2014-2023年高考数学真题专题分类--10.1 排列、组合(含解析)

2014-2023年高考数学真题专题分类
专题十　计数原理
10.1　计数原理、排列与组合
考点　计数原理、排列与组合
1.(2016四川理,4,5分)用数字1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数,其中奇数的个数为(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.24　　　　B.48　　　　C.60　　　　D.72
答案　D　奇数的个数为=72.
2.(2015四川理,6,5分)用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数,其中比40000大的偶数共有(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.144个　　　　B.120个　　　　C.96个　　　　D.72个
答案　B　数字0,1,2,3,4,5中仅有0,2,4三个偶数,比40000大的偶数为以4开头与以5开头的数.其中以4开头的偶数又分以0结尾与以2结尾,有2=48个;同理,以5开头的有3=72个.于是共有48+72=120个,故选B.
评析　本题考查了分类与分步计数原理、排列数的知识.
考查学生分析问题、解决问题的能力.
3.(2014大纲全国理,5,5分)有6名男医生、5名女医生,从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组.则不同的选法共有(　　)
A.60种　　　　B.70种　　　　C.75种　　　　D.150种
答案　C　从6名男医生中选出2名有种选法,从5名女医生中选出1名有种选法,由分步乘法计数原理得不同的选法共有·=75种.故选C.
4.(2014辽宁理,6,5分)6把椅子摆成一排,3人随机就座,任何两人不相邻的坐法种数为(　　)
A.144　　　　B.120　　　　C.72　　　　D.24
答案　D　先把三把椅子隔开摆好,它们之间和两端有4个位置,再把三人带椅子插放在四个位置,共有=24种放法,故选D.
评析　本小题主要考查排列组合的应用及逻辑思维能力,解决不相邻问题常采用插空法.
5.(2014四川理,6,5分)六个人从左至右排成一行,最左端只能排甲或乙,最右端不能排甲,则不同的排法共有(　　)
A.192种　　　　B.216种　　　　C.240种　　　　D.288种
答案　B　若最左端排甲,其他位置共有=120种排法;若最左端排乙,最右端共有4种排法,其余4个位置有=24种排法,所以共有120+4×24=216种排法.
6.(2014重庆理,9,5分)某次联欢会要安排3个歌舞类节目、2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序,则同类节目不相邻的排法种数是(　　)
A.72　　　　B.120　　　　C.144　　　　D.168
答案　B　先不考虑小品类节目是否相邻,保证歌舞类节目不相邻的排法共有·=144种,再剔除小品类节目相邻的情况,共有··=24种,于是符合题意的排法共有144-24=120种.
7.(2013山东理,10,5分)用0,1,…,9十个数字,可以组成有重复数字的三位数的个数为(　　)
A.243　　　　B.252　　　　C.261　　　　D.279
答案　B　由分步乘法计数原理知:用0,1,…,9十个数字组成三位数(可有重复数字)的个数为9×10×10=900,组成没有重复数字的三位数的个数为9×9×8=648,则组成有重复数字的三位数的个数为900-648=252,故选B.
评析　本题考查分步乘法计数原理,考查学生的推理运算能力.
8.(2012课标理,2,5分)将2名教师,4名学生分成2个小组,分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动,每个小组由1名教师和2名学生组成,不同的安排方案共有(　　)
A.12种　　　　B.10种　　　　C.9种　　　　D.8种
答案　A　2名教师各在1个小组,给其中1名教师选2名学生,有种选法,另2名学生分配给另1名教师,然后将2个小组安排到甲、乙两地,有种方案,故不同的安排方案共有=12种,选A.
评析　本题考查了排列组合的实际应用,考查了先分组再分配的方法.
9.(2012辽宁理,5,5分)一排9个座位坐了3个三口之家.若每家人坐在一起,则不同的坐法种数为(　　)
A.3×3!　　　　B.3×(3!)3　　　　C.(3!)4　　　　D.9!
答案　C　第1步:3个家庭的全排列,方法数为3!;
第2步:家庭内部3个人全排列,方法数为3!,共3个家庭,方法数为(3!)3,∴总数为(3!)×(3!)3=(3!)4,故选C.
评析　本题主要考查计数原理的基础知识,考查学生分析、解决问题的能力.
10.(2012安徽理,10,5分)6位同学在毕业聚会活动中进行纪念品的交换,任意两位同学之间最多交换一次,进行交换的两位同学互赠一份纪念品.已知6位同学之间共进行了13次交换,则收到4份纪念品的同学人数为(　　)
A.1或3　　　　B.1或4　　　　C.2或3　　　　D.2或4
答案　D　由题意及=15知只需少交换2次.记6位同学为A1、A2、A3、A4、A5、A6,不妨讨论①A1少交换2次,如A1未与A2、A3交换,则收到4份纪念品的同学仅为A2、A32人;②A1、A2各少交换1次,如A1与A3未交换,A2与A4未交换,则收到4份纪念品的同学有4人,为A1、A2、A3、A4.故选D.
评析　本题考查了计数原理等知识,考查学生应用数学知识,分类讨论思想,利用符号标记具体分析是顺利解题的关键.
11.(2016课标Ⅲ,12,5分)定义“规范01数列”{an}如下:{an}共有2m项,其中m项为0,m项为1,且对任意k≤2m,a1,a2,…,ak中0的个数不少于1的个数,若m=4,则不同的“规范01数列”共有(　　)
A.18个　　　　B.16个　　　　C.14个　　　　D.12个
答案　C　本题考查组合数和计数原理的应用,考查分类讨论的数学思想.
当m=4时,数列{an}共有8项,其中4项为0,4项为1,要满足对任意k≤8,a1,a2,…,ak中0的个数不少于1的个数,则必有a1=0,a8=1,a2可为0,也可为1.(1)当a2=0时,分以下3种情况:①若a3=0,则a4,a5,a6,a7中任意一个为0均可,则有=4种情况;②若a3=1,a4=0,则a5,a6,a7中任意一个为0均可,有=3种情况;③若a3=1,a4=1,则a5必为0,a6,a7中任一个为0均可,有=2种情况;(2)当a2=1时,必有a3=0,分以下2种情况:①若a4=0,则a5,a6,a7中任一个为0均可,有=3种情况;②若a4=1,则a5必为0,a6,a7中任一个为0均可,有=2种情况.综上所述,不同的“规范01数列”共有4+3+2+3+2=14个,故选C.
解后反思　本题是“新定义”问题,理解“规范01数列”的定义是解题的关键,注意分类讨论时要不重不漏.
12.(2020新高考Ⅰ,3,5分)6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者,每名同学只去1个场馆,甲场馆安排1名,乙场馆安排2名,丙场馆安排3名,则不同的安排方法共有 (　　)
A.120种　　　　B.90种　　　　C.60种　　　　D.30种
答案　C　解题思路:第一步:安排甲场馆的志愿者,则甲场馆的安排方法有=6种,第二步:安排乙场馆的志愿者,则乙场馆的安排方法有=10种,第三步:安排丙场馆的志愿者,则丙场馆的安排方法有=1种.所以共有6×10×1=60种不同的安排方法.故选C(易错:注意分配到每个场馆的志愿者是不分顺序的,所以不用全排列).
13.(2022新高考Ⅱ,5,5分,应用性)甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演,若甲不站在两端,丙和丁相邻,则不同的排列方式共有 (　　)
A.12种　　　　B.24种　　　　C.36种　　　　D.48种
答案　B　丙和丁相邻共有种站法,甲站在两端且丙和丁相邻共有种站法,所以甲不站在两端且丙和丁相邻共有=24种站法,故选B.
14.(2021全国乙理,6,5分)将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训,每名志愿者只分配到1个项目,每个项目至少分配1名志愿者,则不同的分配方案共有 (　　)
A.60种　　　　B.120种　　　　C.240种　　　　D.480种
答案　C　解题指导:先将5人分为4组,其中一组有2人,然后将4个项目进行排列,即可完成这件事情,进而得到结果.
解析　先将5人分为4组,其中一组有2人,另外三组各1人,共有=10种分法,然后将4个项目全排列,共有=24种排法,根据分步乘法计数原理得到不同的分配方案共有=240种,故选C.
易错警示　本题容易出现将5人分为4组,共有分法=60种的错误结果.
15.(2023全国乙理,7,5分,中)甲、乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种,则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有 (　　)
A.30种　　B.60种　　C.120种　　D.240种
答案　C　第一步:甲、乙两位同学从6种课外读物中选出1种相同的有=6种选法;第二步:从剩下的5种课外读物中选2种分给甲、乙有=20种选法.所以符合要求的选法共有6×20=120种,故选C.
一题多解　(排除法)甲、乙两位同学分别从6种课外读物中选出2种有=225种选法,其中甲、乙选2种读物完全相同有=15种选法,完全不相同有=90种选法.所以两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有225-15-90=120种,故选C.
16.(2023新课标Ⅱ,3,5分,易)某学校为了解学生参加体育运动的情况,用比例分配的分层随机抽样方法作抽样调查,拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生,已知该校初中部和高中部分别有400名和200名学生,则不同的抽样结果共有 (　　)
A.·种　　　　B.·种
C.·种　　　　D.·种
答案　D　根据分层随机抽样方法,易知从初中部和高中部分别抽取40名和20名学生,根据分步乘法计数原理,得不同的抽样结果共有·种.故选D.
17.(2023全国甲理,9,5分,中)现有5名志愿者报名参加公益活动,在某一星期的星期六、星期日两天,每天从这5人中安排2人参加公益活动,则恰有1人在这两天都参加的不同安排方式共有 (　　)
A.120种　　B.60种　　C.30种　　D.20种
答案　B　先从5人中选出1人两天都参加,有种选择,然后从其余4人中选2人分别安排在周六和周日,
有种方式,所以恰有1人在这两天都参加的不同安排方式共有=60种,故选B.
18.(2023新课标Ⅰ,13,5分,易)某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课,学生需从这8门课中选修2门或3门课,并且每类选修课至少选修1门,则不同的选课方案共有　　　　种(用数字作答).
答案　64
解析　选修2门课,体育类和艺术类各选1门,共有·=16种选课方案;
选修3门课,分为选2门体育类、1门艺术类和选2门艺术类、1门体育类两种情况,共有·+·=48种选课方案.因此不同的选课方案共有16+48=64种.
19.(2017天津理,14,5分)用数字1,2,3,4,5,6,7,8,9组成没有重复数字,且至多有一个数字是偶数的四位数,这样的四位数一共有　　　　个.(用数字作答)
答案　1080
解析　本题主要考查计数原理及排列组合的应用.
(1)有一个数字是偶数的四位数有=960个.
(2)没有偶数的四位数有=120个.
故这样的四位数一共有960+120=1080个.
思路分析　分两种情况:①有一个数字是偶数的四位数;
②没有偶数的四位数.
20.(2015广东理,12,5分)某高三毕业班有40人,同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言,那么全班共写了　　　　条毕业留言.(用数字作答)
答案　1560
解析　∵同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言,且全班共有40人,∴全班共写了40×39=1560条毕业留言.
21.(2013北京理,12,5分)将序号分别为1,2,3,4,5的5张参观券全部分给4人,每人至少1张.如果分给同一人的2张参观券连号,那么不同的分法种数是　　　　.
答案　96
解析　5张参观券分成4份,1份2张,另外3份各1张,且2张参观券连号,则有4种分法,把这4份参观券分给4人,则不同的分法种数是4=96.
22.(2013大纲全国理,14,5分)6个人排成一行,其中甲、乙两人不相邻的不同排法共有　　　　种.(用数字作答)
答案　480
解析　先将除甲、乙两人以外的4人排成一行,有=24种排法,再将甲、乙插入有=20种,所以6人排成一行,甲、乙不相邻的排法共有24×20=480种.
23.(2013浙江理,14,4分)将A,B,C,D,E,F六个字母排成一排,且A,B均在C的同侧,则不同的排法共有　　　　种(用数字作答).
答案　480
解析　从左往右看,若C排在第1位,共有排法=120种;若C排在第2位,共有排法·=72种;若C排在第3位,则A、B可排C的左侧或右侧,共有排法·+·=48种;若C排在第4,5,6位时,其排法数与排在第3,2,1位相同,故共有排法2×(120+72+48)=480种.
24.(2011北京理,12,5分)用数字2,3组成四位数,且数字2,3至少都出现一次,这样的四位数共有　　　　个.(用数字作答)
答案　14
解析　解法一:数字2只出现一次的四位数有=4个;数字2出现两次的四位数有=6个;数字2出现三次的四位数有=4个.故总共有4+6+4=14个.
解法二:由数字2,3组成的四位数共有24=16个,其中没有数字2的四位数只有1个,没有数字3的四位数也只有1个,故符合条件的四位数共有16-2=14个.
评析　本题考查排列组合的基础知识,考查分类讨论思想,解题关键是准确分类,并注意相同元素的排列数等于不同元素的组合数.属于中等难度题.
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