2014-2023年高考数学真题专题分类--10.2　二项式定理(含解析)

2014-2023年高考数学真题专题分类
10.2　二项式定理
考点　二项式定理
1.(2017课标Ⅰ理,6,5分)(1+x)6展开式中x2的系数为(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.15　　　　B.20　　　　C.30　　　　D.35
答案　C　本题考查二项式定理中项的系数问题.
对于(1+x)6,若要得到x2项,可以在中选取1,此时(1+x)6中要选取含x2的项,则系数为;当在中选取时,(1+x)6中要选取含x4的项,即系数为,所以,展开式中x2项的系数为+=30,故选C.
2.(2016四川理,2,5分)设i为虚数单位,则(x+i)6的展开式中含x4的项为(　　)
A.-15x4　　　　B.15x4　　　　C.-20ix4　　　　D.20ix4
答案　A　T3=x4i2=-15x4,故选A.
易错警示　易误认为i2=1而致错.
3.(2015湖北理,3,5分)已知(1+x)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等,则奇数项的二项式系数和为(　　)
A.212　　　　B.211　　　　C.210　　　　D.29
答案　D　∵(1+x)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数分别为,,∴=,得n=10.
从而有++++…+=210,
又++…+=++…+,
∴奇数项的二项式系数和为++…+=29.
评析　本题考查求二项展开式的二项式系数及其性质、组合数性质,考查运算求解能力.
4.(2015陕西理,4,5分)二项式(x+1)n(n∈N+)的展开式中x2的系数为15,则n=(　　)
A.4　　　　B.5　　　　C.6　　　　D.7
答案　C　因为(x+1)n的展开式中x2的系数为,
所以=15,即=15,亦即n2-n=30,解得n=6(n=-5舍).
5.(2015课标Ⅰ理,10,5分)(x2+x+y)5的展开式中,x5y2的系数为(　　)
A.10　　　　B.20　　　　C.30　　　　D.60
答案　C　(x2+x+y)5=[(x2+x)+y]5的展开式中只有(x2+x)3y2中含x5y2,易知x5y2的系数为=30,故选C.
6.(2014四川理,2,5分)在x(1+x)6的展开式中,含x3项的系数为(　　)
A.30　　　　B.20　　　　C.15　　　　D.10
答案　C　在(1+x)6的展开式中,含x2的项为T3=·x2=15x2,故在x(1+x)6的展开式中,含x3的项的系数为15.
评析　本题考查二项展开式中求指定项的系数,属容易题.但在(1+x)6前面乘以x后,易误求T4=x3.
7.(2014湖南理,4,5分)的展开式中x2y3的系数是(　　)
A.-20　　　　B.-5　　　　C.5　　　　D.20
答案　A　展开式的通项为Tk+1=·(-2y)k=(-1)k·22k-5x5-k·yk,令5-k=2,得k=3.则展开式中x2y3的系数为(-1)3·22×3-5=-20,故选A.
评析　本题考查由二项式定理求指定项系数、组合数的计算,考查学生的运算求解能力,属于中档题.
8.(2014浙江理,5,5分)在(1+x)6(1+y)4的展开式中,记xmyn项的系数为f(m,n),则f(3,0)+f(2,1)+f(1,2)+f(0,3)=(　　)
A.45　　　　B.60　　　　C.120　　　　D.210
答案　C　在(1+x)6的展开式中,xm的系数为,在(1+y)4的展开式中,yn的系数为,故f(m,n)=·.从而f(3,0)==20,f(2,1)=·=60,f(1,2)=·=36,f(0,3)==4,故选C.
9.(2013课标Ⅱ理,5,5分)已知(1+ax)(1+x)5的展开式中x2的系数为5,则a=(　　)
A.-4　　　　B.-3　　　　C.-2　　　　D.-1
答案　D　由二项式定理得(1+x)5的展开式的通项为Tr+1=·xr,所以当r=2时,(1+ax)(1+x)5的展开式中x2的系数为,当r=1时,x2的系数为·a,所以+·a=5,a=-1,故选D.
10.(2013辽宁理,7,5分)使(n∈N+)的展开式中含有常数项的最小的n为(　　)
A.4　　　　B.5　　　　C.6　　　　D.7
答案　B　Tr+1=(3x)n-r·=·3n-r·=·3n-r·(r=0,1,2,…,n),
若Tr+1是常数项,则有n-r=0,即2n=5r(r=0,1,…,n),当r=0,1时,n=0,,不满足条件;当r=2时,n=5,故选B.
11.(2013大纲全国理,7,5分)(1+x)8(1+y)4的展开式中x2y2的系数是(　　)
A.56　　　　B.84　　　　C.112　　　　D.168
答案　D　(1+x)8·(1+y)4的展开式中x2y2的系数为·=28×6=168,选D.
12.(2013课标Ⅰ理,9,5分)设m为正整数,(x+y)2m展开式的二项式系数的最大值为a,(x+y)2m+1展开式的二项式系数的最大值为b.若13a=7b,则m=(　　)
A.5　　　　B.6　　　　C.7　　　　D.8
答案　B　由题意得:a=,b=,所以13=7,∴=,∴=13,解得m=6,经检验m=6为原方程的解.选B.
13.(2012湖北理,5,5分)设a∈Z,且0≤a<13,若512012+a能被13整除,则a=(　　)
A.0　　　　B.1　　　　C.11　　　　D.12
答案　D　512012+a=(52-1)2012+a=522012+×522011×(-1)+…+×52×(-1)2011+(-1)2012+a能被13整除,只需(-1)2012+a=1+a能被13整除即可.∵0≤a<13,∴a=12,故选D.
评析　本题考查二项式定理及整除等知识,考查学生应用意识和运算求解能力.
14.(2012安徽理,7,5分)(x2+2)的展开式的常数项是(　　)
A.-3　　　　B.-2　　　　C.2　　　　D.3
答案　D　由题意知展开式的常数项为2×(-1)5+×(-1)4=-2+5=3,故选D.
评析　本题考查二项式定理的应用,抓住常数项的构成特征是顺利解题的关键.
15.(2011课标理,8,5分)的展开式中各项系数的和为2,则该展开式中常数项为(　　)
A.-40　　　　B.-20　　　　C.20　　　　D.40
答案　D　由题意,令x=1得展开式各项系数的和(1+a)(2-1)5=2,
∴a=1.
∵二项式的通项公式为Tr+1=(-1)r·25-r·x5-2r,
∴展开式中的常数项为
x·(-1)322·x-1+··(-1)2·23·x=-40+80=40,故选D.
16.(2022北京,8,4分)若(2x-1)4=a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0,则a0+a2+a4= (　　)
A.40　　　　B.41　　　　C.-40　　　　D.-41
答案　B　∵(2x-1)4=a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0,
∴令x=1,得a4+a3+a2+a1+a0=1,
令x=-1,得a4-a3+a2-a1+a0=34,
∴a0+a2+a4=×(1+34)=41.故选B.
17.(2021北京,11,5分)的展开式中常数项是　　　　.
答案　-4
解析　Tr+1=(x3)4-r=(-1)rx12-4r,令12-4r=0,得r=3,所以的常数项为T3+1=(-1)3=-4.
18.(2022新高考Ⅰ,13,5分)(x+y)8的展开式中x2y6的系数为　　　　(用数字作答).
答案　 -28
解析　(x+y)8的展开式中x2y6的系数为=28,x3y5的系数为=56,因此(x+y)8的展开式中x2y6的系数为=-28.
19.(2022浙江,12,6分)已知多项式(x+2)(x-1)4 =a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5,则a2=　　　　,a1+a2+a3+a4+a5=　　　　.
答案　 8;-2
解析　由(x+2)(x-1)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5,知含x2的项是由x+2中的x和2分别与(x-1)4的展开式中含x和x2的项相乘后再相加得到的,所以a2=(-1)3+2(-1)2=8.
对于(x+2)(x-1)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5,
令x=0,得a0=2×(-1)4=2;
令x=1,得a0+a1+a2+a3+a4+a5=0,
所以a1+a2+a3+a4+a5=-2.
20.(2018浙江,14,4分)二项式的展开式的常数项是　　　　.
答案　7
解析　本题考查二项式定理,二项展开式的通项和相关计算.
的展开式的通项Tk+1=··x-k=·,要使Tk+1为常数,则=0,∴k=2,
此时T3=×=7,故展开式的常数项为7.
思路分析　(1)求出二项展开式的通项.(2)令通项中x的指数为0,得k的值.(3)计算此时的Tk+1.
21.(2018上海,3,4分)在(1+x)7的二项展开式中,x2项的系数为　　　　(结果用数值表示).
答案　21
解析　本题主要考查二项展开式.
(1+x)7的二项展开式中,x2项的系数为==21.
22.(2018天津理,10,5分)在的展开式中,x2的系数为　　　　.
答案　
解析　本题主要考查二项展开式特定项的系数.
由题意得Tr+1=x5-r=,
令5-=2,得r=2,所以==.
故x2的系数为.
方法总结　求二项展开式中的某一项的系数时,直接利用展开式的通项Tr+1=an-rbr进行求解.
23.(2017山东理,11,5分)已知(1+3x)n的展开式中含有x2项的系数是54,则n=　　　　.
答案　4
解析　本题主要考查二项展开式.
(1+3x)n的展开式的通项Tr+1=3rxr,∴含有x2项的系数为32=54,∴n=4.
24.(2017浙江,13,5分)已知多项式(x+1)3(x+2)2=x5+a1x4+a2x3+a3x2+a4x+a5,则a4=　　　　,a5=　　　　.
答案　16;4
解析　本题考查二项式定理,求指定项系数,组合数计算,考查运算求解能力.
设(x+1)3=x3+b1x2+b2x+b3,(x+2)2=x2+c1x+c2,
则a4=b2c2+b3c1=×12×22+13××2=16,
a5=b3c2=13×22=4.
25.(2016天津理,10,5分)的展开式中x7的系数为　　　　.(用数字作答)
答案　-56
解析　Tr+1=x16-2r(-x)-r=(-1)-rx16-3r,令16-3r=7,得r=3,所以x7的系数为(-1)-3=-56.
易错警示　本题中,展开式的通项易写错,尤其是符号,正负易混,需引起注意.
评析　本题主要考查二项式定理,对运算求解能力要求较高.属中档题.
26.(2016课标Ⅰ理,14,5分)(2x+)5的展开式中,x3的系数是　　　　.(用数字填写答案)
答案　10
解析　Tr+1=(2x)5-r·()r=25-r·,令5-=3,得r=4,∴T5=10x3,∴x3的系数为10.
27.(2015天津,12,5分)在的展开式中,x2的系数为　　　　.
答案　
解析　的展开式的通项为Tr+1=x6-r=x6-2r,令6-2r=2,得r=2,所以x2的系数为×=.
28.(2015重庆理,12,5分)的展开式中x8的系数是　　　　(用数字作答).
答案　
解析　二项展开式的通项为Tr+1=(x3)5-r·=·,令15-3r-=8,得r=2,于是展开式中x8的系数为×=×10=.
29.(2015课标Ⅱ理,15,5分)(a+x)(1+x)4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32,则a=　　　　.
答案　3
解析　设f(x)=(a+x)(1+x)4,则其所有项的系数和为f(1)=(a+1)·(1+1)4=(a+1)×16,又奇数次幂项的系数和为[f(1)-f(-1)],∴×(a+1)×16=32,∴a=3.
评析　二项展开式问题中,涉及系数和的问题,通常采用赋值法.
30.(2014安徽理,13,5分)设a≠0,n是大于1的自然数,的展开式为a0+a1x+a2x2+…+anxn.若点Ai(i,ai)(i=0,1,2)的位置如图所示,则a=　　　　.
答案　3
解析　根据题意知a0=1,a1=3,a2=4,
结合二项式定理得即解得a=3.
31.(2014课标Ⅰ理,13,5分)(x-y)(x+y)8的展开式中x2y7的系数为　　　　.(用数字填写答案)
答案　-20
解析　由二项展开式公式可知,含x2y7的项可表示为x·xy7-y·x2y6,故(x-y)(x+y)8的展开式中x2y7的系数为-=-=8-28=-20.
32.(2014课标Ⅱ理,13,5分)(x+a)10的展开式中,x7的系数为15,则a=　　　　.(用数字填写答案)
答案　
解析　Tr+1=x10-rar,令10-r=7,得r=3,
∴a3=15,即a3=15,∴a3=,∴a=.
33.(2013浙江理,11,4分)设二项式的展开式中常数项为A,则A=　　　　.
答案　-10
解析　展开式通项为Tr+1=·()5-r
=(-1)r.令-r=0,得r=3.
当r=3时,T4=(-1)3=-10.故A=-10.
34.(2012福建理,11,4分)(a+x)4的展开式中x3的系数等于8,则实数a=　　　　.
答案　2
解析　T3+1=a1x3=4ax3,∴4a=8,∴a=2.
评析　本题考查二项展开式的通项公式,也考查了学生的运算求解能力.
35.(2012浙江理,14,4分)若将函数f(x)=x5表示为f(x)=a0+a1(1+x)+a2(1+x)2+…+a5(1+x)5,其中a0,a1,a2,…,a5为实数,则a3=　　　　.
答案　10
解析　由于f(x)=x5=[(1+x)-1]5,所以a3=(-1)2=10.
评析　本题考查二项式定理的运用,考查整体思想、转化与化归思想,可利用构造法解决问题.
36.(2012大纲全国理,15,5分)若的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等,则该展开式中的系数为　　　.
答案　56
解析　由=得n=8,Tr+1=x8-r·=x8-2r,令8-2r=-2,解得r=5,故所求系数为==56.
评析　本题考查了二项式定理,运用二项展开式的通项公式求指定项的系数.
37.(2023天津,11,5分,易)在的展开式中,x2项的系数为　　　　.
答案　60
解析　的展开式的通项是Tk+1=·(2x3)6-k=(-1)k26-kx18-4k.
令18-4k=2,得k=4,
∴x2项的系数为(-1)4×22×=60.
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