2007年《二次函数》选择题与填空题中考考点分析

2007年《二次函数》选择题与填空题中考考点分析
考点1、确定a、b、c的值。二次函数：y=ax2+bx+c （a,b,c是常数，且a≠0） a＞0开口向上，a＜0开口向下。抛物线的对称轴为x=，由图像确定的正负，由a的符号确定出b的符号。由x=0时,y=c，知c的符号取决于图像与y轴的交点纵坐标，与y轴交点在y轴的正半轴时，c＞0，与y轴交点在y轴的负半轴时，c＜0。确定了a、b、c的符号，易确定abc的符号。
考点 2、确定a+b+c的符号。x=1时，y=a+b+c，由图像y的值确定a+b+c的符号。与之类似的还经常出现判断4a+2b+c的符号（易知x=2时，y=4a+2b+c），由图像y的值确定4a+2b+c的符号。还有判断a－b+c的符号（x=－1时，y=a－b+c）等等。
考点3、与抛物线的对称轴有关的一些值的符号。抛物线的对称轴为x=，根据对称性知：取到对称轴距离相等的两个不同的x值时，y值相等，即当x=+m或x=－m时，y值相等。中考考查时，通常知道x=+m时y值的符号，让确定出x=－m时y值的符号。
考点4、由对称轴x=的确定值判断a与b的关系。如：=1能判断出a =－0.5 b。
考点5、顶点与最值。若x可以取全体实数，开口向下时，y在顶点处取得最大值，开口向上时，y在顶点处取得最小值。
例1、（2007天津市）已知二次函数的图象如图所示，有下列5个结论：① ；② ；③ ；④ ；⑤ ，（的实数）其中正确的结论有（ ）。
A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
解析：此题考查了考点1、2、3、4、5。 ①错误。因为：开口向下＜0;对称轴x==1，可以得出b＞0; x=0时,y=c＞0，故abc＜0。②错误。因为：由图知x=－1时，y=a－b+c＜0，即b＞a+c。③正确。因为：由对称轴x=1知,x=0时和x=2时y值相等，由x=0时，y＞0，知x=2时，y=4a+2b+c＞0。④正确。因为：由对称轴x==1，可以得出a =－0.5 b，代入前面已经证出b＞a+c，得出1.5b＞c,即3b＞2c。⑤正确。因为：抛物线开口向下，故顶点处y值最大，即x =1，y= a+b+c最大，此时a+b+c＞am2+bm+c（），即，（）。答案：B。
考点6、图象与x轴交点。∵b2-4ac＞0，ax2+bx+c=0有两个不相等的实根；b2-4ac＜0，ax2+bx+c=0无实根；b2-4ac=0，ax2+bx+c=0有两个相等的实根。∴b2-4ac＞0，抛物线与x轴有两个交点；b2-4ac＜0，抛物线与x轴没有交点；b2-4ac=0，抛物线与x轴只有一个交点。
例2、（2007广州市）二次函数 HYPERLINK "http://" EMBED Equation.DSMT4 与x轴的交点个数是（ ）。
A．0 B．1 C．2 D．3
解析：求图象与x轴的交点应令y=0，即x2－2x+1=0,∵b2-4ac＝4－4=0,∴二次函数图象与x轴只有一个交点。答案：B。
考点7、判断在同一坐标系中两种不同的图形的正误。如：在同一种坐标系中正确画出一次函数和二次函数，关键是两个式子中的a、b值应相同。
例3、（2007云南双柏县）在同一坐标系中一次函数和二次函数的图象可能为（ ）。
解析：二次函数过点（0，0），故排除答案B与C。若a＞0，抛物线开口向上，一次函数的y值随着x值的增大而增大；若a＜0，抛物线开口向下，一次函数的y值随着x值的增大而减小。答案：A.
考点8、能分别判断出在对称轴的左右两侧二次函数y值随x值的变化而变化情况。抛物线当开口向上时，在对称轴的左侧二次函数y值随x值的增大而减小，在对称轴的右侧二次函数y值随x值的增大而增大。抛物线开口向下时，在对称轴的左侧二次函数y值随x值的增大而增大，在对称轴的右侧二次函数y值随x值的增大而减小。
例4、（2007四川资阳改编）已知二次函数(a≠0)的图象经过点(-1，2)，(1，0) . 下列结论正确的是( )。
A. 当x>0时，函数值y随x的增大而增大
B. 当x>0时，函数值y随x的增大而减小
C. 存在一个负数x0，使得当x x0时，函数值y随x的增大而增大
D. 存在一个正数x0，使得当xx0时，函数值y随x的增大而增大
解析：二次函数(a≠0)的图象没说明开口方向，故过点(-1，2)，(1，0)的抛物线有可能开口向上或向下，见图再结合选项，抛物线当开口向上时，在对称轴x=x0（x0>0）的左侧二次函数y值随x值的增大而减小，在对称轴的右侧二次函数y值随x值的增大而增大。抛物线开口向下时，在对称轴x=x0（x0<0）的左侧二次函数y值随x值的增大而增大，在对称轴的右侧二次函数y值随x值的增大而减小。答案：D。
考点9、二次函数解析式的几种形式。 (1)一般式：y＝ax2+bx+c (a,b,c为常数，a≠0).
(2)顶点式：y＝a(x-h)2+k(a,h,k为常数，a≠0). 抛物线的顶点坐标是(h,k)，h＝0时，抛物线y＝ax2+k的顶点在y轴上；当k＝0时，抛物线y＝a(x-h)2的顶点在x轴上；当h＝0且k＝0时，抛物线y＝ax2的顶点在原点. (3)两根式：y＝a(x-x1)(x-x2)，其中x1,x2是抛物线与x轴的交点的横坐标，即一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根. 求解析式时若已知抛物线过三点坐标一般设成一般式，已知抛物线过的顶点坐标时设成顶点式，已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标时设成两根式。
例5、（2007上海市）在直角坐标平面内，二次函数图象的顶点为，且过点．求该二次函数的解析式为 。
解析：（1）设二次函数解析式为，二次函数图象过点，，得． 二次函数解析式为，即．
练一练：
1、(浙江省)如图，二次函数的图象开口向上,图像经过点（-1，2）和（1，0）且与y轴交于负半轴．(以下有（1）、（2）两问，每个考生只须选答一问，若两问都答，则只以第（2）问计分)
　　第（1）问：给出四个结论：①＞0；②＞0；③＞0； ④a+b+c=0
其中正确的结论的序号是 （答对得3分，少选、错选均不得分）．
第（２）问：给出四个结论：①abc＜0；②2a+＞0；③a+c=1；④a＞1．其中正确的结论的序号是 （答对得5分，少选、错选均不得分）．
2、(河南省2007)二次函数 的图像可能是 【 】
3、 (河北省2007)如图，已知二次函数的图像经过点A和点B．
（1）求该二次函数的表达式；
（2）写出该抛物线的对称轴及顶点坐标；
（3）点P（m，m）与点Q均在该函数图像上（其中m＞0），且这两点关于抛物线的对称轴对称，求m的值及点Q 到x轴的距离．
4、 有一抛物线的拱形桥洞，桥洞离水面的最大高度为4m，跨度为10m， 如图所示，把它的图形放在直角坐标系中
①求这条抛物线所对应的函数关系式；
②如图，在对称轴右边1m处，桥洞离水面的高是多少？
【参考答案】：
1、（1）①，④。 （2）②，③，④
2、B.
3、解：（1）将x=-1，y=-1；x=3，y=-9分别代入得
解得
∴二次函数的表达式为．
（2）对称轴为；顶点坐标为（2，-10）．
（3）将（m，m）代入，得 ，
解得．∵m＞0，∴不合题意，舍去．
∴ m=6．
∵点P与点Q关于对称轴对称，
∴点Q到x轴的距离为6．
4、①y＝－0.16x2＋1.6x；②3.84m。
y
x
D.
y
x
C.
y
x
B.
y
x
A.
B
A
－1
－1
－9
3
O
y
x
D
C
B
A
y
x
O
y
x
O
y
x
O
y
x
O
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