2014-2023年高考数学真题专题分类--9.3　双曲线及其性质(含解析)

2014-2023年高考数学真题专题分类
9.3　双曲线
考点一　双曲线的定义及标准方程
1.(2017天津,5,5分)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的右焦点为F,点A在双曲线的渐近线上,△OAF是边长为2的等边三角形(O为原点),则双曲线的方程为(　　)
A.-=1　　　　B.-=1　　　　
C.-y2=1　　　　D.x2-=1
答案　D　不妨设点A在第一象限,由题意可知c=2,点A的坐标为(1,),所以=,又c2=a2+b2,所以a2=1,b2=3,故所求双曲线的方程为x2-=1,故选D.
方法总结　求双曲线方程的常用方法:(1)待定系数法:设出所求双曲线的方程,根据题意构造关于a,b的方程组,从而求得a,b,写出双曲线的方程;(2)定义法:根据题意建立动点所满足的关系式,结合双曲线的定义求出动点所满足的轨迹方程.
2.(2016天津理,6,5分)已知双曲线-=1(b>0),以原点为圆心,双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A,B,C,D四点,四边形ABCD的面积为2b,则双曲线的方程为(　　)
A.-=1　　　　B.-=1
C.-=1　　　　D.-=1
答案　D　不妨设A(x0,y0)在第一象限,由题意得
由①③得=,④
所以=×=,⑤
由②④⑤可得b2=12.
所以双曲线的方程为-=1.故选D.
思路分析　抓住矩形的一个顶点的坐标,利用该顶点既在圆上又在渐近线上,再结合矩形的面积建立方程组求解.
评析　本题考查了圆和双曲线的方程与性质,考查了运算求解能力和方程的思想方法.
3.(2015安徽理,4,5分)下列双曲线中,焦点在y轴上且渐近线方程为y=±2x的是(　　)
A.x2-=1　　　　B.-y2=1　　　　C.-x2=1　　　　D.y2-=1
答案　C　由于焦点在y轴上,故排除A、B.由于渐近线方程为y=±2x,故排除D.故选C.
4.(2014天津理,5,5分)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的一条渐近线平行于直线l:y=2x+10,双曲线的一个焦点在直线l上,则双曲线的方程为(　　)
A.-=1　　　　B.-=1　　　　C.-=1　　　　D.-=1
答案　A　由题意得=2且c=5.故由c2=a2+b2,得25=a2+4a2,则a2=5,b2=20,从而双曲线方程为-=1.
5.(2014江西文,9,5分)过双曲线C:-=1的右顶点作x轴的垂线,与C的一条渐近线相交于点A.若以C的右焦点为圆心、半径为4的圆经过A,O两点(O为坐标原点),则双曲线C的方程为(　　)
A.-=1　　　　B.-=1　　　　C.-=1　　　　D.-=1
答案　A　由双曲线方程知右顶点为(a,0),不妨设其中一条渐近线方程为y=x,因此可设点A的坐标为(a,b).设右焦点为F(c,0),由已知可知c=4,且|AF|=4,即(c-a)2+b2=16,所以有(c-a)2+b2=c2,得a2-2ac+b2=0,又知c2=a2+b2,所以得a2-2ac+c2-a2=0,即a==2,所以b2=c2-a2=42-22=12.故双曲线的方程为-=1,故选A.
评析　本题考查双曲线的标准方程的求法、双曲线的几何性质以及圆的定义,考查学生的运算求解能力和逻辑推理能力.
6.(2016课标Ⅰ,5,5分)已知方程-=1表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离为4,则n的取值范围是(　　)
A.(-1,3)　　　　B.(-1,)　　　　
C.(0,3)　　　 　D.(0,)
答案　A　∵原方程表示双曲线,且焦距为4,
∴①
或②
由①得m2=1,n∈(-1,3).②无解.故选A.
方法优化　由题意可知(m2+n)(3m2-n)>0,所以-m20,且3m2-n>0,所以m2+n+3m2-n=22,解得m2=1,所以n∈(-1,3).
7.(2021北京,5,4分)若双曲线=1的离心率为2,且过点(),则双曲线的方程为(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　
A.2x2-y2=1　　　　B.x2-=1
C.5x2-3y2=1　　　　D.=1
答案　B　设双曲线的半焦距为c,由题意可知则双曲线的方程为x2-=1.
8.(2023天津,9,5分,中)已知双曲线=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1、F2.过F2作其中一条渐近线的垂线,垂足为P.已知|PF2|=2,直线PF1的斜率为,则双曲线的方程为　 (　　)
A.=1
C.=1
答案　D　由题意知|PF2|=b(双曲线的焦点到渐近线的距离等于虚半轴长)又|PF2|=2,∴b=2.
在Rt△POF2中,|PF2|=b,|PO|=a,|OF2|=c,
∴|yP|c,即|yP|=,
又∵>0,∴点P在第一象限,点P所在渐近线方程为y=x,∴P,∵,即4ab=(a2+c2),∴8a=(2a2+4),即a2-2a+2=0,
∴a=,∴双曲线的方程为=1,故选D.
9.(2023全国甲文,9,5分,中)已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的离心率为,C的一条渐近线与圆(x-2)2+(y-3)2=1交于A,B两点,则|AB|= (　　)
A.　　B.　　C.　　D.
答案　D　由双曲线方程可知e==,∴=2,
由图形知与圆相交的渐近线方程为y=2x,即2x-y=0,
又圆(x-2)2+(y-3)2=1的圆心为(2,3),半径r=1,∴圆心到直线2x-y=0的距离d==,
∴|AB|=2=,故选D.
10.(2015课标Ⅰ文,16,5分)已知F是双曲线C:x2-=1的右焦点,P是C的左支上一点,A(0,6).当△APF周长最小时,该三角形的面积为　　　　.
答案　12
解析　由已知得双曲线的右焦点F(3,0).设双曲线的左焦点为F',则F'(-3,0).由双曲线的定义及已知得|PF|=2a+|PF'|=2+|PF'|.△APF的周长最小,即|PA|+|PF|最小.|PA|+|PF|=|PA|+2+|PF'|≥|AF'|+2=17,即当A、P、F'三点共线时,△APF的周长最小.
设P点坐标为(x0,y0),y0>0,由得+6y0-96=0,所以y0=2或y0=-8(舍去).
所以当△APF的周长最小时,该三角形的面积S=×6×6-×6×2=12.
11.(2015课标Ⅱ文,15,5分)已知双曲线过点(4,),且渐近线方程为y=±x,则该双曲线的标准方程为　　　　.
答案　-y2=1
解析　根据渐近线方程为x±2y=0,可设双曲线方程为x2-4y2=λ(λ≠0).因为双曲线过点(4,),所以42-4×()2=λ,即λ=4.故双曲线的标准方程为-y2=1.
12.(2021新高考Ⅰ,21,12分)在平面直角坐标系xOy中,已知点F1(-,0),F2(,0),点M满足|MF1|-|MF2|=2.记M的轨迹为C.
(1)求C的方程;
(2)设点T在直线x=上,过T的两条直线分别交C于A,B两点和P,Q两点,且|TA|·|TB|=|TP|·|TQ|,求直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和.
解题指导:(1)先判断出M的轨迹C为双曲线的右支,并设出双曲线的标准方程,然后结合双曲线的定义,利用待定系数法确定其标准方程;(2)设出T点坐标和直线AB的方程,然后联立方程并利用根与系数的关系表示|TA|·|TB|,同理得到|TP|·|TQ|,结合|TA|·|TB|=|TP|·|TQ|得到结果.
解析　(1)由题意知|F1F2|=2,因为|MF1|-|MF2|=2<|F1F2|=2,所以结合双曲线定义知,点M的轨迹C是以F1、F2为焦点的双曲线的右支.
设其方程为=1(a>0,b>0,x≥a),则2a=2,2c=2,
解得a=1,c=,则b2=c2-a2=()2-12=16,
所以M的轨迹C的方程为x2-=1(x≥1).
(2)如图,设T,直线AB的方程为y-m=k1,由得(16-)x2+(-2k1m)x-+k1m-m2-16=0,
设A(x1,y1),B(x2,y2),
则x1+x2=,x1x2=,
则|TA|=,|TB|=,
所以|TA|·|TB|=(1+.
设直线PQ的方程为y-m=k2,
同理得|TP|·|TQ|=,
因为|TA|·|TB|=|TP|·|TQ|,
所以,
所以,即,由题意知k1≠k2,所以k1+k2=0,
即直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和为0.
一题多解　(2)设T,直线AB的倾斜角为θ1,直线PQ的倾斜角为θ2,由题不妨设,t1>0,t2>0,
则||=t1,||=t2.
设A(x,y),因为,所以=t1(cos θ1,sin θ1),所以x=+t1cos θ1,y=m+t1sin θ1,
又因为点A在双曲线上,
所以16-(m+t1sin θ1)2=16,即(16cos2θ1-sin2θ1)+(16cos θ1-2msin θ1)t1-(m2+12)=0.
同理可得(16cos2θ1-sin2θ1)+(16cos θ1-2msin θ1)t2-(m2+12)=0.
所以t1,t2即为方程(16cos2θ1-sin2θ1)t2+(16cos θ1-2msin θ1)t-(m2+12)=0的两个根,
则|TA|·|TB|=t1t2=,
同理|TP|·|TQ|=,
结合|TA|·|TB|=|TP|·|TQ|,得cos2θ1=cos2θ2,
又因为AB与PQ是不同直线,
所以cos θ1=-cos θ2,于是θ1+θ2=π,则kAB+kPQ=0,
即直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和为0.
易错警示　解答本题第一问时,容易出现所求C的方程为x2-
=1的错误结果,从而致使第二问直接做错.
考点二　双曲线的几何性质
1.(2020课标Ⅰ文,11,5分)设F1,F2是双曲线C:x2-=1的两个焦点,O为坐标原点,点P在C上且|OP|=2,则△PF1F2的面积为(　　)
A.　　　　B.3　　　　C.　　　　D.2
答案　B　由题易知a=1,b=,∴c=2,又∵|OP|=2,∴△PF1F2为直角三角形,易知||PF1|-|PF2||=2,∴|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|=4,又|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=4c2=16,
∴|PF1|·|PF2|==6,∴=|PF1|·|PF2|=3,故选B.
2.(2019课标Ⅰ文,10,5分)双曲线C:-=1(a>0,b>0)的一条渐近线的倾斜角为130°,则C的离心率为(　　)
A.2sin40°　　　　B.2cos40°　　　　C.　　　　D.
答案　D　本题主要考查双曲线的性质,同角三角函数的基本关系式及诱导公式;考查考生的运算求解能力和逻辑思维能力;考查的核心素养是数学运算.
由双曲线C:-=1(a>0,b>0)可知渐近线方程为y=±x,
由题意知-=tan130°,
又tan130°=-tan50°,
∴=tan50°,
∴双曲线的离心率e======,故选D.
方法总结　求双曲线-=1(a>0,b>0)的离心率的常见方法:
(1)定义法:e==;(2)公式法:e==(θ为渐近线的倾斜角);(3)方程思想:利用题中条件得出关于a,b,c的方程,利用b2=c2-a2转化为关于a,c的方程,最后利用e=转化为关于e的方程,从而得出离心率e.
3.(2019北京文,5,5分)已知双曲线-y2=1(a>0)的离心率是,则a=(　　)
A.　　　　B.4　　　　C.2　　　　D.
答案　D　本题主要考查双曲线的几何性质,考查学生运算求解的能力以及方程的思想,考查的核心素养为数学运算.
由题意得e==,又a2+b2=c2,∴==e2-1=4,
∵b2=1,∴a2=.∵a>0,∴a=.
易错警示　把双曲线的离心率错认为e=而出错.
4.(2018浙江,2,4分)双曲线-y2=1的焦点坐标是(　　)
A.(-,0),(,0)　　　　B.(-2,0),(2,0)
C.(0,-),(0,)　　　　D.(0,-2),(0,2)
答案　B　本小题考查双曲线的标准方程和几何性质.
∵a2=3,b2=1,∴c==2.又∵焦点在x轴上,∴双曲线的焦点坐标为(-2,0),(2,0).
易错警示　求双曲线焦点坐标的易错点
(1)焦点在x轴上还是y轴上,容易判断错误;
(2)双曲线与椭圆的标准方程中a,b,c的关系式容易混淆.
5.(2017课标Ⅰ文,5,5分)已知F是双曲线C:x2-=1的右焦点,P是C上一点,且PF与x轴垂直,点A的坐标是(1,3),则△APF的面积为(　　)
A.　　　　B.　　　　C.　　　　D.
答案　D　本题考查双曲线的几何性质.
易知F(2,0),不妨取P点在x轴上方,如图.
∵PF⊥x轴,
∴P(2,3),|PF|=3,又A(1,3),
∴|AP|=1,AP⊥PF,
∴S△APF=×3×1=.故选D.
6.(2015课标Ⅰ理,5,5分)已知M(x0,y0)是双曲线C:-y2=1上的一点,F1,F2是C的两个焦点.若·<0,则y0的取值范围是(　　)
A.　　　 　B.
C.　　　　D.
答案　A　若·=0,则点M在以原点为圆心,半焦距c=为半径的圆上,则解得=.可知:·<0 点M在圆x2+y2=3的内部 < y0∈.故选A.
7.(2015课标Ⅱ理,11,5分)已知A,B为双曲线E的左,右顶点,点M在E上,△ABM为等腰三角形,且顶角为120°,则E的离心率为(　　)
A.　　　　B.2　　　　C.　　　　D.
答案　D　设双曲线E的标准方程为-=1(a>0,b>0),则A(-a,0),B(a,0),不妨设点M在第一象限内,则易得M(2a,a),又M点在双曲线E上,于是-=1,解得b2=a2,∴e==.
8.(2015湖南文,6,5分)若双曲线-=1的一条渐近线经过点(3,-4),则此双曲线的离心率为(　　)
A.　　　　B.　　　　C.　　　　D.
答案　D　双曲线-=1的两条渐近线方程为y=±x,则点(3,-4)在直线y=-x上,即-4=-,所以4a=3b,即=,所以e==.故选D.
9.(2015重庆文,9,5分)设双曲线-=1(a>0,b>0)的右焦点是F,左、右顶点分别是A1,A2,过F作A1A2的垂线与双曲线交于B,C两点.若A1B⊥A2C,则该双曲线的渐近线的斜率为(　　)
A.±　　　　B.±　　　　C.±1　　　　D.±
答案　C　不妨令B在x轴上方,因为BC过右焦点F(c,0),且垂直于x轴,所以可求得B,C两点的坐标分别为,,又A1,A2的坐标分别为(-a,0),(a,0),
所以=,=,
因为A1B⊥A2C,所以·=0,
即(c+a)(c-a)-·=0,
即c2-a2-=0,所以b2-=0,
故=1,即=1,又双曲线的渐近线的斜率为±,故该双曲线的渐近线的斜率为±1.故选C.
10.(2014课标Ⅰ理,4,5分)已知F为双曲线C:x2-my2=3m(m>0)的一个焦点,则点F到C的一条渐近线的距离为(　　)
A.　　　　B.3　　　　C.m　　　　D.3m
答案　A　由题意知,双曲线的标准方程为-=1,其中a2=3m,b2=3,故c==,不妨设F为双曲线的右焦点,故F(,0).其中一条渐近线的方程为y=x,即x-y=0,由点到直线的距离公式可得d==,故选A.
评析　本题考查双曲线的方程、性质以及点到直线的距离公式等基础知识,考查考生对知识的灵活运用能力和运算求解能力.
11.(2014课标Ⅰ文,4,5分)已知双曲线-=1(a>0)的离心率为2,则a=(　　)
A.2　　　　B.　　　　C.　　　　D.1
答案　D　由双曲线方程知b2=3,从而c2=a2+3,又e=2,因此==4,又a>0,所以a=1,故选D.
12.(2013课标Ⅰ理,4,5分)已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的离心率为,则C的渐近线方程为(　　)
A.y=±x　　　　B.y=±x　　　　C.y=±x　　　　D.y=±x
答案　C　∵===,∴C的渐近线方程为y=±x.故选C.
13.(2011课标全国理,7,5分)设直线l过双曲线C的一个焦点,且与C的一条对称轴垂直,l与C交于A,B两点,|AB|为C的实轴长的2倍,则C的离心率为(　　)
A.　　　　B.　　　　C.2　　　　D.3
答案　B　不妨设双曲线C为-=1(a>0,b>0),并设l过F2(c,0)且垂直于x轴,则易求得|AB|=,
∴=2×2a,b2=2a2,
∴离心率e===,故选B.
14.(2016课标Ⅱ,11,5分)已知F1,F2是双曲线E:-=1的左,右焦点,点M在E上,MF1与x轴垂直,sin∠MF2F1=,则E的离心率为(　　)
A.　　　　B.　　　　C.　　　　D.2
答案　A　本题考查双曲线的几何性质;考查了学生的运算求解能力;考查了数学运算的核心素养.
解法一:由MF1⊥x轴,可得M,∴|MF1|=.
由sin∠MF2F1=,可得cos∠MF2F1==,
又tan∠MF2F1==,∴=,∴b2=ac,
∵c2=a2+b2 b2=c2-a2,∴c2-a2-ac=0 e2-e-1=0,又∵e>1,∴e=.故选A.
解法二:由MF1⊥x轴,得M,∴|MF1|=,由双曲线的定义可得|MF2|=2a+|MF1|=2a+,又sin∠MF2F1=== a2=b2 a=b,∴e==.故选A.
15.(2021全国甲文,5,5分)点(3,0)到双曲线=1的一条渐近线的距离为 (　　)
A.
答案　A　解题指导:先写出渐近线方程并化为直线的一般式方程,再应用点到直线的距离公式求解计算.
解析　双曲线=1的渐近线方程为y=±x,根据对称性,不妨取y=x,即3x-4y=0,点(3,0)到直线3x-4y=0的距离d=,故选A.
易错警示　在写渐近线方程时首先要根据双曲线的标准方程判断双曲线焦点位置:双曲线=1(a>0,b>0)的焦点在x轴上,渐近线方程为y=±x;双曲线=1(a>0,b>0)的焦点在y轴上,渐近线方程为y=±x.
16.(2021全国甲理,5,5分)已知F1,F2是双曲线C的两个焦点,P为C上一点,且∠F1PF2=60°,|PF1|=3|PF2|,则C的离心率为 (　　)
A.
答案　A　解题指导:由已知条件结合双曲线的定义得到|PF1|,|PF2|,然后利用余弦定理得到a与c的关系式,进而求出离心率.
解析　设双曲线C的标准方程为=1(a>0,b>0),由题意知|PF1|-|PF2|=2a,|PF1|=3|PF2|,两式联立解得|PF1|=3a,|PF2|=a,又|F1F2|=2c,所以在△PF1F2中,由余弦定理得|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cos∠F1PF2,即4c2=9a2+a2-2×3a·a·cos 60°,可得,所以双曲线C的离心率e=.故选A.
方法总结　求圆锥曲线的离心率,一般是利用条件得到a,c或a,b的关系式,然后利用离心率的定义得出结论.
17.(多选)(2020新高考Ⅰ,9,5分)已知曲线C:mx2+ny2=1. (　　)
A.若m>n>0,则C是椭圆,其焦点在y轴上
B.若m=n>0,则C是圆,其半径为
C.若mn<0,则C是双曲线,其渐近线方程为y=±x
D.若m=0,n>0,则C是两条直线
答案　ACD　A选项中,若m>n>0,则方程mx2+ny2=1可变形为=1,因为m>n>0,所以0<,所以此曲线表示椭圆,且焦点在y轴上,所以A正确.
B选项中,若m=n>0,则方程mx2+ny2=1可变形为x2+y2=,所以此曲线表示圆,半径为,所以B不正确.
C选项中,若mn<0,则此曲线应为双曲线,mx2+ny2=0可化为y2=-,即y=±x,即双曲线的渐近线方程为y=±x,所以C正确.
D选项中,若m=0,n>0,则方程mx2+ny2=1可化为y2=(x∈R),即y=±,表示两条直线,所以D正确.
故选ACD.
18.(2023全国乙理,11,5分,中)设A,B为双曲线x2-=1上两点,下列四个点中,可以为线段AB中点的是 (　　)
A.(1,1)　　　　B.(-1,2)
C.(1,3)　　　　D.(-1,-4)
答案　D　由双曲线方程x2-=1知a=1,b=3,则其渐近线方程为y=±3x.
观察选项知,四个点均在双曲线外,所以点A,B分别在双曲线的两支上,所以-3设A(x1,y1),B(x2,y2),
则作差得()-=0,
则kAB=.
对于A,则kAB=9,
∵kAB=9>3,∴A不满足题意.
对于B,则kAB=-,
∵kAB=-<-3,∴B不满足题意.
对于C,则kAB=3,∴C不满足题意.
对于D,则kAB=,
则直线AB的方程为y+4=(x+1),
即y=.
由消去y,得63x2+126x-193=0,
∵Δ=1262-4×63×(-193)>0,且x1x2<0,
∴直线AB与双曲线的两支分别相交,∴D满足题意.故选D.
19.(2023新课标Ⅰ,16,5分,中)已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,点A在C上,点B在y轴上,⊥=-,则C的离心率为　　　　.
答案　
解析　如图,由题可知|F1B|=|F2B|.设|F1B|=|F2B|=m(m>0),
∵=-,∴A,F2,B三点共线,|F2A|=,
∴|AB|=|F2A|+|F2B|=,
∴|F1A|===,
又2a=|F1A|-|F2A|=,∴m=3a.∴|F1A|=4a,|F2A|=2a,|AB|=5a,又|F1F2|=2c,cos∠F1AB==,
∴==,
整理得-=,即e2=.∵e>1,∴e=.
20.(2022北京,12,5分)已知双曲线y2+=1的渐近线方程为y=±x,则m=　　　　.
答案　 -3
解析　由题意知双曲线的焦点在y轴上,且m<0,所以渐近线方程为y=±x,所以-,所以m=-3.
21.(2022浙江,16,4分)已知双曲线=1(a>0,b>0)的左焦点为F,过F且斜率为的直线交双曲线于点A(x1,y1),交双曲线的渐近线于点B(x2,y2)且x1<0答案　
解析　如图所示,
由题意得双曲线左焦点为F(-c,0),点B所在的渐近线方程为y=x,过F且斜率为的直线方程为y=(x+c),联立得B,
由|FB|=3|FA|,可得A,又A在双曲线上,所以=1,化简得,则e=.
22.(2021全国乙文,14,5分)双曲线=1的右焦点到直线x+2y-8=0的距离为　　　　.
答案　
解题指导:由双曲线的标准方程得到右焦点的坐标,再由点到直线的距离公式得出答案.
解析　由=1得右焦点的坐标为(3,0),则由点到直线的距离公式得所求距离d=.
易错警示　不能正确地写出右焦点坐标以及记错点到直线的距离公式导致出错.
23.(2021全国乙理,13,5分)已知双曲线C:-y2=1(m>0)的一条渐近线为x+my=0,则C的焦距为　　　　.
答案　4
解题指导:根据题设,由双曲线方程写出其渐近线方程,再结合题设列出关于m的方程,求解出m,再求出焦距.
解析　由双曲线C:-y2=1(m>0),
得渐近线方程为y=±x,
结合题设得-,∴m=3,∴双曲线C的方程为-y2=1,
∴C的焦距为2=4.
24.(2022全国甲文,15,5分)记双曲线C:=1(a>0,b>0)的离心率为e,写出满足条件“直线y=2x与C无公共点”的e的一个值　　　　.
答案　 2(答案不唯一,在(1,]范围内取值均可)
解析　欲使直线y=2x与双曲线C无公共点,则0<≤2,所以e=∈(1,].
所以当e∈(1,]时,直线y=2x与双曲线C无公共点.答案不唯一,可取e=2.
25.(2020课标Ⅲ文,14,5分)设双曲线C:-=1(a>0,b>0)的一条渐近线为y=x,则C的离心率为　　　　.
答案　
解析　∵双曲线C:-=1(a>0,b>0)的一条渐近线为y=x,
∴=,∴双曲线C的离心率为==.
26.(2018上海,2,4分)双曲线-y2=1的渐近线方程为　　　　.
答案　y=±x
解析　本题主要考查双曲线的渐近线方程.
解法一:由双曲线-y2=1知a2=4,b2=1,
∴a=2,b=1,∴该双曲线的渐近线方程为y=±x.
解法二:令双曲线-y2=1中的“1”为“0”,即可得到双曲线的渐近线方程,即-y2=0,∴该双曲线的渐近线方程为y=±x.
27.(2018江苏,8,5分)在平面直角坐标系xOy中,若双曲线-=1(a>0,b>0)的右焦点F(c,0)到一条渐近线的距离为c,则其离心率的值是　　　　.
答案　2
解析　本题考查双曲线的性质.
双曲线的一条渐近线方程为bx-ay=0,则F(c,0)到这条渐近线的距离为=c,∴b=c,∴b2=c2,又b2=c2-a2,∴c2=4a2,∴e==2.
28.(2017课标Ⅲ文,14,5分)双曲线-=1(a>0)的一条渐近线方程为y=x,则a=　　　　.
答案　5
解析　由题意可得=,
所以a=5.
29.(2017北京理,9,5分)若双曲线x2-=1的离心率为,则实数m=　　　　.
答案　2
解析　本题考查双曲线的性质.
由题意知,a2=1,b2=m.
∵e====,∴m=2.
30.(2016山东理,13,5分)已知双曲线E:-=1(a>0,b>0).若矩形ABCD的四个顶点在E上,AB,CD的中点为E的两个焦点,且2|AB|=3|BC|,则E的离心率是　　　　.
答案　2
解析　由已知得|AB|=|CD|=,|BC|=|AD|=|F1F2|=2c.
因为2|AB|=3|BC|,所以=6c,
又b2=c2-a2,
所以2e2-3e-2=0,解得e=2,或e=-(舍去).
评析　本题考查了双曲线的基本性质,利用2|AB|=3|BC|和b2=c2-a2构造关于离心率e的方程是求解的关键.
31.(2016北京理,13,5分)双曲线-=1(a>0,b>0)的渐近线为正方形OABC的边OA,OC所在的直线,点B为该双曲线的焦点.若正方形OABC的边长为2,则a=　　　　.
答案　2
解析　由OA、OC所在直线为渐近线,且OA⊥OC,知两条渐近线的夹角为90°,从而双曲线为等轴双曲线,则其方程为x2-y2=a2.OB是正方形的对角线,且点B是双曲线的焦点,则c=2,根据c2=2a2可得a=2.
评析　本题考查等轴双曲线及其性质.
32.(2015北京理,10,5分)已知双曲线-y2=1(a>0)的一条渐近线为x+y=0,则a=　　　　.
答案　
解析　由双曲线-y2=1(a>0)知其渐近线方程为y=±x,又因为a>0,所以=,解得a=.
33.(2014浙江理,16,4分)设直线x-3y+m=0(m≠0)与双曲线-=1(a>0,b>0)的两条渐近线分别交于点A,B.若点P(m,0)满足|PA|=|PB|,则该双曲线的离心率是　　　　.
答案　
解析　由得A,
由得B,
则线段AB的中点为M.
由题意得PM⊥AB,∴kPM=-3,得a2=4b2=4c2-4a2,故e2=,∴e=.
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