2014-2023年高考数学真题专题分类--专题十三 数系的扩充与复数的引入(含解析)

2014-2023年高考数学真题专题分类
专题十三　数系的扩充与复数的引入
考点一　复数的概念及几何意义
1.(2019课标Ⅱ文,2,5分)设z=i(2+i),则=(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.1+2i　　　　B.-1+2i　　　　
C.1-2i　　　　D.-1-2i
答案　D　本题主要考查复数的有关概念及复数的运算;考查学生的运算求解能力;考查数学运算的核心素养.
∵z=i(2+i)=2i+i2=-1+2i,∴=-1-2i,故选D.
解题关键　正确理解共轭复数的概念是求解的关键.
2.(2017课标Ⅲ文,2,5分)复平面内表示复数z=i(-2+i)的点位于(　　)
A.第一象限　　　　B.第二象限　　　　C.第三象限　　　　D.第四象限
答案　C　z=i(-2+i)=-2i+i2=-2i-1=-1-2i,所以复数z在复平面内对应的点为(-1,-2),位于第三象限.故选C.
3.(2017北京理,2,5分)若复数(1-i)(a+i)在复平面内对应的点在第二象限,则实数a的取值范围是(　　)
A.(-∞,1)　　　　B.(-∞,-1)　　　　C.(1,+∞)　　　　D.(-1,+∞)
答案　B　本题考查复数的运算.
∵复数(1-i)(a+i)=a+1+(1-a)i在复平面内对应的点在第二象限,∴∴a<-1.故选B.
4.(2017课标Ⅲ理,2,5分)设复数z满足(1+i)z=2i,则|z|=(　　)
A.　　　　B.　　　　C.　　　　D.2
答案　C　本题考查复数的运算及复数的模.
∵(1+i)z=2i,∴z====1+i.
∴|z|==.
一题多解　∵(1+i)z=2i,∴|1+i|·|z|=|2i|,即·|z|=2,∴|z|=.
5.(2017课标Ⅰ文,3,5分)下列各式的运算结果为纯虚数的是(　　)
A.i(1+i)2　　　　B.i2(1-i)　　　　C.(1+i)2　　　　D.i(1+i)
答案　C　本题考查复数的运算和纯虚数的定义.
A.i(1+i)2=i×2i=-2;
B.i2(1-i)=-(1-i)=-1+i;
C.(1+i)2=2i;
D.i(1+i)=-1+i,故选C.
6.(2016课标Ⅰ文,2,5分)设(1+2i)(a+i)的实部与虚部相等,其中a为实数,则a=(　　)
A.-3　　　　B.-2　　　　C.2　　　　D.3
答案　A　∵(1+2i)(a+i)=(a-2)+(2a+1)i,
∴a-2=2a+1,解得a=-3,故选A.
解后反思　将复数化为x+yi(x,y∈R)的形式,然后建立方程是解决问题的关键.
评析　本题主要考查复数的运算及复数的有关概念,将复数化为x+yi(x,y∈R)的形式是解题关键.
7.(2016课标Ⅱ文,2,5分)设复数z满足z+i=3-i,则=(　　)
A.-1+2i　　　　B.1-2i　　　　C.3+2i　　　　D.3-2i
答案　C　z=3-2i,所以=3+2i,故选C.
8.(2016课标Ⅲ文,2,5分)若z=4+3i,则=(　　)
A.1　　　　B.-1　　　　C.+i　　　　D.-i
答案　D　由z=4+3i得|z|==5,=4-3i,则=-i,故选D.
9.(2016山东理,1,5分)若复数z满足2z+=3-2i,其中i为虚数单位,则z=(　　)
A.1+2i　　　　B.1-2i　　　　C.-1+2i　　　　D.-1-2i
答案　B　设z=a+bi(a,b∈R),则2z+=2(a+bi)+a-bi=3a+bi=3-2i,∴a=1,b=-2,∴z=1-2i,故选B.
10.(2015安徽理,1,5分)设i是虚数单位,则复数在复平面内所对应的点位于(　　)
A.第一象限　　　　B.第二象限　　　　C.第三象限　　　　D.第四象限
答案　B　∵==-1+i,∴复数在复平面内所对应的点是(-1,1),它位于第二象限.
11.(2015课标Ⅰ理,1,5分)设复数z满足=i,则|z|=(　　)
A.1　　　　B.　　　　C.　　　　D.2
答案　A　由已知=i,可得z====i,∴|z|=|i|=1,故选A.
12.(2015湖北理,1,5分)i为虚数单位,i607的为(　　)
A.i　　　　B.-i　　　　C.1　　　　D.-1
答案　A　∵i607=i4×151+3=(i4)151·i3=-i,
∴i607的共轭复数为i.
13.(2014课标Ⅱ理,2,5分)设复数z1,z2在复平面内的对应点关于虚轴对称,z1=2+i,则z1z2=(　　)
A.-5　　　　B.5　　　　C.-4+i　　　　D.-4-i
答案　A　由题意得z2=-2+i,∴z1z2=(2+i)(-2+i)=-5,故选A.
14.(2014重庆理,1,5分)复平面内表示复数i(1-2i)的点位于(　　)
A.第一象限　　　　B.第二象限　　　　C.第三象限　　　　D.第四象限
答案　A　i(1-2i)=i-2i2=2+i,对应复平面上的点为(2,1),在第一象限.选A.
15.(2014课标Ⅰ文,3,5分)设z=+i,则|z|=(　　)
A.　　　　B.　　　　C.　　　　D.2
答案　B　z=+i=+i=+i,因此|z|===,故选B.
16.(2013课标Ⅰ理,2,5分)若复数z满足(3-4i)z=|4+3i|,则z的虚部为(　　)
A.-4　　　　B.-　　　　C.4　　　　D.
答案　D　∵|4+3i|==5,∴z===+i,虚部为,故选D.
17.(2013课标Ⅱ文,2,5分)=(　　)
A.2　　　　B.2　　　　C.　　　　D.1
答案　C　==|1-i|=.选C.
18.(2012课标理,3,5分)下面是关于复数z=的四个命题:
p1:|z|=2,　　　　p2:z2=2i,
p3:z的共轭复数为1+i,　　　　p4:z的虚部为-1.
其中的真命题为(　　)
A.p2,p3　　　　B.p1,p2　　　　C.p2,p4　　　　D.p3,p4
答案　C　z===-1-i,所以|z|=,p1为假命题;z2=(-1-i)2=(1+i)2=2i,p2为真命题;=-1+i,p3为假命题;p4为真命题.故选C.
评析　本题考查了复数的运算及复数的性质,考查了运算求解能力.
19.(2012课标文,2,5分)复数z=的共轭复数是(　　)
A.2+i　　　　B.2-i　　　　C.-1+i　　　　D.-1-i
答案　D　z====-1+i,=-1-i,故选D.
评析　本题考查了复数的运算,易忽略共轭复数而错选.
20.(2011课标理,1,5分)复数的共轭复数是(　　)
A.-i　　　　B.i　　　　C.-i　　　　D.i
答案　C　==i,其共轭复数为-i,故选C.
评析　本题考查复数的除法运算和共轭复数的概念,属容易题.
21.(2021浙江,2,4分)已知a∈R,(1+ai)i=3+i(i为虚数单位),则a= (　　)
A.-1　　　　B.1　　　　C.-3　　　　D.3
答案　C　解题指导:先将等式左边化成a+bi(a,b∈R)的形式,然后利用复数相等的充要条件得出结果.
解析　由(1+ai)i=3+i,得-a+i=3+i,所以-a=3,即a=-3.故选C.
方法总结　设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),则z1=z2的充要条件是
22.(2022浙江,2,4分)已知a,b∈R,a+3i=(b+i)i(i为虚数单位),则 (　　)
A.a=1,b=-3　　　　B.a=-1,b=3
C.a=-1,b=-3　　　　D.a=1,b=3
答案　B　∵a+3i=bi+i2=-1+bi,∴a=-1,b=3.故选B.
23.(2022北京,2,4分)若复数z满足i·z=3-4i,则|z|= (　　)
A.1　　　　B.5　　　　C.7　　　　D.25
答案　B　由i·z=3-4i可知,z==-4-3i,故|z|==5.故选B.
24.(2022新高考Ⅰ,2,5分)若i(1-z)=1,则z+= (　　)
A.-2　　　　B.-1　　　　C.1　　　　D.2
答案　D　由题意知1-z==-i,所以z=1+i,则=1-i,所以z+=(1+i)+(1-i)=2,故选D.
25.(2022全国乙文,2,5分)设(1+2i)a+b=2i,其中a,b为实数,则 (　　)
A.a=1,b=-1　　　　B.a=1,b=1
C.a=-1,b=1　　　　D.a=-1,b=-1
答案　A　由题意知(a+b)+2ai=2i,
所以故选A.
26.(2022全国乙理,2,5分)已知z=1-2i,且z+a+b=0,其中a,b为实数,则 (　　)
A.a=1,b=-2　　　　B.a=-1,b=2
C.a=1,b=2　　　　D.a=-1,b=-2
答案　A　由题意知=1+2i,所以z+a+b=1-2i+a(1+2i)+b=a+b+1+(2a-2)i,又z+a+b=0,所以a+b+1+(2a-2)i=0,所以故选A.
27.(2021全国乙理,1,5分)设2(z+)+3(z-)=4+6i,则z= (　　)
　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
A.1-2i　　　　B.1+2i　　　　C.1+i　　　　D.1-i
答案　C　设z=a+bi(a,b∈R),则=a-bi,代入2(z+)+3(z-)=4+6i,得4a+6bi=4+6i,所以a=1,b=1,故z=1+i.故选C.
28.(2023新课标Ⅱ,1,5分,易)在复平面内,(1+3i)·(3-i)对应的点位于(　　)
A.第一象限　　　　B.第二象限
C.第三象限　　　　D.第四象限
答案　A　(1+3i)(3-i)=6+8i,对应的点(6,8)位于第一象限,故选A.
29.(2019天津理,9,5分)i是虚数单位,则的值为　　　　.
答案　
解析　本题考查复数的四则运算,以复数的模为背景考查学生的运算求解能力.
===|2-3i|==.
小题巧解　===.
30.(2019江苏,2,5分)已知复数(a+2i)(1+i)的实部为0,其中i为虚数单位,则实数a的值是　　　　.
答案　2
解析　本题考查了复数的概念及运算,考查了学生的运算求解能力,考查的核心素养是数学运算.
∵(a+2i)(1+i)=(a-2)+(a+2)i的实部为0,
∴a-2=0,解得a=2.
解题关键　掌握复数的有关概念及代数形式的四则运算是解题的关键.
31.(2017江苏,2,5分)已知复数z=(1+i)(1+2i),其中i是虚数单位,则z的模是　　　　.
答案　
解析　本题考查复数的运算.
∵z=(1+i)(1+2i)=1+2i+i+2i2=3i-1,
∴|z|==.
32.(2016江苏,2,5分)复数z=(1+2i)(3-i),其中i为虚数单位,则z的实部是　　　　.
答案　5
解析　(1+2i)(3-i)=3+5i-2i2=5+5i,所以z的实部为5.
33.(2016北京理,9,5分)设a∈R.若复数(1+i)(a+i)在复平面内对应的点位于实轴上,则a=　　　　.
答案　-1
解析　(1+i)(a+i)=(a-1)+(a+1)i,∵a∈R,该复数在复平面内对应的点位于实轴上,∴a+1=0,∴a=-1.
34.(2015天津,9,5分)i是虚数单位,若复数(1-2i)(a+i)是纯虚数,则实数a的值为　　　　.
答案　-2
解析　∵(1-2i)(a+i)=2+a+(1-2a)i为纯虚数,
∴解得a=-2.
35.(2015江苏,3,5分)设复数z满足z2=3+4i(i是虚数单位),则z的模为　　　　.
答案　
解析　设z=a+bi(a,b∈R),则z2=a2-b2+2abi,
由复数相等的定义得
解得或
从而|z|==.
36.(2015重庆理,11,5分)设复数a+bi(a,b∈R)的模为,则(a+bi)(a-bi)=　　　　.
答案　3
解析　复数a+bi(a,b∈R)的模为=,则a2+b2=3,则(a+bi)(a-bi)=a2-(bi)2=a2-b2·i2=a2+b2=3.
考点二　复数代数形式的四则运算
1.(2020课标Ⅰ文,2,5分)若z=1+2i+i3,则|z|=(　　)
A.0　　　　B.1　　　　C.　　　　D.2
答案　C　∵z=1+2i+i3=1+2i-i=1+i,∴|z|=|1+i|==,故选C.
2.(2020课标Ⅱ文,2,5分)(1-i)4=(　　)
A.-4　　　　B.4　　　　C.-4i　　　　D.4i
答案　A　(1-i)4=[(1-i)2]2=(-2i)2=4i2=-4,故选A.
3.(2020课标Ⅲ文,2,5分)若(1+i)=1-i,则z=(　　)
A.1-i　　　　B.1+i　　　　C.-i　　　　D.i
答案　D　∵(1+i)=1-i,∴====-i,∴z=i,故选D.
4.(2019课标Ⅰ文,1,5分)设z=,则|z|=(　　)
A.2　　　　B.　　　　C.　　　　D.1
答案　C　本题考查复数的四则运算;考查了运算求解能力;考查的核心素养为数学运算.
∵z==
===-i,
∴|z|==,故选C.
易错警示　易将i2误算为1,导致计算出错.
5.(2018课标Ⅰ,理1,文2,5分)设z=+2i,则|z|=(　　)
A.0　　　　B.　　　　C.1　　　　D.
答案　C　本题主要考查复数的相关概念及复数的四则运算.
∵z=+2i=+2i=i,∴|z|=1,故选C.
6.(2018课标Ⅱ理,1,5分)=(　　)
A.--i　　　　B.-+i
C.--i　　　　D.-+i
答案　D　本题主要考查复数的四则运算.
===-+i,故选D.
7.(2018课标Ⅱ文,1,5分)i(2+3i)=(　　)
A.3-2i　　　　B.3+2i　　　　C.-3-2i　　　　D.-3+2i
答案　D　本题主要考查复数的四则运算.
i(2+3i)=2i-3=-3+2i,故选D.
8.(2018北京理,2,5分)在复平面内,复数的共轭复数对应的点位于(　　)
A.第一象限　　　　B.第二象限
C.第三象限　　　　D.第四象限
答案　D　本题主要考查复数的概念、运算和几何意义.
∵==+i,∴其共轭复数为-i,又-i在复平面内对应的点在第四象限,故选D.
9.(2017课标Ⅱ理,1,5分)=(　　)
A.1+2i　　　　B.1-2i　　　　C.2+i　　　　D.2-i
答案　D　本题主要考查复数的除法运算.
===2-i.故选D.
10.(2017课标Ⅱ文,2,5分)(1+i)(2+i)=(　　)
A.1-i　　　　B.1+3i　　　　C.3+i　　　　D.3+3i
答案　B　本题考查复数的基本运算.
(1+i)(2+i)=2+i+2i+i2=1+3i.故选B.
11.(2017山东文,2,5分)已知i是虚数单位,若复数z满足zi=1+i,则z2=(　　)
A.-2i　　　　B.2i　　　　C.-2　　　　D.2
答案　A　本题考查复数的运算.
由zi=1+i得z==1-i,
所以z2=(1-i)2=-2i,故选A.
12.(2016北京文,2,5分)复数=(　　)
A.i　　　　B.1+i　　　　C.-i　　　　D.1-i
答案　A　====i,故选A.
13.(2015课标Ⅱ理,2,5分)若a为实数,且(2+ai)(a-2i)=-4i,则a=(　　)
A.-1　　　　B.0　　　　C.1　　　　D.2
答案　B　∵(2+ai)(a-2i)=-4i 4a+(a2-4)i=-4i,
∴解得a=0.
14.(2015课标Ⅰ文,3,5分)已知复数z满足(z-1)i=1+i,则z=(　　)
A.-2-i　　　　B.-2+i　　　　C.2-i　　　　D.2+i
答案　C　由已知得z=+1=2-i,故选C.
15.(2015课标Ⅱ文,2,5分)若a为实数,且=3+i,则a=(　　)
A.-4　　　　B.-3　　　　C.3　　　　D.4
答案　D　由已知得2+ai=(1+i)(3+i)=2+4i,所以a=4,故选D.
16.(2015安徽文,1,5分)设i是虚数单位,则复数(1-i)(1+2i)=(　　)
A.3+3i　　　　B.-1+3i　　　　C.3+i　　　　D.-1+i
答案　C　(1-i)(1+2i)=1+2i-i-2i2=3+i.
17.(2015湖南文,1,5分)已知=1+i(i为虚数单位),则复数z=(　　)
A.1+i　　　　B.1-i　　　　C.-1+i　　　　D.-1-i
答案　D　z====-i(1-i)=-1-i.故选D.
18.(2014课标Ⅰ理,2,5分)=(　　)
A.1+i　　　　B.1-i　　　　C.-1+i　　　　D.-1-i
答案　D　=·(1+i)=·(1+i)=-1-i,故选D.
19.(2014课标Ⅱ文,2,5分)=(　　)
A.1+2i　　　　B.-1+2i　　　　C.1-2i　　　　D.-1-2i
答案　B　===-1+2i,故选B.
20.(2013课标Ⅱ理,2,5分)设复数z满足(1-i)z=2i,则z=(　　)
A.-1+i　　　　B.-1-i　　　　C.1+i　　　　D.1-i
答案　A　由题意得z===-1+i,故选A.
21.(2013课标Ⅰ文,2,5分)=(　　)
A.-1-i　　　　B.-1+i　　　　C.1+i　　　　D.1-i
答案　B　====-1+i,故选B.
22.(2011课标文,2,5分)复数=(　　)
A.2-i　　　　B.1-2i　　　　C.-2+i　　　　D.-1+2i
答案　C　===-2+i,故选C.
评析　本题主要考查复数的基本运算,分母实数化是解答本题的关键,属容易题.
23.(2016课标Ⅲ,2,5分)若z=1+2i,则=(　　)
A.1　　　　B.-1　　　　C.i　　　　D.-i
答案　C　∵z=(1+2i)(1-2i)=5,∴==i,故选C.
24.(2021新高考Ⅰ,2,5分)已知z=2-i,则z(+i)= (　　)
A.6-2i　　　　B.4-2i　　　　C.6+2i　　　　D.4+2i
答案　C　∵z=2-i,∴=2+i,
∴z(+i)=(2-i)(2+i+i)=(2-i)(2+2i)=4+4i-2i-2i2=6+2i.故选C.
25.(2022新高考Ⅱ,2,5分)(2+2i)(1-2i)= (　　)
A.-2+4i　　　　B.-2-4i　　　　C.6+2i　　　　D.6-2i
答案　D　(2+2i)(1-2i)=2-4i+2i-4i2=6-2i,故选D.
26.(2022全国甲文,3,5分)若z=1+i,则|iz+3|= (　　)
A.4
答案　D　∵z=1+i,∴iz=i-1,3=3(1-i)=3-3i,
∴iz+3=2-2i,∴|iz+3.故选D.
27.(2021全国甲理,3,5分)已知(1-i)2z=3+2i,则z= (　　)
A.-1-i
C.--i
答案　B　解法一:由题意得z=i.
解法二:设z=a+bi(a,b∈R).
由(1-i)2z=3+2i得(1-i)2(a+bi)=3+2i,
∴-2i(a+bi)=2b-2ai=3+2i,
∴a=-1,b=,∴z=-1+i.故选B.
28.(2022全国甲理,1,5分)若z=-1+i,则= (　　)
A.-1+i
答案　C　因为z=-1+i,所以i,故选C.
29.(2021全国乙文,2,5分)设iz=4+3i,则z= (　　)
A.-3-4i　　　　B.-3+4i　　　　C.3-4i　　　　D.3+4i
答案　C　解题指导:解法一:直接用复数的除法运算求解;
解法二(待定系数法):利用方程思想求解.
解析　解法一:由题意得z==3-4i,故选C.
解法二:由题意,设z=a+bi(a,b∈R),则iz=i(a+bi)=-b+ai,又iz=4+3i,所以a=3,b=-4,则z=3-4i,故选C.
易错警示　学生不熟悉复数的除法法则,在运算中出错.
30.(2021北京,2,4分)若复数z满足(1-i)·z=2,则z= (　　)
A.-1-i　　　　B.-1+i　　　　
C.1-i　　　　D.1+i
答案　　D　解法一:设z=a+bi(a,b∈R),因为(1-i)·z=2,即a+b+(b-a)i=2,所以解得a=b=1,所以z=1+i.故选D.
解法二:因为(1-i)·z=2,所以z==1+i,故选D.
31.(2020新高考Ⅰ,2,5分)= (　　)
A.1　　　　B.-1　　　　C.i　　　　D.-i
答案　D　=-i.故选D.
32.(2023全国乙理,1,5分,易)设z=,则=　　 (　　)
A.1-2i　　B.1+2i　　C.2-i　　D.2+i
答案　B　z==-(2i-1)=1-2i,则=1+2i,故选B.
33.(2023新课标Ⅰ,2,5分,易)已知z=,则z-=(　　)
A.-i　　B.i　　C.0　　D.1
答案　A　z====-i,∴=i,∴z-=-i,故选A.
34.(2023全国甲理,2,5分,易)设a∈R,(a+i)(1-ai)=2,则a= (　　)
A.-2　　B.-1　　C.1　　D.2
答案　C　因为(a+i)(1-ai)=a-a2i+i-ai2=2a+(1-a2)i=2,所以解得a=1,故选C.
35.(2023全国乙文,1,5分,易)|2+i2+2i3|= (　　)
A.1　　B.2　　C.　　D.5
答案　C　|2+i2+2i3|=|2-1-2i|=|1-2i|=,故选C.
36.(2023全国甲文,2,5分,易)= (　　)
A.-1　　B.1　　C.1-i　　D.1+i
答案　C　===1-i.故选C.
37.(2023天津,10,5分,易)已知i是虚数单位,化简的结果为　　　　.
答案　4+i
解析　=4+i.
38.(2020天津,10,5分)i是虚数单位,复数=　　　　.
答案　3-2i
解析　====3-2i.
39.(2018天津,理9,文9,5分)i是虚数单位,复数=　　　　.
答案　4-i
解析　本题主要考查复数的四则运算.
===4-i.
40.(2018上海,5,4分)已知复数z满足(1+i)z=1-7i(i是虚数单位),则|z|=　　　　.
答案　5
解析　本题主要考查复数的运算.由(1+i)z=1-7i得z====-3-4i,
∴|z|==5.
41.(2016天津理,9,5分)已知a,b∈R,i是虚数单位.若(1+i)(1-bi)=a,则的值为　　　　.
答案　2
解析　由(1+i)(1-bi)=a得1+b+(1-b)i=a,则
解得所以=2.
(
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