第十一章 三角形
章末复习小结（1）基本知识
思维导图
知识要点
1.与三角形有关的线段
(1)三角形的概念：由不在同一条直线上的三条线段__顺次相接_相接所组成的图形叫做三角形．组成三角形的线段叫做三角形的__边_．相邻两边的公共端点叫做三角形的_顶点_．相邻两边组成的角叫做三角形的_ 内角_；
(2)按边的相等关系分类：
三角形三边关系：任意三角形两边之和_大于_第三边，任意三角形两边之差_小于_第三边；
考点 三角形的三边关系
典例1 用一条长为20 cm的绳子围成一个等腰三角形．
(1)若腰长是底边长的2倍，求各边的长；(2)能围成一个有一边为5 cm的等腰三角形吗？如果能，求另外两边的长．
解：设底边长为x cm，则腰长为2x cm.
依题意，得2x＋2x＋x＝20，解得x＝4.
∴2x＝8.
∴各边的长分别为8 cm，8 cm，4 cm.
①当5 cm为底时，腰长＝（20-5）＝7.5(cm)．
②当5 cm为腰时，底边长＝20－5－5＝10(cm)．
∵5＋5＝10，故不能构成三角形，舍去．
∴能围成有一边为5 cm的等腰三角形，另外两边的长分别为7.5 cm，7.5 cm
练习1.下列各组值代表线段的长度，其中能组成三角形的是( B )
A．1,2,3 B．20,15,8 C．5,15,8 D．4,5,9
练习2．在△ABC中，AB＝9，BC＝2，AC＝x.
(1)求x的取值范围；
(2)若△ABC的周长为偶数，则△ABC的周长为多少？
解：∵7＜x＜11，∴x的值是8或9或10，
∴△ABC的周长为9＋2＋8＝19(舍去)，
或9＋2＋9＝20或9＋2＋10＝21(舍去)，
即△ABC的周长为20.
(4)三角形的主要线段：
(5)三角形的稳定性．
考点 三角形的高、中线、角平分线
典例2 如图，在△ABC中，AD为BC边上的中线，若AB＝6 cm，AC＝8 cm，则△ABD与△ACD的周长之差为_2__cm，面积之差为__0_cm2.
练习3 画△ABC中AB边上的高，下列画法中正确的是 ( B )
练习4 如图，在△ABC中，AD是高，AE，BF是角平分线，它们相交于点O，∠BAC＝50°，∠C＝70°，求∠DAC，∠BOA的度数．
解：∵AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°.
∵∠C＝70°，
∴∠DAC＝180°－90°－70°＝20°.
∵∠BAC＝50°，∠C＝70°，AE平分∠BAC，
∴∠BAO＝25°，∠ABC＝180°－50°－70°＝60°.
∵BF平分∠ABC，
∴∠ABO＝ ×60°＝30°.
∴∠BOA＝180°－∠BAO－∠ABO＝180°－25°－30°＝125°.
三角形的内角
(1)三角形的内角的概念：三角形的内角是三角形三边的夹角；
(2)三角形的内角和定理：三角形的内角和等于_180°__；
(3)三角形外角的定义：
三角形的一边与_边的延长线_组成的角，叫做三角形的外角；
(4)三角形外角的性质：
①三角形的外角和等于___360°_；
②三角形的一个外角__等于__与它不相邻的两个内角的和；
(5)直角三角形：有一个角为__直角__的三角形，叫做直角三角形．在直角三角形中，两个锐角_互余__．
考点 与三角形有关的角
典例5 如图，下列说法中错误是( C )
A．∠FEC＞∠B
B．∠B＋∠ACB＝180°－∠A
C．∠B＋∠ACB＝∠ACD
D．∠FEC＞∠ACD
练习5 如图，∠B＝42°，∠A＋10°＝∠1，∠ACD＝64°，求证：AB∥CD.
证明：在△ABC中，∠A＋∠B＋∠1＝180°，∠B＝42°，
∴∠A＋∠1＝138°.
又∠A＋10°＝∠1，
∴∠A＋∠A＋10°＝138°，解得∠A＝64°.
∴∠A＝∠ACD＝64°.
∴AB∥CD.
3.多边形及其内角和
(1)多边形内角和＝___（n-2）180°____(n≥3且n为整数)；
(2)多边形的外角和都等于__360°_；
(3)_每个角_都相等，_每条边__都相等的多边形叫正多边形．
考点 多边形及其内角和
典例5 (1)八边形的内角和与外角和的度数分别是_1080°___和__360°_；
正十二边形的每个内角的度数是__150°_，每个外角的度数是_30°_．
练习5.十边形的外角和是_360°_，六边形的内角和是__720°__.
练习6.一个正多边形的边长为2，每个内角为135°，求这个正多边形的周长
解：∵正多边形的每个内角为135°，
∴每个外角是180°－135°＝45°.
∴正多边形的边数为360÷45＝8.
∴该正多边形的周长为2×8＝16.
考点5 复杂图形角度计算
典例6．(1)如图①，∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F的度数为___360°____；
(2)如图②，∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H的度数为__720°____；
(3)如图③，∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G的度数为___540°__．
总结反思
考点 三角形的三边关系
考点 三角形的高、中线、角平分线
考点 与三角形有关的角
考点 多边形及其内角和
考点5 复杂图形角度计算
板书设计
第十一章 三角形
章末复习小结（1）基本知识
思维导图 三、对点练习
知识精讲第十一章 三角形
章末复习小结（1）基本知识
课前诊测
1．已知一个多边形的内角和与一个外角的差为1 560°，求这个多边形的边数和这个外角的度数．
精准作业
必做题
1．已知等腰三角形两边的长分别为a，b，且满足.则这个等腰三角形的周长为________．
2．三角形三边长分别为3，2a－1，4.则a的取值范围是________．
3．如果三角形两条边长分别为3和5，则周长L的取值范围是__________．
4. 如图，在△ABC中，∠B＝40°，∠ACB＝110°，AE是∠BAC的平分线，AD是BC边上的高，求∠EAC和∠DAE的度数．
5．如图，在△ABC中，CD、CE分别是△ABC的高和角平分线，∠BAC＝α，∠B＝β(α＞β)．
(1)若α＝70°，β＝40°，求∠DCE的度数；
(2)试用α、β的代数式表示∠DCE的度数________．
探究题
6.如图1，六边形的内角和∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6为m度，如图2，六边形的内角和∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6为n度，则m－n＝___．
参考答案
课前诊测
1.解：设这个内角度数为x，边数为n，
根据题意，得(n－2)×180°－(180°－x)＝1 560°，
解得x＝1 560°－180°n＋540°＝2 100°－180°n，
由于0°＜x＜180°，即0°＜2 100°－180°n＜180°，
解得10 ＜n＜11 ，
所以n＝11.
将n＝11代入x＝2 100°－180°n中，得x＝120°，
所以这个外角为180°－120°＝60°.
精准作业
1.17
2.1
.104.解：∵在△ABC中，∠B＝40°，∠ACB＝110°，
∴∠BAC＝180°－∠B－∠ACB＝30°.
∵AE平分∠BAC，∴∠EAC＝∠BAE＝ ∠BAC＝15°.
∵AD是BC边上的高，∴∠D＝90°，
∴∠BAD＝90°－∠B＝50°，
∴∠DAE＝∠BAD－∠BAE＝35°，∴∠EAC＝15°，∠DAE＝35°.
5.解(1)：∵∠BAC＝70°，∠B＝40°，
∴∠ACB＝180°－(∠BAC＋∠B)＝180°－(70°＋40°)＝70°.
∵CE是∠ACB的平分线，∴∠ACE＝ ∠ACB＝35°.
∵CD是高线，∴∠ADC＝90°，∴∠ACD＝90°－∠BAC＝20°，
∴∠DCE＝∠ACE－∠ACD＝35°－20°＝15°.
6.0第十一章 三角形
章末复习小结（1）基本知识
思维导图
知识要点
1.与三角形有关的线段
(1)三角形的概念：由不在同一条直线上的三条线段_________相接所组成的图形叫做三角形．组成三角形的线段叫做三角形的_______．相邻两边的公共端点叫做三角形的_________．相邻两边组成的角叫做三角形的______；
(2)按边的相等关系分类：
三角形三边关系：任意三角形两边之和________第三边，任意三角形两边之差________第三边；
考点 三角形的三边关系
典例1 用一条长为20 cm的绳子围成一个等腰三角形．
(1)若腰长是底边长的2倍，求各边的长；(2)能围成一个有一边为5 cm的等腰三角形吗？如果能，求另外两边的长．
练习1.下列各组值代表线段的长度，其中能组成三角形的是( )
A．1,2,3 B．20,15,8 C．5,15,8 D．4,5,9
练习2．在△ABC中，AB＝9，BC＝2，AC＝x.
(1)求x的取值范围；
(2)若△ABC的周长为偶数，则△ABC的周长为多少？
(4)三角形的主要线段
(5)三角形的稳定性．
考点 三角形的高、中线、角平分线
典例2 如图，在△ABC中，AD为BC边上的中线，若AB＝6 cm，AC＝8 cm，则△ABD与△ACD的周长之差为_____cm，面积之差为_______cm2.
练习3 画△ABC中AB边上的高，下列画法中正确的是 ( )
练习4 如图，在△ABC中，AD是高，AE，BF是角平分线，它们相交于点O，∠BAC＝50°，∠C＝70°，求∠DAC，∠BOA的度数．
三角形的内角
(1)三角形的内角的概念：三角形的内角是三角形三边的夹角；
(2)三角形的内角和定理：三角形的内角和等于_______；
(3)三角形外角的定义：
三角形的一边与_边的延长线_组成的角，叫做三角形的外角；
(4)三角形外角的性质：
①三角形的外角和等于________；
②三角形的一个外角________与它不相邻的两个内角的和；
(5)直角三角形：有一个角为________的三角形，叫做直角三角形．在直角三角形中，两个锐角___________．
考点 与三角形有关的角
典例5 如图，下列说法中错误是( )
A．∠FEC＞∠B
B．∠B＋∠ACB＝180°－∠A
C．∠B＋∠ACB＝∠ACD
D．∠FEC＞∠ACD
练习5 如图，∠B＝42°，∠A＋10°＝∠1，∠ACD＝64°，求证：AB∥CD.
3.多边形及其内角和
(1)多边形内角和＝_________(n≥3且n为整数)；
(2)多边形的外角和都等于_________；
(3)________都相等，___________都相等的多边形叫正多边形．
考点 多边形及其内角和
典例5 (1)八边形的内角和与外角和的度数分别是________和_______；
正十二边形的每个内角的度数是_________，每个外角的度数是________．
练习5.十边形的外角和是________，六边形的内角和是__________.
练习6.一个正多边形的边长为2，每个内角为135°，求这个正多边形的周长
考点5 复杂图形角度计算
典例6．(1)如图①，∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F的度数为_______；
(2)如图②，∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H的度数为______；
(3)如图③，∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G的度数为_______．
总结反思
本节课我掌握的知识：_______________________________________________________；
本节课我学到的方法：_______________________________________________________；
本节课我存在的疑问：______________________________________________________；(共19张PPT)
第十一章 三角形
章末复习小结（1）基本知识
思维导图
知识要点
(1)三角形的概念：由不在同一条直线上的三条线段_________相接所组成的图形叫做三角形．组成三角形的线段叫做三角形的_____．相邻两边的公共端点叫做三角形的_______．相邻两边组成的角叫做三角形的________；
(2)按边的相等关系分类：
首尾顺次
边
顶点
内角
(3)三角形三边关系：任意三角形两边之和________第三边，任意三角形两边之差________第三边；
大于
小于
1.与三角形有关的线段
对点训练
考点 三角形的三边关系
典例1 用一条长为20 cm的绳子围成一个等腰三角形．
(1)若腰长是底边长的2倍，求各边的长；
解：设底边长为x cm，则腰长为2x cm.
依题意，得2x＋2x＋x＝20，解得x＝4.
∴2x＝8.
∴各边的长分别为8 cm，8 cm，4 cm.
对点训练
考点 三角形的三边关系
典例1 用一条长为20 cm的绳子围成一个等腰三角形．
(1)若腰长是底边长的2倍，求各边的长；
(2)能围成一个有一边为5 cm的等腰三角形吗？如果能，求另外两边的长．
解：①当5 cm为底时，腰长＝ ＝7.5(cm)．
②当5 cm为腰时，底边长＝20－5－5＝10(cm)．
∵5＋5＝10，故不能构成三角形，舍去．
∴能围成有一边为5 cm的等腰三角形，另外两边的长分别为7.5 cm，7.5 cm.
对点训练
考点 三角形的三边关系
练习1.下列各组值代表线段的长度，其中能组成三角形的是( )
A．1,2,3 B．20,15,8 C．5,15,8 D．4,5,9
练习2．在△ABC中，AB＝9，BC＝2，AC＝x.
(1)求x的取值范围；
(2)若△ABC的周长为偶数，则△ABC的周长为多少？
B
知识要点
1.与三角形有关的线段
(4)三角形的主要线段：
(5)三角形的稳定性．
对点训练
考点 三角形的高、中线、角平分线
典例2 如图，在△ABC中，AD为BC边上的中线，若AB＝6 cm，AC＝8 cm，则△ABD与△ACD的周长之差为___cm，面积之差为___cm2.
2
0
对点训练
考点 三角形的高、中线、角平分线
练习3 画△ABC中AB边上的高，下列画法中正确的是 ( )
B
对点训练
练习4 如图，在△ABC中，AD是高，AE，BF是角平分线，它们相交于点O，∠BAC＝50°，∠C＝70°，求∠DAC，∠BOA的度数．
解：∵AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°.
∵∠C＝70°，
∴∠DAC＝180°－90°－70°＝20°.
∵∠BAC＝50°，∠C＝70°，AE平分∠BAC，
∴∠BAO＝ ×50°＝25°，∠ABC＝180°－50°－70°＝60°.
∵BF平分∠ABC，
∴∠ABO＝ ×60°＝30°.
∴∠BOA＝180°－∠BAO－∠ABO＝180°－25°－30°＝125°.
知识要点
2.与三角形有关的角
(1)三角形的内角的概念：三角形的内角是三角形三边的夹角；
(2)三角形的内角和定理：三角形的内角和等于________；
(3)三角形外角的定义：
三角形的一边与________________组成的角，叫做三角形的外角；
180°
另一边的延长线
(4)三角形外角的性质：
①三角形的外角和等于________；
②三角形的一个外角________与它不相邻的两个内角的和；
(5)直角三角形：有一个角为_______的三角形，叫做直角三角形．在直角三角形中，两个锐角________．
360°
等于
90°
互余
对点训练
考点 与三角形有关的角
典例5 如图，下列说法中错误是( )
A．∠FEC＞∠B
B．∠B＋∠ACB＝180°－∠A
C．∠B＋∠ACB＝∠ACD
D．∠FEC＞∠ACD
C
对点训练
考点 与三角形有关的角
练习5 如图，∠B＝42°，∠A＋10°＝∠1，∠ACD＝64°，求证：AB∥CD.
证明：在△ABC中，∠A＋∠B＋∠1＝180°，∠B＝42°，
∴∠A＋∠1＝138°.
又∠A＋10°＝∠1，
∴∠A＋∠A＋10°＝138°，解得∠A＝64°.
∴∠A＝∠ACD＝64°.
∴AB∥CD.
知识要点
3.多边形及其内角和
(1)多边形内角和＝_______________(n≥3且n为整数)；
(2)多边形的外角和都等于________；
(3)________都相等，________都相等的多边形叫正多边形．
(n－2)×180°
360°
各个角
各条边
对点训练
考点 多边形及其内角和
典例5 (1)八边形的内角和与外角和的度数分别是_________和_______；
(2)正十二边形的每个内角的度数是_______，每个外角的度数是______．
1 080°
360°
150°
30°
练习5.十边形的外角和是_______，六边形的内角和是_______.
练习6.一个正多边形的边长为2，每个内角为135°，求这个正多边形的周长
解：∵正多边形的每个内角为135°，
∴每个外角是180°－135°＝45°.
∴正多边形的边数为360÷45＝8.
∴该正多边形的周长为2×8＝16.
360°
720°
对点训练
考点5 复杂图形角度计算
典例6．(1)如图①，∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F的度数为_______；
(2)如图②，∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H的度数为______；
(3)如图③，∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G的度数为_____．
360°
720°
540°
课堂检测
1.如图，盖房子时，在窗框未安装之前，木工师傅常常先在窗框上斜钉一根木条，使其不变形，这种做法的根据是( )
A．两点之间，线段最短 B．三角形的稳定性
C．长方形的四个角都是直角 D．四边形的稳定性
2.如图，在△ABC中，∠B＝30°，∠ACB＝110°，AD是BC边上的高，AE平分∠BAC，求∠DAE的度数．
解：∵∠B＝42°，∠C＝70°，
∴∠BAC＝180°－∠B－∠C＝68°，
∵AE是角平分线，
∴∠EAC=∠BAC＝34°.
∵AD是高，∠C＝70°，
∴∠DAC＝90°－∠C＝20°，
∴∠DAE＝∠EAC－∠DAC＝34°－20°＝14°，
∠AEC＝90°－14°＝76°.
A
课堂检测
3.(1)已知一个正多边形的每个内角比它的每个外角的4倍多30°，求这个多边形的边数；
(2)一个多边形的外角和是内角和的，求这个多边形的边数．
解：(1)设内角是x°，外角是y°，
由题意得，解得
而任何一个多边形的外角和是360°，则多边形内角和中的外角的个数是360°÷30°＝12，故这个多边形的边数是12.
(2)设这个多边形的边数为n，依题意得(n－2)×180°＝360°，解得n＝9，故这个多边形的边数为9.