2014-2023年高考数学真题专题分类--11.1　随机事件、古典概型与几何概型(含解析)

2014-2023年高考数学真题专题分类
专题十一　概率与统计
11.1　随机事件、古典概型与几何概型
考点一　古典概型
1.(2020课标Ⅰ文,4,5分)设O为正方形ABCD的中心,在O,A,B,C,D中任取3点,则取到的3点共线的概率为(　　)
A.　　　　B.　　　　C.　　　　D.
答案　A　从O,A,B,C,D中任取3点的情况有(O,A,B),(O,A,C),(O,A,D),(O,B,C),(O,B,D),(O,C,D),(A,B,C),(A,B,D),(B,C,D),(A,C,D),共有10种不同的情况,由图可知取到的3点共线的有(O,A,C)和(O,B,D)两种情况,所以所求概率为=.故选A.
2.(2018课标Ⅱ文,5,5分)从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务,则选中的2人都是女同学的概率为(　　)
A.0.6　　　　B.0.5　　　　C.0.4　　　　D.0.3
答案　D　设两名男生为A,B,三名女生为a,b,c,则从5人中任选2人有(A,a),(A,b),(A,c),(B,a),(B,b),(B,c),(a,b),(a,c),(b,c),(A,B),共10种.2人都是女同学的有(a,b),(a,c),(b,c),共3种,所以所求概率为=0.3.
方法总结　古典概型概率的求法:
(1)应用公式P(A)=求概率的关键是寻求基本事件的总数和待求事件包含的基本事件的个数.(2)基本事件个数的确定方法:
①列举法:此法适用于基本事件较少的古典概型;
②列表法:此法适用于从多个元素中选定两个元素的试验,也可看成是坐标法;
③画树状图法:画树状图法是进行列举的一种常用方法,适用于有顺序的问题或较复杂问题中基本事件数的探求.
3.(2017课标Ⅱ文,11,5分)从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张,放回后再随机抽取1张,则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为(　　)
A.　　　　B.　　　　C.　　　　D.
答案　D　本题考查古典概型.
画出树状图如图:
可知所有的基本事件共有25个,满足题意的基本事件有10个,故所求概率P==.故选D.
思路分析　由树状图列出所有的基本事件,可知共有25个,满足题目要求的基本事件共有10个.由古典概型概率公式可知所求概率P==.
易错警示　本题易因忽略有放回的抽取而致错.
疑难突破　当利用古典概型求概率时,应区分有放回抽取与无放回抽取.有放回抽取一般采用画树状图法列出所有的基本事件,而无放回抽取一般采用穷举法.
4.(2017天津文,3,5分)有5支彩笔(除颜色外无差别),颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫.从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔,则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为(　　)
A.　　　　B.　　　　C.　　　　D.
答案　C　本题考查古典概型.
从5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔,有以下10种情况:(红,黄),(红,蓝),(红,绿),(红,紫),(黄,蓝),(黄,绿),(黄,紫),(蓝,绿),(蓝,紫),(绿,紫).其中含有红色彩笔的有4种情况:(红,黄),(红,蓝),(红,绿),(红,紫),所以所求事件的概率P==,故选C.
5.(2016课标Ⅰ文,3,5分)为美化环境,从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中,余下的2种花种在另一个花坛中,则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是(　　)
A.　　　　B.　　　　C.　　　　D.
答案　C　从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种有以下选法:(红黄)、(红白)、(红紫)、(黄白)、(黄紫)、(白紫),共6种,其中红色和紫色的花不在同一花坛(亦即黄色和白色的花不在同一花坛)的选法有4种,所以所求事件的概率P==,故选C.
解后反思　从4种颜色的花中任选2种共有6种情况,不重不漏地列举出所有情况是解题关键.
评析　本题主要考查了古典概型、不重不漏地将所有情况列举出来是解题关键.
6.(2016课标Ⅲ文,5,5分)小敏打开计算机时,忘记了开机密码的前两位,只记得第一位是M,I,N中的一个字母,第二位是1,2,3,4,5中的一个数字,则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是(　　)
A.　　　　B.　　　　C.　　　　D.
答案　C　小敏输入密码的所有可能情况如下:
(M,1),(M,2),(M,3),(M,4),(M,5),
(I,1),(I,2),(I,3),(I,4),(I,5),
(N,1),(N,2),(N,3),(N,4),(N,5),共15种.
而能开机的密码只有一种,所以小敏输入一次密码能够成功开机的概率为.
7.(2016北京文,6,5分)从甲、乙等5名学生中随机选出2人,则甲被选中的概率为(　　)
A.　　　　B.　　　　C.　　　　D.
答案　B　设这5名学生为甲、乙、丙、丁、戊,从中任选2人的所有情况有(甲,乙),(甲,丙),(甲,丁),(甲,戊),
(乙,丙),(乙,丁),(乙,戊),
(丙,丁),(丙,戊),
(丁,戊),
共4+3+2+1=10种.
其中甲被选中的情况有(甲,乙),(甲,丙),(甲,丁),(甲,戊),共4种,
故甲被选中的概率为=.故选B.
易错警示　在列举基本事件时要不重不漏,可画树状图:
评析　本题考查古典概型,属中档题.
8.(2015课标Ⅰ文,4,5分)如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长,则称这3个数为一组勾股数.从1,2,3,4,5中任取3个不同的数,则这3个数构成一组勾股数的概率为(　　)
A.　　　　B.　　　　C.　　　　D.
答案　C　从1,2,3,4,5中任取3个不同的数有10种取法:(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(1,4,5),(2,3,4),(2,3,5),(2,4,5),(3,4,5),其中能构成一组勾股数的有1种:(3,4,5),故所求事件的概率P=,故选C.
9.(2015广东文,7,5分)已知5件产品中有2件次品,其余为合格品.现从这5件产品中任取2件,恰有一件次品的概率为(　　)
A.0.4　　　　B.0.6　　　　C.0.8　　　　D.1
答案　B　记3件合格品分别为A1,A2,A3,2件次品分别为B1,B2,从5件产品中任取2件,有(A1,A2),(A1,A3),(A1,B1),(A1,B2),(A2,A3),(A2,B1),(A2,B2),(A3,B1),(A3,B2),(B1,B2),共10种可能.其中恰有一件次品有6种可能,由古典概型概率公式得所求事件概率为=0.6.选B.
10.(2014课标Ⅰ理,5,5分)4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动,则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为(　　)
A.　　　　B.　　　　C.　　　　D.
答案　D　由题意知4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动有24种情况,而4位同学都选周六有1种情况,4位同学都选周日有1种情况,故周六、周日都有同学参加公益活动的概率为P===,故选D.
11.(2014陕西文,6,5分)从正方形四个顶点及其中心这5个点中,任取2个点,则这2个点的距离小于该正方形边长的概率为(　　)
A.　　　　B.　　　　C.　　　　D.
答案　B　设正方形的四个顶点分别是A、B、C、D,中心为O,从这5个点中,任取两个点的事件分别为AB、AC、AD、AO、BC、BD、BO、CD、CO、DO,共有10种,其中只有顶点到中心O的距离小于正方形的边长,分别是AO、BO、CO、DO,共有4种.故满足条件的概率P==.故选B.
评析　本题考查古典概型知识,考查分析问题及阅读理解的能力.理解只有顶点到中心的距离小于边长是解题的关键.
12.(2013课标Ⅰ文,3,5分)从1,2,3,4中任取2个不同的数,则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是(　　)
A.　　　　B.　　　　C.　　　　D.
答案　B　从1,2,3,4中任取2个不同的数,共有(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)6种不同的结果,取出的2个数之差的绝对值为2的有(1,3),(2,4)2种结果,概率为,故选B.
13.(2012安徽文,10,5分)袋中共有6个除了颜色外完全相同的球,其中有1个红球、2个白球和3个黑球.从袋中任取两球,两球颜色为一白一黑的概率等于(　　)
A.　　　　B.　　　　C.　　　　D.
答案　B　将同色小球编号.从袋中任取两球,所有基本事件为(红,白1),(红,白2),(红,黑1),(红,黑2),(红,黑3),(白1,白2),(白1,黑1),(白1,黑2),(白1,黑3),(白2,黑1),(白2,黑2),(白2,黑3),(黑1,黑2),(黑1,黑3),(黑2,黑3),共有15个基本事件,而一白一黑的共有6个,故所求概率P==.故选B.
评析　本题主要考查古典概型概率的求解,同时考查了列举法.
14.(2011课标文,6,5分)有3个兴趣小组,甲、乙两位同学各自参加其中一个小组,每位同学参加各个小组的可能性相同,则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为(　　)
A.　　　　B.　　　　C.　　　　D.
答案　A　甲、乙两人都有3种选择,共有3×3=9种情况,甲、乙两人参加同一兴趣小组共有3种情况.∴甲、乙两人参加同一兴趣小组的概率P==,故选A.
评析　本题主要考查古典概型的概率运算,属容易题.
15.(2011浙江文,8,5分)从装有3个红球、2个白球的袋中任取3个球,则所取的3个球中至少有1个白球的概率是(　　)
A.　　　　B.　　　　C.　　　　D.
答案　D　解法一(直接法):所取3个球中至少有1个白球的取法可分为互斥的两类:两红一白有6种取法,一红两白有3种取法,而从5个球中任取3个球的取法共有10种,所以所求概率为,故选D.
解法二(间接法):至少有一个白球的对立事件为所取3个球中没有白球,即只有3个红球,共1种取法,故所求概率为1-=,故选D.
16.(2021全国甲文,10,5分)将3个1和2个0随机排成一行,则2个0不相邻的概率为 (　　)
A.0.3　　　　B.0.5　　　　C.0.6　　　　D.0.8
答案　C　列举法:基本事件为(1,1,1,0,0),(1,1,0,1,0),(1,1,0,0,1),(1,0,1,1,0),(1,0,1,0,1),(1,0,0,1,1),(0,1,1,1,0),(0,1,1,0,1),(0,1,0,1,1),(0,0,1,1,1),共10种情况,其中2个0不相邻的情况有6种,故P==0.6,故选C.
17.(2022全国甲文,6,5分)从分别写有1,2,3,4,5,6的6张卡片中无放回随机抽取2张,则抽到的2张卡片上的数字之积是4的倍数的概率为 (　　)
A.
答案　C　依题意知,总的基本事件有(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,4),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),(5,6),共15个.其中符合数字之积是4的倍数的基本事件有6个,故所求概率P=.故选C.
18.(2021全国甲理,10,5分)将4个1和2个0随机排成一行,则2个0不相邻的概率为 (　　)
A.
答案　C　解题指导:先求4个1和2个0的所有排列数,再利用插空法求2个0不相邻的种数.
解析　从6个位置中任选2个位置排2个0,其他4个位置排4个1,共有=15种排法;先排4个1,再将2个0插空,共有=10种插法,故所求概率P=.
一题多解　(捆绑法):由题意知2个0相邻共有种排列方法,故所求概率P=1-.
易错提醒　本题是相同元素的排列问题,实际上元素之间无区别,是组合问题.
19.(2022新高考Ⅰ,5,5分)从2至8的7个整数中随机取2个不同的数,则这2个数互质的概率为 (　　)
A.
答案　D　解法一:从7个整数中随机取2个不同的数共有=21种取法.
如图,所取的2个数互质的取法有3+4+2+3+1+1=14种,所以这2个数互质的概率为.
解法二(间接法):从7个数中任取2个数共有=21种取法,2个数不互质的情况有两种:①从4个偶数中任取2个,有=6种取法;②从偶数和奇数中各取一个,有1种取法,所以2个数不互质的取法有7种,所以取2个数互质的概率为1-,故选D.
20.(2023全国乙文,9,5分,中)某学校举办作文比赛,共6个主题,每位参赛同学从中随机抽取一个主题准备作文,则甲、乙两位参赛同学抽到不同主题的概率为 (　　)
A.
答案　A　由题意可知基本事件总数为6×6=36,其中甲、乙两位同学抽到相同主题有6种情况,所以抽到不同主题的概率P=,故选A.
21.(2023全国甲文,4,5分,易)某校文艺部有4名学生,其中高一、高二年级各2名.从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演,则这2名学生来自不同年级的概率为 (　　)
A.　　B.　　C.　　D.
答案　D　记高一的2名学生分别为a1,a2,高二的2名学生分别为b1,b2,从4名学生中随机选2名有以下6种选法:a1a2,a1b1,a1b2,a2b1,a2b2,b1b2,
其中2名学生来自2个年级有如下4种选法:a1b1,a1b2,a2b1,a2b2,
则由古典概型概率公式可得所求概率P==,故选D.
22.(2022全国甲理,15,5分)从正方体的8个顶点中任选4个,则这4个点在同一个平面的概率为　　　　.
答案　
解析　从正方体的8个顶点中任选4个顶点,共有=70种选法,其中4个点在同一平面的选法共12种,即选正方体的6个表面和6个对角面的4个顶点,根据古典概型概率公式知所求概率P=.
23.(2022全国乙,理13,文14,5分,应用性)从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作,则甲、乙都入选的概率为　　　　.
答案　
解析　设“甲、乙都入选”为事件A,从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作包含的基本事件有个,事件A包含的基本事件有个,所以P(A)=.
24.(2018江苏,6,5分)某兴趣小组有2名男生和3名女生,现从中任选2名学生去参加活动,则恰好选中2名女生的概率为　　　　.
答案　
解析　本题考查古典概型.
把男生编号为男1,男2,女生编号为女1,女2,女3,则从5名学生中任选2名学生有:男1男2,男1女1,男1女2,男1女3,男2女1,男2女2,男2女3,女1女2,女1女3,女2女3,共10种情况,其中选中2名女生有3种情况,则恰好选中2名女生的概率为.
易错警示　在使用古典概型的概率公式时,应注意:(1)要判断该概率模型是不是古典概型;(2)分清基本事件总数n与事件A包含的基本事件数m,常用列举法把基本事件一一列举出来,再利用公式P(A)=求出事件A发生的概率,列举时尽量按某一顺序,做到不重复、不遗漏.
25.(2016四川文,13,5分)从2,3,8,9中任取两个不同的数字,分别记为a,b,则logab为整数的概率是　　　　.
答案　
解析　所有的基本事件有(2,3),(2,8),(2,9),(3,2),(3,8),(3,9),(8,2),(8,3),(8,9),(9,2),(9,3),(9,8),共12个.
记“logab为整数”为事件A,
则事件A包含的基本事件有(2,8),(3,9),共2个.
∴P(A)==.
易错警示　对a,b取值时要注意顺序.
评析　本题考查了古典概型.正确列举出基本事件是解题的关键.
26.(2014课标Ⅰ文,13,5分)将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行,则2本数学书相邻的概率为　　　.
答案　
解析　设2本不同的数学书为a1、a2,1本语文书为b,在书架上的排法有a1a2b,a1ba2,a2a1b,a2ba1,ba1a2,ba2a1,共6种,其中2本数学书相邻的有a1a2b,a2a1b,ba1a2,ba2a1,共4种,因此2本数学书相邻的概率P==.
27.(2014课标Ⅱ文,13,5分)甲、乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服中选择1种,则他们选择相同颜色运动服的概率为　　　　.
答案　
解析　甲、乙的选择方案有红红、红白、红蓝、白红、白白、白蓝、蓝红、蓝白、蓝蓝9种,其中颜色相同的有3种,所以所求概率为=.
28.(2014江苏,4,5分)从1,2,3,6这4个数中一次随机地取2个数,则所取2个数的乘积为6的概率是　　　　.
答案　
解析　从1,2,3,6这4个数中一次随机地取2个数,有(1,2),(1,3),(1,6),(2,3),(2,6),(3,6),共6种情况.
满足条件的有(2,3),(1,6),共2种情况.
故P==.
29.(2014浙江文,14,4分)在3张奖券中有一、二等奖各1张,另1张无奖.甲、乙两人各抽取1张,两人都中奖的概率是　.
答案　
解析　设A为一等奖奖券,B为二等奖奖券,C为无奖奖券,则甲、乙两人抽取的所有可能结果为AB、BA、AC、CA、BC、CB,共6种.而甲、乙两人都中奖的情况有AB、BA,共2种.故所求概率为=.
30.(2013课标Ⅱ文,13,5分)从1,2,3,4,5中任意取出两个不同的数,其和为5的概率是　　　　.
答案　0.2
解析　任取两个不同的数的情况有:(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5),共10种,其中和为5的有2种,所以所求概率为=0.2.
31.(2019天津文,15,13分)2019年,我国施行个人所得税专项附加扣除办法,涉及子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息或者住房租金、赡养老人等六项专项附加扣除.某单位老、中、青员工分别有72,108,120人,现采用分层抽样的方法,从该单位上述员工中抽取25人调查专项附加扣除的享受情况.
(1)应从老、中、青员工中分别抽取多少人
(2)抽取的25人中,享受至少两项专项附加扣除的员工有6人,分别记为A,B,C,D,E,F.享受情况如下表,其中“○”表示享受,“×”表示不享受.现从这6人中随机抽取2人接受采访.
(i)试用所给字母列举出所有可能的抽取结果;
(ii)设M为事件“抽取的2人享受的专项附加扣除至少有一项相同”,求事件M发生的概率.
　　员工 项目　　 A B C D E F
子女教育 ○ ○ × ○ × ○
继续教育 × × ○ × ○ ○
大病医疗 × × × ○ × ×
住房贷款利息 ○ ○ × × ○ ○
住房租金 × × ○ × × ×
赡养老人 ○ ○ × × × ○
解析　本小题主要考查随机抽样、用列举法计算随机事件所含的基本事件数、古典概型及其概率计算公式等基本知识.考查运用概率知识解决简单实际问题的能力,体现了数学运算素养.满分13分.
(1)由已知,老、中、青员工人数之比为6∶9∶10,由于采用分层抽样的方法从中抽取25位员工,因此应从老、中、青员工中分别抽取6人,9人,10人.
(2)(i)从已知的6人中随机抽取2人的所有可能结果为{A,B},{A,C},{A,D},{A,E},{A,F},{B,C},{B,D},{B,E},{B,F},{C,D},{C,E},{C,F},{D,E},{D,F},{E,F},共15种.
(ii)由表格知,符合题意的所有可能结果为{A,B},{A,D},{A,E},{A,F},{B,D},{B,E},{B,F},{C,E},{C,F},{D,F},{E,F},共11种.
所以,事件M发生的概率P(M)=.
思路分析　(1)首先得出抽样比,从而按比例抽取各层的人数;(2)(i)利用列举法列出满足题意的基本事件;(ii)利用古典概型公式求概率.
失分警示　在列举基本事件时应找好标准,做到不重不漏.
32.(2018北京文,17,13分)电影公司随机收集了电影的有关数据,经分类整理得到下表:
电影类型 第一类 第二类 第三类 第四类 第五类 第六类
电影部数 140 50 300 200 800 510
好评率 0.4 0.2 0.15 0.25 0.2 0.1
好评率是指:一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值.
(1)从电影公司收集的电影中随机选取1部,求这部电影是获得好评的第四类电影的概率;
(2)随机选取1部电影,估计这部电影没有获得好评的概率;
(3)电影公司为增加投资回报,拟改变投资策略,这将导致不同类型电影的好评率发生变化.假设表格中只有两类电影的好评率数据发生变化,那么哪类电影的好评率增加0.1,哪类电影的好评率减少0.1,使得获得好评的电影总部数与样本中的电影总部数的比值达到最大 (只需写出结论)
解析　(1)由题意知,样本中电影的总部数是140+50+300+200+800+510=2000,
第四类电影中获得好评的电影部数是200×0.25=50.
故所求概率为=0.025.
(2)由题意知,样本中获得好评的电影部数是
140×0.4+50×0.2+300×0.15+200×0.25+800×0.2+510×0.1
=56+10+45+50+160+51
=372.
故所求概率估计为1-=0.814.
(3)增加第五类电影的好评率,减少第二类电影的好评率.
33.(2018天津文,15,13分)已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为240,160,160.现采用分层抽样的方法从中抽取7名同学去某敬老院参加献爱心活动.
(1)应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人
(2)设抽出的7名同学分别用A,B,C,D,E,F,G表示,现从中随机抽取2名同学承担敬老院的卫生工作.
①试用所给字母列举出所有可能的抽取结果;
②设M为事件“抽取的2名同学来自同一年级”,求事件M发生的概率.
解析　本小题主要考查随机抽样、用列举法计算随机事件所含的基本事件数、古典概型及其概率计算公式等基本知识.考查运用概率知识解决简单实际问题的能力.
(1)由已知,甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数之比为3∶2∶2,由于采用分层抽样的方法从中抽取7名同学,因此应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取3人,2人,2人.
(2)①从抽出的7名同学中随机抽取2名同学的所有可能结果为{A,B},{A,C},{A,D},{A,E},{A,F},{A,G},{B,C},{B,D},{B,E},{B,F},{B,G},{C,D},{C,E},{C,F},{C,G},{D,E},{D,F},{D,G},{E,F},{E,G},{F,G},共21种.
②由(1),不妨设抽出的7名同学中,来自甲年级的是A,B,C,来自乙年级的是D,E,来自丙年级的是F,G,则从抽出的7名同学中随机抽取的2名同学来自同一年级的所有可能结果为{A,B},{A,C},{B,C},{D,E},{F,G},共5种.
所以,事件M发生的概率P(M)=.
易错警示　解决古典概型问题时,需注意以下几点:
(1)忽视基本事件的等可能性导致错误;
(2)列举基本事件考虑不全面导致错误;
(3)在求基本事件总数和所求事件包含的基本事件数时,一个按有序,一个按无序处理导致错误.
34.(2017山东文,16,12分)某旅游爱好者计划从3个亚洲国家A1,A2,A3和3个欧洲国家B1,B2,B3中选择2个国家去旅游.
(1)若从这6个国家中任选2个,求这2个国家都是亚洲国家的概率;
(2)若从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个,求这2个国家包括A1但不包括B1的概率.
解析　(1)由题意知,从6个国家中任选两个国家,其一切可能的结果组成的基本事件有:{A1,A2},{A1,A3},{A2,A3},{A1,B1},{A1,B2},{A1,B3},{A2,B1},{A2,B2},{A2,B3},{A3,B1},{A3,B2},{A3,B3},{B1,B2},{B1,B3},{B2,B3},共15个.
所选两个国家都是亚洲国家的事件所包含的基本事件有:{A1,A2},{A1,A3},{A2,A3},共3个,
则所求事件的概率P==.
(2)从亚洲国家和欧洲国家中各任选一个,其一切可能的结果组成的基本事件有:{A1,B1},{A1,B2},{A1,B3},{A2,B1},{A2,B2},{A2,B3},{A3,B1},{A3,B2},{A3,B3},共9个.
包括A1但不包括B1的事件所包含的基本事件有:{A1,B2},{A1,B3},共2个,
则所求事件的概率P=.
方法总结　求古典概型概率的一般步骤:
1.求出所有基本事件的个数n,常用的方法有列举法、列表法、画树状图法;
2.求出事件A所包含的基本事件的个数m;
3.代入公式P(A)=求解.
35.(2016山东文,16,12分)某儿童乐园在“六一”儿童节推出了一项趣味活动.参加活动的儿童需转动如图所示的转盘两次,每次转动后,待转盘停止转动时,记录指针所指区域中的数.设两次记录的数分别为x,y.奖励规则如下:
①若xy≤3,则奖励玩具一个;
②若xy≥8,则奖励水杯一个;
③其余情况奖励饮料一瓶.
假设转盘质地均匀,四个区域划分均匀.小亮准备参加此项活动.
(1)求小亮获得玩具的概率;
(2)请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小,并说明理由.
解析　用数对(x,y)表示儿童参加活动先后记录的数,则基本事件空间Ω与点集S={(x,y)|x∈N,y∈N,
1≤x≤4,1≤y≤4}一一对应.
因为S中元素的个数是4×4=16,
所以基本事件总数n=16.
(1)记“xy≤3”为事件A,
则事件A包含的基本事件数共5个,
即(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(3,1).
所以P(A)=,即小亮获得玩具的概率为.
(2)记“xy≥8”为事件B,“3则事件B包含的基本事件数共6个,
即(2,4),(3,3),(3,4),(4,2),(4,3),(4,4).
所以P(B)==.
事件C包含的基本事件数共5个,
即(1,4),(2,2),(2,3),(3,2),(4,1).
所以P(C)=.因为>,
所以小亮获得水杯的概率大于获得饮料的概率.
易错警示　本题出错的原因有两个:(1)理解不清题意,不能将基本事件列举出来;(2)列举基本事件有遗漏.
评析　本题主要考查了古典概型,理解题意,不重不漏地列举出基本事件是解题关键.
36.(2015天津文,15,13分)设甲、乙、丙三个乒乓球协会的运动员人数分别为27,9,18.现采用分层抽样的方法从这三个协会中抽取6名运动员组队参加比赛.
(1)求应从这三个协会中分别抽取的运动员的人数;
(2)将抽取的6名运动员进行编号,编号分别为A1,A2,A3,A4,A5,A6.现从这6名运动员中随机抽取2人参加双打比赛.
(i)用所给编号列出所有可能的结果;
(ii)设A为事件“编号为A5和A6的两名运动员中至少有1人被抽到”,求事件A发生的概率.
解析　(1)应从甲、乙、丙三个协会中抽取的运动员人数分别为3,1,2.
(2)(i)从6名运动员中随机抽取2人参加双打比赛的所有可能结果为{A1,A2},{A1,A3},{A1,A4},{A1,A5},{A1,A6},{A2,A3},{A2,A4},{A2,A5},{A2,A6},{A3,A4},{A3,A5},{A3,A6},{A4,A5},{A4,A6},{A5,A6},共15种.
(ii)编号为A5和A6的两名运动员中至少有1人被抽到的所有可能结果为{A1,A5},{A1,A6},{A2,A5},{A2,A6},{A3,A5},{A3,A6},{A4,A5},{A4,A6},{A5,A6},共9种.
因此,事件A发生的概率P(A)==.
评析　本小题主要考查分层抽样、用列举法计算随机事件所含的基本事件数、古典概型及其概率计算公式等基础知识.考查运用概率、统计知识解决简单实际问题的能力.
37.(2015山东文,16,12分)某中学调查了某班全部45名同学参加书法社团和演讲社团的情况,数据如下表:(单位:人)
参加书法社团 未参加书法社团
参加演讲社团 8 5
未参加演讲社团 2 30
(1)从该班随机选1名同学,求该同学至少参加上述一个社团的概率;
(2)在既参加书法社团又参加演讲社团的8名同学中,有5名男同学A1,A2,A3,A4,A5,3名女同学B1,B2,B3.现从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人,求A1被选中且B1未被选中的概率.
解析　(1)由调查数据可知,既未参加书法社团又未参加演讲社团的有30人,
故至少参加上述一个社团的共有45-30=15人,
所以从该班随机选1名同学,该同学至少参加上述一个社团的概率为P==.
(2)从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人,其一切可能的结果组成的基本事件有:
{A1,B1},{A1,B2},{A1,B3},{A2,B1},{A2,B2},
{A2,B3},{A3,B1},{A3,B2},{A3,B3},{A4,B1},
{A4,B2},{A4,B3},{A5,B1},{A5,B2},{A5,B3},
共15个.
根据题意,这些基本事件的出现是等可能的.
事件“A1被选中且B1未被选中”所包含的基本事件有:
{A1,B2},{A1,B3},共2个.
因此A1被选中且B1未被选中的概率为P=.
评析　本题考查随机事件的概率及其计算,考查运算求解能力及应用意识.
38.(2015四川文,17,12分)一辆小客车上有5个座位,其座位号为1,2,3,4,5.乘客P1,P2,P3,P4,P5的座位号分别为1,2,3,4,5,他们按照座位号从小到大的顺序先后上车.乘客P1因身体原因没有坐自己的1号座位,这时司机要求余下的乘客按以下规则就座:如果自己的座位空着,就只能坐自己的座位;如果自己的座位已有乘客就座,就在这5个座位的剩余空位中任意选择座位.
(1)若乘客P1坐到了3号座位,其他乘客按规则就座,则此时共有4种坐法.下表给出了其中两种坐法,请填入余下两种坐法(将乘客就座的座位号填入表中空格处);
(2)若乘客P1坐到了2号座位,其他乘客按规则就座,求乘客P5坐到5号座位的概率.
乘客 P1 P2 P3 P4 P5
座位号 3 2 1 4 5
3 2 4 5 1
解析　(1)余下两种坐法如下表所示:
乘客 P1 P2 P3 P4 P5
座位号 3 2 4 1 5
3 2 5 4 1
(2)若乘客P1坐到了2号座位,其他乘客按规则就座,则所有可能的坐法可用下表表示为:
乘客 P1 P2 P3 P4 P5
座位号 2 1 3 4 5
2 3 1 4 5
2 3 4 1 5
2 3 4 5 1
2 3 5 4 1
2 4 3 1 5
2 4 3 5 1
2 5 3 4 1
于是,所有可能的坐法共8种.
设“乘客P5坐到5号座位”为事件A,则事件A中的基本事件的个数为4.
所以P(A)==.
答:乘客P5坐到5号座位的概率是.
评析　本题主要考查随机事件的概率、古典概型等概念及相关计算,考查运用概率知识与方法分析和解决实际问题的能力,考查推理论证能力、应用意识.
39.(2014四川文,16,12分)一个盒子里装有三张卡片,分别标记有数字1,2,3,这三张卡片除标记的数字外完全相同.随机有放回地抽取3次,每次抽取1张,将抽取的卡片上的数字依次记为a,b,c.
(1)求“抽取的卡片上的数字满足a+b=c”的概率;
(2)求“抽取的卡片上的数字a,b,c不完全相同”的概率.
解析　(1)由题意知,(a,b,c)所有可能的结果为(1,1,1),(1,1,2),(1,1,3),(1,2,1),(1,2,2),(1,2,3),(1,3,1),(1,3,2),(1,3,3),(2,1,1),(2,1,2),(2,1,3),(2,2,1),(2,2,2),(2,2,3),(2,3,1),(2,3,2),(2,3,3),(3,1,1),(3,1,2),(3,1,3),(3,2,1),(3,2,2),(3,2,3),(3,3,1),(3,3,2),(3,3,3),共27种.
设“抽取的卡片上的数字满足a+b=c”为事件A,
则事件A包括(1,1,2),(1,2,3),(2,1,3),共3种.
所以P(A)==.
因此,“抽取的卡片上的数字满足a+b=c”的概率为.
(2)设“抽取的卡片上的数字a,b,c不完全相同”为事件B,
则事件包括(1,1,1),(2,2,2),(3,3,3),共3种.
所以P(B)=1-P()=1-=.
因此,“抽取的卡片上的数字a,b,c不完全相同”的概率为.
评析　本题主要考查随机事件的概率、古典概型等概念及相关计算,考查应用意识.
40.(2014天津文,15,13分)某校夏令营有3名男同学A,B,C和3名女同学X,Y,Z,其年级情况如下表:
一年级 二年级 三年级
男同学 A B C
女同学 X Y Z
现从这6名同学中随机选出2人参加知识竞赛(每人被选到的可能性相同).
(1)用表中字母列举出所有可能的结果;
(2)设M为事件“选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学”,求事件M发生的概率.
解析　(1)从6名同学中随机选出2人参加知识竞赛的所有可能结果为{A,B},{A,C},{A,X},{A,Y},{A,Z},{B,C},{B,X},{B,Y},{B,Z},{C,X},{C,Y},{C,Z},{X,Y},{X,Z},{Y,Z},共15种.
(2)选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学的所有可能结果为{A,Y},{A,Z},{B,X},{B,Z},{C,X},{C,Y},共6种.
因此,事件M发生的概率为=.
评析　本题主要考查用列举法计算随机事件所含的基本事件数、古典概型及其概率计算公式等基础知识.考查运用概率知识解决简单实际问题的能力.
考点三　几何概型
1.(2016课标Ⅱ文,8,5分)某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现,红灯持续时间为40秒.若一名行人来到该路口遇到红灯,则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为(　　)
A.　　　　B.　　　　C.　　　　D.
答案　B　行人在红灯亮起的25秒内到达该路口,即满足至少需要等待15秒才出现绿灯,根据几何概型的概率公式知所求事件的概率P==,故选B.
评析　本题主要考查几何概型,理清题意是解题的关键.
2.(2015湖北理,2,5分)我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题:粮仓开仓收粮,有人送来米1534石,验得米内夹谷,抽样取米一把,数得254粒内夹谷28粒,则这批米内夹谷约为(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.134石　　　　B.169石　　　　C.338石　　　　D.1365石
答案　B　∵×1534≈169,∴这批米内夹谷约为169石.
3.(2015陕西理,11,5分)设复数z=(x-1)+yi(x,y∈R),若|z|≤1,则y≥x的概率为(　　)
A.+　　　　B.-　　　　C.-　　　　D.+
答案　B　∵|z|≤1,∴(x-1)2+y2≤1,表示以M(1,0)为圆心,1为半径的圆及其内部,该圆的面积为π.易知直线y=x与圆(x-1)2+y2=1相交于O(0,0),A(1,1)两点,作图如下:
∵∠OMA=90°,∴S阴影=-×1×1=-.
故所求的概率P===-.
4.(2015山东文,7,5分)在区间[0,2]上随机地取一个数x,则事件“-1≤lo≤1”发生的概率为(　　)
A.　　　　B.　　　　C.　　　　D.
答案　A　由-1≤lo≤1,得≤x+≤2,
解得0≤x≤,所以事件“-1≤lo≤1”发生的概率为=,故选A.
5.(2015福建文,8,5分)如图,矩形ABCD中,点A在x轴上,点B的坐标为(1,0),且点C与点D在函数f(x)=的图象上.若在矩形ABCD内随机取一点,则此点取自阴影部分的概率等于(　　)
A.　　　　B.　　　　C.　　　　D.
答案　B　易知点C的坐标为(1,2),点D的坐标为(-2,2),所以矩形ABCD的面积为6,阴影部分的面积为,故所求概率为.
6.(2015湖北文,8,5分)在区间[0,1]上随机取两个数x,y,记p1为事件“x+y≤”的概率,p2为事件“xy≤”的概率,则(　　)
A.p1答案　D　(x,y)构成的区域是边长为1的正方形及其内部,其中满足x+y≤的区域如图(1)中阴影部分所示,所以p1==,满足xy≤的区域如图(2)中阴影部分所示,所以p2==>,所以p1<7.(2014湖南文,5,5分)在区间[-2,3]上随机选取一个数X,则X≤1的概率为(　　)
A.　　　　B.　　　　C.　　　　D.
答案　B　区间[-2,3]的长度为5,区间[-2,1]的长度为3,因此P(X≤1)=,选B.
8.(2014辽宁文,6,5分)若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD中,其中AB=2,BC=1,则质点落在以AB为直径的半圆内的概率是(　　)
A.　　　　B.　　　　C.　　　　D.
答案　B　P===.故选B.
9.(2013陕西理,5,5分)如图,在矩形区域ABCD的A,C两点处各有一个通信基站,假设其信号的覆盖范围分别是扇形区域ADE和扇形区域CBF(该矩形区域内无其他信号来源,基站工作正常).若在该矩形区域内随机地选一地点,则该地点无信号的概率是(　　)
A.1-　　　　B.-1　　　　C.2-　　　　D.
答案　A　依题意知,有信号的区域面积为×2=,矩形面积为2,故无信号的概率P==1-.
10.(2013四川理,9,5分)节日前夕,小李在家门前的树上挂了两串彩灯.这两串彩灯的第一次闪亮相互独立,且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生,然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮.那么这两串彩灯同时通电后,它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是(　　)
A.　　　　B.　　　　C.　　　　D.
答案　C　设通电x秒后第一串彩灯闪亮,y秒后第二串彩灯闪亮.依题意得0≤x≤4,0≤y≤4,∴S=4×4=16.
又两串彩灯闪亮的时刻相差不超过2秒,即|x-y|≤2,如图可知,符合要求的S'=16-×2×2-×2×2=12,
∴P===.
11.(2013湖南文,9,5分)已知事件“在矩形ABCD的边CD上随机取一点P,使△APB的最大边是AB”发生的概率为,则=(　　)
A.　　　　B.　　　　C.　　　　D.
答案　D　矩形ABCD如图所示,在点P从D点向C点运动过程中,DP在增大,AP也在增大,而BP在逐渐减小,当P点到P1位置时,BA=BP1,当P点到P2位置时,AB=AP2,故点P在线段P1P2上时,△ABP中边AB最大,由题意可得P1P2=CD.在Rt△BCP1中,B=CD2+BC2=AB2+AD2=AB2.即AD2=AB2,所以=,故选D.
12.(2012北京理,2,5分)设不等式组表示的平面区域为D.在区域D内随机取一个点,则此点到坐标原点的距离大于2的概率是(　　)
A.　　　　B.　　　　C.　　　　D.
答案　D　如图,不等式组表示的区域D为正方形OABC.
以O为圆心,以2为半径作,则阴影部分内的点到原点O的距离大于2,∴所求概率P===.故选D.
评析　本题主要考查几何概型,能正确画图是关键.
13.(2012辽宁文,11,5分)在长为12cm的线段AB上任取一点C.现作一矩形,邻边长分别等于线段AC,CB的长,则该矩形面积大于20cm2的概率为(　　)
A.　　　　B.　　　　C.　　　　D.
答案　C　设AC=xcm,则BC=(12-x)cm(0∴矩形面积为x(12-x)cm2,
由x(12-x)<32解得x>8或x<4,
∴0∴所求概率为=,故选C.
14.(2016课标Ⅱ,10,5分)从区间[0,1]随机抽取2n个数x1,x2,…,xn,y1,y2,…,yn,构成n个数对(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn),其中两数的平方和小于1的数对共有m个,则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为(　　)
A.　　　　B.　　　　C.　　　　D.
答案　C　如图,数对(xi,yi)(i=1,2,…,n)表示的点落在边长为1的正方形OABC内(包括边界),两数的平方和小于1的数对表示的点落在半径为1的四分之一圆(阴影部分,不含圆边界)内,则由几何概型的概率公式可得= π=.故选C.
15.(2021全国乙理,8,5分)在区间(0,1)与(1,2)中各随机取1个数,则两数之和大于的概率为 (　　)
A.
答案　B　解题指导:设出两变量x,y,从而写出x,y所满足的约束条件及所求目标函数的表达式,利用线性规划相关知识求得面积,由几何概型概率公式求得结果.
解析　设x∈(0,1),y∈(1,2),即
画出其表示的平面区域,易知区域面积S=S正方形EQPF=1,设直线x+y=交QE于点N,交QP于点M,从而得S△MQN=,而在约束条件下x+y>所表示的平面区域为图中阴影部分(不含边界)所示,其面积S'=1-,∴所求概率P=,故选B.
解题关键　与线性规划有关的平面图形的几何概型,解题的关键是对所求的事件A构成的平面区域形状的判断及面积的计算,基本方法是数形结合.
16.(2021全国乙文,7,5分)在区间随机取1个数,则取到的数小于的概率为 (　　)
A.
答案　B　解题指导:事件“取到的数小于”表示的长度除以基本事件表示的总长度.
解析　设事件A为“取到的数小于”,则P(A)=.
17.(2023全国乙理,5,5分,易)设O为平面直角坐标系的坐标原点,在区域{(x,y)|1≤x2+y2≤4}内随机取一点,记该点为A,则直线OA的倾斜角不大于的概率为 (　　)
A.
答案　C　如图所示,满足{(x,y)|1≤x2+y2≤4}的区域为圆环,
直线OA的倾斜角不大于的区域为直线y=x与x轴之间的部分(阴影区域).所以所求概率P=,故选C.
18.(2016山东理,14,5分)在[-1,1]上随机地取一个数k,则事件“直线y=kx与圆(x-5)2+y2=9相交”发生的概率为　　　　.
答案　
解析　直线y=kx与圆(x-5)2+y2=9相交的充要条件为<3,解之得-思路分析　直线y=kx与圆(x-5)2+y2=9相交的充要条件为圆心(5,0)到直线y=kx的距离小于半径,从而求得k的范围,再利用几何概型的概率公式来求解概率.
评析　本题将直线与圆的位置关系、点到直线的距离与几何概型巧妙结合,主要考查了运算求解能力及数形结合的思想方法,属中档题.
19.(2014福建文,13,4分)如图,在边长为1的正方形中随机撒1000粒豆子,有180粒落到阴影部分,据此估计阴影部分的面积为　　　　.
答案　0.18
解析　设阴影部分的面积为S,则=,
∴S=0.18.
20.(2014重庆文,15,5分)某校早上8:00开始上课,假设该校学生小张与小王在早上7:30~7:50之间到校,且每人在该时间段的任何时刻到校是等可能的,则小张比小王至少早5分钟到校的概率为　　　　.(用数字作答)
答案　
解析　设小张和小王到校的时间分别为y和x,则则满足条件的区域如图中阴影部分所示.
故所求概率P==.
评析　本题考查几何概型及数学建模的能力,考查转化与化归思想的应用.本题的易错点是搞错事件发生的区域.
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