排列、组合、二项式定理、概率与统计复习

排列、组合、二项式定理、概率与统计复习
一、考纲要求：
二、2007年考情
1．排列、组合、二项式定理内容的考题多数处于容易题的位置，少数题处于把关位置.总体上相对平稳，考查二项式定理的题也不偏不怪，在考查基础知识的同时，考查计算能力、逻辑推理能力. 这块内容常以选择题、填空题的形式出现，二项式定理或以考查其应用而以大题的形式出现.
2007年对排列组合的考查：(1)考查两个计数原理的应用；(2)考查排列组合及其综合应用.单一的排列或组合题目比较简单，常常与简单的分类讨论联系，主要考查排列、组合的基础知识和计算能力，而排列组合的综合应用有点难.
2007年对二项式定理的考查类型主要有三种形式：通项运用、系数研讨和二项式定理的应用. 选择题和填空题多考查通项和系数，而二项式定理综合应用常结合近似计算，整数性、证明组合数恒等式、数列极限、杨辉三角等，处于压轴题的位置，考查计算能力、逻辑推理能力.
2．概率、概率与统计的内容每一套试题都涉及到，这块内容常以选择题、填空题和解答题的形式出现.考查的知识点有：等可能性事件的概率、互斥事件有一个发生的概率、相互独立事件同时发生的概率、独立重复事件，分布列、期望、方差和统计中的抽样方法、总体分布的估计、正态分布、线性回归等.
2007年全国各地高考应用性试题主要是以概率题为主，湖北、辽宁文科考查的是统计题，广东考查的是线性回归方程，浙江、上海等没有这块内容的大题，但都通过小题对概率内容进行了考查. 概率、统计试题大多是对课本中例、习题改变而.基础知识通过重新组合、拓广，富有时代气息、贴近学生实际的问题，具有较强的应用性. 2007年的考题有个明显的特征是注重了概率与其它知识的交汇，考查学生的综合能力.
由于在高考试题中，排列、组合、二项式定理、概率及概率与统计多以低档题或中档题为主，一般不会出现难题，因而这类题是高考的得分点.
三、复习建议
1．回归课本，重视基础
高考虽然以“能力立意”为宗旨，但对能力的考查是通过对基础知识的考查来实现的，且近几年这块内容的高考题很多题可以看成是课本题的变式或引申.
题1．课本1(3)学生可以从本年级开设的7门任意选修课中选择3门，从6种课外活动小组中选择2种，不同的选法的种数是 .
变式1：(全国1文)甲、乙、丙位同学选修课程，从门课程中，甲选修门，乙、丙各选修门，则不同的选修方案共有（　　）
Ａ．种 Ｂ．种 Ｃ．种 Ｄ．种
变式2：(重庆理)某校要求每位学生从门课程中选修门，其中甲、乙两门课程不能都选，则不同的选课方程有______种．（以数字作答）
变式3：(江苏)某校开设9门课程供学生选修，其中三门由于上课时间相同，至多选一门，学校规定每位同学选修4门，共有　　　　种不同选修方案.（用数值作答）
变式4：（全国2）从5位同学中选派4位同学在星期五、星期六、星期日参加公益活动，每人一天，要求星期五有2人参加，星期六、星期日各有1人参加，则不同的选派方法共有
（ ）
A．40种 B．60种 C．100种 D．120种
变式5. (全国1) 从班委会5名成员中选出3名，分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，其中甲、乙二人不能担任文娱委员，则不同的选法共有 种．（用数字作答）
变式6：（浙江）某书店有11种杂志，2元1本的8种，1元1本的3种，小张用10元钱买杂志（每种至多买一本，10元钱刚好用完），则不同买法的种数是 （用数字作答）．
题2．课本(高一下习题6)(1)4名同学分别报名参加学校的足球队、篮球队、乒乓球队，每人限报其中的1个运动队，不同的报名方法的种数是还是？
(2)3个班分别从5个风景点选择1处游览，不同的种数是还是？
变式1：(07全国文2)5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法共有（ ）
A．10种 B．20种 C．25种 D．32种
变式2.(07福建文)某通讯公司推出一组手机卡号码，卡号的前七位数字固定，从“”到“”共个号码．公司规定：凡卡号的后四位带有数字“”或“”的一律作为“优惠卡”，则这组号码中“优惠卡”的个数为（　　）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
变式3. (北京文)某城市的汽车牌照号码由2个英文字母后接4个数字组成，其中4个数字互不相同的牌照号码共有（　　）
Ａ．个 Ｂ．个 Ｃ．个 Ｄ．个
题3．()求下列各式的二项展开式中指定各项的系数：(1)的含的项.
2)( )：在的展开式中，求含x2的项的系数.
3) 求展开式中含的系数.
变式1：(浙江文)展开式中的常数项是 （ ）
A． B． C． D．
变式2：(全国2)的展开式中常数项为 ．（用数字作答）
变式3：(湖北)如果的展开式中含有非零常数项，则正整数的最小值为（ ）
Ａ．3 Ｂ．5 Ｃ．6 Ｄ．10
变式4：(天津理)若的二项展开式中的系数为，则　（用数字作答）．
变式5：(湖南文)在（）的二次展开式中，若只有的系数最大，则
A．8 B．9 C．10 D．11
变式6：(05浙江)在(1－x)5＋(1－x)6＋(1－x)7＋(1－x)8的展开式中，含x3的项的系数是( )
A． 74 B． 121 C． －74 D． －121
变式7：(06浙江)若，则
Ａ．9 Ｂ．10 Ｃ． Ｄ．
题4．(07陕西) 已知各项全不为零的数列{ak}的前k项和为，且Sk＝N*),其中a1=1.
(Ⅰ)求数列{ak}的通项公式;
(Ⅱ)对任意给定的正整数n(n≥2),数列{bk}满足（k=1,2,…，n-1）,b1=1.
求b1+b2+…+bn.
题5. ()甲、乙2人各进行1次射击，如果2人击中目标的概率都是0.6，计算：
(1)2人都击中目标的概率；(2) 其中恰有1人击中目标的概率；(3) 至少有1人击中目标的概率.
变式1：(重庆文)设甲乙两人每次射击命中目标的概率分别为，且各次射击相互独立.（Ⅰ）若甲、乙各射击一次，求甲命中但乙未命中目标的概率；
（Ⅱ）若甲、乙各射击两次，求两命中目标的次数相等的概率.
变式2：(福建文)甲、乙两名跳高运动员一次试跳米高度成功的概率分别是，，且每次试跳成功与否相互之间没有影响，求：
（Ⅰ）甲试跳三次，第三次才成功的概率；
（Ⅱ）甲、乙两人在第一次试跳中至少有一人成功的概率；
（Ⅲ）甲、乙各试跳两次，甲比乙的成功次数恰好多一次的概率．
变式3：(全国1文)某商场经销某商品，顾客可采用一次性付款或分期付款购买．根据以往资料统计，顾客采用一次性付款的概率是0.6，经销一件该商品，若顾客采用一次性付款，商场获得利润200元；若顾客采用分期付款，商场获得利润250元．
（Ⅰ）求3位购买该商品的顾客中至少有1位采用一次性付款的概率；
（Ⅱ）求3位顾客每人购买1件该商品，商场获得利润不超过650元的概率．
题6. ()某气象站天气预报的准确率为80%，计算：
(1)5次预报中恰有4次准确的概率；(2) 5次预报中至少有4次准确的概率.
变式1：(湖北理)某篮运动员在三分线投球的命中率是，他投球10次，恰好投进3个球的概率 ．（用数值作答）
变式2：(江苏)某气象站天气预报的准确率为，计算：
（1）5次预报中恰有2次准确的概率；（2）5次预报中至少有2次准确的概率；
（3）5次预报中恰有2次准确，且其中第次预报准确的概率.
变式3：(浙江文)甲、乙两人进行乒乓球比赛，比赛规则为“3局2胜”，即以先赢2局者为胜，根据经验，每局比赛中甲获胜的概率为，则本次比赛甲获胜的概率是（ ）
A． B． C． D．.
题7.①(高二下例2)一个口袋内装有大小相等的1个白球和已编有不同号码的3个黑球，从中摸出2个球.(3)摸出2个黑球的概率是多少？
②(高二下引例) 甲坛子里有3个白球，2个黑球，乙坛子里有2个白球，2个黑球，从这两个坛子里分别摸出1个球，它们都是白球的概率是多少？
变式1：(广东理)甲、乙两个袋子中均装有红、白两种颜色的小球，这些小球除颜色外完全相同，其中甲袋装有4个红球、2个白球，乙袋装有1个红球、5个白球. 现分别从甲、乙两袋中各随机抽取1个球，则取出的两球是红球的概率为______(答案用分数表示)
变式2：(天津文)已知甲盒内有大小相同的3个红球和4个黑球，乙盒内有大小相同的5个红球和4个黑球．现从甲、乙两个盒内各任取2个球．
（Ⅰ）求取出的4个球均为红球的概率；（Ⅱ）求取出的4个球中恰有1个红球的概率；
变式3：(辽宁理)一个坛子里有编号为1，2，…，12的12个大小相同的球，其中1到6号球是红球，其余的是黑球，若从中任取两个球，则取到的都是红球，且至少有1个球的号码是偶数的概率是（ ）
A． B． C． D．
变式4：(江西文)一袋中装有大小相同，编号分别为的八个球，从中有放回地每次取一个球，共取2次，则取得两个球的编号和不小于15的概率为（　　）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
变式5：(06浙江)甲、乙两袋装有大小相同的红球和白球，甲袋装有2个红球，2个白球；乙袋装有2个红球，个白球．现从甲、乙两袋中各任取2个球，
（Ⅰ）当求取到的4个球全是红球的概率.
（Ⅱ）若取到的4个球中至少有2个红球的概率为，求．
变式6： (05浙江文)袋子A和B中装有若干个均匀的红球和白球，从A中摸出一个红球的概率是，从B中摸出一个红球的概率为p．
(Ⅰ) 从A中有放回地摸球，每次摸出一个，共摸5次．(i)恰好有3次摸到红球的概率；(ii)第一次、第三次、第五次摸到红球的概率．
(Ⅱ) 若A、B两个袋子中的球数之比为1：2，将A、B中的球装在一起后，从中摸出一个红球的概率是，求p的值.
题8. ()一个城市有210家百货商店，其中大型商店有20家，中型商店有40家，小型商店有150家. 为了掌握各商店的营业情况，要从中抽取一个容量为21的样本. 按照分层抽样方法抽取样本时，各类百货商店要分别抽取多少家？写出抽样过程.
变式1．(陕西文)某商场有四类食品，其中粮食类、植物油类、动物性食品类及果蔬类分别有40种、10种、30种、20种，现从中抽取一个容量为20的样本进行食品安全检测.若采用分层抽样的方法抽取样本，则抽取的植物油类与果蔬类食品种数之和是
（A）4 （B）5 （C）6 （D）7
变式2．(浙江文)某校有学生2000人，其中高三学生500人，为了解学生的身体素质情况，彩用按年级分层抽样的方法，从该校学生中抽取一个200人的样本，则样本中高三学生的人数为 ．
题9. 有一个容量为50的样本 ，数据的分组及各组的频数如下：
(1)、(2)略；(3)根据频率分布直方图估计，数据落在的概率约是多少.
变式1：(全国1文)从某自动包装机包装的食盐中，随机抽取袋，测得各袋的质量分别为（单位：）：
492 496 494 495 498 497 501 502 504 496
497 503 506 508 507 492 496 500 501 499
根据频率分布估计总体分布的原理，该自动包装机包装的袋装食盐质量在497.5g～501.5g之间的概率约为_____．
变式2．(天津文)从一堆苹果中任取了20只，并得到它们的质量（单位：克）数据分布表如下：
分组
频数 1 2 3 10 1
则这堆苹果中，质量不小于120克的苹果数约占苹果总数的 ％．
变式3：（山东理）某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与19秒之间，将测试结果按如下方式分成六组：第一组，成绩大于等于13秒且小于14秒；第二组，成绩大于等于14秒且小于15秒；第六组，成绩大于等于18秒且小于等于19秒．右图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．设成绩小于17秒的学生人数占全班总人数的百分比为，成绩大于等于15秒且小于17秒的学生人数为，则从频率分布直方图中可分析出和分别为（ ）
A．0.9，35 B．0.9，45
C．0.1，35 D．0.1，45
变式4：(辽宁文)某公司在过去几年内使用某种型号的灯管1000支，该公司对这些灯管的使用寿命（单位：小时）进行了统计，统计结果如下表所示：
分组 [500，900) [900，1100) [1100，1300) [1300，1500) [1500，1700) [1700，1900) [1900，)
频数 48 121 208 223 193 165 42
频率
（I）将各组的频率填入表中；
（II）根据上述统计结果，计算灯管使用寿命不足1500小时的频率；
（III）该公司某办公室新安装了这种型号的灯管3支，若将上述频率作为概率，试求至少有2支灯管的使用寿命不足1500小时的概率．
题10. 分别求正态分布在区间、、内取值的概率.
变式1．(湖南理)设随机变量服从标准正态分布，已知，则=（ ）
A．0.025 B．0.050 C．0.950 D．0.975
变式2．（浙江) 已知随机变量服从正态分布，，则（ ）
A． B． C． D，
变式3：(安徽理)以表示标准正态总体在区间（）内取值的概率，若随机变量服从正态分布，则概率等于
（A）- （B） （C） （D）
2．注重重点内容的复习
1．（06四川12）从到这个数字中任取个数字组成一个没有重复数字的三位数，这个数不能被整除的概率为 （ ）
A． B． C． D．
2（06江苏10）右图中有一个信号源和五个接收器.接收
器与信号源在同一个串联线路中时，就能接收到信号，否则就
不能接收到信号.若将图中左端的六个接线点随机地平均分成
三组，将右端的六个接线点也随机地平均分成三组，再把所有
六组中每组的两个接线点用导线连接，则这五个接收器能同时
接收到信号的概率是
（A）　　　　　（B） （C）　　　　　（D）
3．(07江西文)栽培甲、乙两种果树，先要培育成苗，然后再进行移栽．已知甲、乙两种果树成苗的概率分别为，，移栽后成活的概率分别为，．
（1）求甲、乙两种果树至少有一种果树成苗的概率；
（2）求恰好有一种果树能培育成苗且移栽成活的概率．
4. (04湖南)甲、乙、丙三台机床各自独立地加工同一种零件，已知甲机床加工的零件是一等品而乙机床加工的零件不是一等品的概率为,乙机床加工的零件是一等品而丙机床加工的零件不是一等品的概率为,甲、丙两台机床加工的零件都是一等品的概率为.
（Ⅰ）分别求甲、乙、丙三台机床各自加工零件是一等品的概率；
（Ⅱ）从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，求至少有一个一等品的概率.
5．一批产品共10件，其中7件正品，3件次品，每次从这批产品中任取一件，在下述三种情况下，分别求直至取得正品为止所需次数的概率分布.
1)每次取出的产品不再放回去；2)每次取出的产品仍放回去；
3)每次取出一件次品后，总是另取一件正品放回到这批产品中.
6．(07陕西理)某项选拔共有三轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考试，否则即被淘汰，已知某选手能正确回答第一、二、三轮的问题的概率分别为、、，且各轮问题能否正确回答互不影响.
（Ⅰ）求该选手被淘汰的概率；
（Ⅱ）该选手在选拔中回答问题的个数记为ξ，求随机变量ξ的分布列与数数期望.
7．(07江西)某陶瓷厂准备烧制甲、乙、丙三件不同的工艺品，制作过程必须先后经过两次烧制，当第一次烧制合格后方可进入第二次烧制，两次烧制过程相互独立．根据该厂现有的技术水平，经过第一次烧制后，甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为，，，经过第二次烧制后，甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为，，．
（1）求第一次烧制后恰有一件产品合格的概率；
（2）经过前后两次烧制后，合格工艺品的个数为，求随机变量的期望．
8．(07宁夏海南)如图，面积为的正方形中有一个不规则的图形，可按下面方法估计的面积：在正方形中随机投掷个点，若个点中有个点落入中，则的面积的估计值为，假设正方形的边长为2，的面积为1，并向正方形中随机投掷个点，以表示落入中的点的数目．
（I）求的均值；
（II）求用以上方法估计的面积时，的面积的估计值与实际值之差在区间内的概率．
附表：
9．(2007年黄冈高考模拟题)某公司生产的某种产品尺寸误差服从正态分布，为保证产品的质量，制定了产品尺寸的技术标准，其表达式为，在正常情况下，满足这一技术指标的产品总量为，
(1) 若产品尺寸的稳定性降低，值增大还是减小，为什么？
(2) 若产品尺寸的稳定性降低后，标准差变为，为保证产品产量的稳定性，应修订技术指标，写出修订后的技术指标表达式.
10．(07广东)下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨标准煤）的几组对照数据
ｘ ３ ４ ５ ６
ｙ ２．５ ３ ４ ４．５
（1） 请画出上表数据的散点图；
（2） 请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出ｙ关于ｘ的线性回归方程；
（3） 已知该厂技术改造前１００吨甲产品能耗为９０吨标准煤；试根据（２）求出的线性回归方程，预测生产１００吨甲产品的生产能耗比技术改造前降低多少吨标准煤？
3．注意综合，提升能力
在知识交汇点命题能够充分考查学生的综合分析能力，应用能力，在知识交汇点命题，已成为高考命题的主要趋势，所以在高考复习中，要十分注重在知识网络交汇处设计问题，使复习达到必要的深度和广度．
1．(07湖北理)已知直线（是非零常数）与圆有公共点，且公共点的横坐标和纵坐标均为整数，那么这样的直线共有（ ）
A．60条 B．66条 C．72条 D．78条
2．(07福建理)把展开成关于的多项式，其各项系数和为，则等于（ ）
A． B． C． D．2
3．(概率与函数、导数)（07辽宁理）某企业准备投产一批特殊型号的产品，已知该种产品的成本与产量的函数关系式为. 该种产品的市场前景无法确定，有三种可能出现的情形，各种情形发生的概率及产品价格与产量的函数关系式如下表所示：
市场情形 概率 价格与产量的函数关系式
好 0.4
中 0.4
差 0.2
设分别表示市场情形好、中差时的利润，随机变量，表示当产量为，而市场前景无法确定的利润．
（I）分别求利润与产量的函数关系式；
（II）当产量确定时，求期望；
（III）试问产量取何值时，取得最大值．
4．(概率与方程)(山东理) 设和分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数，用随机变量表示方程实根的个数（重根按一个计）．
（Ⅰ）求方程有实根的概率；（Ⅱ）求的分布列和数学期望；
（Ⅲ）求在先后两次出现的点数中有5的条件下，方程有实根的概率．
5．(概率与数列)(浙江)随机变量的分布列如下：
其中成等差数列，若，则的值是 ．.
6．(概率与向量)(湖北)连掷两次骰子得到的点数分别为和，记向量与向量的夹角为，则的概率是（ ）
A． B． C． D．
7．（概率与解析几何）(07四川理)已知一组抛物线，其中a为2,4,6,8中任取的一个数，b为1,3,5,7中任取的一个数，从这些抛物线中任意抽取两条，它们在与直线x=1交点处的切线相互平行的概率是（B）
（A） （B） （C） （D）
8．(概率与统计)(07北京理) 某中学号召学生在今年春节期间至少参加一次社会公益活动（以下简称活动）．该校合唱团共有100名学生，他们参加活动的次数统计如图所示．
（I）求合唱团学生参加活动的人均次数；
（II）从合唱团中任意选两名学生，求他们参加活动次数恰好相等的概率．
（III）从合唱团中任选两名学生，用表示这两人参加活动次数之差的绝对值，求随机变量的分布列及数学期望．
9．(概率与行列式)(07福建理)如图，三行三列的方阵中有9个数，从中任取三个数，则至少有两个数位于同行或同列的概率是（ ）
A． B．
C． D．
10．(2007年黄冈模拟题)如果消息发生的概率为，那么消息所含的信息量为.若王教授正在一个有4排8列座位的小型报告厅听报告，则发布的以下4条消息中，信息量最大的是 ( )
(A)王教授在第4排； (B) 王教授在第4排第5列；
(C) 王教授在第5列； (D) 王教授在某一排
11．设棋子在正四面体的表面从一个顶点移向另外三个顶点是等可能的.现抛骰子根据其点数决定棋子是否移动：若投出的点数是奇数，则棋子不动；若投出的点数是偶数，则棋子移动到另外一个顶点.若棋子的初始位置在顶点，回答下列问题.
(1)投2次骰子，棋子才到达顶点的概率是多少？
(2) 投了3次骰子，棋子恰好在顶点的概率是多少？
12．某种电子玩具按下按键后，会出现红球和绿球.已知按键第一次按下后，出现红球和绿球的概率都是.从按键第二次按下起，若前次出现红球，则下一次出现红球、绿球的概率分别是，；若前次出现绿球，则下一次出现红球、绿球的概率分别是，.记第 次按下按键后出现红球的概率为.
(1) 求的值；(2)当时，求用表示的表达式；(3)证明数列是等比数列，并求.
4．强化常规的规范化训练
0.02
0.04
0.06
0.18
0.34
0.36
频率/组距
秒
19
18
17
15
14
13
0
16
信号源
1
2
3
10
20
30
40
50
参加人数
活动次数
PAGE
1