2014-2023年高考数学真题专题分类--专题十四 坐标系与参数方程(含解析)

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2014-2023年高考数学真题专题分类
专题十四　坐标系与参数方程
考点一　坐标系与极坐标
1.(2018北京理,10,5分)在极坐标系中,直线ρcosθ+ρsinθ=a(a>0)与圆ρ=2cosθ相切,则a=　　　　.
答案　1+
解析　本题主要考查极坐标方程与直角坐标方程的互化.
由可将直线ρcosθ+ρsinθ=a化为x+y-a=0,将ρ=2cosθ,即ρ2=2ρcosθ化为x2+y2=2x,整理成标准方程为(x-1)2+y2=1.
又∵直线与圆相切,∴圆心(1,0)到直线x+y-a=0的距离d==1,解得a=1±,∵a>0,∴a=1+.
方法总结　这种类型的题目的解法是先将极坐标方程化为直角坐标方程,然后用平面几何知识求解.
2.(2016课标Ⅱ,23,10分)在直角坐标系xOy中,圆C的方程为(x+6)2+y2=25.
(1)以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,求C的极坐标方程;
(2)直线l的参数方程是(t为参数),l与C交于A,B两点,|AB|=,求l的斜率.
解析　(1)由x=ρcosθ,y=ρsinθ可得圆C的极坐标方程ρ2+12ρcosθ+11=0.(3分)
(2)在(1)中建立的极坐标系中,直线l的极坐标方程为θ=α(ρ∈R).(4分)
设A,B所对应的极径分别为ρ1,ρ2,将l的极坐标方程代入C的极坐标方程得ρ2+12ρ·cosα+11=0.
于是ρ1+ρ2=-12cosα,ρ1ρ2=11.(6分)
|AB|=|ρ1-ρ2|==.(8分)
由|AB|=得cos2α=,tanα=±.(9分)
所以l的斜率为或-.(10分)
3.(2016课标Ⅰ,23,10分)在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(t为参数,a>0).在以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2:ρ=4cosθ.
(1)说明C1是哪一种曲线,并将C1的方程化为极坐标方程;
(2)直线C3的极坐标方程为θ=α0,其中α0满足tanα0=2,若曲线C1与C2的公共点都在C3上,求a.
解析　(1)消去参数t得到C1的普通方程x2+(y-1)2=a2.C1是以(0,1)为圆心,a为半径的圆.(3分)
将x=ρcosθ,y=ρsinθ代入C1的普通方程中,得到C1的极坐标方程为ρ2-2ρsinθ+1-a2=0.(5分)
(2)曲线C1,C2的公共点的极坐标满足方程组
(6分)
若ρ≠0,由方程组得16cos2θ-8sinθcosθ+1-a2=0,由tanθ=2,可得16cos2θ-8sinθcosθ=0,从而1-a2=0,解得a=-1(舍去),或a=1.(8分)
a=1时,极点也为C1,C2的公共点,在C3上.(9分)
所以a=1.(10分)
4.(2015课标Ⅱ理,23,10分)选修4—4:坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy中,曲线C1:(t为参数,t≠0),其中0≤α<π.在以O为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2:ρ=2sinθ,C3:ρ=2cosθ.
(1)求C2与C3交点的直角坐标;
(2)若C1与C2相交于点A,C1与C3相交于点B,求|AB|的最大值.
解析　(1)曲线C2的直角坐标方程为x2+y2-2y=0,曲线C3的直角坐标方程为x2+y2-2x=0.
联立解得或
所以C2与C3交点的直角坐标为(0,0)和.
(2)曲线C1的极坐标方程为θ=α(ρ∈R,ρ≠0),其中0≤α<π.
因此A的极坐标为(2sinα,α),B的极坐标为(2cosα,α).
所以|AB|=|2sinα-2cosα|=4.
当α=时,|AB|取得最大值,最大值为4.
5.(2021全国乙文,22,10分)在直角坐标系xOy中,☉C的圆心为C(2,1),半径为1.
(1)写出☉C的一个参数方程;
(2)过点F(4,1)作☉C的两条切线.以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,求这两条切线的极坐标方程.
解题指导:(1)根据题意直接求解;(2)利用直线与圆相切的性质得出数量关系式,求出直线斜率和直角坐标方程,再把直角坐标方程转化为极坐标方程.
解析　(1)由题意可得☉C的一个参数方程为(θ为参数).
(2)☉C的普通方程为(x-2)2+(y-1)2=1,
①当直线斜率不存在时,直线方程为x=4,此时圆心到直线的距离为2>r,不符合题意,舍去.
②当直线斜率存在时,设直线方程为y-1=k(x-4),整理得kx-y-4k+1=0,此时圆心C(2,1)到直线的距离d==r=1,化简得2|k|=,两边平方,解得k=±,代入直线方程化简得x--4=0或x+-4=0,再化为极坐标方程为ρcos θ-或ρcos θ+,
即2ρsin或2ρsin.
易错警示　(1)参数方程后面括号里面的“θ为参数”不要忘写;(2)直线斜率不存在的情况不要忘记讨论.
6.(2022全国乙,22,10分)在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为(t为参数).以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,已知直线l的极坐标方程为ρsin+m=0.
(1)写出l的直角坐标方程;
(2)若l与C有公共点,求m的取值范围.
解析　 (1)由ρsin+m=0可得,
ρ+m=0,
即ρ+m=0,
∴直线l的直角坐标方程为x+m=0,即x+y+2m=0.
(2)由x=cos 2t,
得x=(1-2sin2t)=y2(-2≤y≤2),
联立得3y2-2y-4m-6=0,即3y2-2y-6=4m,
因为3y2-2y-6=3,且-2≤y≤2,
所以-≤3y2-2y-6≤10,即-≤4m≤10,
所以-.
故实数m的取值范围为.
7.(2021全国甲理,22,10分)在直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为ρ=2cos θ.
(1)将C的极坐标方程化为直角坐标方程;
(2)设点A的直角坐标为(1,0),M为C上的动点,点P满足,写出P的轨迹C1的参数方程,并判断C与C1是否有公共点.
解题指导:本题第(2)问先设出P与M的坐标,然后利用向量法将M的坐标用P的坐标表示出来,再代入曲线C的方程得P的轨迹方程C1,由此写出C1的参数方程,最后利用两圆的位置关系判断C与C1是否有公共点.
解析　(1)由ρ=2cos θ,得ρ2=2ρcos θ.
将x2+y2=ρ2,x=ρcos θ代入上式,得x2+y2=2x,
∴曲线C的直角坐标方程为x2+y2-2x=0.
(2)设P(x,y),M(x0,y0),
∵A(1,0),,
∴(x-1,y)=(x0-1,y0),
∴
∴M.
将M的坐标代入曲线C的方程,得
=0,
整理得C1:(x+-3)2+y2=4.
∴P的轨迹C1的参数方程为(t为参数).
圆C的圆心为C(,0),半径r=,
圆C1的圆心为C1(3-,0),半径r1=2,
∴|CC1|=3-2,即|CC1|∴两圆内含,C与C1无公共点.
一题多解　(2)设P(x,y).
由(1)知圆C的参数方程为(θ为参数),
即M(cos θ,sin θ).
又知A(1,0),
∴=(cos θ,sin θ),
∴=(2-+2cos θ,2sin θ).
又知,
∴(θ为参数),
即曲线C1的参数方程为(θ为参数).
∴圆C1的圆心为C1(3-,0),半径R=2,
又易知圆C的圆心为C(,0),半径r=,
∴|CC1|=3-2,即|CC1|∴两圆内含,曲线C与C1无公共点.
8.(2020课标Ⅱ理,22,10分)已知曲线C1,C2的参数方程分别为C1:(θ为参数),C2:(t为参数).
(1)将C1,C2的参数方程化为普通方程;
(2)以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系.设C1,C2的交点为P,求圆心在极轴上,且经过极点和P的圆的极坐标方程.
解析　(1)C1的普通方程为x+y=4(0≤x≤4).
由C2的参数方程得x2=t2++2,y2=t2+-2,
所以x2-y2=4.
故C2的普通方程为x2-y2=4.
(2)由所以P的直角坐标为.
设所求圆的圆心的直角坐标为(x0,0),
由题意得,
解得x0=.
因此,所求圆的极坐标方程为ρ=cos θ.
9.(2020课标Ⅲ理,22,12分)在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为(t为参数且t≠1),C与坐标轴交于A,B两点.
(1)求|AB|;
(2)以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,求直线AB的极坐标方程.
解析　(1)因为t≠1,由2-t-t2=0得t=-2,所以C与y轴的交点为(0,12);由2-3t+t2=0得t=2,所以C与x轴的交点为(-4,0).故|AB|=4.
由(1)可知,直线AB的直角坐标方程为=1,将x=ρcos θ,y=ρsin θ代入,得直线AB的极坐标方程为3ρcos θ-ρsin θ+12=0.
10.(2023全国甲理,22,10分,中)已知点P(2,1),直线l:(t为参数),α为l的倾斜角,l与x轴正半轴、y轴正半轴分别交于点A,B,且|PA|·|PB|=4.
(1)求α;
(2)以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,求l的极坐标方程.
解析　(1)设点A,B对应的参数值分别为t1,t2,
令y=0得tsin α+1=0,∴t1=,即|PA|=|t1|=,
令x=0得tcos α+2=0,∴t2=,即|PB|=|t2|=.
∴|PA|·|PB|===4,
∴sin 2α=±1,又∵α∈[0,π),∴2α=或2α=,
∴α=或α=.
∵l与x轴正半轴,y轴正半轴分别相交,∴α=.
(2)将l的参数方程整理得=tan α=-1,即x+y-3=0,∴l的极坐标方程为ρcos θ+ρsin θ-3=0,即ρsin=.
考点二　参数方程
1.(2017课标Ⅲ理,22,10分)在直角坐标系xOy中,直线l1的参数方程为(t为参数),直线l2的参数方程为(m为参数).设l1与l2的交点为P,当k变化时,P的轨迹为曲线C.
(1)写出C的普通方程;
(2)以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,设l3:ρ(cosθ+sinθ)-=0,M为l3与C的交点,求M的极径.
解析　本题考查参数方程与普通方程的互化,极坐标方程.
(1)消去参数t得l1的普通方程l1:y=k(x-2);消去参数m得l2的普通方程l2:y=(x+2).
设P(x,y),由题设得
消去k得x2-y2=4(y≠0).
所以C的普通方程为x2-y2=4(y≠0).
(2)C的极坐标方程为ρ2(cos2θ-sin2θ)=4(0<θ<2π,θ≠π).
联立得cosθ-sinθ=2(cosθ+sinθ).
故tanθ=-,从而cos2θ=,sin2θ=.
代入ρ2(cos2θ-sin2θ)=4得ρ2=5,所以交点M的极径为.
思路分析　(1)由参数方程直接消去参数t、m、k,即得C的普通方程.(2)将C的直角坐标方程化为极坐标方程,与直线l3的参数方程联立,从而求得点M的极径.
方法总结　极坐标问题既可以化为直角坐标处理,也可以直接用极坐标求解.但要注意极径、极角的取值范围,避免漏根或增根.
2.(2017江苏,21,10分)在平面直角坐标系xOy中,已知直线l的参数方程为(t为参数),曲线C的参数方程为(s为参数).设P为曲线C上的动点,求点P到直线l的距离的最小值.
解析　本小题主要考查曲线的参数方程及互化等基础知识,考查运算求解能力.
直线l的普通方程为x-2y+8=0.
因为点P在曲线C上,设P(2s2,2s),
从而点P到直线l的距离d==.
当s=时,dmin=.
因此当点P的坐标为(4,4)时,曲线C上点P到直线l的距离取到最小值.
3.(2015陕西理,23,10分)选修4—4:坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为(t为参数).以原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,☉C的极坐标方程为ρ=2sinθ.
(1)写出☉C的直角坐标方程;
(2)P为直线l上一动点,当P到圆心C的距离最小时,求P的直角坐标.
解析　(1)由ρ=2sinθ,得ρ2=2ρsinθ,
从而有x2+y2=2y,
所以x2+(y-)2=3.
(2)设P,又C(0,),
则|PC|==,
故当t=0时,|PC|取得最小值,
此时,P点的直角坐标为(3,0).
4.(2015湖南理,16,6分)选修4—4:坐标系与参数方程
已知直线l:(t为参数).以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为ρ=2cosθ.
(1)将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程;
(2)设点M的直角坐标为(5,),直线l与曲线C的交点为A,B,求|MA|·|MB|的值.
解析　(1)ρ=2cosθ等价于ρ2=2ρcosθ.①
将ρ2=x2+y2,ρcosθ=x代入①即得曲线C的直角坐标方程为x2+y2-2x=0.②
(2)将代入②,得t2+5t+18=0.设这个方程的两个实根分别为t1,t2,则由参数t的几何意义即知,|MA|·|MB|=|t1t2|=18.
5.(2014课标Ⅰ理,23,10分)选修4—4:坐标系与参数方程
已知曲线C:+=1,直线l:(t为参数).
(1)写出曲线C的参数方程,直线l的普通方程;
(2)过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线,交l于点A,求|PA|的最大值与最小值.
解析　(1)曲线C的参数方程为(θ为参数).
直线l的普通方程为2x+y-6=0.
(2)曲线C上任意一点P(2cosθ,3sinθ)到l的距离为
d=|4cosθ+3sinθ-6|.
则|PA|==|5sin(θ+α)-6|,
其中α为锐角,且tanα=.
当sin(θ+α)=-1时,|PA|取得最大值,最大值为.
当sin(θ+α)=1时,|PA|取得最小值,最小值为.
6.(2014课标Ⅱ理,23,10分)选修4—4:坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,半圆C的极坐标方程为ρ=2cosθ,θ∈.
(1)求C的参数方程;
(2)设点D在C上,C在D处的切线与直线l:y=x+2垂直,根据(1)中你得到的参数方程,确定D的坐标.
解析　(1)C的普通方程为(x-1)2+y2=1(0≤y≤1).
可得C的参数方程为(t为参数,0≤t≤π).
(2)设D(1+cost,sint).由(1)知C是以G(1,0)为圆心,1为半径的上半圆.
因为C在点D处的切线与l垂直,所以直线GD与l的斜率相同,tant=,t=.
故D的直角坐标为,即.
评析　本题考查了极坐标化平面直角坐标,普通方程化参数方程的方法,考查了数形结合思想.
7.(2013课标Ⅱ理,23,10分)选修4—4:坐标系与参数方程
已知动点P,Q都在曲线C:(t为参数)上,对应参数分别为t=α与t=2α(0<α<2π),M为PQ的中点.
(1)求M的轨迹的参数方程;
(2)将M到坐标原点的距离d表示为α的函数,并判断M的轨迹是否过坐标原点.
解析　(1)依题意有P(2cosα,2sinα),Q(2cos2α,2sin2α),因此M(cosα+cos2α,sinα+sin2α).
M的轨迹的参数方程为
(α为参数,0<α<2π).
(2)M点到坐标原点的距离d==(0<α<2π).
当α=π时,d=0,故M的轨迹过坐标原点.
8.(2013课标Ⅰ理,23,10分)选修4—4:坐标系与参数方程
已知曲线C1的参数方程为(t为参数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρ=2sinθ.
(1)把C1的参数方程化为极坐标方程;
(2)求C1与C2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ<2π).
解析　(1)将消去参数t,化为普通方程(x-4)2+(y-5)2=25,
即C1:x2+y2-8x-10y+16=0.
将
代入x2+y2-8x-10y+16=0得
ρ2-8ρcosθ-10ρsinθ+16=0.
所以C1的极坐标方程为ρ2-8ρcosθ-10ρsinθ+16=0.
(2)C2的普通方程为x2+y2-2y=0.
由
解得或
所以C1与C2交点的极坐标分别为,.
9.(2013江苏,21,14分)在平面直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为(t为参数),曲线C的参数方程为(θ为参数).试求直线l和曲线C的普通方程,并求出它们的公共点的坐标.
解析　因为直线l的参数方程为(t为参数),由x=t+1得t=x-1,代入y=2t,得到直线l的普通方程为2x-y-2=0.
同理得到曲线C的普通方程为y2=2x.
联立得方程组解得公共点的坐标为(2,2),.
评析　本题主要考查参数方程与普通方程的互化及直线与抛物线的位置关系等基础知识和基本技能,考查转化能力.
10.(2012课标理,23,10分)选修4—4:坐标系与参数方程
已知曲线C1的参数方程是(φ为参数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程是ρ=2.正方形ABCD的顶点都在C2上,且A,B,C,D依逆时针次序排列,点A的极坐标为.
(1)求点A,B,C,D的直角坐标;
(2)设P为C1上任意一点,求|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的取值范围.
解析　(1)由已知可得A,B2cos+,2sin+,C2cos+π,2sin+π,D2cos+,2sin+,
即A(1,),B(-,1),C(-1,-),D(,-1).
(2)设P(2cosφ,3sinφ),令S=|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2,则S=16cos2φ+36sin2φ+16=32+20sin2φ.
因为0≤sin2φ≤1,所以S的取值范围是[32,52].
评析　本题考查了曲线的参数方程和极坐标方程.考查了函数的思想方法.正确“互化”是解题的关键.难点是建立函数S=f(φ).
11.(2011课标,23,10分)选修4—4:坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(α为参数),M是C1上的动点,P点满足=2,P点的轨迹为曲线C2.
(1)求C2的方程;
(2)在以O为极点,x轴的正半轴为极轴的极坐标系中,射线θ=与C1的异于极点的交点为A,与C2的异于极点的交点为B,求|AB|.
解析　(1)设P(x,y),则由条件知M.由于M点在C1上,所以即
从而C2的参数方程为(α为参数).
(2)曲线C1的极坐标方程为ρ=4sinθ,曲线C2的极坐标方程为ρ=8sinθ.
射线θ=与C1的交点A的极径为ρ1=4sin,射线θ=与C2的交点B的极径为ρ2=8sin.
所以|AB|=|ρ2-ρ1|=2.
评析　本题考查曲线的参数方程、极坐标方程及极径的几何意义,属中等难度题.
12.(2016课标Ⅲ,23,10分)在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(α为参数).以坐标原点为极点,以x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρsin=2.
(1)写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程;
(2)设点P在C1上,点Q在C2上,求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标.
解析　(1)C1的普通方程为+y2=1.
C2的直角坐标方程为x+y-4=0.(5分)
(2)由题意,可设点P的直角坐标为(cosα,sinα).因为C2是直线,所以|PQ|的最小值即为P到C2的距离d(α)的最小值,d(α)==.(8分)
当且仅当α=2kπ+(k∈Z)时,d(α)取得最小值,最小值为,此时P的直角坐标为.(10分)
13.(2020课标Ⅰ理,22,10分)在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(t为参数).以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为4ρcos θ-16ρsin θ+3=0.
(1)当k=1时,C1是什么曲线
(2)当k=4时,求C1与C2的公共点的直角坐标.
解析　(1)当k=1时,C1:消去参数t得x2+y2=1,故曲线C1是圆心为坐标原点,半径为1的圆.
(2)当k=4时,C1:消去参数t得C1的普通方程为=1.
C2的直角坐标方程为4x-16y+3=0.
由
故C1与C2的公共点的直角坐标为.
14.(2022全国甲,22,10分)在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(t为参数),曲线C2的参数方程为(s为参数).
(1)写出C1的普通方程;
(2)以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C3的极坐标方程为2cos θ-sin θ=0,求C3与C1交点的直角坐标,及C3与C2交点的直角坐标.
解析　(1)由(t为参数),消去参数t,可得x=,即y2=6x-2(y≥0).
∴曲线C1的普通方程为y2=6x-2(y≥0).
(2)由(s为参数)消去参数s,可得x=-,即y2=-6x-2(y≤0),
∴曲线C2的普通方程为y2=-6x-2(y≤0).
对曲线C3的方程两边同时乘ρ,可得2ρcos θ=ρsin θ,化为直角坐标方程为y=2x.
由得4x2-6x+2=0,即2x2-3x+1=0,
解得x=1或x=,
∴C1与C3交点的直角坐标为(1,2)或.
由得4x2+6x+2=0,即2x2+3x+1=0,解得x=-1或x=-,
∴C2与C3交点的直角坐标为(-1,-2)或.
15.(2023全国乙理,22,10分,中)在直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C1的极坐标方程为ρ=2sin θ.曲线C2:α为参数,<α<π.
(1)写出C1的直角坐标方程;
(2)若直线y=x+m既与C1没有公共点,也与C2没有公共点,求m的取值范围.
解析　(1)∵ρ=2sin θ,∴ρ2=2ρsin θ.
∵ρ2=x2+y2,y=ρsin θ,∴x2+y2=2y,
即x2+(y-1)2=1.
又∵,∴0≤x≤1且1≤y≤2,
∴C1的直角坐标方程为x2+(y-1)2=1(0≤x≤1且1≤y≤2).
(2)由题意可知C2:x2+y2=4(-2由图可知:
当m<0时,y=x+m与C1无公共点,与C2也无公共点,
当y=x+m与C2相切时,
有=2,解得m=2(负值舍去).
所以当m>2时,直线y=x+m与C1和C2都无公共点.
综上,m的取值范围是{m|m<0或m>2}.
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