2014-2023年高考数学真题专题分类--专题十二 算法初步、推理与证明(含解析)

2014-2023年高考数学真题专题分类
专题十二　算法初步
考点一　算法与程序框图
1.(2020课标Ⅱ文,7,5分)执行下面的程序框图,若输入的k=0,a=0,则输出的k为(　　)
A.2　　　　B.3　　　　C.4　　　　D.5
答案　C　输入k=0,a=0,第一次循环,a=1,k=1,a<10,第二次循环,a=3,k=2,a<10,第三次循环,a=7,k=3,a<10,第四次循环,a=15,k=4,a>10,结束循环,输出k=4.
2.(2020课标Ⅰ文,9,5分)执行如图所示的程序框图,则输出的n=(　　)
A.17　　　　B.19　　　　C.21　　　　D.23
答案　C　S=0,n=1;
S=1,S≤100,n=3;
S=4,S≤100,n=5;
S=9,S≤100,n=7;
……
S=81,S≤100,n=19;
S=100,S≤100,n=21;
S=121,S>100,结束循环,
∴输出n的值为21.
3.(2019课标Ⅰ理,8,5分)如图是求的程序框图,图中空白框中应填入(　　)
A.A=　　　　B.A=2+　　　　C.A=　　　　D.A=1+
答案　A　本题考查学生对程序框图基本逻辑结构以及算法的含义和算法思想的理解;考查的核心素养是逻辑推理.
观察题目所给式子,由程序框图,得
当k=1时,k≤2成立,A==;
当k=2时,k≤2成立,A==;
当k=3时,k≤2不成立,输出A,程序结束.故选A.
名师点拨　程序框图题通常是计算输出结果,或者寻找判断条件、逆推输入条件.本题另辟蹊径,要求完善处理框,对学生的应变能力有一定的要求,难度不大.另外,由题设结合递推关系也可直接选出答案.
4.(2018北京理,3文3,5分)执行如图所示的程序框图,输出的s值为(　　)
A.　　　　B.　　　　C.　　　　D.
答案　B　本题主要考查程序框图.
k=1,s=1;s=1+(-1)1×=1-=,k=2,2<3;s=+(-1)2×=+=,k=3,
此时跳出循环,
∴输出.故选B.
5.(2017北京理,3文3,5分)执行如图所示的程序框图,输出的s值为(　　)
A.2　　　　B.　　　　C.　　　　D.
答案　C　本题考查程序框图中的循环结构.
由程序框图可知k=1,s=2;k=2,s=;k=3,s=.
此时k<3不成立,故输出s=.故选C.
解题关键　找出循环终止的条件是解题的关键.
6.(2017天津理,3,5分)阅读下面的程序框图,运行相应的程序,若输入N的值为24,则输出N的值为(　　)
A.0　　　　B.1　　　　C.2　　　　D.3
答案　C　本题主要考查程序框图.
执行程序框图,输入N的值为24时,24能被3整除,执行是,N=8,8≤3不成立,继续执行循环体;8不能被3整除,执行否,N=7,7≤3不成立,继续执行循环体;7不能被3整除,执行否,N=6,6≤3不成立,继续执行循环体;6能被3整除,执行是,N=2,2≤3成立,退出循环,输出N的值为2,故选C.
7.(2017山东文,6,5分)执行下面的程序框图,当输入的x的值为4时,输出的y的值为2,则空白判断框中的条件可能为(　　)
A.x>3　　　　B.x>4　　　　
C.x≤4　　　　D.x≤5
答案　B　∵log24=2,4+2=6,
∴当x=4时,应执行否.
结合选项知选B.
8.(2016课标Ⅰ,理9,文10,5分)执行下面的程序框图,如果输入的x=0,y=1,n=1,则输出x,y的值满足(　　)
A.y=2x　　　　B.y=3x　　　　C.y=4x　　　　D.y=5x
答案　C　x=0,y=1,n=1,x=0,y=1,n=2;
x=,y=2,n=3;x=,y=6,此时x2+y2>36,输出x=,y=6,满足y=4x.故选C.
9.(2016天津理,4,5分)阅读下边的程序框图,运行相应的程序,则输出S的值为(　　)
A.2　　　　B.4　　　　C.6　　　　D.8
答案　B　S=4,n=1;S=8,n=2;S=2,n=3;S=4,n=4,结束循环,输出S=4,故选B.
10.(2016四川理,6,5分)秦九韶是我国南宋时期的数学家,普州(现四川省安岳县)人,他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法,至今仍是比较先进的算法.如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例,若输入n,x的值分别为3,2,则输出v的值为(　　)
A.9　　　　B.18　　　　C.20　　　　D.35
答案　B　执行程序框图,n=3,x=2,v=1,i=2≥0;v=1×2+2=4,i=1≥0;v=4×2+1=9,i=0≥0;v=9×2+0=18,i=-1<0,结束循环,输出v=18.故选B.
11.(2016北京文,3,5分)执行如图所示的程序框图,输出的s值为(　　)
A.8　　　　B.9　　　　C.27　　　　D.36
答案　B　由题意,知
这时3>2,输出s=9,故选B.
12.(2015北京理,3,5分)执行如图所示的程序框图,输出的结果为(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.(-2,2)　　　　B.(-4,0)　　　　C.(-4,-4)　　　　D.(0,-8)
答案　B　第一次循环:s=0,t=2,x=0,y=2,k=1<3;第二次循环:s=-2,t=2,x=-2,y=2,k=2<3;第三次循环:s=-4,t=0,x=-4,y=0,k=3,满足k≥3,循环结束,此时输出(x,y)为(-4,0),故选B.
13.(2015湖南理,3,5分)执行如图所示的程序框图.如果输入n=3,则输出的S=(　　)
A.　　　　B.　　　　C.　　　　D.
答案　B　当输入n=3时,输出S=++
==.故选B.
14.(2015课标Ⅰ,理9,文9,5分)执行下面的程序框图,如果输入的t=0.01,则输出的n=(　　)
A.5　　　　B.6　　　　C.7　　　　D.8
答案　C　第一次循环:S=1-=,m=,n=1,S>t;第二次循环:S=-=,m=,n=2,S>t;第三次循环:S=-=,m=,n=3,S>t;第四次循环:S=-=,m=,n=4,S>t;第五次循环:S=-=,m=,n=5,S>t;第六次循环:S=-=,m=,n=6,S>t;第七次循环:S=-=,m=,n=7,此时不满足S>t,结束循环,输出n=7,故选C.
15.(2015课标Ⅱ,理8,文8,5分)下边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”.执行该程序框图,若输入的a,b分别为14,18,则输出的a=(　　)
A.0　　　　B.2　　　　C.4　　　　D.14
答案　B　开始:a=14,b=18,
第一次循环:a=14,b=4;
第二次循环:a=10,b=4;
第三次循环:a=6,b=4;
第四次循环:a=2,b=4;
第五次循环:a=2,b=2.
此时,a=b,退出循环,输出a=2.
评析　熟悉“更相减损术”对理解框图所确定的算法有帮助.
16.(2015重庆理,7,5分)执行如图所示的程序框图,若输出k的值为8,则判断框内可填入的条件是(　　)
A.s≤　　　　B.s≤　　　　C.s≤　　　　D.s≤
答案　C　k=2,s=;k=4,s=+=;
k=6,s=++=;k=8,s=+++=.
此时循环结束,所以判断框中可填入的条件是s≤,选C.
17.(2014课标Ⅰ,理7,文9,5分)执行下面的程序框图,若输入的a,b,k分别为1,2,3,则输出的M=(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.　　　　B.　　　　C.　　　　D.
答案　D　第一次循环,M=,a=2,b=,n=2;第二次循环,M=,a=,b=,n=3;第三次循环,M=,a=,b=,n=4,退出循环,输出M为,故选D.
18.(2014课标Ⅱ,理7,文8,5分)执行下面的程序框图,如果输入的x,t均为2,则输出的S=(　　)
A.4　　　　B.5　　　　C.6　　　　D.7
答案　D　k=1,M=×2=2,S=2+3=5;
k=2,M=×2=2,S=2+5=7;
k=3,3>t,∴输出S=7,故选D.
19.(2013课标Ⅰ理,5,5分)执行下面的程序框图,如果输入的t∈[-1,3],则输出的s属于(　　)
A.[-3,4]　　　　B.[-5,2]　　　　C.[-4,3]　　　　D.[-2,5]
答案　A　由框图知s是关于t的分段函数:s=当t∈[-1,1)时,s∈[-3,3);当t∈[1,3]时,s=4t-t2=4-(t-2)2∈[3,4],故s∈[-3,4],故选A.
20.(2013课标Ⅱ理,6,5分)执行下面的程序框图,如果输入的N=10,那么输出的S=(　　)
A.1+++…+　　　　B.1+++…+
C.1+++…+　　　　D.1+++…+
答案　B　由框图知循环情况如下:T=1,S=1,k=2;
T=,S=1+,k=3;T=,S=1++,k=4;
T=,S=1+++,k=5;…;
T=,S=1+++…+,k=11>10,输出S,故选B.
21.(2013课标Ⅱ文,7,5分)执行下面的程序框图,如果输入的N=4,那么输出的S=(　　)
A.1+++
B.1+++
C.1++++
D.1++++
答案　B　由框图知循环情况为:T=1,S=1,k=2;T=,S=1+,k=3;T=,S=1++,k=4;T=,S=1+++,k=5>4,故输出S.选B.
22.(2012课标理,6,5分)如果执行下边的程序框图,输入正整数N(N≥2)和实数a1,a2,…,aN,输出A,B,则(　　)
A.A+B为a1,a2,…,aN的和
B.为a1,a2,…,aN的算术平均数
C.A和B分别是a1,a2,…,aN中最大的数和最小的数
D.A和B分别是a1,a2,…,aN中最小的数和最大的数
答案　C　不妨令N=3,a1评析　本题考查了流程图,考查了由一般到特殊的转化思想.
23.(2011课标,理3,文5,5分)执行右面的程序框图,如果输入的N是6,那么输出的p是(　　)
A.120　　　　B.720　　　　C.1440　　　　D.5040
答案　B　输入N=6,k=1,p=1,
赋值p=1×1=1,k=1<6;
k=1+1=2,p=1×2=2,k=2<6;
k=2+1=3,p=2×3=6,k=3<6;
k=3+1=4,p=6×4=24,k=4<6;
k=4+1=5,p=24×5=120,k=5<6;
k=5+1=6,p=120×6=720,k=6不小于6,所以输出p=720,故选B.
24.(2022全国乙,理6,文7,5分)执行下边的程序框图,输出的n= (　　)
A.3　　　　B.4　　　　C.5　　　　D.6
答案　B　输入a=1,b=1,n=1,执行第一次循环,即b=1+2×1=3,a=3-1=2,n=2,判断>0.01,故执行第二次循环,即b=3+2×2=7,a=7-2=5,n=3,判断>0.01,故执行第三次循环,即b=7+2×5=17,a=17-5=12,n=4,判断<0.01,故结束循环,此时输出n=4.故选B.
25.(2017江苏,4,5分)下图是一个算法流程图.若输入x的值为,则输出y的值是　　　　.
答案　-2
解析　本题考查算法与程序框图.
∵x=<1,∴y=2+log2=-2.
26.(2016课标Ⅱ,8,5分)中国古代有计算多项式值的秦九韶算法,如图是实现该算法的程序框图.执行该程序框图,若输入的x=2,n=2,依次输入的a为2,2,5,则输出的s=(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.7　　　　 B.12　　　　
C.17　　　　D.34
答案　C　k=0,s=0,
输入a=2,s=0×2+2=2,k=1;
输入a=2,s=2×2+2=6,k=2;
输入a=5,s=6×2+5=17,k=3>2,输出s=17.故选C.
27.(2023全国甲理,3,5分,易)执行下边的程序框图,则输出的B= (　　)
A.21　　B.34　　C.55　　D.89
答案　B　输入n=3,A=1,B=2,k=1.执行第一次循环:A=3,B=5,k=2;执行第二次循环:A=8,B=13,k=3;执行第三次循环:A=21,B=34,k=4,退出循环,输出B=34,结束,故选B.
28.(2023全国甲文,6,5分,易)执行下边的程序框图,则输出的B= (　　)
A.21　　B.34　　C.55　　D.89
答案　B　输入n=3,A=1,B=2,k=1.执行第一次循环:A=3,B=5,k=2;执行第二次循环:A=8,B=13,k=3;执行第三次循环:A=21,B=34,k=4,退出循环,输出B=34,结束,故选B.
考点二　合情推理与演绎推理
1.(2017课标Ⅱ理,7,5分)甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩.老师说:你们四人中有2位优秀,2位良好,我现在给甲看乙、丙的成绩,给乙看丙的成绩,给丁看甲的成绩.看后甲对大家说:我还是不知道我的成绩.根据以上信息,则(　　)
A.乙可以知道四人的成绩　　　 　B.丁可以知道四人的成绩
C.乙、丁可以知道对方的成绩　　　　D.乙、丁可以知道自己的成绩
答案　D　本题主要考查逻辑推理能力.
由题意可知,“甲看乙、丙的成绩,不知道自己的成绩”说明乙、丙两人是一个优秀一个良好,则乙看了丙的成绩,可以知道自己的成绩;丁看了甲的成绩,也可以知道自己的成绩.故选D.
2.(2014北京理,8,5分)学生的语文、数学成绩均被评定为三个等级,依次为“优秀”“合格”“不合格”.若学生甲的语文、数学成绩都不低于学生乙,且其中至少有一门成绩高于乙,则称“学生甲比学生乙成绩好”.如果一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好,并且不存在语文成绩相同、数学成绩也相同的两位学生,那么这组学生最多有(　　)
A.2人　　　　B.3人　　　　C.4人　　　　D.5人
答案　B　设学生人数为n,因为成绩评定只有“优秀”“合格”“不合格”三种情况,所以当n≥4时,语文成绩至少有两人相同,若此两人数学成绩也相同,与“任意两人成绩不全相同”矛盾;若此两人数学成绩不同,则此两人有一人比另一人成绩好,也不满足条件.因此:n<4,即n≤3.当n=3时,评定结果分别为“优秀,不合格”“合格,合格”“不合格,优秀”,符合题意,故n=3,选B.
3.(2012江西理,6,5分)观察下列各式:a+b=1,a2+b2=3,a3+b3=4,a4+b4=7,a5+b5=11,……,则a10+b10=(　　)
A.28　　　　B.76　　　　C.123　　　　D.199
答案　C　解法一:由a+b=1,a2+b2=3得ab=-1,代入后三个等式中符合,则a10+b10=(a5+b5)2-2a5b5=123,故选C.
解法二:令an=an+bn,则a1=1,a2=3,a3=4,a4=7,……得an+2=an+an+1,从而a6=18,a7=29,a8=47,a9=76,a10=123,故选C.
评析　本题考查了合情推理和递推数列,考查了推理论证和运算求解能力.
4.(2016北京,8,5分)袋中装有偶数个球,其中红球、黑球各占一半.甲、乙、丙是三个空盒.每次从袋中任意取出两个球,将其中一个球放入甲盒,如果这个球是红球,就将另一个球放入乙盒,否则就放入丙盒.重复上述过程,直到袋中所有球都被放入盒中,则(　　)
A.乙盒中黑球不多于丙盒中黑球
B.乙盒中红球与丙盒中黑球一样多
C.乙盒中红球不多于丙盒中红球
D.乙盒中黑球与丙盒中红球一样多
答案　B　解法一:假设袋中只有一红一黑两个球,第一次取出后,若将红球放入了甲盒,则乙盒中有一个黑球,丙盒中无球,A错误;若将黑球放入了甲盒,则乙盒中无球,丙盒中有一个红球,D错误;同样,假设袋中有两个红球和两个黑球,第一次取出两个红球,则乙盒中有一个红球,第二次必然拿出两个黑球,则丙盒中有一个黑球,此时乙盒中红球多于丙盒中的红球,C错误.故选B.
解法二:设袋中共有2n个球,最终放入甲盒中k个红球,放入乙盒中s个红球.依题意知,甲盒中有(n-k)个黑球,乙盒中共有k个球,其中红球有s个,黑球有(k-s)个,丙盒中共有(n-k)个球,其中红球有(n-k-s)个,黑球有(n-k)-(n-k-s)=s个.所以乙盒中红球与丙盒中黑球一样多.故选B.
5.(2022全国乙理,4,5分,应用性)嫦娥二号卫星在完成探月任务后,继续进行深空探测,成为我国第一颗环绕太阳飞行的人造行星.为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值,用到数列{bn}:b1=1+,b2=1+,b3=1+,…,依此类推,其中αk∈N*(k=1,2,…),则 (　　)
A.b1C.b6答案　D　(特殊值法)不妨取αk=1(k=1,2,…),则b1=1+=2;b2=1+;b3=1+;b4=1+;b5=1+;b6=1+;b7=1+;b8=1+.对比选项,知选D.
6.(2017北京文,14,5分)某学习小组由学生和教师组成,人员构成同时满足以下三个条件:
(i)男学生人数多于女学生人数;
(ii)女学生人数多于教师人数;
(iii)教师人数的两倍多于男学生人数.
①若教师人数为4,则女学生人数的最大值为　　　　;
②该小组人数的最小值为　　　　.
答案　①6　②12
解析　设男学生人数为x,女学生人数为y,教师人数为z,由已知得且x,y,z均为正整数.
①当z=4时,8>x>y>4,∴x的最大值为7,y的最大值为6,
故女学生人数的最大值为6.
②x>y>z>,当x=3时,条件不成立,当x=4时,条件不成立,当x=5时,5>y>z>,此时z=3,y=4.
∴该小组人数的最小值为12.
7.(2016山东文,12,5分)观察下列等式:
+=×1×2;
+++=×2×3;
+++…+=×3×4;
+++…+=×4×5;
……
照此规律,
+++…+=　　　　.
答案　
解析　观察前4个等式,由归纳推理可知++…+=×n×(n+1)=.
评析　本题主要考查了归纳推理,认真观察题中给出的4个等式即可得出结论.
8.(2015福建理,15,4分)一个二元码是由0和1组成的数字串x1x2…xn(n∈N*),其中xk(k=1,2,…,n)称为第k位码元.二元码是通信中常用的码,但在通信过程中有时会发生码元错误(即码元由0变为1,或者由1变为0).
已知某种二元码x1x2…x7的码元满足如下校验方程组:
其中运算 定义为:0 0=0,0 1=1,1 0=1,1 1=0.
现已知一个这种二元码在通信过程中仅在第k位发生码元错误后变成了1101101,那么利用上述校验方程组可判定k等于　　　　.
答案　5
解析　设a,b,c,d∈{0,1},在规定运算法则下满足:a b c d=0,可分为下列三类情形:①4个1:1 1 1 1=0,②2个1:1 1 0 0=0,③0个1:0 0 0 0=0,因此,错码1101101通过校验方程组可得:
由x4 x5 x6 x7=0,∴1 1 0 1≠0;
由x2 x3 x6 x7=0,∴1 0 0 1=0;
由x1 x3 x5 x7=0,∴1 0 1 1≠0,
∴错码可能出现在x5,x7上,
若x5=0,则检验方程组都成立,故k=5.
若x7=0,此时x2 x3 x6 x7≠0,故k≠7.
综上分析,x5为错码,故k=5.
评析　本题主要考查推理,考查学生分析、解决问题的能力,属中等难度题.
9.(2015陕西文,16,5分)观察下列等式
1-=
1-+-=+
1-+-+-=++
……
据此规律,第n个等式可为　　　　　　　　　　　.
答案　1-+-+…+-=++…+
解析　规律为等式左边共有2n项且等式左边分母分别为1,2,…,2n,分子为1,奇数项为正、偶数项为负,即为1-+-+…+-;等式右边共有n项且分母分别为n+1,n+2,…,2n,分子为1,即为++…+.所以第n个等式可为1-+-+…+-=++…+.
10.(2014课标Ⅰ,理14,文14,5分)甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A,B,C三个城市时,
甲说:我去过的城市比乙多,但没去过B城市;
乙说:我没去过C城市;
丙说:我们三人去过同一城市.
由此可判断乙去过的城市为　　　　.
答案　A
解析　由于甲、乙、丙三人去过同一城市,而甲没有去过B城市,乙没有去过C城市,因此三人去过的同一城市应为A,而甲去过的城市比乙多,但没去过B城市,所以甲去过的城市数应为2,乙去过的城市应为A.
11.(2014陕西理,14,5分)观察分析下表中的数据:
多面体 面数(F) 顶点数(V) 棱数(E)
三棱柱 5 6 9
五棱锥 6 6 10
立方体 6 8 12
猜想一般凸多面体中F,V,E所满足的等式是　　　　.
答案　F+V-E=2
解析　观察表中数据,并计算F+V分别为11,12,14,又其对应E分别为9,10,12,容易观察并猜想F+V-E=2.
12.(2014北京文,14,5分)顾客请一位工艺师把A,B两件玉石原料各制成一件工艺品.工艺师带一位徒弟完成这项任务.每件原料先由徒弟完成粗加工,再由工艺师进行精加工完成制作,两件工艺品都完成后交付顾客.两件原料每道工序所需时间(单位:工作日)如下:
原料时间工序 粗加工 精加工
原料A 9 15
原料B 6 21
则最短交货期为　　　　个工作日.
答案　42
解析　工序流程图如图所示:
则最短交货期为6+21+15=42个工作日.
13.(2014安徽文,12,5分)如图,在等腰直角三角形ABC中,斜边BC=2.过点A作BC的垂线,垂足为A1;过点A1作AC的垂线,垂足为A2;过点A2作A1C的垂线,垂足为A3;…,依此类推.设BA=a1,AA1=a2,A1A2=a3,…,A5A6=a7,则a7=　　　　.
答案　
解析　由BC=2得AB=a1=2 AA1=a2= A1A2=a3=×=1,由此可归纳出{an}是以a1=2为首项,为公比的等比数列,因此a7=a1×q6=2×=.
14.(2013安徽理,14,5分)如图,互不相同的点A1,A2,…,An,…和B1,B2,…,Bn,…分别在角O的两条边上,所有AnBn相互平行,且所有梯形AnBnBn+1An+1的面积均相等.设OAn=an.若a1=1,a2=2,则数列{an}的通项公式是　　　　　　.
答案　an=
解析　记△OA1B1的面积为S,则△OA2B2的面积为4S.
从而四边形AnBnBn+1An+1的面积均为3S.
即得△OAnBn的面积为S+3(n-1)S=(3n-2)S.
∴=3n-2,即an=.
评析　△OAnBn的面积构成一个等差数列,而△OAnBn与△OA1B1的面积比为,从而得到{an}的通项公式.本题综合考查了平面几何、数列的知识.
考点三　直接证明与间接证明
1.(2014山东理,4,5分)用反证法证明命题“设a,b为实数,则方程x3+ax+b=0至少有一个实根”时,要做的假设是(　　)
A.方程x3+ax+b=0没有实根
B.方程x3+ax+b=0至多有一个实根
C.方程x3+ax+b=0至多有两个实根
D.方程x3+ax+b=0恰好有两个实根
答案　A　因为“方程x3+ax+b=0至少有一个实根”等价于“方程x3+ax+b=0的实根的个数大于或等于1”,因此,要做的假设是方程x3+ax+b=0没有实根.
2.(2015北京理,20,13分)已知数列{an}满足:a1∈N*,a1≤36,且an+1=(n=1,2,…).记集合M={an|n∈N*}.
(1)若a1=6,写出集合M的所有元素;
(2)若集合M存在一个元素是3的倍数,证明:M的所有元素都是3的倍数;
(3)求集合M的元素个数的最大值.
解析　(1)6,12,24.
(2)证明:因为集合M存在一个元素是3的倍数,所以不妨设ak是3的倍数.
由an+1=可归纳证明对任意n≥k,an是3的倍数.
如果k=1,则M的所有元素都是3的倍数.
如果k>1,因为ak=2ak-1或ak=2ak-1-36,
所以2ak-1是3的倍数,于是ak-1是3的倍数.
类似可得,ak-2,…,a1都是3的倍数.
从而对任意n≥1,an是3的倍数,因此M的所有元素都是3的倍数.
综上,若集合M存在一个元素是3的倍数,则M的所有元素都是3的倍数.
(3)由a1≤36,an=可归纳证明an≤36(n=2,3,…).
因为a1是正整数,a2=所以a2是2的倍数,
从而当n≥3时,an是4的倍数.
如果a1是3的倍数,由(2)知对所有正整数n,an是3的倍数,
因此当n≥3时,an∈{12,24,36},
这时M的元素个数不超过5.
如果a1不是3的倍数,由(2)知对所有正整数n,an不是3的倍数,
因此当n≥3时,an∈{4,8,16,20,28,32},
这时M的元素个数不超过8.
当a1=1时,M={1,2,4,8,16,20,28,32}有8个元素.
综上可知,集合M的元素个数的最大值为8.
考点四 数学归纳法
1.(2017浙江,22,15分)已知数列{xn}满足:x1=1,xn=xn+1+ln(1+xn+1)(n∈N*).
证明:当n∈N*时,
(1)0(2)2xn+1-xn≤;
(3)≤xn≤.
证明　本题主要考查数列的概念、递推关系与单调性基础知识,不等式及其应用,同时考查推理论证能力、分析问题和解决问题的能力.
(1)用数学归纳法证明:xn>0.
当n=1时,x1=1>0.
假设n=k时,xk>0,那么n=k+1时,若xk+1≤0,则00.
因此xn>0(n∈N*).所以xn=xn+1+ln(1+xn+1)>xn+1.
因此0(2)由xn=xn+1+ln(1+xn+1)得,
xnxn+1-4xn+1+2xn=-2xn+1+(xn+1+2)ln(1+xn+1).
记函数f(x)=x2-2x+(x+2)ln(1+x)(x≥0),
f'(x)=+ln(1+x)>0(x>0).
函数f(x)在[0,+∞)上单调递增,所以f(x)≥f(0)=0,
因此-2xn+1+(xn+1+2)ln(1+xn+1)=f(xn+1)≥0,
故2xn+1-xn≤(n∈N*).
(3)因为xn=xn+1+ln(1+xn+1)≤xn+1+xn+1=2xn+1,所以xn≥.
由≥2xn+1-xn得-≥2>0,
所以-≥2≥…≥2n-1=2n-2,
故xn≤.综上,≤xn≤(n∈N*).
方法总结　1.证明数列单调性的方法.
①差比法:作差an+1-an,然后分解因式,判断符号,或构造函数,利用导数求函数的值域,从而判断其符号.
②商比法:作商,判断与1的大小,同时注意an的正负.
③数学归纳法.
④反证法:例如求证:n∈N*,an+12.证明数列的有界性的方法.
①构造法:构造函数,求函数的值域,得数列有界.
②反证法.
③数学归纳法.
3.数列放缩的方法.
①裂项法:利用不等式性质,把数列的第k项分裂成某数列的相邻两项差的形式,再求和,达到放缩的目的.
②累加法:先把an+1-an进行放缩.例:an+1-an≤qn,
则有n≥2时,an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1)≤a1+q+q2+…+qn-1.
③累乘法:先把进行放缩.例:≤q(q>0),
则有n≥2时,an=a1···…·≤a1qn-1(其中a1>0).
④放缩为等比数列:利用不等式性质,把非等比数列{an}放缩成等比数列{bn},求和后,再进行适当放缩.
2.(2014重庆理,22,12分)设a1=1,an+1=+b(n∈N*).
(1)若b=1,求a2,a3及数列{an}的通项公式;
(2)若b=-1,问:是否存在实数c使得a2n解析　(1)解法一:a2=2,a3=+1.
由题设条件知(an+1-1)2=(an-1)2+1.
从而{(an-1)2}是首项为0,公差为1的等差数列,
故(an-1)2=n-1,即an=+1(n∈N*).
解法二:a2=2,a3=+1,
可写为a1=+1,a2=+1,a3=+1.
因此猜想an=+1.
下用数学归纳法证明上式:
当n=1时结论显然成立.
假设n=k时结论成立,即ak=+1,则
ak+1=+1=+1=+1.
这就是说,当n=k+1时结论成立.
所以an=+1(n∈N*).
(2)解法一:设f(x)=-1,则an+1=f(an).
令c=f(c),即c=-1,解得c=.
下用数学归纳法证明加强命题a2n当n=1时,a2=f(1)=0,a3=f(0)=-1,所以a2<假设n=k时结论成立,即a2k易知f(x)在(-∞,1]上为减函数,
从而c=f(c)>f(a2k+1)>f(1)=a2,即1>c>a2k+2>a2.
再由f(x)在(-∞,1]上为减函数得c=f(c)故c这就是说,当n=k+1时结论成立.
综上,符合条件的c存在,其中一个值为c=.
解法二:设f(x)=-1,则an+1=f(an).
先证:0≤an≤1(n∈N*).①
当n=1时,结论明显成立.
假设n=k时结论成立,即0≤ak≤1.
易知f(x)在(-∞,1]上为减函数,
从而0=f(1)≤f(ak)≤f(0)=-1<1.
即0≤ak+1≤1.这就是说,当n=k+1时结论成立.故①成立.
再证:a2n当n=1时,a2=f(1)=0,a3=f(a2)=f(0)=-1,有a2假设n=k时,结论成立,即a2k由①及f(x)在(-∞,1]上为减函数,得
a2k+1=f(a2k)>f(a2k+1)=a2k+2,
a2(k+1)=f(a2k+1)这就是说,当n=k+1时②成立.所以②对一切n∈N*成立.
由②得a2n<-1,
即(a2n+1)2<-2a2n+2,
因此a2n<.③
又由①、②及f(x)在(-∞,1]上为减函数得f(a2n)>f(a2n+1),
即a2n+1>a2n+2,
所以a2n+1>-1,解得a2n+1>.④
综上,由②、③、④知存在c=使a2n评析　本题考查由递推公式求数列的通项公式,数学归纳法,等差数列等内容.用函数的观点解决数列问题是处理本题的关键.
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