富充实、形式生动活泼的“考素质、考潜能”的令人耳目一新的试题。
1、平面向量已平面几何的“整合”
平面向量与平面几何间有着较为密切的依存关系，求平面图像中线段的长度可以通过求相应向量的模来实现，求角度则可以通过求相应向量的夹角来解决，而平行和垂直的证明则可以分别通过向量共线的条件和数量积为零来处理。因此，平面向量与平面几何整合，可以编制出许多新意迭出的试题，从而受到命题者的普遍青睐，成为高考试题的一大亮点，如江苏卷理15．在平面直角坐标系中，已知的顶点和，顶点在椭圆上，则_________________；此题寓向量的加减法运算、向量共线基本定理等知识与三角形这一基本的平面图形之中，对考生来说，情景似曾相识，但又不失新意。
平面向量与函数图像“牵手”
将向量的运算与函数的解析式联系在一起，将函数的图像与向量的坐标相对应，使平面向量与函数及其图像牵起手来，编制成有关平面向量与函数图像的综合题，考查学生灵活运用数学知识分析问题和解决问题的能力，这是高考对平面向量综合考察的有一个“亮点”，如湖南卷理4．设是非零向量，若函数的图像是一条直线，则必有（ ）
。
3、向量与立体几何的综合。在立体几何中引入空间向量以后，很多问题都可以用向量的方法解决。由于应用空间向量的方法，可以通过建立空间坐标系，将几何元素之间的关系数量化，进而通过计算求解，证明问题，空间向量更显示解题的优势。现行的高中数学教材第九章(立体几何)分(A)、(B)两种，其中(B)引入空间向量，我省选用的是(B)，所以立体几何的命题必然会考虑到教材的特点。预测今年的立体几何大题是：一题多问(证明位置关系、求角与距离或体积)、一题多解(可用空间向量做，也可不用空间向量做)，一般情况下，应优先考虑用空间向量的方法。利用空间向量解决立体几何问题，主要有两种策略，一是建立空间直角坐标系，通过向量的坐标运算解决问题；二是不建立坐标系，直接利用空间向量的基本定理，即将有关向量用空间的一组基底表示出来，然后通过向量的有关运算求解。在给出的空间图形适合建立坐标系的情况下，应建立坐标系求解。为此，要熟练掌握常见空间图形建立空间坐标系的方法，正确写出相关点和向量的坐标并进行运算，要熟练掌握用空间向量求三种角(异面直线所成的角、直线和平面所成的角、二面角)的两种距离(两条异面直线的距离、点到平面的距离)的计算公式。用空间向量做立体几何题一般不需要作辅助线和理论证明，但运算量大，必须细心再细心，一旦出错，扣分会比较多。立体几何中的探索性问题在近两年高考中常出现，这类问题特别适合建立空间直角坐标系，用空间向量的坐标运算进行求解。
当然，三角函数与平面向量的“交汇”、平面向量与解析几何的“综合”是命题的重点与热点，这已成为大家的共识，在此姑且归结为传统题，不再复述。
教材分析
（一）对三角函数部分考点的分析
1、在同角三角函数关系中重点是：
（1），，等三角式的值之间转化；
（2）平方关系逆用，；
（3）诱导公式逆用；
（4）能根据三角式的值确定角的范围；
（5）会利用切弦转化，化同名，消角求值等思路与解题技巧。
2、图像性质重点是
（1），，图像与性质；
（2）图像的画法；
（3）的性质；
（4）由图像求的解析式；
（5）与的图像变换。
3、在三角形等实际问题中的应用
（1）运用正弦定理、余弦定理进行边角互化；
（2）掌握特殊三角形——锐角、钝角、直角、等腰（边）三角形的性质；
（3）直角三角形中，内切、外接圆半径与边的关系；
（4）掌握三角形面积的多种计算方法；
建议：控制在课本知识的范围和难度上，适当强化与向量、数列、二次函数、立体几何、解析几何的综合，以及利用正、余弦定理解决与测量有关的实际问题，这样就能适应未来高考，总之应立足基础、强化应用。
（二）对平面向量部分考点的分析
1、平面向量概念，性质，运算法则以及基本运算技能；理解运用直观几何意义，并能正确进行简单的综合计算，同时突出对平面向量数量积的考察和运用。
考查向量的坐标表示，线性运算以及共线与垂直的充要条件。
3、将向量与数列、方程、函数、三角、不等式、平面几何、解析几何等内容有机的结合在一起，考察与其他学科知识体系间的综合运用能力，凸显平面向量的交汇性和工具性。
复习过程中的几点建议
（一）借三角函数的平台提高高考应试的各项本领
1、源于课本、高于课本，形成完备的三角函数知识体系。新课程中三角函数部分内容比传统教材少了不少，原有的一些公式在教材中未直接出现，而是以例、习题的形式让学生接触。我认为：在作为基础性、工具性的三角函数章节中，内容进行一定量的充实是十分必要的。如：同角三角函数关系式应由课本中的三个公式变为八个，每个公式不仅会顺用、逆用、更能灵活变化使用；不仅要掌握终边相同角集合的表示，还能表示终边相反、终边共线角集合；不仅能准确地表示轴线角、象限角，还能熟练地表示区域角；不仅能进行两角和与差三角函数各类公式的相互推导，还能让其中各公式熟记于心，随需随用；不仅能利用五点法作出函数图象、利用图象解决问题，还要能利用各三角函数在各象限的符号解决已知特殊角的三角函数值求角，能让三角函数线与图象具有同样的直观功能。而且能根据解题需要判断出最好是用原函数图象还是用其它相关的函数图象作图来解决问题。只有这样，才会形成一个错落有致，体系完备的三角函数知识网络。
2、重视运算与直观化、突出三角函数的工具性。高考所要求的各种能力的基础是运算能力。三角函数中庞大的公式群显示了它在中学数学运算中特殊的地位。复习过程中，在让学生认识每个公式的推导、作用、地位之后，教师首先应要求学生保证对每个公式使用的准确化与熟练化，逐步发展到既能熟练综合运用、又能进行合理的选择以及在演算过程进行优化。不仅使三角函数成为高考数学的有力工具，更借三角函数这个平台有力地提高高考所必备的运算能力。
直观手段的多样化是三角函数章节中的一大亮点：各种角集合的直观表示、三角函数符号图、三角函数线以及各种三角函数图象（含原函数、外层函数、相关函数）。这些直观工具的准确使用，不仅使学生具有一定的形转数，数形有效结合的思想意识，而且在这些直观手段的选择使用过程中有效地培养了学生们既能借直观助抽象。又能根据解题目标的需要对各种手段具有评判、决择的能力。这对培养学生思维的目的性、方向性、有效性，深刻性等优良思维品质是一个很好的训练基地。
3、发挥结点功能，强调学科综合。三角函数基础性、工具性的地位。使得它与每个章节的数学知识有机地联系，尤其是能与函数不等式、圆锥曲线、立几、复数等重点章节联系。教师要充分地发挥好三角函数的网络节点的功能，有效地达到学科间的综合。要有目的地自己或让学生选择一些精典的与三角函数有关的综合题，引导学生有序地分解知识点，理清之间的规律，通过对解题目标的分析，揣摩命题的意图，最终达到对问题的完整解答。事实上，在一道很好的科间综合题的解答过程中应用三角函数知识与纯通过三角函数的训练相比，二者效果绝对不在一个层面上。现举一例：以点A为圆心。以 θ（θ∈（0、 ））为半径的圆内有一点B。已知 ，设过点B且与圆A内切于点T的圆的圆心为M①当取某个值时，点M的轨迹P是什么曲线？②当M为轨道上的动点，点N是圆A上的动点，把 的最大值记为f(θ)，试求f(θ)的取值范围。本题是三角函数与圆锥曲线的综合题，它不仅要求能从圆锥曲线的定义而不是从方程的角度判断出曲线的形状，对圆锥曲线知识有一定深刻性的要求，而且综合了三角函数诸很多方面的知识，尤其可贵的是在对 （ ） 产生值域两个端点的函数值的计算时，采用 ，由 整体得出最大值，采用 代入 得到下界值，从而有效地避开了反三角函数表示的角的三角函数值的计算。若能对习题进行到位的探索与解答，既达到对圆锥曲线、三角函数各自内部综合及其相互间综合水平提高，又能对清晰驾驭题意、优化解法、优化运算过程的优良思维品质进行了有效的培养。
这里要强调的是：教师在复习三角函数综合题时，对习题的精选与精讲是最关键的。在讲解的过程中，教师不能包讲包做。应引导学生善于审清题意，驾驭题目结构、理清关系，能够有效地分解与整合，学会揣摩出题意图和完整规范的书写，从而形成良好的审题、解题习惯。
（二）用向量的独特资源激活数学思维
向量概念的两大要素“方向与长度”使向量既具有“形”又具有“数”的特征，既联系几何又联系代数知识，是高中数学重要的知识网络交汇点，是数形结合思想的重要载体。这几年新课程卷考查平面向量的考题分为基础题和能力题两种。基础题多为平面向量的有关概念的判断题和简单计算题。能力题多为与平面向量有关的运算型综合题、代数推理题或解析几何综合题。我认为在平面向量的复习中应做好如下两个方面的工作：
1、扎实有效地掌握平面向量，接受高考对新教材的考查。平面向量有三种表示法：（一）有向线段法，此法直接凸现向量“形”的特征、使向量能充分运用数学对象的几何意义解题。（二）单、双字母表示法，此法兼备“数”与“形”的两种形态，具有强大的表达功能。（三）坐标表示法，此法使向量直接可采用向量的坐标运算，即可用代数的方法研究向量。教师在复习中，应以平面向量的三种表示方法为基础，按照方向和大小两要素，以数形结合思想为指导，掌握平面向量在每一种形式下相关运算的法则与常用技巧。在复习向量的加法、减法、数乘向量、向量的数量积这四种运算过程中，要让学生特别关注向量运算与数运算的不同之处。如向量的数量积运算不具有结合律。因而，不可随意地将实数的运算律迁移到向量的运算中。使学生对向量有关概念、法则能理解到位。对四种运算达到准确熟练化的要求。其次，教师要有效地利用平面向量网络结点的地位。把向量的复习穿插在各章节中，通过有心的选题、改题、编制新命题，让学生充分感受到向量在各章节中的应用，逐步能利用向量的思想方法解决数学问题。如：通过选择适当的基底向量表示其它向量来证明几何问题；利用向量的长度与方向的二要素简捷地证明三角函数问题；利用向量的坐标法解答解几问题；利用向量的表达功能表述图形的平移问题；利用平面向量集与复数集之间的对应关系解决复数问题，利用向量模型解决涉及方向与数量的实际问题。若能在其它章节的复习中让学生们穿插运用向量知识、向量的思想方法从不同的切入点解决各类问题、学生们的抽象思维能得到最充分的培养，各种数学能力会得到一定的提高。
2、加强平面向量与解析几何的交汇与融合。由于向量具有代数与几何的双重身份，使它成为中学数学知识的一个交汇点，成为联系多项知识的媒介。平面向量与解析几何的交互渗透是新课程高考命题的一大趋势，也是近几年新课程高考的热点内容。如
题1（新课程卷）平面直角坐标系中，已知A（3、1）、B（－1、3）若点C满足OC=αOA+βOB，其中α、β∈R，且α+β=1，则点C的轨迹方程是（ ）
(A)3x+2y－11=0 (B)（x－1）2+（y－2）2=5 (C)2x－y=0 (D)x＋2y－5=0
题2（新课程卷）已知两点M（－1、0）、N（1、0），且点P使MP·MN，PM·PN，NM、NP成公差小于O的等差数列
点P的轨迹是什么曲线？
②若点P坐标为（x0、y0）记θ为PM与PN的夹角，求tanθ。
题3（新课程卷）已知常数a＞0，c=(0、a),i=(1、0)经过原点O以C+λi为方向向量的直线与经过定点A（0、a）以i－2λc为方向向量的直线相交于点P，其中λ∈R试问：是否存在两个定点E、F，使得 为定值，若存在，求出E、F的坐标，若不存在，说明理由。
上述三道解几题都涉及用向量的符号表示出一定的数学关系，体现了向量的表达功能。在考查综合水平的同时，对向量的概念、运算以及向量与其它数学知识间的转化均有一定的要求，而且这种要求有越来越加深的趋势。向量的出现，丰富了数学问题的背景，为中学研究性学习带来了活力。因而教师在复习解析几何尤其是圆锥曲线部分知识时，要尽可能获取一些品位高、内容新、切准高考脉搏、以向量为背景或用向量思想方法解答的解几题给学生以探索和解答。教师可通过如下几种渠道获取习题：（一）在资料、信息卷、杂志上摘取。（二）改造传统题的背景，把原解几题的背景用向量符号、向量关系表达。（三）编制习题，即对当前有关社会热点问题进行接收、分检、加工处理。编制出既有时代气息又融合解几与向量的好题目。（四）指导学生改制命题。教学中有意识地引导学生把一道道解几题改造成尽可能地用向量的符号、关系号表达。这种训练若能有效地进行。会使学生们对向量的理解、掌握达到一个新的台阶。
众所周知、章节复习是高三复习工作的主体工程，在这一阶段，教师要在把握教材、考纲、高考相应要求的基础上突出重点、化解难点、抓住热点、克服盲点。不仅帮助学生娴熟掌握各章基础知识、基本技能、整体把握各章内在的知识结构体系、能准确灵活地进行各部分知识的纵、横向联系，而且能切准高考命题的脉搏。用与高考命题思想同步的教育理念、教学方式，通过对品位高、内容新，针对性强的习题的强化训练。让学生澄清概念，掌握规律，清晰思路、加快速度，提高心理素质；能够独立发现问题，自行解决问题，自己得出结论；能独立获取信息、加工处理信息，从学会到学习，具有可持续学习的动机与潜能。所以说，章节复习效果如何是高考成败的关键。如何最有效地搞好高考章节复习，已成为高三一线教师殚精竭虑、苦苦思索、求之不尽的永恒的艺术。
几点启示
1、三角函数的教学要抓实“双基”从近几年的高考试题看，三角函数问题大都以低中档题的形式出现，起到了稳地军心、增强学生信心的作用。三角函数是数学研究所必备的基础知识、基本工具，它的重点地位是无可动摇的。在新高考“重点内容重点考察”的前提下，它的地位显得更加突出，平面向量是新课程中增加的新内容，它的“方向加长度”的二重性、使得向量符号具有极强大的表达功能，因而以向量为背景为载体，横向考查各章节重点数学知识的试题，充分地体现出“在知识的交汇处命题”的趋向。可以肯定，在2008年高考试题中与平面向量有关的分值比例，将远远超过它的课时所占的比例。因此，三角函数的教学应突出基础知识和基本方法，抓纲务本，加强规范化训练，不要让学生多记人为增加的一些公式，如半角公式、、和差化积公式、积化和差公式、万能公式等，防止增加学生的记忆负担和繁琐的变形技巧与过大的运算量，淡化技巧，注重实效。
平面向量的教学要重视“思辨”和“积累”
平面向量的概念性强，其运算系统有不同于实数的运算，所以要准确把握平面向量的概念、性质和运算，发挥图像的直观作用，注意思辨。例如，在求数量积时不能用结合律，不能把数量积的等式两边的相同因式约去等，这都是在解题是容易因思维定势而常常出错的问题。加强知识及规律的积累，是学好、用好平面向量的又一法宝。例如，三角形“四心”性质的向量表示、中线向量、向量共线与垂直的充要条件、特殊四边形的判定方法等。
三角与向量的教学要突出综合应用
三角函数与平面向量作为重要的工具，是联系函数、数列、解析几何等知识的桥梁，高考对其考察的一个显著特点便是其综合性。许多条件的提供以及问题的提出都是以向量形式出现的，许多问题的解决也是借助于三角与向量来实施的。恰当地运用好三角与向量这一工具，可以起到“降低思维难度，优化解题过程”的作用。因此，加强三角和向量与其它只是综合应用的教学和训练，显得尤为重要。